3、平行四邊形的判定 - 答案

平行四邊形的判定復(fù)習(xí)：1.平行四邊形1.定義：兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形，平行四邊形ABCD可表示為□ABCD2.平行四邊形的特質(zhì)：⑴平行四邊形的兩組對(duì)邊分別________________⑵平行四邊形的兩組對(duì)角分別__________________⑶平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)________________________必會(huì)知識(shí)點(diǎn)：1、平行四邊形是對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是。過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的任一直線(xiàn)被一組對(duì)邊截得的線(xiàn)段該直線(xiàn)將原平行四邊形分成全等的兩個(gè)部分2.平行四邊形的判定：（1）用定義判定_____________________________（2）兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形（3）一組對(duì)邊的四邊形是平行四邊形（4）對(duì)角線(xiàn)的四邊形是平行四邊形必會(huì)知識(shí)點(diǎn)：特別的：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形和一組對(duì)邊相等、一組對(duì)角相等的四邊形都不能保證是平行四邊形例1、在四邊形ABCD中，AB=CD,AB=CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【答案】詳見(jiàn)解析【詳解】證明：如圖所示：連接BD，又∵AB=CD,DB=BD，AD=BC∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB=∠CBD,，∠ABD=∠CDB∴AD∥BC，AB∥CD∴四邊形ABCD為平行四邊形．例2、在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.【答案】詳見(jiàn)解析【詳解】證明：如圖所示：連接BD，∵AB//CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵AB=CD,DB=BD，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴∠ADB=∠CBD,，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．例3、如圖，在四邊形中，，相交于點(diǎn)O，且．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：∵，，∴．∴．∴．同理．∴四邊形是平行四邊形．題型一：平行四邊形的判定1．下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對(duì)角相等 B．對(duì)角線(xiàn)互相平分C．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等 D．對(duì)角線(xiàn)互相垂直【答案】B【詳解】解：如圖：A、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、∵、，∴四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形，例如：等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形不一定是平形四邊形，例如：箏形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．2．如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，下列條件不能判定四邊形為平行四邊形的是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】解：A．根據(jù)“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．根據(jù)“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；C．“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”的四邊形也可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)“對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形”可判定四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．如圖，在四邊形中，已知，添加下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，，∴由一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴項(xiàng)能判定四邊形是平行四邊形，故項(xiàng)不符合題意；∵，，∴由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，∴項(xiàng)能判定四邊形是平行四邊形，故項(xiàng)不符合題意；∵，但和不一定平行，∴項(xiàng)不能判定四邊形是平行四邊形，故符合題意；∵，∴，∵，，∴，∴，∴項(xiàng)能判定四邊形是平行四邊形，故項(xiàng)不符合題意；故選：．4．如圖所示，在四邊形中，已知，添加下列一個(gè)條件，不能判斷四邊形成為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A．∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B．∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C．∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D．∵，∴，∵，∴四邊形可以是等腰梯形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．5．已知四邊形ABCD，有以下四個(gè)條件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④∠ABC=∠ADC．從這四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法有（

）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【詳解】解：從四個(gè)條件中任選兩個(gè)，共有以下6種組合：①②、①③、①④、②③、②④、③④；具備①②時(shí)，四邊形ABCD滿(mǎn)足兩組對(duì)邊分別平行，是平行四邊形；具備①③時(shí)，四邊形ABCD滿(mǎn)足一組對(duì)邊平行且相等，是平行四邊形；具備①④時(shí)，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠C=180°．∵∠ABC∠ADC，∴∠ADC+∠C=180°．∴AD∥CB.所以四邊形ABCD是平行四邊形；具備②③時(shí)，等腰梯形就符合一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，但它不是平行四邊形，故具備②③時(shí)，不能判斷是否是平行四邊形；具備②④時(shí)，類(lèi)似于上述①④，可以證明四邊形ABCD是平行四邊形；具備③④時(shí)，如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，作AE垂直BC于E；在EB上截取EC'=EC，連接AC'，則△AEC'≌△AEC，AC'=AC.把△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠CAC'的度數(shù)，則AC與AC'重合.顯然四邊形ABC'D'滿(mǎn)足：AB=CD=C'D'；∠B=∠D=∠D'，而四邊形ABC'D'并不是平行四邊形.綜上，從四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法共有4種.故選B.題型二：平行四邊形的判定證明1．如圖，點(diǎn)D，C在上，，，．

(1)求證；(2)連接，，猜想四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)四邊形為平行四邊形，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即，在與中，∴，∴；（2）猜想：四邊形為平行四邊形，理由如下：由（1）知，∴，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形．2．已知，如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)為對(duì)角線(xiàn)上兩點(diǎn)，且，．求證：四邊形為平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，，∵，∴四邊形為平行四邊形．3．已知：如圖，是的一條對(duì)角線(xiàn)．延長(zhǎng)至F，反向延長(zhǎng)至E，使．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：如圖，連接，與交于點(diǎn)G，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形?．已知：如圖，等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)若的邊長(zhǎng)為，求所組成的平行四邊形各組對(duì)邊之間的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)平行四邊形各組對(duì)邊之間的距離為．【詳解】（1）證明：∵等邊三角形與等邊三角形的一邊重合．∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：作，，∵等邊的邊長(zhǎng)為，∴，，∵，∴，∴，∴，同理：∵等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，即平行四邊形各組對(duì)邊之間的距離為．題型三：平行四邊形的判定和性質(zhì)1．如圖，將平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)向向兩個(gè)方向延長(zhǎng)，分別至點(diǎn)和點(diǎn)，且使得，求證：四邊形為平行四邊形．

【答案】見(jiàn)解析【詳解】連接，與交于點(diǎn)O．如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴，即．∴四邊形是平行四邊形．2．如圖，在四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析.【詳解】∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，又∵DE＝BF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．3．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：；(2)求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：∵在平行四邊形中，，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，在和中,∴．（2）證明：∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．4．如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對(duì)角線(xiàn)于點(diǎn)E、F，連接，．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，．，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，．5．已知：如圖，在中，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)不添加輔助線(xiàn)，圖中還有哪些平行四邊形？并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)平行四邊形、平行四邊形，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．（2）圖中還有平行四邊形、平行四邊形．理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，．∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．又∵．∴四邊形是平行四邊形．又∵，，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．6．如圖，平行四邊形中，，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，和中，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形．題型一：平行四邊形的綜合應(yīng)用1．如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線(xiàn)段、上，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）證明：如圖，連接，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，在與中，，，．2．已知：如圖，在四邊形中，，垂足分別為E，F(xiàn)，延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，若，．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)5【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∵，∴∴，在中，∵，∴，∴，∴．∴．3．如圖，在中，，M、N分別是的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)．【詳解】（1）證明：∵是平行四邊形，∴，．∵M(jìn)、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：如圖：連接ND，∵是平行四邊形，∴．∵N是BC的中點(diǎn)，∴．∵，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是的外角，∴，∵，∴，∴，∴，∴．4．如圖，為?的對(duì)角線(xiàn)，若，，，和分別平分和．(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)求平行四邊形的面積；(3)連接，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵和分別平分和，∴，∴，∴，又，即，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，，，∴，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是的角平分線(xiàn)，，∴，在中，，∴，∴，則，設(shè)，則，在中，，，解得：，∴，∴平行四邊形的面積為，（3）解：如圖所示，連接，交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，在中，，∴．課后練習(xí)：1．如圖，能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】根據(jù)平行四邊形的判定可知：A、若，，可能是平行四邊形，也可能是梯形，故A錯(cuò)誤，B、兩組鄰角相等也有可能是等腰梯形，故B錯(cuò)誤．C、連接．由得∴∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）∴四邊形ABCD是平行四邊形的條件，故C正確．D、此條件下無(wú)法判定四邊形的形狀，還可能是等腰梯形，故D錯(cuò)誤．故選：C．2．下面有四個(gè)定理：①平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；②平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；③平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行；④平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分；其逆命題正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【詳解】解：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等的逆命題是兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，是真命題；平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等的逆命題是兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，是真命題；平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行的逆命題是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，是真命題；平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分的逆命題是對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形，是真命題．故選D3．如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，連接，添加選項(xiàng)中的條件后不能判定四邊形是平行四邊形的是（）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)A說(shuō)法正確，不符合題意；∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)B說(shuō)法正確，不符合題意；∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴∴四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)C說(shuō)法正確，不符合題意；∵四邊形為平行四邊形，∴，，由不能判定四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)D說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．4．在四邊形中，給出下列條件：①；②；③；④，選其中兩個(gè)條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是A．①② B．①③ C．①④ D．②④【答案】A【詳解】由①④，可以推出四邊形是平行四邊形；由②④也可以提出四邊形是平行四邊形；①③或③④組合能根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，從而利用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形來(lái)判定．①②一起不能推出四邊形ABCD是平行四邊形.故選．5．已知四邊形的對(duì)角線(xiàn)、相交于點(diǎn)，給出下列條件：①，②，③，④，⑤．(1)從以上5個(gè)條件中任意選取2個(gè)條件，能推出四邊形是平行四邊形的有（用序號(hào)表示）_________________；（至少寫(xiě)出三種情況）(2)從（1）中選出推理在兩步以上的一種情況進(jìn)行證明．（要求畫(huà)出圖形，寫(xiě)出證明過(guò)程即可）【答案】(1)①③，①⑤，①④，①②，②⑤，④⑤（寫(xiě)出三種情況即可）(2)選①②或①④，見(jiàn)解析【詳解】（1）解：根據(jù)平行四邊形的判定方法，能推出四邊形是平行四邊形的有①③，①⑤，①④，①②，②⑤，④⑤（寫(xiě)出三種情況即可）；（2）解法一：若選①②，如圖，，．又，，．．四邊形是平行四邊形．解法二：若選①④．如圖，，度．又，度．．四邊形是平行四邊形．6．如圖，在?中，，是AB，上的點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：連接、，如圖所示：四邊形是平行四邊形，，且，，，，四邊形是平行四邊形．7．如圖，四邊形的對(duì)角線(xiàn)、相交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)且與、分別相交于點(diǎn)、，(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，若，周長(zhǎng)是15，求四邊形的周長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)30.【詳解】(1)∵，∴，∴

∴，∴∵∴，∴∴四邊形是平行四邊形.

(2)∵，∴∴即

∵中∴的周長(zhǎng)是.8．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在上，連接，交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】詳見(jiàn)解析【詳解】在平行四邊形中，，即有.∵DF//BE，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，即.又由知，∴四邊形是平行四邊形，∴.即有.而由DF//BE可知，ME//N