2.1不等式的性質與證明市公開課一等獎省賽課微課金獎課件

第2章不等式2.1不等式性質與證實2.2不等式解法2.3不等式應用1/702.1不等式性質與證實本節(jié)要點2.1.1不等式與實數大小不等式性質2.1.2不等式證實2.1.3不等式性質與證實習題課2.1.42/70依據我們之前學習數學經驗，研究多數是相等關系，不過在實際生活中，我們會發(fā)覺，相等關系是極少數，而不等關系則很普遍，能舉出生活中不等關系例子嗎？揭示新知識2.1.1不等式與實數大小

比如說“世界上沒有兩片相同樹葉”，“我們人臉、手、大腦、內臟等也是左右不完全對稱”．

這就是我們即將要學習2.1不等式．3/70觀察與思索1．提出問題2.1.1不等式與實數大小2．處理問題

嘗試回想怎樣比較以下各組數大小：（1）和；

（2）和

經過利用觀察兩個數差符號，來比較它們大小.因為

，

，所以得到結論：,.4/70新知識學習1．不等式概念2．比較實數大小數軸上任意兩點，右邊點對應實數比左邊點對應實數大．2.1.1不等式與實數大?。?）利用數軸5/70新知識學習圖2－12.1.1不等式與實數大小6/70新知識學習（2）比較法；（圖2－2（2））；（圖2－2（3））；（圖2－2（1））圖2－2對任意兩個實數和，它們含有以下基本性質：2.1.1不等式與實數大小7/70新知識應用解：（1）因為例題1

比較以下各組中兩個實數大?。海?）

（2）

所以（2）因為所以2.1.1不等式與實數大小8/70解：（1）因為

所以（2）因為

所以跟蹤練習1

比較以下各組中兩個實數大?。?/p>

（1）

（2）新知識應用2.1.1不等式與實數大小9/70新知識應用解：（1）因為例題2

比較以下各組中代數式大?。海?）（2）所以對任意實數，有2.1.1不等式與實數大小10/70新知識應用解：（2）因為所以對任意實數，有2.1.1不等式與實數大?。?）11/70新知識應用解：（1）因為所以對任意實數，有跟蹤練習2

比較以下各組中兩個代數式大?。海?）（2）2.1.1不等式與實數大小12/70新知識應用解：（2）因為所以對任意實數，有2.1.1不等式與實數大?。?）13/70課外作業(yè)（1）讀書部分：復習教材中§2.1.1內容；

（2）書面作業(yè)：修改課堂練習并完成學習手冊第21頁中強化練習1－3

.2.1.1不等式與實數大小14/70揭示新知識2.1.2不等式性質

上節(jié)課我們講了比較兩個不等式能夠用作差方法，那不等式含有什么性質呢？

這就是我們即將要研究2.1.2不等式性質．15/70觀察與思索假如甲學生年紀比乙學生年紀大，乙學生年紀比丙學生年紀大，那么甲學生與丙學生年紀誰大？我們很輕易就得知甲學生年紀比丙學生年紀．這個不等關系能夠傳遞，不等式還有其它性質嗎？1．提出問題2．處理問題2.1.2不等式性質3．歸納小結

這個不等關系能夠傳遞，不等式還有其它性質嗎？這就是我們即將研究不等式性質．16/70新知識學習1．不等式性質2.1.2不等式性質

性質1(傳遞性)假如

，那么

.證實：因為

,又，即,所以,

所以,

即.

17/70新知識學習

性質2(加法法則)假如，那么

.證實：因為

,又,即,所以.

說明：（1）

不等式兩邊同時加上(或減去)同一個實數，不等號方向不變．

（2）

性質1、性質2中大于號改為小于號，性質依舊成立．2.1.2不等式性質18/70新知識學習比如：（1）假如

，則.

（2）假如

，則.

性質3（乘法法則）假如

，那么

;

假如

，那么

.證實：因為

,又,即,所以當時，，即；當時，，即.

2.1.2不等式性質19/70新知識學習說明：假如不等式兩邊同乘以一個正數，那么不等號方向不變；假如同乘以一個負數，那么不等號方向改變．

比如：（1）假如

，則.

（2）假如

，則；假如

，則

.

2.1.2不等式性質20/70新知識學習2．不等式推論

推論1

假如，那么

.

比如：假如

，則.

比如：假如

，則

.

推論2

假如，且，那么

.

比如：假如

，則

.

推論3

假如

，且

，那么

.2.1.2不等式性質21/70新知識應用例題3判斷題（正確打“√”，錯誤打“×”）

（1）若

，則();

（2）若

，則();

（3）若

，則

();

●（4）若

，則(). 2.1.2不等式性質22/70新知識應用分析：（1）×；（依據不等式推論3）

●（4）√；由可得

（不等式性質

3），因為

，所以，即

（推論2）.（2）×；（依據不等式性質

3）

（3）×；（依據實數運算符號法則

）

2.1.2不等式性質23/70新知識應用跟蹤練習3判斷題（正確打“√”，錯誤打“×”）

（1）若

，則();

（2）若

，則();

（3）若

，則(). 分析：（1）×；（依據不等式性質

3）

（2）√；（依據不等式性質

3）

（3）×；（例題3（4））

2.1.2不等式性質24/70新知識應用例題4用不等號“<”、“>”填空：

（1）假如

，那么_______;

（2）假如

，則_______;

分析：填>，

依據不等式性質3，若

且

，則

；分析：

填>，依據不等式性質3，因為

，所以

，

又因為，所以；2.1.2不等式性質25/70新知識應用

●分析：填>，因為

，所以

．由性質3，得，即.

●（3）若

，那么_______. 2.1.2不等式性質26/70新知識應用跟蹤練習4用不等號“<”或“>”填空：

（1）設

，則_______;

（2）設

，那么_______

;

分析：<，依據不等式性質3，若

且

，則

；

分析：>，因為

，所以

，所以；2.1.2不等式性質27/70新知識應用

●分析：>，因為

，所以

，依據不等式性質3得

.●（3）設

，則

_______

. 2.1.2不等式性質28/70新知識應用例題5選擇題（1）已知

，那么（）;

A.

B.C.

D.

分析：選B

.

依據不等式性質1和性質2．

（2）若

，則必有（）;

A． B． C． D．

分析：選D

.

依據不等式推論1．

2.1.2不等式性質29/70新知識應用

●（3）假如

，那么（）.A.B.C.D. 2.1.2不等式性質

分析：選A

.因為，依據不等式性質3和可得．

30/70新知識應用跟蹤練習5選擇題（1）已知

，那么（）;

A.B.C.D.

2.1.2不等式性質（2）若

，則必有（）;

A.B.C.D.

分析：（1）選B

.

依據不等式性質3．

分析：（2）選C

.

依據不等式性質3和推論3．

31/70新知識應用2.1.2不等式性質●（3）假如

,那么（）.A.B.C.D.

分析：（3）選B

.

依據不等式性質1和性質3．

32/70課外作業(yè)（1）讀書部分：復習教材中§2.1.2內容；

（2）書面作業(yè)：修改課堂練習并完成學習手冊第22頁中強化練習1－3

.2.1.2不等式性質33/70揭示新知識2.1.3不等式證實

上節(jié)課我們講了不等式性質，請嘗試回想．

性質1(傳遞性)假如

，那么

.

性質2(加法法則)假如，那么

.

性質3（乘法法則）假如

，那么

;

假如

，那么

.34/70

推論1

假如，那么

.

推論2

假如，且，那么

.

推論3

假如

，且

，那么

.揭示新知識2.1.3不等式證實35/70觀察與思索

試比較以下各組數大?。海?）；（2）；（3）.

我們依據本章第一節(jié)知識點，知道比較兩個實數大小用作差法就能夠，2.1.3不等式證實1．提出問題2．處理問題36/70觀察與思索

經過觀察和計算，這三組比較大小數都是左邊要大于右邊，而且左邊是這兩個數平均數，右邊是這兩個數乘積算術平方根．2.1.3不等式證實3．歸納小結37/70新知識學習1．均值定理2.1.3不等式證實（1）算術平均數和幾何平均數38/70新知識學習（2）均值定理假如，那么.

當且僅當時，等號成立.●證實：因為

,且上式當且僅當，即時，等號成立.所以.

2.1.3不等式證實39/70新知識學習（3）均值定理其它形式

比如：觀察與思索（2）和（3）中

，

．

,當且僅當時取等號；

,當且僅當時取等號；2.1.3不等式證實40/70新知識學習2．不等式證實方法（1）性質應使用方法

應用不等式性質證實不等式方法．2.1.3不等式證實41/70新知識學習2.1.3不等式證實42/70新知識學習（3）綜正當

從已知條件和常見不等式出發(fā)，綜合利用不等式性質與定理，推導出待證不等式正確性證實不等式方法．2.1.3不等式證實43/70新知識應用例題6已知

，求最大值.解：因為

，由均值定理，得，即，兩邊平方得，

所以最大值為.2.1.3不等式證實44/70新知識應用跟蹤練習6已知

，求

最小值.解：因為

，由均值定理，得，即

，

所以最小值為.2.1.3不等式證實45/70新知識應用例題7

求證：（1）； ●（2）.

證實：（1）因為所以.2.1.3不等式證實46/70新知識應用●（2）因為所以.當且僅當,即

時，取等號.2.1.3不等式證實47/70新知識應用跟蹤練習7

求證：（1）；●（2）.

證實：（1）因為所以.2.1.3不等式證實48/70新知識應用因為

,

●（2）因為,所以．所以.當且僅當，即

時，取等號.2.1.3不等式證實49/70課外作業(yè)（1）讀書部分：復習教材中§2.1.3內容；

（2）書面作業(yè)：修改課堂練習并完成學習手冊第24頁中強化練習1?6

.2.1.3不等式證實50/70知識回顧2.1.4不等式性質與證實習題課1．不等式概念2．比較實數大?。?）利用數軸數軸上任意兩點，右邊點對應實數比左邊點對應實數大．51/70知識回顧2.1.4不等式性質與證實習題課（2）比較法對任意兩個實數和，它們含有以下基本性質：3．不等式性質

性質1(傳遞性)假如

，那么

.

性質2(加法法則)假如，那么

.52/70知識回顧4．不等式推論

推論1

假如，那么

.

推論2

假如，且，那么

.

推論3

假如

，且

,那么

.

性質3(乘法法則)假如

，那么

;

假如

，那么

.2.1.4不等式性質與證實習題課53/70知識回顧5．均值定理假如，那么.

當且僅當時，等號成立.6．不等式證實方法（1）性質應使用方法;（2）作差比較法；（3）綜正當．2.1.4不等式性質與證實習題課54/70知識鞏固例題1用不等號“<”或“>”填空：

（1）設

，則_______

;

（2）若

,則______. （2）>,依據移項法則及同號得正原理，若

，則

，若

，則

，所以

．

解：（1）<,依據不等式性質3和性質2，若

，則，即

；2.1.4不等式性質與證實習題課55/70知識鞏固解：因為例題2

比較與大小.所以2.1.4不等式性質與證實習題課56/70知識鞏固例題3

已知，證實不等式：

.所以

證實：因為，由均值定理，得以上三式當且僅當

時取等號,2.1.4不等式性質與證實習題課57/70知識強化1.用不等號“<”或“>”填空：

（1）若_______，則；

（2）若

,則_______

;

（3）若

,則_______

;

分析：（1）>,依據不等式性質3；（2）>,依據不等式性質3，因為

，即

，

所以；（3）>,依據不等式推論3；2.1.4不等式性質與證實習題課58/70知識強化●（4）假如

,那么

_______

．

分析：（4）<，因為

，且

，所以

，即

；2.1.4不等式性質與證實習題課59/70知識強化