北大版本固體物理8省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第八章能帶Ⅱ

§1.運(yùn)動(dòng)方程

1．準(zhǔn)經(jīng)典近似

點(diǎn)陣周期勢(shì)場(chǎng)是在點(diǎn)陣常數(shù)范圍內(nèi)改變，這么勢(shì)場(chǎng)只能用量子力學(xué)來(lái)處理，因?yàn)樗且粋€(gè)微觀場(chǎng)，但對(duì)于外加宏觀電磁場(chǎng)，在波包范圍內(nèi)基本是恒定，所以對(duì)于宏觀場(chǎng)而言，可把波包運(yùn)動(dòng)看作經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)，而采取經(jīng)典力學(xué)方法來(lái)處理。這就是準(zhǔn)經(jīng)典近似方法（或稱(chēng)半經(jīng)典極限，之所以稱(chēng)“半”是因?yàn)閷?duì)周期場(chǎng)處理仍按量子力學(xué)方法處理）。

第1頁(yè)2.運(yùn)動(dòng)方程

主要考慮Bloch電子在外加電磁場(chǎng)下運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

Bloch電子速度是Bloch波包群速度

三維時(shí)：

第2頁(yè)第3頁(yè)

若外加電場(chǎng)為，則外場(chǎng)對(duì)Bloch電子要作功，在t時(shí)間內(nèi)，電子能量增加為：

又∵

(即電子能量改變引發(fā)波矢改變?yōu)閗)又

比較

則

第4頁(yè)

若足夠小，則有：

三維時(shí)：

上式表明了電子在波矢空間運(yùn)動(dòng)規(guī)律。從式中可看到：電子晶體動(dòng)量改變率僅決定于外力，而與周期勢(shì)場(chǎng)無(wú)關(guān)。

第5頁(yè)

（真實(shí)空間中運(yùn)動(dòng)規(guī)律）

（波矢空間中運(yùn)動(dòng)規(guī)律）

第6頁(yè)考慮Bloch電子在外加磁場(chǎng)下運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

第7頁(yè)Bloch電子函數(shù)形式與自由電子不一樣（自由電子等能面是球面）。但在能帶極值附近，能夠近似展開(kāi)成球面。普通說(shuō)來(lái)決定于等能面形狀，而等能面梯度決定了電子在波矢空間速度：

第8頁(yè)

從上式可看出在外加磁場(chǎng)下，Bloch電子在波矢空間運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

垂直于電子等能面梯度。所以波矢在電子等能面上運(yùn)動(dòng)。即在外加磁場(chǎng)下電子能量是不變。同時(shí)，又垂直于，說(shuō)明在波矢空間

運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向是垂直。在與垂直平面上運(yùn)動(dòng)。電子既要在等能面上運(yùn)動(dòng)，又要在垂直于平面上運(yùn)動(dòng)，則只能沿這兩個(gè)面交線運(yùn)動(dòng)。第9頁(yè)第10頁(yè)§2.空穴

電子從一個(gè)能帶躍遷到上一個(gè)能帶中去，在原能帶中留下一個(gè)空軌道，這個(gè)空軌道稱(chēng)為空穴，空穴是一個(gè)幾乎充滿(mǎn)能帶中空軌道，它是在波矢空間能帶中概念，不是真實(shí)空間中失去電子后空位，也不是原子離開(kāi)原位置后留下空位缺點(diǎn)，在外加電磁場(chǎng)下，空穴行為如同一個(gè)帶電量為+e粒子。

第11頁(yè)1.空穴性質(zhì)

〈1〉空穴波矢是失去哪個(gè)電子波矢負(fù)值，既一個(gè)能帶若失去了一個(gè)空軌道，稱(chēng)為空穴，空穴波矢

第12頁(yè)第13頁(yè)

空穴是描述失去了電子能帶簡(jiǎn)捷方法，一個(gè)充滿(mǎn)能帶失去了電子就產(chǎn)生了空軌道，空軌道性質(zhì)是與失去電子能帶中集體行為聯(lián)絡(luò)在一起（即拿一個(gè)電子，剩下2N-1個(gè)電子），也就是說(shuō)失去了一個(gè)電子能帶既能夠用2N-1個(gè)電子集體行為來(lái)描寫(xiě)，也能夠用一個(gè)空穴來(lái)描寫(xiě)，空穴行為是與2N-1個(gè)電子集體行為聯(lián)絡(luò)在一起?？昭ㄊ羌傧罅Ｗ?，是準(zhǔn)離子，主要是為了處理問(wèn)題方便而引入，空穴性質(zhì)由幾乎充滿(mǎn)電子集體行為所決定。

第14頁(yè)〈2〉空穴能量

即空穴能量等于失去那個(gè)電子能量負(fù)值。

第15頁(yè)第16頁(yè)第17頁(yè)〈3〉空穴速度

即空穴速度與失去了那個(gè)電子速度相同。

第18頁(yè)〈4〉空穴有效質(zhì)量

即空穴有效質(zhì)量等于失去了那個(gè)電子有效質(zhì)量負(fù)值。

第19頁(yè)

電子有效質(zhì)量由電子能帶曲線曲率來(lái)定義：

有效質(zhì)量是波矢k函數(shù)，因?yàn)閇空穴和電子]能帶曲線有中心反演對(duì)稱(chēng)性，這兩條曲線曲率是大小相等符號(hào)相反，則可得到

第20頁(yè)〈5〉在外加電磁場(chǎng)中空穴運(yùn)動(dòng)方程如一個(gè)帶電荷為+e粒子運(yùn)動(dòng)方程：

第21頁(yè)2.電子和空穴在恒定電場(chǎng)下半經(jīng)典運(yùn)動(dòng)

在外加恒定電場(chǎng)下，電子波矢改變滿(mǎn)足方程式：

在恒定電場(chǎng)中，電子速度以均勻速度改變，若t=0時(shí)刻開(kāi)始加電場(chǎng)，則在時(shí)刻t電子波矢為

第22頁(yè)在外加電場(chǎng)下t時(shí)刻電子速度為:

第23頁(yè)

在BZ邊界上，電子因?yàn)槭蹷lagg反射形成駐波，駐波速度為零，∴在BZ邊界上電子速度在一維情況下電子速度是有界函數(shù)

不象自由電子是線性函數(shù)

第24頁(yè)

普通情況下，對(duì)電流有貢獻(xiàn)不是電子波矢改變，而是電子速度改變，若恒定，電子k是隨時(shí)間t線性增加，而電子速度是周期性改變。那么在恒定電場(chǎng)下Bloch電子對(duì)電場(chǎng)響應(yīng)應(yīng)該是交流，這個(gè)結(jié)果顯然是錯(cuò)誤。第25頁(yè)這主要是我們沒(méi)有考慮電子各種散射，電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中要與聲子、晶體中雜質(zhì)等發(fā)生碰撞，這種碰撞使得把從電場(chǎng)中得到定向運(yùn)動(dòng)能量耗散掉使得電子在波矢空間中并不是隨t改變而線性增大。而在波矢空間中只運(yùn)動(dòng)一個(gè)很小距離就停頓了。也就是說(shuō)電子從電場(chǎng)取得能量與碰撞耗散能量相等時(shí)就不動(dòng)了。第26頁(yè)

比如：

則

也就是說(shuō)電子在外場(chǎng)下取得波矢改變?yōu)?，而一個(gè)BZ尺寸，即電子波矢改變僅為BZ尺度。換句話說(shuō)，電子只能在波矢空間在原波矢附近運(yùn)動(dòng)一個(gè)極小距離。所以觀察不到周而復(fù)始改變，因而電子對(duì)外加恒定電場(chǎng)就不可能有周期性響應(yīng)。第27頁(yè)第28頁(yè)

在外場(chǎng)作用下，空穴由E到D運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，D位置是空軌道，在下一時(shí)刻，電子在電場(chǎng)力-e（在-k方向）作用下繼續(xù)向-k方向運(yùn)動(dòng)，空穴運(yùn)動(dòng)到了C點(diǎn)，空穴在波矢空間中與電子運(yùn)動(dòng)方向是相同，都向-k方向運(yùn)動(dòng)。不過(guò)空穴波矢都沿正k方向改變（∵在波矢空間）。這個(gè)結(jié)論與空穴所滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)方程是一致。

第29頁(yè)

半導(dǎo)體價(jià)帶是幾乎充滿(mǎn)，我們用空穴來(lái)處理較方便，而導(dǎo)帶中只有少數(shù)電子，通常直接用電子圖象。半導(dǎo)體總電流是指價(jià)帶中空穴電流加上導(dǎo)電子電流，但這是對(duì)兩個(gè)能帶來(lái)講。

第30頁(yè)§3.有效質(zhì)量

1.有效質(zhì)量定義

一維情況下，，電子在

外場(chǎng)作用下得到加速度為：

而由運(yùn)動(dòng)方程可知：

或第31頁(yè)代入上式可得：

或

第32頁(yè)我們定義:

叫作電子有效質(zhì)量,于是:

含有牛頓第二定律形式。第33頁(yè)

上式說(shuō)明，在外場(chǎng)作用下，Bloch電子要得到一個(gè)加速度，我們定義有效質(zhì)量后，電子質(zhì)量不再是它慣性質(zhì)量，此時(shí)力只包含外力而不包含周期勢(shì)場(chǎng)作用。（周期勢(shì)場(chǎng)作用已含在有效質(zhì)量m*中）這么我們就可用經(jīng)典牛頓定理來(lái)處理問(wèn)題。

第34頁(yè)

現(xiàn)在我們看一看對(duì)簡(jiǎn)單能帶在區(qū)邊界處電子有效質(zhì)量，在區(qū)邊界處電子能譜為：

為區(qū)邊界上自由電子動(dòng)能，U是周期勢(shì)場(chǎng)付里葉系數(shù)。第35頁(yè)據(jù)有效質(zhì)量定義，看看在價(jià)帶邊與導(dǎo)帶邊表示形式，對(duì)拋物線函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)后：

第36頁(yè)對(duì)于價(jià)帶：

對(duì)于導(dǎo)帶：

普通情況下

對(duì)于導(dǎo)帶邊電子有效質(zhì)量m*

0

對(duì)于價(jià)帶邊電子有效質(zhì)量m*

0

第37頁(yè)

依據(jù)

則|me|

||

U在禁帶寬度數(shù)量級(jí)

而

∴|me|/m～

第38頁(yè)對(duì)普通半導(dǎo)體Eg～0.2～2ev,而λ在20ev左右。

則|me|/m～～0.1～0.01

范圍。

∴電子有效質(zhì)量只是慣性質(zhì)量0.1～0.01。

第39頁(yè)引入m*后,函數(shù)在區(qū)邊界附近可寫(xiě)成:

對(duì)于導(dǎo)帶中電子:

(能量零點(diǎn)取在價(jià)帶邊上)

相當(dāng)于一個(gè)自由電子能譜。

對(duì)于價(jià)帶中空穴:

也相當(dāng)于一個(gè)自由粒子,不論是電子或空穴都可用自由粒子來(lái)處理,只不過(guò)用有效質(zhì)量來(lái)表示,只適合用于區(qū)邊界。

第40頁(yè)電子晶體動(dòng)量和電子速度之間有：

上式只在區(qū)邊界附近成立，因?yàn)殡Sk是逐點(diǎn)改變，只有在區(qū)邊界附近才近似線形關(guān)系。

第41頁(yè)

一樣空穴晶體動(dòng)量與空穴速度之間也有：

引入有效質(zhì)量后，與自由電子關(guān)系就相同了。第42頁(yè)運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成：

第43頁(yè)

引入電子或空穴馳豫時(shí)間，則電子或空穴在外場(chǎng)下平均漂移速度為：

第44頁(yè)電子或空穴在外電場(chǎng)下電流:

這兩部分電流加起來(lái)就是半導(dǎo)體總電流(即價(jià)帶中空穴電流和導(dǎo)帶中電子電流)。

第45頁(yè)

2.有效質(zhì)量張量

在晶體是各向異性情況下有效質(zhì)量m*將不再是標(biāo)量，而是一個(gè)張量。

電子或空穴速度：

電子或空穴加速度：

第46頁(yè)寫(xiě)成份量形式：

則

是一個(gè)張量。

第47頁(yè)

適當(dāng)選取坐標(biāo)系總可把張量對(duì)角化，這么坐標(biāo)系稱(chēng)為主軸坐標(biāo)系。

是三個(gè)主軸方向波矢分量，

是三個(gè)主軸方向有效質(zhì)量分量。

第48頁(yè)

若等能面有旋轉(zhuǎn)橢球形狀（如Ge.Si）在導(dǎo)帶底附近(能量極小值地方)：

第49頁(yè)若坐標(biāo)軸如圖所選,則沿、方向有效質(zhì)量為(短軸方向)稱(chēng)為橫向有效質(zhì)量,而沿長(zhǎng)軸方向(方向)為稱(chēng)為縱向有效質(zhì)量。

第50頁(yè)有效質(zhì)量與等能面形狀即函數(shù)相關(guān)，若從試驗(yàn)上測(cè)出了有效質(zhì)量就可分析等能面形狀以及函數(shù)性質(zhì)。

第51頁(yè)3．盤(pán)旋共振

在外加恒定磁場(chǎng)作用下，自由電子應(yīng)該在等能面上運(yùn)動(dòng)，它軌道應(yīng)該在垂直于磁場(chǎng)平面與等能面交線上（而在真實(shí)空間中自由電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)是螺旋線）盤(pán)旋頻率：

第52頁(yè)第53頁(yè)

而B(niǎo)looch電子就與自由電子有所不一樣，但若考慮能帶邊上電子（如半導(dǎo)體導(dǎo)帶邊上電子），在外加磁場(chǎng)作用下電子應(yīng)在等能面上盤(pán)旋，電子在波矢空間軌道仍是在垂直于磁場(chǎng)平面與等能面交線上，盤(pán)旋頻率為：

第54頁(yè)若函數(shù)為：

一樣磁場(chǎng)與有一夾角（如圖中紅線所表示），則能夠證實(shí)：

第55頁(yè)

m*中已含有和貢獻(xiàn)。

若

第56頁(yè)若外加一個(gè)與磁場(chǎng)方向垂直交變電場(chǎng)當(dāng)電場(chǎng)等于電子盤(pán)旋頻率c時(shí)，電子會(huì)從交變電場(chǎng)中大量吸收能量，發(fā)生能量共振吸收，稱(chēng)之為盤(pán)旋共振，若改變電場(chǎng)頻率，依據(jù)共振吸收峰位置，就能夠測(cè)出電子盤(pán)旋頻率c來(lái)。

第57頁(yè)

要用此方法測(cè)電子有效質(zhì)量，需電子在兩次碰撞之間時(shí)間中來(lái)得及在等能面上盤(pán)旋一周，即》1，此時(shí)吸收峰位置才能觀察到。

若》1不滿(mǎn)足，則電子有可能與聲子發(fā)生碰撞，要降低電子與聲子碰撞，詳細(xì)來(lái)說(shuō)要增大就要求低溫，（普通在液氦溫度）還要提升樣品純度（降低與雜質(zhì)碰撞），同時(shí)還要提升大則盤(pán)旋快，對(duì)應(yīng)需要

就可小些。

第58頁(yè)§4能帶理論限制（金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變）

以Na情況為例來(lái)說(shuō)明。我們知道Na是金屬，是一個(gè)導(dǎo)體，這主要是它3S能帶是半滿(mǎn)?，F(xiàn)在，我們考慮假如用某種方法使Na膨脹，以致于使它點(diǎn)陣常數(shù)a能任意增大，那么是否對(duì)于a取任何值時(shí)Na材料依然保持是一個(gè)導(dǎo)體呢？假如能帶模型是正確話，答案將是完全必定，因?yàn)椴徽揳值怎樣改變，3S能帶一直是半滿(mǎn)，它金屬性一直存在。第59頁(yè)第60頁(yè)然而實(shí)際上，上述結(jié)論是不完全正確，因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)陣常數(shù)a繼續(xù)增加到臨界值時(shí)，電導(dǎo)率σ突然下降為零，把導(dǎo)體變成了絕緣體，而且只要a>這個(gè)結(jié)論就一直保持不變，這么當(dāng)點(diǎn)陣常數(shù)足夠大時(shí)金屬就會(huì)變成絕緣體，這叫作金屬一絕緣體轉(zhuǎn)變，或稱(chēng)莫特（Mott）轉(zhuǎn)變。這個(gè)結(jié)論用能帶理論顯然無(wú)法解釋。

第61頁(yè)

在能帶理論中我們?cè)僭O(shè)布洛赫電子是非局域化，這就決定了金屬導(dǎo)電性質(zhì)。作為一個(gè)非局域化粒子，Bloch電子要在晶體每個(gè)它所碰到原子上花費(fèi)它一部分時(shí)間，而我們只是以平均方式計(jì)算了不一樣Bloch電子間相互作用。

第62頁(yè)我們知道，能帶寬度決定于交疊積分（以后會(huì)講到）大小。交疊積分取決于相鄰原子間距離即與a相關(guān)。當(dāng)a增大時(shí)能帶寬度減小，在a足夠大時(shí)，它就變得很窄，在這種情況下，能帶模型就被破壞了，因?yàn)樵谀軒Ш苷闆r下，它要允許在同一個(gè)點(diǎn)陣位置上存在兩三個(gè)電子，而因?yàn)殡娮娱g排斥，這種情況是不可能發(fā)生，而當(dāng)能帶較寬時(shí)，這種情況并不嚴(yán)重，因?yàn)楸M管電子能量都相同，但它們能夠用調(diào)整動(dòng)能來(lái)賠償其庫(kù)侖勢(shì)能增加，而對(duì)于窄能帶來(lái)說(shuō)，電子動(dòng)能已經(jīng)很小，這種重新調(diào)整幾乎是不可能。

第63頁(yè)

實(shí)際上，在a很大時(shí)，晶體中電子固有軌