平面向量高考試題(含詳細(xì)答案)

平面向量高考試題精選（一）

選擇題（共14小題）

1.（2015?河北）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD-則（）

A.AD=--1AB+-1ACB-AD^1AB--|AC

C-AD^|AB+|ACD-AD=^AB--^AC

2.（2015?福建）已知標(biāo)正，I疝I」，IAC|=f若P點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),

且江好駕，則而?正的最大值等于（）

|AB||AC|

A.13B.15C.19D.21

3.（2015?四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，I同=6,|標(biāo)i|=4,若點(diǎn)M、N滿足麗=3記,

DN=2NC>則標(biāo)-M=（）

A.20B.15C.9D.6

_—?—?*'■.—?—?

4.（2015?安徽）△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，K蕭足/2。AC=2寸b，

則下列結(jié)論正確的是（）

—?—?—?—?—?—?.

A.|b=lB.a±bC.a?MlD.（4講b）±BC

5.（2015?陜西）對(duì)任意向量W、b-下列關(guān)系式中不恒成立的是（）

A.|a-U<ldlHB.G-訃西-市1

C.D.(a+b)?(4-"p=-匕

6.（2015?重慶）若非零向量W，下茜足值=2乎g，且±（3「25），則W與4的

夾角為（）

A.—B.—C.衛(wèi)D.n

424

7.（2015?重慶）已知非零向量a，b滿足/XIab且a，（2a+b）則a與b的夾角

為（）

A.-B.-.C.空D.^―

3236

8.（2014?湖南）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（-1,0）,B（0,丁5），C（3,0）,

??，，??

動(dòng)點(diǎn)D滿足|CD=1，則I0A+0B+0口的取值范圍是（）

A.[4,6]B.1719-1-V1^1]C.[273,2訴D.[b-1,b+1]

9.（2014?桃城區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)向量百谷曲足仁|=|山=1，a，b=-^<

a-c,b-c>=60%則啟的最大值等于（）

A.2B.5/3C.72D.1

10.（2014?天津）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,/BAD=120。，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC

上，BE=ABC.DF=kDC>若標(biāo)?屈1='CE?CF=-則入+尸（）

3

A.1B.2C.至D.二

23612

11.（2014?安徽）設(shè)』，己為非零向量，市=2百，兩組向量五，三，E，三■和元，

可，口均由2個(gè)嬴2個(gè)例列而就若京?元+石?豆+耳?可+京?城所有可能取值

中的最小值為4|32,則￡與E的夾角為（）

A.空B.—C.-D.0

336

12.(2014?四川)平面向量^=(1,2),fc=(4,2),(m€R),且3與W的夾角等

于c與b的夾角，則m=()

A.-2B.-1C.1D.2

13.(2014?新課標(biāo)I)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，則函啟

A.ADB.IADC.BCD.1BC

14.（2014?福建）設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平

面內(nèi)任意一點(diǎn)，則贏+而+優(yōu)+'55等于（）

A.0MB.2QMC.3QMD.4QM

二.選擇題（共8小題）

15.（2013?浙江）設(shè)不、=*為單位向量，非零向量5*￡*+丫不，x、y€R.若不、「*的

夾角為30。，則單的最大值等于

Ib|

16.（2013?北京）已知點(diǎn)A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面區(qū)域D由所有滿足

AP=XAB+klAC（1^2,0<n<D的點(diǎn)P組成，則D的面積為.

17.（2012?湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP1BD,垂足為P,且AP=3,則

AP-AC=.

18.（2012?北京）己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn).則正?瓦的值

為.

19.（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰

DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|血+3麗|的最小值為.

20.（2010?浙江）已知平面向量五，-p五#E）滿足I/1=1，且五與

E-五的夾角為120。，則|五|的取值范圍是.

21.（2010?天津）如圖，在△ABC中，AD1AB,前而，IAD|=1.則

AC'AD=

C

RD

22.(2009?天津)若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2?,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足加=」而+2以，則

63

MA-MB=.

三.選擇題(共2小題)

23.(2012?上海)定義向量而=(a,b)的"相伴函數(shù)"為f(x)=asinx+bcosx,函數(shù)f(x)

=asinx+bcosx的"相伴向量"為而=(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相

伴函數(shù)"構(gòu)成的集合為S.

(1)設(shè)g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求證：g(x)GS；

2

(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)6S,求其“相伴向量”的模;

(3)已知M(a,b)(bxO)為圓C：(x-2)2+y2=i上一點(diǎn)，向量祈的"相伴函數(shù)"f(x)

在x=x()處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x0的取值范圍.

2C

24.(2007?四川)設(shè)Fi、F2分別是橢圓工+丫區(qū)1的左、右焦點(diǎn).

4丫

(I)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且呵?呵=-弓，求點(diǎn)P的作標(biāo)；

(II)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且/AOB為銳角(其中

O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線1的斜率k的取值范圍.

平面向量高考試題精選（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共14小題）

1.（2015?河北）設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD.貝！I（）

A.AD=-^AB+^ACB-AD=^AB--1AC

C-AD^AB+|ACD-AD=^AB--1AC

解：由已知得到如圖

SiAD=AB+BD=AB+^BC=^(AC-AB)=-《標(biāo)+1記

JJJJ

故選：A.

2.（2015?福建）已知屈J_正，|屈|二，|AC|=t＞若P點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),

國(guó)尚崎,則麗?玩的最大值等于（

)

A.13B.15C.19D.21

解：由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系,

可得A(0,0),B(10),C(0,t),

,?A：AB4AC■p(i4)

?AP—八三+-=；，??尸(1，43

IAB||AC|

?1——*

APB=(±-1,-4),PC=(-1,t-4),

t

PB*PC=-(--1)-4(t-4)=17-(l+4t),

tt

由基本不等式可得<+4t22A.4t=4,

A17-(l+4t)<17-4=13,

t

當(dāng)且僅當(dāng)工4t即t=1時(shí)取等號(hào),

t2

???麗?云的最大值為13,

3.（2015?四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|AB=6,IADI=4,若點(diǎn)M、N滿足而=3元,

DN=2NC，則（）

A.20B.15C.9D.6

解：：四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M、N滿足麗=3元，DN=2NC.

.,.根據(jù)圖形可得：AM=AB+.1BC=AE4-|AD-

AN=AE+^DC=AE+1AB-

??NM=AN-州，

VAM<AN-訕)=AJT-AN-AH

A)?，)?---?Q?)

前=短弓品?4響了，

氤-Ahk^AB2'布棗?AD)

IABI=6,而=4,

???AM--^AET=12-3=9

故選：C

-?*.?.—?—?

4.（2015?安徽）△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b?商足汾2。AC=2寸b，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.|bl=lB.a±bC.a-b=lD.（4^b）±BC

解：因?yàn)橐阎切蜛BC的等邊三角形，a，甘蔭足屈=2&AC=2^-b,又菽=■正+前，

所以a《AB，b=BC>

所以|b|=2,a*bplx2xcosl200=-1,

4a*b=4xlx2xcosl20°=-4,鏟=4,所以—兀+鏟=。,即（4a+b）?b=0,即

（4a+b）-B^0'所以（4a+b）1BC;

故選D.

5.（2015?陜西）對(duì)任意向量』、b-下列關(guān)系式中不恒成立的是（）

A.Ia-W<ldiuB.'-亦|誦-湎

C.（a+b）2=la+bi2D.（a+b）?=~a-V2

解：選項(xiàng)A正確，；|一?芯=百|(zhì)芯|cos<W，b>|,

X|cos<a，良>曰，???口?正方西恒成立；

選項(xiàng)B錯(cuò)誤，由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義可得I；-司洲力-IUI：

選項(xiàng)C正確，由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得（Z+E）2=|a+H2；

選項(xiàng)D正確，由向量數(shù)量積的運(yùn)算可得G+E）?（Q-P=?-b2-

故選：B

6.（2015?重慶）若非零向量之，5滿足|1警H，且（a-b）-L（33（4-2b）>則a與b的

夾角為（）

A.—B.-C.空D.n

424

解：V(a-b)-L(3R-2b),

工(a-b)?(3春2己)=0,

即3二-2胃-a*tr=0,

即a*b=3募

2針

r>_a-b一上

??COS3,

3

即<a，b>=->

4

故選：A

7.（2015?重慶）已知非零向量@,b滿足1小=41J，且a，（2a+b）則a與b的夾角

為（）

A.—B.—c..22LD.12L

3236

解：由已知非零向量a，b滿足IblEla1且a，（2a+b"設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的

夾角為0.

所以a“2a+b）=°,即2r+|；||b|cos0=。，所以cos6=-J，峭0,可,所以0=2；；

故選C.

8.(2014?湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，A(-1,0),B(0,V3)>C(3,0),

動(dòng)點(diǎn)D滿足|而=1,則|贏+無(wú)+而的取值范圍是()

A.[4,6]B.[V19-l>A/1^1]C.[273,277]D.[仟1,77+1]

]解：?動(dòng)點(diǎn)D滿足|而=1,C(3,0),

；?可設(shè)D(3+cos0,sin0)(0G[O,2n)).

又A(-1,0),B(0,y/3),

-0A+0B+0D=(2+cos6,遙+sin8).

l0A+0B+0n=^(2+COSQ)2+(V3+sin0)M^cos6+2V3sin6-

V8+2V7sin(0+4))'(其中sin巾嗡巾嚼

-l<sin(e+4>)<1,

(7y-l)2=8-277<8+2V7sin(0+<|))<8+277=(陰+l)2,

?,?i贏+黃麗的取值范圍是W7-1，VT+11.

故選：D.

9.（2014?桃城區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)向量之，百,足|二|二后|=1，a，b=-^<

c,b-c>：=60O）則前的最大值等于（）

A.2B.盯C.&D.1

解：:信|=|b|=1-

???Z,1的夾角為120°,

設(shè)0A=a,0B=b,0C=c?lJcA=a-c;CB=b-c

如圖所示

則/AOB=120°；ZACB=60°

.,.ZAOB+ZACB=180°

AA,O,B,C四點(diǎn)共圓

???―??

?AB=b.a

*—?2-?2—?—?—?2

AB=b-2a?b+a=3

AB=V3

由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=一絲—=2

sinZACB

當(dāng)OC為直徑時(shí)，模最大，最大為2

故選A

10.（2014?天津）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,/BAD=120。，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC

上，BE=ABC-DF=kDC-若標(biāo)?屈=1，CE?CF=---則入+尸（）

3

A.1B.c.也D.J-

23612

解：由題意可得若標(biāo)?正=（AB+BE）?（AD+DF）=AB-AB-DF+BE-AD+BE-DF

HABF-2+4口+4入+入p<2x2xcosl20°

=4入+4口-2入口-2=1,

二4入+4日-2人“=3①.

CE?CF=-EC*(-FC)=EC-FC=(1-X)BC?(1-n)DC=(1-A)AD*(1-k)AB

=(1-A)(1-(i)x2x2xcos120°=(1-X-u+人口)(-2)=--.

3

即-入-n+Xn=-2②.

3

由①②求得入+尸2

故答案為:互

11.(2014?安徽)設(shè)之，己為非零向量，市=2;，兩組向量三，石，京和元，,，

W，刁均由2個(gè)獲2個(gè)百非列而成，若京?亍/可可+可可+總?重所有可能取值

中的最小值為4|牙，則W與E的夾角為()

A.22LB.--C.—D.0

336

解：由題意，設(shè)￡與芯的夾角為a,

分類討論可得

①京?元+三?五+石?號(hào)V方寸京a*a^b?b+b?510|『，不滿足

②式?斤三?豆+號(hào)號(hào)K?斤2京2曰5?京5?認(rèn)5m+4守cosa,不滿足；

③虧斤虧年+二后虧K=4a*b=8|『cosa=4|『，滿足題意，此時(shí)cosa=-1

與E的夾角為二.

3

故選：B.

12.(2014?四川)平面向量U(1,2),b=(4,2),c=m^+-b(mGR),且M與W的夾角等

于占b的夾角,則m=()

A.-2B.-1C.1D.2

解：???向量ar(1,2),b=(4,2),

/.crrnar^b^(m+4,2m+2),

又???3與w的夾角等于3與己的夾角，

c.a=c-b

IcHIaIIcHIb|

?c?ac*b

.?市面

.irri~4+2(2nri2)=4(m+4)+2(2/2)

VB2V5

解得m=2,

故選：D

13.（2014?新課標(biāo)I）設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，則函?同=

()

A.ADB.JADC.BCD.F

【解答】解：；D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),

EB+FO(EF+FB)+(FE+EC)=FB+EC=上(AB+AO=AD，

故選：A

14.（2014?福建）設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，0為平行四邊形ABCD所在平

面內(nèi)任意一點(diǎn)，則贏+通+江+而等于（）

A.0MB.20MC.30MD.40M

解：為任意一點(diǎn)，不妨把A點(diǎn)看成0點(diǎn)，則水+而+無(wú)+而=1+旋+菽+蒜,

VM是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，???1+標(biāo)+正+疝=2正=45

故選：D.

A（O）

BC

選擇題（共8小題）

15.（2013?浙江）設(shè)%；、￡為單位向量，非零向量E=xg；+yZ；,x、yeR.若看；、言的

夾角為30。，則」式的最大值等于2.

Ib|一

解：...T、『為單位向量，T和T的夾角等于30。，.?.？?F=lxlxcos3（r=返.

c]c2仁[c2c?c2g

:非零向量良G+y可茁導(dǎo)向不不育二V7西鏟

2

?xlIxl_=IX=I12=I12,

b2222

'Vx+V3xy+yVx+V3xy+yyi+73--+（-）（0垮）+1

故當(dāng)星，斗取得最大值為2,

X2|b|

故答案為2.

16.（2013?北京）已知點(diǎn)A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面區(qū)域D由所有滿足

AP=XAB+HAC（1<A<2,0<n<l）的點(diǎn)P組成，則D的面積為3.

解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y）,則

AB=（2,1）,A5=（1，2）,AP=（X-1,y+1）,VAP=XAB+|IAC，

y+l=X+2lJ-11=--

l<|x-^y~l<2

oJ

V1<A<2,0印41,.?.點(diǎn)P坐標(biāo)滿足不等式組，

o<-

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖的平行四邊形CDEF及其內(nèi)部

其中C（4,2）,D（6,3）,E（5,1）,F（3,0）

7lCFl=V（4-3）2+（2-0）

點(diǎn)E（5,1）到直線CF：2x-y-6=0的距離為d[2*5父二6I二之^

，平行四邊形CDEF的面積為S=|CF|xd=V5x2&3,即動(dòng)點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域D的面積為

5

3

17.（2012?湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP1BD,垂足為P,且AP=3,則AP?AC=

【解答】解：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,則AC=2AO

VAP±BD,AP=3,

在RtAAPO中，AOcosZOAP=AP=3

**?IAQCOSZOAP=2|A0IXCOSZOAP=2|API=6，

由向量的數(shù)量積的定義可知，AP?AC=IAPIAQcosZPAO=3x6=18

18.（2012?北京）己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn).則正?連的值

為1.

【解答】解：因?yàn)榭诤?。為口￡加=|而|?|DA|cos<DE-DA^DA2"1-

故答案為：1

D

19.(2011?天津)己知直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰

DC上的動(dòng)點(diǎn)，則I市+3痛I的最小值為5.

解：如圖，以直線DA,DC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)

設(shè)P(0,b)(0<b<a)

則五=(2，-b),PBF(1,a-b),

PA+3PB=⑸3a-4b)

IPA+3PB1=^25+(3a-4b)2-5-

故答案為5.

20.（2010?浙江）已知平面向量五，百（五井五，五戶百）滿足IE1=1，且五與

E-五的夾角為120%則「值的取值范圍是（0,空與.

3

解：令用ABFCI、AO6，如下圖所示：

則由BC=E-五，

又：五與E-W的夾角為120°,

，ZABC=60°

又由AC=|T|=1

由正弦定理??B!得:

sinCsin60

庫(kù)季田竽

21.（2010?天津）如圖，在^ABC中，AD±AB,前力^而，I訕1=1，則正'AD=_V3_.

【解答】解：AC-AD=|AC|?IADIcosZDAC.

V|AD|=1，

AAC'AD=|AC|,|標(biāo)Icos/DAC二|ACl-cosZDAC.

vZBAC=y+ZDAC-

cosZDAC=sinNBAC,

AC-AD=|AC1-lADlcosZDAC=|AC|?cos/DAC=|ACIsinZBAC.

在^ABC中，由正弦定理得1^1：=_①J_變形得|AC|sinNBAC=|BC|sinB,

sinBsinZBAC

正?標(biāo)=I菽I?I麗|cos/DAC=IAC|,cos/DAC:|ACIsinZBAC.

=|BC|sinB=|BC|.MLV3，

故答案為遮.

22.（2009?天津）若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2?,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足而=工而+2日，則

63

忌語(yǔ)-2.

解：以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，可得

C（0,0）,A（2V3.0），B（V3.3）,

CB=（V3-3）1CA=（姐，0）1

；而=紙圖=（挈》

,M（挈1），

,,MA=（哼，-之）'MB=（一坐‘微）’

MA'MBF（立，-1）?（-近,至）=-2.

2222

故答案為：-2.

三.選擇題（共2小題）

23.（2012?上海）定義向量旅（a,b）的"相伴函數(shù)"為f（x）=asinx+bcosx,函數(shù)f（x）

=asinx+bcosx的"相伴向量"為而=(a,b)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).記平面內(nèi)所有向量的“相

伴函數(shù)"構(gòu)成的集合為S.

(1)設(shè)g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求證：g(x)GS；

2

(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)GS,求其"相伴向量”的模;

(3)已知M(a,b)(bM)為圓C：(x-2)?+y2=i上一點(diǎn)，向量贏的〃相伴函數(shù)〃f(x)

在x=x()處取得最大值.當(dāng)點(diǎn)M在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x()的取值范圍.

【解答】解：(1)g(x)=3sin(x+—)+4sinx=4sinx+3cosx,

2

其‘相伴向量'5=(4,3),g(x)GS.

(2)h(x)=cos(x+a)+2cosx

=(cosxcosa-sinxsina)+2cosx

=-sinasinx+(cosa+2)cosx

，函數(shù)h(x)的'相伴向量'0M=(~sina,cosa+2).

則(一sina)2+(cosCL+2)*.5+4cosa.

(3)成的‘相伴函數(shù)'f(x)=asinx+bcosx=^a2+2sin(x+巾),

其中cos4>=—==2=,sin<|>=—==^=.

當(dāng)x+巾=2kn+?L,k€Z時(shí)，f(x)取到最大值，x0=2kn+2￡-4),kGZ.

22

TT"

tanx()=tan(2kn+——-<j>)=cot<b=—,

2b

2tanXQ242

tan2xo=-----------------=

Z2_b__a

1-tanxQ1-(中

bab

也為直線OM的斜率,由幾何意義知:為一無(wú),0)u(0,

a3

—,me[-近，0)U(0,

令m=—,則tan2x()=

m二3

IT

當(dāng)-<0時(shí)，函數(shù)tan2xo=—J"單調(diào)遞減，.?.OVtan2xowJ^；

32

IT

當(dāng)時(shí)，函數(shù)tan2x0=—單調(diào)遞減，，-/§Stan2x()V0.

3in--

IT

綜上所述，tan2xoW[-、石，0)U(0,

2°

24.(2007?四川)設(shè)Fi、F2分別是橢圓工+丫之1的左、右焦點(diǎn).

4丫

(I)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且呵?呵=-.，求點(diǎn)P的作標(biāo)；

(II)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線1與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且NAOB為銳角(其中

O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線1的斜率k的取值范圍.

[解：(I)易知a=2,b=l,c=V3.

(-仃，(我，設(shè)

???Fl0)-F20)?P(x，y)<X>O,y>0).

2

則?(_y_x,~y)(?-x,_y)=*2+y2_3=_又號(hào)+y2=「

f227

xX+y=7x2=l

聯(lián)立《2，解得?23Ay/3,P(11-