人教A版選擇性必修第二冊(cè)第5章51512導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義學(xué)案

.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)

1.經(jīng)受由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，體1.通過導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)

會(huì)導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.數(shù)幾何意義的學(xué)習(xí)，培

2.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.育數(shù)學(xué)抽象及直觀想

3.依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的象的核心素養(yǎng).

切線方程.(重點(diǎn))2.借助切線方程的求

4.正確理解曲線“過某點(diǎn)”和“在某點(diǎn)”處的解，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心

切線，并會(huì)求其方程.(易混點(diǎn))素養(yǎng).

［情境導(dǎo)學(xué)?探新知］情境趣味導(dǎo)學(xué)?預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境與問題

跳水運(yùn)發(fā)動(dòng)的跳臺(tái)距水面高度分為5米、7.5米和10米3種，奧運(yùn)會(huì)、世界

錦標(biāo)賽等限用10米跳臺(tái).跳臺(tái)跳水依據(jù)起跳方向和動(dòng)作結(jié)構(gòu)分向前、向后、向

內(nèi)、反身、轉(zhuǎn)體和臂立6組.競(jìng)賽時(shí)，男子要完成4個(gè)有難度系數(shù)限制的自選動(dòng)

作和6個(gè)無難度系數(shù)限制的自選動(dòng)作，女子要完成4個(gè)有難度系數(shù)限制的自選動(dòng)

作和4個(gè)無難度系數(shù)限制的自選動(dòng)作.每個(gè)動(dòng)作的最高得分為10分，以全部動(dòng)

作完成后的得分總和評(píng)定成果.

如以下圖，表示跳水運(yùn)動(dòng)中運(yùn)發(fā)動(dòng)的重心相對(duì)于水面的高度隨時(shí)間變化的函

數(shù)/★生+11的圖象，依據(jù)圖象，請(qǐng)描述比擬曲線力⑺在，=如力，我四周的變化

狀況.

■Ik

學(xué)問點(diǎn)1函數(shù)y=/(x)在x=x()處的導(dǎo)數(shù)

假如當(dāng)Ar-O時(shí)，平均變化率需無限趨近于一個(gè)確定的值，即圖有極限，

那么稱y=/(x)在x=xo處可導(dǎo),并把這個(gè)確定的值叫做y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)

(也稱為瞬時(shí)變化率),記作廣(X0)或/L,即fXxo)=lim_==lim

iZZAQAx-o空Ax-0

屆+Ax)一屆)

魚,

簡(jiǎn)記：函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y=/(x)在(xo,/(xo))處的瞬時(shí)

變化率.

gl尸(沏)>0和/(xo)VO反映了怎樣的意義？

[提示]/'(xo)>O反映了瞬時(shí)變化率呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，/'(xo)VO反映了瞬時(shí)變化

率呈下降趨勢(shì).

體驗(yàn)」./⑴=%2在X=1處的導(dǎo)數(shù)為()

A.2xB.2C.2+AxD.1

2

(1+AX)2—I、

B[f(l)=lim-----'----=lim(2+Ax)=2.應(yīng)選B.]

學(xué)問點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

如圖，割線PoP的斜率)1=L.記、=X—XO,當(dāng)點(diǎn)尸沿著曲線y=/(x)

無限趨近于點(diǎn)Po時(shí)，即當(dāng)加一0時(shí)，左無限趨近于函數(shù)y=/a)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)，

因此，函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)fTxo)就是切線PoT的斜率ko,即ko=lim

Ax-0

A-Vo+Ax)-/(xo)

XT=f(x0).

(2)切線方程

曲線y=/(x)在點(diǎn)(xo,/(xo))處的切線方程為丫一〃九0)='(期)(無一左。).

?12.函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)/(xo)的幾何意義是()

A.在點(diǎn)(xo,/(xo))處與y=/(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率

B.過點(diǎn)(xo,/(祀))的切線的斜率

C.點(diǎn)(沏，/(沏))與點(diǎn)(0,0)的連線的斜率

D.函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)(xo,/(xo))處的切線的斜率

D［依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義的規(guī)定知，只有D正確.在(xo,/(加))處的切線可能

與函數(shù)有多個(gè)交點(diǎn).］

學(xué)問點(diǎn)3導(dǎo)函數(shù)

對(duì)于函數(shù)y=/(x),當(dāng)x=xo時(shí),廣(xo)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)光變化時(shí),f'(x)

就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))，即/，(x)=y=lim

/(x)

Ax,

住驗(yàn)設(shè)3.求函數(shù)/(尢)=-f+3尤的導(dǎo)數(shù).

［解］由于\y=f(x+Ar)—/(X)=［—(X+AX)2+3(X+AX)］—(—X2+3X)=—

(Ax)2—2x-Zkx+3,ZLr,

所以會(huì)=一心一級(jí)+3?

故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/(x)=lim竽=lim(―Ax—2x+3)=—2x+3.

Ax-0AA—>0

［合作探究?祥疑難］疑難問題解惑?學(xué)科素養(yǎng)形成

□類型1利用定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

【例1】(1)函數(shù)/(X)在x=xo處可導(dǎo)，假設(shè)

./(xo+2Ax)一△■￥()).,

hm—1，那么/(xo)—()

Ax-*0XA

A.2B.1C.1D.0

(2)求函數(shù)y=/(x)=x—：在x=—1處的導(dǎo)數(shù).

?xo+2Ax)—/(尤o)Axo+2Ax)-y(xo)1

(1)C[VlimT，??燈2Ax.2,即/Qo)一

Ar-oAx

於°+2Af°)《應(yīng)選c.]

lim

A.r-*o2At

(2)［解］由于Ay=/(—1+-)—/(-1)=一1+Ax0=

—1+Ax

—2AX+(AX)2

—1+Ax

、Ay-2AX+(AX)2—2+AX

以Ax(—l+Ax)Ax—1+Ax'故函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)y|x=-i=lim

△x-o

△y-2+Ax

=lim—1+AX=2

AxAx-o

r......??成思領(lǐng)悟.....

i.利用定義求函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)的步驟

(1)求函數(shù)值的轉(zhuǎn)變量△y=/(x+Ax)—/(x)；

△y/(x+Ax)-/(x)

求函數(shù)的平均變化率

(2)AxAx

(3)取極限,得—(x)=lim笑.

Ar-oa

其中，在其次步求平均變化率時(shí)，要留意對(duì)黨的變形與約分，假如變形或約

分不徹底，可能導(dǎo)致極限把若不存在；在對(duì)圖取極限時(shí)，必需將多變形到當(dāng)

Ax-O時(shí)，分母是一個(gè)非零常數(shù)的形式.

2.求函數(shù)/(X)在某一點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)，通?？梢杂袃煞N方法：一是直接利用

函數(shù)在某一點(diǎn)次處的導(dǎo)數(shù)的定義求解；二是先利用導(dǎo)數(shù)的定義求出函數(shù)的導(dǎo)函

數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在祀處的函數(shù)值.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

X

1.建筑一棟面積為xn?的房屋需要本錢y萬元，y是龍的函數(shù)，y=/(九)=行

+殺，求尸(10°)，并解釋它的實(shí)際意義.

［解］依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得

/,(100)=lim%

Ar-o4

Xioo+Ax)-Xioo)

=lim----------7-------------

1OO+AX++1OO+AX+3-(1OO+^/T55+3)

=lim1AA

Ar-。10AX

(1,^100+Ax-10^

一出lw+lOAx)

=?11+廣］—

=燈L1010X(-7100+Ax+10).

」+—1—

10^10X(10+10)

=0.105.

一(100)=0.105表示當(dāng)建筑面積為100IT?時(shí)，本錢增加的速度為1050元/n?.

類型2導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解與應(yīng)用

【例2】函數(shù)/(x)在R上有導(dǎo)函數(shù)，且/(*)的圖象如下圖，那么以下不等

式正確的選項(xiàng)是()

A.f'(a)<f\b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)

C./'(a)V/'(c)V/@D.f'(c)<f'(a)<f\b)

(2)如下圖，點(diǎn)A(2,1),8(3,0),E(x,0)(x20),過點(diǎn)E作。8的垂線/.記

AAOB在直線l左側(cè)局部的面積為S,那么函數(shù)S=/(x)的圖象為以下選項(xiàng)中的

()

嘗試與發(fā)現(xiàn)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去理解，導(dǎo)數(shù)值越大，變化率越大.

(1)A(2)D[⑴由題意可知，/⑷，尸(與，/'(c)分別是函數(shù)/(x)在x=a、x

=分和》=,處切線的斜率，那么有廣(。)<0勺?，3KT(C),應(yīng)選A.

(2)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+°°).

當(dāng)xW［0,2］時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Ar內(nèi)面積變化量AS越來越大，即圖象

切線的斜率/<x)在［0,2］內(nèi)越來越大，因此，函數(shù)S=/(x)的圖象是上升的，且

圖象是下凸的；

當(dāng)xd(2,3)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Ar內(nèi)面積變化量AS越來越小，即圖象

切線的斜率/<x)在(2,3)內(nèi)越來越小，因此，函數(shù)S=/(x)的圖象是上升的，且

圖象是上凸的；

當(dāng)xS［3,+8)時(shí)，在單位長(zhǎng)度變化量Ax內(nèi)面積變化量AS為0,即圖象切

線的斜率尸(x)在［3,+8)內(nèi)為常數(shù)0,此時(shí)，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線.應(yīng)

選D.］

廠.....??成思領(lǐng)悟??....................

導(dǎo)數(shù)幾何意義理解中的兩個(gè)關(guān)鍵

關(guān)鍵點(diǎn)一：y=/(x)在點(diǎn)x=xo處的切線斜率為那么%>O%Xro)>O；k<

0^f'(x0)<0；k=O^f'(xo)=O.

關(guān)鍵點(diǎn)二：/(祝)|越大臺(tái)在即處瞬時(shí)變化越快；r'(xo)i越小臺(tái)在必處瞬時(shí)變

化越慢.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.(1)函數(shù)/(X)的圖象如圖，設(shè)/(X)是/(X)的導(dǎo)函數(shù)，那么尸(心)與尸(XB)的

大小關(guān)系正確的選項(xiàng)是()

A.f'(XA)>f'(XB)

B.f'(XA)<f'(xB)

C.C(XA)=/'(XB)

D./(心)與尸(XB)的大小關(guān)系不確定

⑵某家電制造集團(tuán)為盡快實(shí)現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出四種運(yùn)輸方案，據(jù)猜測(cè)，這四

種方案均能在規(guī)定時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸任務(wù)。0,各種方案的運(yùn)輸總量。與

時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系如下所示.在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)

逐步提高的是()

ABCD

(1)A(2)B[(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，那么廣(右)與/'(XB)分別為A,B

處的切線斜率，結(jié)合圖象可知，/(X4)#(XB).

(2)從函數(shù)圖象上看，要求圖象在[0,刃上越來越陡峭，在各選項(xiàng)中，只有B

項(xiàng)中圖象的切線斜率在不斷增大，即運(yùn)輸效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)逐步提

高.應(yīng)選B.]

□類型3求切線方程

【例3】曲線C：y=_A

(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x=l的點(diǎn)處的切線方程；

(2)求曲線。過點(diǎn)(1,1)的切線方程.

[解](1)將x=l代入曲線。的方程得y=l,二切點(diǎn)P(l,1).

..堡..(1+Ax)3—1

=

yv=iliniA=lim----;-----

71Al戰(zhàn)…―

=lim[3+3Ar+(Ar)2]=3.

二仁外=i=3.

曲線在點(diǎn)尸(1,1)處的切線方程為y—l=3(x—l),

即3x—y—2=0.

(2)設(shè)切點(diǎn)為Q(xo,加)，由⑴可知y'|_=3品由題意可知ZPQ=)，|_,

X-xoX-X0

Vf)—[]

即1r=3xo,又如=焉，所以7=3看，即2x8—3高+1=0,解得枇=1

xo~1xo~1

*1

或xo=-2'

①當(dāng)x()=l時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),相應(yīng)的切線方程為3x—y—2=0.

②當(dāng)M)=-g時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(一g,—相應(yīng)的切線方程為y+"=3x+；),

即3x-4y+l=0.

［母題探究］

1.(變條件)把題中條件"y=爐"改成,求曲線在尤=1點(diǎn)處的切線

方程.

［解］把x=l代入y=e得y=F=i.

即切點(diǎn)P(l,1),

2

,,..竺r(1+Ar)-!

外=i=hmA=hm瓦

加-0aAx-0a

=lim(Ar+2)=2,

zkr-o

：.k=y'l^［=2.

...曲線丁=/在P(l,1)處的切線方程為

y—1=2(x—1),即2x~y—1=0.

2.(變條件)把題中條件"y=V"改成,求曲線過點(diǎn)(1,1)的切

線方程.

「砌Ay_(x+Ai，)3+1T—1

闞AA-

—一Ax

=3xAx+3f+(Ax)2,

Ay

那么lim~7~=3X2,因此y』？％2.

△x-o"

設(shè)過點(diǎn)M(l,1)的直線與曲線yuR+l相切于點(diǎn)p(xo,%8+1),依據(jù)導(dǎo)數(shù)的

幾何意義知曲線在點(diǎn)尸處的切線的斜率為攵=3焉①，過點(diǎn)M和點(diǎn)尸的切線的斜

率攵=君+111②,由①一②得3了=")1,解得項(xiàng)=0或刈=之所以攵=0或Z

xo—1X0—1L

27

=彳，因此過點(diǎn)M(l,1)且與曲線y=V+l相切的直線有兩條，方程分別為V一

27

l=W(x—1)和y=l,即27x—4y—23=0和y=l.

廠.....?成思領(lǐng)悟.........................

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法

(1)假設(shè)點(diǎn)(M),泗)在曲線上，求在點(diǎn)(孫，泗)處的切線方程，先求出函數(shù)y=/(x)

在點(diǎn)M）處的導(dǎo)數(shù)，然后依據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y-y（）=/'（xo）（x-xo）.

（2）假設(shè)點(diǎn)（xo,泗）不在曲線上，求過點(diǎn)（祀，聲）的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)

坐標(biāo)，然后依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.

[當(dāng)堂達(dá)標(biāo)-夯基礎(chǔ)]課堂知識(shí)檢測(cè)?小結(jié)問題點(diǎn)評(píng)

1.下面說法正確的選項(xiàng)是（）

A.假設(shè)/（xo）不存在，那么曲線y=/（x）在點(diǎn)（xo,/（次））處沒有切線

B.假設(shè)曲線y=/（x）在點(diǎn)（配，/（祀））處有切線，那么尸（血）必存在

C.假設(shè)尸（期）不存在，那么曲線y=/（x）在點(diǎn)（xo,/（xo））處的切線斜率不存在

D.假設(shè)曲線y=/（x）在點(diǎn)（xo,/（煩））處沒有切線，那么廣（xo）有可能存在

C[依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在（加，泗）處有導(dǎo)數(shù)，那么切

線肯定存在，但反之不肯定成立，故A,B,D錯(cuò)誤.]

2.廣㈤是/（是的導(dǎo)函數(shù),且廣⑴=3,那么lim/⑴-C2A^）=（）

C//3

A.3B.6C.-6D.-2

「「?”，”、Q川）一鋁+2斂）-2[A1+2AX-）-AD]”

C[?/'⑴=3,..hm--------------=lrim--------忘-------=-21im

△x-oaAx-o/aAx-o

川+2Ax）—川）A廣、舜「]

----丞-----=-4（1）=-6,應(yīng)選C.]

3.某司機(jī)觀察前方50m處有行人橫穿公路，這時(shí)司機(jī)開頭緊急剎車，在剎

車的過程中，汽車的速度。是關(guān)于剎車時(shí)間r的函數(shù)，其圖象可能是（）

A[依據(jù)題意，剎車過程中，汽車速度呈下降趨勢(shì)，排解選項(xiàng)C,D;由于

是緊急剎車，那么汽車速度下降特別快，那么圖象較陡，排解選項(xiàng)B,應(yīng)選A.]

4.設(shè)曲線/（九）=加在點(diǎn)（1,0處的切線與直線2x—y—6=0平行，那么a

等于.

a(l+Ax)2-aXl2

1[由L于廣⑴=lim-----太------

加ta

2必％+。(祠2

=lim-----T------=lim(2Q+QAX)=2Q,

Ax-oAx-o

所以2。=2,所以a=l.]

5.曲線>=2^—7在點(diǎn)P處的切線方程為8x—y—15=0,那么切點(diǎn)P的坐

標(biāo)為?

(2,1)[設(shè)切點(diǎn)P(m,n),切線斜率為k,

”[2(x+Ax)2—7]—(2/—7)

由y=hmAx=lim瓦

Ar-oaAx-oa

=lim(4x+2Ax)=4x,

Ax-o

得女=y'|x=m=4/77.

由題意可知4"2=8,.,.m=2.

代入y=2f—7得n=1.

故所求切點(diǎn)尸為(2,1).]

(-------------------1陶?qǐng)@03囹?-------------

回憶本節(jié)學(xué)問，自我完成以下問題：

(l)/'(xo)是如何反映函數(shù)y=/(x)的圖象特征的？

［提示］曲線的升降、切線的斜率與尸(次)的關(guān)系如下:

尸(的)的曲線)(X)在x=xo四切線的

切線的傾斜角

口

付萬周的升降狀況斜率k

/(次)>0上升k>0銳角

尸(項(xiàng))VO下降k<0鈍角

零角(切線與X軸平

尸(xo)=o平坦k=O