高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 限時(shí)集訓(xùn)(二十八)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 理 新人教A版

限時(shí)集訓(xùn)(二十八)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用(限時(shí)：45分鐘滿分：81分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(·重慶高考)設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝()A.eq\r(5) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D．102．(·湖北高考)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－bA．－eq\f(π,4) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)3．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝eq\r(3)，||＝1，則·＝()A．2eq\r(3) B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則向量a在向量b方向上的射影的數(shù)量是()A．－4 B．4C．－2 D．25．已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么·的最小值為()A．－4＋eq\r(2) B．－3＋eq\r(2)C．－4＋2eq\r(2) D．－3＋2eq\r(2)6．已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx在R上有極值，則a與b的夾角范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________.8．(·北京高考)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為________；·的最大值為________．9．(·湖南高考)如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則·＝________.三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．11.已知△ABC為銳角三角形，向量m＝(3cos2A，sinA)，n＝(1，－sinA)，且m⊥n(1)求A的大??；(2)當(dāng)＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且滿足p＋q＝6時(shí)，求△ABC面積的最大值．12．已知向量a＝(1,2)，b＝(cosα，sinα)．設(shè)m＝a＋tb(t為實(shí)數(shù))．(1)若α＝eq\f(π,4)，求當(dāng)|m|取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值；(2)若a⊥b，問：是否存在實(shí)數(shù)t，使得向量a－b和向量m的夾角為eq\f(π,4)，若存在，請(qǐng)求出t；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案限時(shí)集訓(xùn)(二十八)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用1．B2.C3.D4.A5.D6.C7．18.119.1810．解：∵a與a＋λb均為非零向量，且夾角為銳角，∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0.∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0.∴λ>－eq\f(5,3).當(dāng)a與a＋λb共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使eq\a\vs4\al(a＋)λb＝ma，即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋λ＝m，,2＋λ＝2m，))解得λ＝0.即當(dāng)λ＝0時(shí)，a與a＋λb共線，綜上可知，λ>－eq\f(5,3)且λ≠0.11．解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2∴3cos2A－1＋cos2∴cos2A＝eq\f(1,4).又∵△ABC為銳角三角形，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴A＝eq\f(π,3).(2)由(1)可得m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(\r(3),2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2))).∴|AB→|＝eq\f(\r(21),4)p，||＝eq\f(\r(7),2)q.∴S△ABC＝eq\f(1,2)||·||·sinA＝eq\f(21,32)pq.又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，∴eq\r(p)·eq\r(q)≤eq\f(p＋q,2)，∴eq\r(p)·eq\r(q)≤3.∴p·q≤9.∴△ABC面積的最大值為eq\f(21,32)×9＝eq\f(189,32).12．解：(1)因?yàn)棣粒絜q\f(π,4)，所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，a·b＝eq\f(3\r(2),2)，則|m|＝eq\r(a＋tb2)＝eq\r(5＋t2＋2ta·b)＝eq\r(t2＋3\r(2)t＋5)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(3\r(2),2)))2＋\f(1,2))，所以當(dāng)t＝－eq\f(3\r(2),2)時(shí)，|m|取到最小值，最小值為eq\f(\r(2),2).(2)存在滿足題意的實(shí)數(shù)t，由條件得coseq\f(π,4)＝eq\f(a－b·a＋tb,|a－b||a＋tb|)，又因?yàn)閨a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(6)，|a＋tb|＝eq\r(a