學案2：高中數學人教A版2019必修 第二冊 直線與直線垂直

8.6空間直線、平面的垂直

8.6.1直線與直線垂直

■知識對點練?

ZHISHIDUIDIANLIAN

知識點一異面直線所成的角

1.在長方體/成力一4AG〃中，AB=BC=^3,AA尸卷則異面直線力&與裕

所成的角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.如圖，三棱柱N8C—44a中，底面三角形48K是正三角形，￡是笈的中

點，則下列敘述正確的是()

A.綣與自￡是異面直線

B.與四共面

c./￡與4a是異面直線

D.也與4G所成的角為60°

3.如圖，正方體ABCD-AMD,的棱長為1,〃為4a的中點，連接AB,D.M,

則異面直線48和〃〃所成角的余弦值為

4.在棱長為a的正方體N“一HB'CD'中，求:

(1)，6和M所成的角；

(2)〃8和4C所成的角.

知識點二異面直線的垂直

5.長方體/皿一的12條棱所在直線與棱N4所在直線垂直的共有

（）

A.6條B.8條C.10條D.12條

6.已知直線a,b,c,有下列三個命題：

①若a與力異面，力與c共面，則a與c異面；

②若a//b,a和c相交，則6和c也相交；

③若a_L6,a//c,則力_1_d

其中正確命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

7.如圖，已知在長方體N8切一484〃中，4A=AB,E,尸分別是即和力。

的中點.證明：CD.VEF.

8.如圖所示，在空間四邊形力皿中，兩條對邊力8=5=3,E,尸分別是另

4EBF]

外兩條對邊Aft上的點，且由=&=3，EF=y[5,求證：ABLCD.

EDrLZv

■課時綜合練?

KESHIZONGHELIAN

一、選擇題

1.如果空間兩條直線互相垂直，那么它們（）

A.一定相交B.是異面直線

C.是共面直線D.一定不平行

2.如圖所示，正方體N85一HB'CD'中，N8的中點為弘DD'的中點

為N,則異面直線W〃和GV所成的角的大小是（）

A.90°B.60°

C.45°D.30°

3.在長方體/歐9—46K〃中，AB=BC=\,AA尸小,則異面直線/〃與裕

所成角的余弦值為（）

A-5BiC.雪D.當

4.如圖，空間四邊形N皿中，E,尸分別為HC,劭的中點.若CD=2AB,EF

，相，則即與5所成的角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

5.（多選）如圖，已知點尸在圓柱隔的底面。。上，AA.LAB,BPVA.P,AB,

4〃分別為。。，OU的直徑，且18〃44.若圓柱的體積-12n,0A=2,Z

AOP=12Q°,則下列說法正確的是（）

A.M=3

B.AP=2y/3

C.三棱錐4—力陽的體積為

2

D.當〃為/月的中點時，異面直線加與48所成角的余弦值為三

U

二、填空題

6.如圖，在正方體力四一46C〃中，E,6分別是正方形48K〃和/加4

的中心，則跖和劭所成的角是.

7.如圖所示，空間四面體力一救的對角線2。=8,BD=6,M,N分別為46,

口的中點，MN=5,則異面直線ZC與M所成的角為.

8.如圖，在三棱柱44G中，AA^AC,四所成的角均為60°,ABAC

=90°,且￡是6K的中點，則直線皿與a'所成的角為,

直線48與4G所成角的余弦值為.

G

H

三、解答題

9.如圖，長方體/閱9—484〃中，AA=AB=2,力。=1,點￡,F,G分別是

DD1,AB,陽的中點.求證：A.ELGF.

10.如圖，在四棱錐/一盟應中，底面四邊形成以為梯形，BC〃DE.沒CD,

BE,AE,的中點分別為弘N,P,Q.

(1)求證：M,N,P,0四點共面;

⑵若龐，且AC=y^BC,求異面直線應與7W所成的角的大小.

8.6空間直線、平面的垂直

8.6.1直線與直線垂直

一知識對點練■—

ZHISHIDUIDIANLIAN

知識點一異面直線所成的角

1.在長方體力比刀一44中，AB=BC=y[3,AA尸也,則異面直線/乙與郎

所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案C

解析如圖，因為煙〃N4,所以N4NG為異面直線NG與期所成的角.因

為tan/4N6；=誓='也?也—二小,所以N4/G=60°,故選C.

2.如圖，三棱柱N8C—48K中，底面三角形48K是正三角形，￡是笈的中

點，則下列敘述正確的是（）

A.M與是異面直線

B.紿與四共面

C.力￡與84是異面直線

D.也與4G所成的角為60°

答案C

解析由于⑶與8歷都在平面內，故6。與是共面的，A錯誤;

由于CG在平面448。內，而力￡與平面G48C相交于點色點￡不在GC上，故

8與/￡是異面直線，同理，/￡與身G是異面直線，所以B錯誤，C正確；AE與

4G所成的角就是/￡與世所成的角，又￡為血的中點，△/灰為正三角形，所

y!AEVBC,即/￡與4G所成的角為90°,D錯誤.故選C.

3.如圖，正方體ABCD-AMD,的棱長為1,〃為4G的中點，連接ABD.M,

則異面直線48和〃〃所成角的余弦值為.

D\G

“J10

答案手

解析連接幼，。/由4〃區(qū)陽可得四邊形4也為平行四邊形，貝|J48〃

制..../*〃(或其補角)為異面直線48和〃〃所成的角.D,M=MC=^-,CD尸木.

5?5

產w

VTo

在△◎叫中,由余弦定理可得,cosNCDiM=

2義乎X革5,

4.在棱長為a的正方體/“一HB'CD'中，求:

(1)，6和M所成的角；

(2)〃8和4C所成的角.

解(1)如下圖，連接以'，HC,

"：AD'//BC,

??./，W即為，B與AH所成的角.

又A'C=A'B=BC=y[2a,

：.ZA'BC=60°,

：.A'B^WAD'所成的角為60。.

⑵如圖，連接BD,與NC交于點0,

則。為/。的中點，取的'的中點￡,

連接0E,則0E//BD',

則/加￡即為NC與阿'所成的角.連接/￡,CE,

則力￡=紙...△〃后為等腰三角形.

：.EOkAC,即NN?=90°.

：.D'6和”所成的角為90°.

知識點二異面直線的垂直

5.長方體N為9—48C〃的12條棱所在直線與棱力4所在直線垂直的共有

A.6條B.8條C.10條D.12條

答案B

解析12條棱所在直線中與棱N4所在直線垂直的有N8,BC,CD,DA,48,

&C,CD,共8條.

6.已知直線a,b,c,有下列三個命題：

①若a與6異面，力與c共面，則a與c異面；

②若allb,a和c相交，則力和c也相交；

③若a_L6,a//c,則力_Lc.

其中正確命題的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①不正確，如圖；②不正確，有可能相交也有可能異面；③正確，故

選B.

7.如圖，已知在長方體N85一〃中，A,A=AB,E,尸分別是能和

的中點.證明：CDdEF.

證明如圖，取內的中點C,連接龍，DG.

?；￡是做的中點,

：.EG//BC,EG=^BC,

：尸是/。的中點，支加）"BC,AD=BC,

：.DF//BC,DF=^BC,

：.EG//DF,EG=DF,

：.四邊形EFDG是平行四邊形，，EF//DG,

??.N戊祝（或其補角）是異面直線切與砂所成的角.

又4/=力6,??.四邊形/期4,四邊形曲G都是正方形，

又G為內的中點，:.DGLC塊,??./〃5=90°,

異面直線內與如所成的角為90°,...5」露

8.如圖所示，在空間四邊形N85中，兩條對邊4?=5=3,E,尸分別是另

外兩條對邊6。上的點，且石尸育=K，EF=Ji,求證：ABLCD.

BUrCZv

2

證明如圖，連接BD,過點￡作四的平行線交劭于點。，連接OF.

...BOAE\EODE2

.EOIIAB,??應=應=5，初=萬=]

:D

FC

又49=3,:.EO=2.

.BO_BF

'后=5'''~0iT~FC

：.OF//DC.

:，0E與⑺所成的銳角（或直角）即為四和5所成的角.

OFBF1

-^=才=T.*/DC=3,OF=1.

Z/GDUo

在△施萬中，:+加=5,E產=（鄧）』5,

：.0g+O#=E#,：.ZEOF=90°.

."以和5所成的角為90°.

：.ABLCD.

■課時綜合練?

KESHIZONGHELIAN

一、選擇題

1.如果空間兩條直線互相垂直，那么它們（）

A.一定相交B.是異面直線

C.是共面直線D.一定不平行

答案D

解析由平面幾何知識和異面垂直的定義可知，互相垂直的兩條直線可垂直

相交或異面垂直，故選D.

2.如圖所示，正方體/閱9—HB'CD'中，力刀的中點為弘DD'的中點

為N,則異面直線W〃和小所成的角的大小是（）

A.90°B.60°

C.45°D.30°

答案A

解析如圖，取材的中點￡,連接陽EN,則應'〃陽.?.異面直線WM

和（W所成的角就是直線應1與直線B'〃所成的銳角（或直角），根據△［修△如'

〃可得跳LWM,.?.異面直線W〃和g所成的角為90°.

3.在長方體4?5一48K〃中，AB=BC=\,AA尸小,則異面直線/〃與裕

所成角的余弦值為（）

A1R亞C亞D亞

5652

答案C

解析如圖，補上一相同的長方體CDEF—CDE瓜,連接DE、,4瓦易知AD,

//DE?則Nd龐;為異面直線/〃與陽所成的角或其補角.因為在長方體ABCD-

4名G〃中，AB=BC=\,AAi=y/l,所以DEI=NDP+砒=、Y+小?=2,DB、

川""小2=/,4戍+4區(qū)=7￥+2?=乖,在△4留中，由余

92+、后2—、后2'區(qū)

弦定理，得cosN即）E尸-----一下?一=個，即異面直線/〃與金所成

2X2X^/55

角的余弦值為虐.故選C.

5

4.如圖，空間四邊形四切中，E,尸分別為力C,劭的中點.若CD=2AB,EF

，四，則跖與切所成的角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案A

解析取”的中點〃連接血EH,則勿〃徽FH〃AB./FEH是EF與CD

所成的角或其補角，N藥力是）與N8所成的角或其補角.

.?.在△用羽中，ZJW=90°.

■:CD=2AB,：.HE=2HF,：.ZFEH=3Q°.

D

5.（多選）如圖，已知點刀在圓柱陽的底面。。上，AA.LAB,BPLAPAB,

4〃分別為。。，。。的直徑，且18〃44.若圓柱的體積-12n,04=2,Z

AOP=120°,則下列說法正確的是（）

A.M=3

B.AP=2-\[3

C.三棱錐4—/心的體積為6小

2

D.當〃為月產的中點時，異面直線加與48所成角的余弦值為三

5

答案ABD

解析由題意，得「=n?函”4=4Ji"4=12n,解得M=3.由OA=2,

ZJGF=120°,得/班P=30°,BP=2,AP=2y[3,：.5k^=jX2X2y[3=2y[3,

三棱錐4—N陽的體積VA1-APB=^S^B>AA1=^X2y[3X3=2y[3.'：0,〃分別

oo

為AB,4月的中點，.?.如〃如，...N4即就是異面直線加與48所成的角.?.?N4

BP2

=3,4?=4,AA.LAB,，48=5.又郎，4R/.cosZAJ5F=—=7，，當點〃為

Avb5

2

加5的中點時，異面直線加與46所成角的余弦值為R故選ABD.

二、填空題

6.如圖，在正方體/四一446；〃中，E,6分別是正方形4〃4〃和/的M

的中心，則即和劭所成的角是.

答案60°

解析YEF"AB、,劭〃/〃，.?.N陽〃為異面直線EF,劭所成的角或其補角,

易知△/“〃為正三角形，名〃=60°.

7.如圖所示，空間四面體N—9力的對角線力。=8,BD=6,M,N分別為N8,

切的中點，W=5,則異面直線4。與劭所成的角為.

答案90°

解析如圖，取”的中點己連接掰PN.'：M,N分別為陰切的中點，

：.PM//BD,ZW/C,.'./"W為異面直線”與物所成的角或其補角...?/。=8,

BD=6,：.PN=^AC=^,PM=^BD=3.又MN=3,在中，由勾股定理知/血卯

=90°.故異面直線力。和川所成的角為90°.

8.如圖，在三棱柱N8C—44G中，AA^AC,N6所成的角均為60°,ZBAC

=90°,且四￡是84的中點，則直線延與8C所成的角為,

直線46與〃；所成角的余弦值為.

答案900

半O

解析如圖所示，連接/品由三棱柱的性質可得〃；=力4,又因為￡是8c

的中點，所以月又BC〃BG,所以力即直線四與笈所成的角為

90°.如圖所示，把三棱柱補為四棱柱/劭C—連接做，4〃，AD,由四

棱柱的性質知物〃陽，則N4微就是異面直線48與陽所成的角.設四=a,

,.34與AC,N8所成的角均為60°,且AB=AC=AA?：.A、B=a,BD,=