2017-2018年高考真題解答題專項訓練：圓錐曲線(理科)教師版

試卷第=page22頁，總=sectionpages1616頁試卷第=page11頁，總=sectionpages1616頁2017--2018年高考真題解答題專項訓練：圓錐曲線（理科）教師版1．（2017.上海卷）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Γ:x24+y2=1，A為上、下頂點的動點，M為x正半軸上的動點.（1）若P在第一象限，且|OP|=2（2）設P(85,35)，若以A、（3）若|MA|=|MP|，直線AQ與Γ交于另一點C，且A求直線AQ的方程.試題分析：（1）聯立Γ:x24+（2）設M(m,0)，MA?MPPA（3）設P(x0,y0)，線段AP的中垂線與∴Q(-32x0,-3解得x0=859，y02．（2017.新課標3卷）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設圓M過點，求直線l與圓M的方程.試題解析：（1）設，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標原點在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標為，圓的半徑.由于圓過點，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為.3．（2017.浙江卷）如圖，已知拋物線x2=y.點A-（I）求直線AP斜率的取值范圍；（II）求PA·試題解析：（Ⅰ）設直線AP的斜率為k，k=x因為-12<x<32（Ⅱ）聯立直線AP與BQ的方程kx-y+解得點Q的橫坐標是xQ因為|PA|=1+k2(x+|PQ|=1+k所以PA?令f(k)=-(k-1)(k+1)因為f'(k)=-(4k-2)(k+1)所以f(k)在區(qū)間(-1,12)因此當k=12時，|PA|?|PQ|取得最大值274．（2017.北京卷）已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)．過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2)求證：A為線段BM的中點．試題解析：（Ⅰ）由拋物線C：過點P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點坐標為（，0），準線方程為.（Ⅱ）由題意，設直線l的方程為（），l與拋物線C的交點為，.由，得.則，.因為點P的坐標為（1，1），所以直線OP的方程為，點A的坐標為.直線ON的方程為，點B的坐標為.因為，所以.故A為線段BM的中點.5．（2017.山東卷）在平面直角坐標系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動直線：交橢圓于兩點，是橢圓上一點，直線的斜率為，且，是線段延長線上一點，且，的半徑為，是的兩條切線，切點分別為.求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.試題解析：（I）由題意知，，所以，因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設，聯立方程得，由題意知，且，所以.由題意可知圓的半徑為由題設知，所以因此直線的方程為.聯立方程得，因此.由題意可知，而，令，則，因此，當且僅當，即時等號成立，此時，所以，因此，所以最大值為.綜上所述：的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.6．（2017新課標全國Ⅱ）設O為坐標原點，動點M在橢圓C:x22+y2=1上，過M作x（1）求點P的軌跡方程；（2）設點Q在直線x=-3上，且OP?PQ=1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C試題解析：解：（1）設P（x，y），M（x0,y0由NP=2NM因為M（x0,y因此點P的軌跡為x2由題意知F（-1,0），設Q（-3，t），P（m，n），則OQ=OP=由OP?PQ=1得-3m-m2+tn-3+3m-tn=0.所以OQ?PF=07．（2017.天津卷）設橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設上兩點，關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.試題解析：（Ⅰ）解：設的坐標為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（Ⅱ）解：設直線的方程為，與直線的方程聯立，可得點，故.將與聯立，消去，整理得，解得，或.由點異于點，可得點.由，可學*科.網得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因為的面積為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.8．（2017.江蘇卷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.（1）求橢圓E的標準方程；（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.試題解析：解：（1）設橢圓的半焦距為c.因為橢圓E的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以，，解得，于是，因此橢圓E的標準方程是.（2）由（1）知，，.設，因為點為第一象限的點，故.當時，與相交于，與題設不符.當時，直線的斜率為，直線的斜率為.因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程：，①直線的方程：.②由①②，解得，所以.因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或.又在橢圓E上，故.由，解得；，無解.因此點P的坐標為.9．（2017.新課標1卷）已知橢圓C：x2a2+y（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.P試題解析：（1）由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過P3又由1a2+1b2>1a2+因此1b2=1故C的方程為x2（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標分別為（t，4-t22），（t則k1+k從而可設l：y=kx+m（m≠1）.將y=kx+m代入x2(4由題設可知Δ=設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-8km4k2+1，x1而k==2k由題設k1+k即(2k+1)?4解得k=-m+1當且僅當m>-1時，Δ>0，欲使l：y=-m+12x+m所以l過定點（2，-1）10．（2018年浙江卷）如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上．（Ⅰ）設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；（Ⅱ）若P是半橢圓x2+y2詳解：（Ⅰ）設P(x0,y0因為PA，PB的中點在拋物線上，所以y1，y(y+y0所以y1因此，PM垂直于y軸．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y所以|PM|=18(因此，△PAB的面積S△PAB因為x02+因此，△PAB面積的取值范圍是[6211．（2018年天津卷）設橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若(O為原點)，求k的值.詳解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因為，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或．所以，k的值為或12．（2018年北京卷）已知拋物線C：y2=2px經過點P（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設O為原點，QM=λQO，QN=μQO，求證詳解：解：（Ⅰ）因為拋物線y2=2px經過點P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由y2=4xy=kx+1依題意Δ=(2k-4)2-4×k2又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知x1+x直線PA的方程為y–2=y-2=y令x=0，得點M的縱坐標為yM同理得點N的縱坐標為yN由QM=λQO，QN=μ所以1λ所以1λ+13．（2018年江蘇卷）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點(3,12)，焦點F（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于A,B兩點．若△OAB的面積為267，求直線詳解：解：（1）因為橢圓C的焦點為F1可設橢圓C的方程為x2a2+y所以3a2因此，橢圓C的方程為x2因為圓O的直徑為F1F2（2）①設直線l與圓O相切于P(x0,所以直線l的方程為y=-x0y由x24+(4x因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以Δ=(-24因為x0,y因此，點P的坐標為(2②因為三角形OAB的面積為267，所以12設A(x由（*）得x1,2所以A=(1+x因為x0所以AB2=解得x02=52(x綜上，直線l的方程為y=-514．（2018年新課標1卷）設橢圓C:x22+y2=1的右焦點為F，過F的直線l與C（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.詳解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程為由已知可得，點A的坐標為(1,22)所以AM的方程為y=-22x+（2）當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，A(x則x1<2,x2<2由y1kMA將y=k(x-1)代入x2(2k所以，x1則2kx從而kMA+kMB=0，故MA，MB綜上，∠OMA=∠OMB.15．（2018年新課標3卷）已知斜率為k的直線l與橢圓C：??x24+y23（1）證明：k<-1（2）設F為C的右焦點，P為C上一點,且FP+FA+FB=0．證明：FA詳解：（1）設A(x1,兩式相減，并由y1x1由題設知x1k=-3由題設得0<m<32，故（2）由題意得F(1,0)，設P((x由（1）及題設得x3又點P在C上，所以m=34，從而P(1,-3于是|FA同理|FB所以|FA故2|FP|=|FA|+|FB設該數列的公差為d，則2|d|=||FB將m=34代入①得所以l的方程為y=-x+74，代入C的方程，并整理得故x1+x2所以該數列的公差為32128或16．（2018年新課標2卷）設拋物線C：??y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A（1）求l