借助數(shù)學史養(yǎng)分培養(yǎng)推理意識

一、課前思考將數(shù)學史融入小學數(shù)學課堂，并與學生的數(shù)學學習相結合，有助于教師根據(jù)學生已有的知識經(jīng)驗和思維水平展開教學?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，“推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟。知道可以從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結論?！睘榇?，筆者借鑒數(shù)學史上幾位數(shù)學家對三角形內(nèi)角和的認識和論證過程，將其與學生思維的提升過程相結合，引導學生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，鼓勵學生進行猜想、探索和驗證。同時，重視學生在幾何問題推理過程中的表達和論證，深入培養(yǎng)學生的推理能力和空間觀念。二、教學過程（一）課前預習學生課前完成預習單（如圖1）。圖1【設計意圖：有針對性的預習能為學生學習新知做好知識準備，同時將學生的思維過程和知識薄弱點可視化。】（二）課堂實踐1.理解內(nèi)角，確定學習目標師：三角形的3個角都是由三角形相鄰的兩條邊組成的，且都在三角形的內(nèi)部，這樣的角就叫作三角形的內(nèi)角。師：看看你們的兩個三角尺，它們的內(nèi)角和分別是多少度？你是怎么知道的？生1：它們的內(nèi)角和都是180°，因為一個三角尺中的3個內(nèi)角相加是30°+90°+60°=180°，另一個三角尺中的3個內(nèi)角相加是45°+90°+45°=180°。師：任意直角三角形的內(nèi)角和都是180°嗎？今天我們就一起來探究三角形的內(nèi)角和?！驹O計意圖：借助學具三角尺讓學生認識內(nèi)角的概念，學生能夠感受到數(shù)學就在身邊，從而對新知產(chǎn)生興趣，在清晰理解了三角形內(nèi)角和的概念后展開猜想，提升空間想象力?！?.運用泰勒斯拼圖法，操作驗證師：今天的研究將圍繞歷史上幾位著名的數(shù)學家探究三角形內(nèi)角和的方法展開。首先來看泰勒斯是如何思考三角形的內(nèi)角和的。出示視頻：古希臘數(shù)學家泰勒斯在觀察工人裝修的過程中，受到房間里的地磚鑲嵌的啟發(fā)，先以6個相同的等邊三角形圍著一點進行拼擺，再以等腰三角形進行同樣的操作，發(fā)現(xiàn)這些三角形的內(nèi)角和均為180°。師：請大家小組合作，想一想，利用任意直角三角形能否發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和定理。師：有6個相同的直角三角形，你能將它們的不同頂點置于同一點拼擺，且該點周圍沒有縫隙嗎？學生拼擺結果（如圖2）。圖2師：你發(fā)現(xiàn)了什么？生1：我發(fā)現(xiàn)每6個角圍著1個點形成了1周。師：圍成1周說明這6個角合成了多少度？生2：360°。師：這個直角三角形的3個內(nèi)角和是多少度？生3：180°。因為每個角均出現(xiàn)了2次，所以360°÷2=180°。師：還有什么發(fā)現(xiàn)？生4：圖形②中有3條“長線”，∠1、∠2、∠3都對應分別分布在任意一條“長線”的左右。師：這3條“長線”說明它們組成了什么角？這個直角三角形的內(nèi)角和是多少？生5：“長線”說明3個內(nèi)角構成了平角，因此這個直角三角形的內(nèi)角和是180°。師（出示教材中的撕拼法）：還有什么問題嗎？生6：我拼的6個三角形之間總是有縫隙，因此我不太相信這個結論。生7：是的，我拼的也有縫隙。我用量角器量了一下，發(fā)現(xiàn)∠1=34°，∠2=55°，∠3=90°，這個三角形的內(nèi)角和是34°+55°+90°=179°。師：敢于根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)去質(zhì)疑，為這兩位同學的求真態(tài)度點贊！是的，有的操作會存在誤差，那有沒有更好的方法去驗證呢？【設計意圖：展現(xiàn)數(shù)學家泰勒斯探索三角形內(nèi)角和的故事，帶領學生浸潤數(shù)學史和數(shù)學文化。泰勒斯采用的從操作層面驗證三角形內(nèi)角和的方法，可以看作是人類認識三角形內(nèi)角和的最初嘗試。這與學生初次接觸這一知識時的思維狀態(tài)相似。通過改編泰勒斯的驗證方法，讓學生在操作中進行猜想并驗證，感悟歸納推理過程。同時，正視學生在操作過程中出現(xiàn)的誤差和質(zhì)疑，這為進一步尋求嚴謹?shù)尿炞C方法做了充分的鋪墊?！?.經(jīng)歷帕斯卡法，由操作驗證轉為推理論證師：看到長方形，你想到了什么？生1：長方形的4個角都是90°，對邊相等。生2：沿對角線分割長方形，可以分成兩個完全一樣的直角三角形。生3：任何直角三角形都可以看作是長方形對折而得的。生4：長方形的內(nèi)角和是90°×4=360°。師：能不能利用長方形的內(nèi)角和來證明直角三角形的內(nèi)角和呢？生5：我們組發(fā)現(xiàn)直角三角形的內(nèi)角和為90°×4÷2=180°。師：這個方法十分巧妙。利用長方形的內(nèi)角和是360°可以得出直角三角形的內(nèi)角和是180°。這是法國數(shù)學家帕斯卡在12歲時推導直角三角形內(nèi)角和的方法，你們和他想到一塊兒去了，真棒！帕斯卡還據(jù)此推導出了銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和，你們想直接看他的方法，還是想自己先試一試？生（齊）：自己試一試！教師出示小組活動要求（如圖3）。圖3生6：我給銳角三角形畫高，發(fā)現(xiàn)銳角三角形可以被分割為兩個直角三角形。因此銳角三角形的內(nèi)角和是180°×2-90°-90°=180°。師：為什么要減去2個90°？生7：因為分割出來的兩個直角不屬于銳角三角形的內(nèi)角。生8：我發(fā)現(xiàn)鈍角三角形的情況也是這樣的。它的內(nèi)角和也是180°×2-90°-90°=180°。師：所有銳角三角形、鈍角三角形都可以被分割成兩個直角三角形嗎？任意畫一個銳角三角形或鈍角三角形，然后推導出它的內(nèi)角和，再和同桌交流你的推導方法。師：上面就是帕斯卡推導三角形內(nèi)角和的方法。你們都能想到用推理的方法得出三角形內(nèi)角和是180°，真了不起！【設計意圖：發(fā)現(xiàn)操作層面出現(xiàn)的誤差后，學生迫切希望有更嚴謹?shù)耐评矸椒?，但教師沒有直接給出帕斯卡的方法和說理過程，而是先引導學生思考長方形和三角形在內(nèi)角和上的聯(lián)系，然后讓學生在長方形的內(nèi)角和是360°的基礎上推出所有的直角三角形的內(nèi)角和都是180°，在此基礎上，又通過給銳角三角形、鈍角三角形畫高，建立銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形的聯(lián)系，引導學生進行幾何說理。學生經(jīng)歷了從特殊到一般的論證過程，體會到直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形在內(nèi)角和論證方法上的一致性，感悟到演繹推理過程的嚴謹性和傳遞性，發(fā)展了推理意識。】4.展示提波特旋轉法游戲，拓展思維水平師：三角形內(nèi)角和是180°，其實還可以通過一個小游戲來驗證，你們想試一試嗎？教師出示活動要求（如圖4）。圖4師：鉛筆在整個過程中是怎樣運動的？生1：有旋轉也有平移。師：平移能改變鉛筆的方向嗎？改變鉛筆方向的是什么？生1：不能，改變鉛筆方向的是旋轉。師：現(xiàn)在鉛筆的方向是怎樣的？生2：與原來相反。師：說明了什么？為什么？生3：鉛筆水平掉頭轉向說明它整體旋轉的角度是180°。因為鉛筆整體旋轉過了三角形3個內(nèi)角的角度，所以三角形的內(nèi)角和是180°。師：你們真厲害！這其實就是數(shù)學家提波特證明三角形內(nèi)角和是180°所采用的方法。出示視頻：200多年前，德國數(shù)學家提波特首次利用旋轉法證明了三角形內(nèi)角和定理。如圖5所示，他先將邊BC所在的直線BC繞點B沿逆時針方向旋轉∠ABC的度數(shù)，到邊BA所在直線BA；然后將直線BA繞點A沿逆時針方向旋轉∠BAC的度數(shù)，到邊AC所在直線AC；最后將直線AC繞點C沿逆時針方向旋轉∠ACB的度數(shù)，到邊CB所在直線CB。從BC到CB，總共轉了180°。圖5師：提波特的方法和我們旋轉鉛筆的方法有什么不同和相同之處？生4：旋轉的事物不同，提波特是旋轉直線，我們是旋轉鉛筆。生5：旋轉的方向不同。提波特旋轉直線時是逆時針，我們旋轉鉛筆時是順時針。生6：旋轉的起點位置不同，提波特旋轉直線的起點在三角形左下角，我們旋轉鉛筆的起點在三角形右下角。生7：旋轉的角都是三角形所有內(nèi)角的角度。生8：最終直線和鉛筆都水平掉頭轉向。師：是的，雖然我們旋轉鉛筆與提波特旋轉直線的起點位置不同、方向不同，但都是旋轉了三角形所有內(nèi)角的角度，最終鉛筆和直線都水平掉頭轉向，都論證了三角形的內(nèi)角和是180°。【設計意圖：對提波特用旋轉法證明三角形內(nèi)角和方法進行提煉，將其與游戲相結合，遵循學生的心理發(fā)展特點，尊重學生的主體地位，使學生感受到數(shù)學知識并不枯燥，激發(fā)學生熱愛數(shù)學、應用數(shù)學的情感。同時，讓學生思考鉛筆經(jīng)過平移和旋轉后整體掉頭轉向的原因，在展開演繹推理的過程中增強了推理意識，形成講道理、有條理的思維習慣，初步感知和體驗推理的魅力。】5.回顧總結，感悟轉化思想師：你最喜歡哪一種方法？為什么？生1：我喜歡帕斯卡的方法，把任意三角形分成兩個直角三角形，然后用2×180°-90°-90°=180°推理出這個三角形的內(nèi)角和，非常有說服力。生2：我喜歡提波特的方法，在鉛筆轉動的過程中發(fā)現(xiàn)鉛筆整體水平掉頭轉向，進而得出三角形的內(nèi)角和，很有意思。生3：泰勒斯的方法也不錯，看整個拼圖的一半，三角形的內(nèi)角和顯而易見。師：的確，這3位數(shù)學家的方法都蘊含了一種重要的數(shù)學思想方法——推理。下面我們一起來看3個問題，看看你能不能解決?！驹O計意圖：通過讓學生選出自己喜愛的方法，讓學生回顧本節(jié)課所經(jīng)歷的所有推理過程，這不僅是對知識的重現(xiàn)，也是論證思維的再次回顧，還是對推理思想方法、數(shù)學家的智慧和貢獻的再感受?！?.分層鞏固，拓展延伸問題1：算一算圖6中未知角的度數(shù)。圖6問題2：如圖7，將兩個小的三角形拼成一個較大的三角形，大三角形的內(nèi)角和是多少度？圖7問題3：如圖8，你能根據(jù)三角形的內(nèi)角和探索四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和嗎？圖8師：我們已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，那么四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和又分別是多少度呢？生1：我發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和都是360°。生2：我猜想多邊形的內(nèi)角和與組成它的三角形的個數(shù)有關。……師：同學們提出了很多有價值的猜想。感興趣的同學可以自己去研究和驗證。師：課后，先給你的爸爸媽媽介紹一下三角形內(nèi)角和的推導過程，再查一查還有哪些推導三角形內(nèi)角和的方法（如意大利數(shù)學家歐幾里得的方法），最后找一找德國數(shù)學家黎曼的故事，思考在球面上的三角形的內(nèi)角和是否也是180°?！驹O計意圖：首先，通過練習鞏固了三角形內(nèi)角和知識，培養(yǎng)了學生應用三角形內(nèi)角和知識進行計算和推理的意識與能力，使得學生對三角形內(nèi)角和的理解更全面；其次，要求學生根據(jù)本節(jié)課的知識，對四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和展開思考，體現(xiàn)了內(nèi)角和推導方法的一致性，展現(xiàn)了多邊形內(nèi)角和知識的結構化；最后，利用查閱其他推導方法和了解數(shù)學家黎曼的任務引導學生了解數(shù)學史，拓寬學生認知的廣度和深度?！咳⒔虒W反思（一）整體把握數(shù)學史材料，形成結構化教學為了整體把握數(shù)學史中關于三角形內(nèi)角和推導的發(fā)展脈絡，我們需要梳理不同歷史時期探究方法的前后關聯(lián)及主次關系，并以此為基礎進行結構化的教學設計。名師蔡宏圣提出，歷史呈現(xiàn)了知識的來龍去脈，敘說了人類認識如何步步深入，在抽象的過程中我們就能體會和把握認識提升的關鍵。因此，本節(jié)課筆者先對泰勒斯的拼圖法進行改編，引導學生通過動手拼圖驗證三角形的內(nèi)角和是180°；再借助帕斯卡的方法，用長方形演繹推理出直角三角形的內(nèi)角和；然后以直角三角形的內(nèi)角和切入，通過畫圖論證銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和；最后在游戲中讓學生對提波特的方法進行說理。整個教學過程前后關聯(lián)緊密，主次分明、層層遞進。（二）全面提煉數(shù)學史論證過程，凸顯思想方法一致性在數(shù)學的空間和幾何方面，許多知識的探索過程都有相似之處。盡管這些知識可以分門別類，但數(shù)學家在解決問題時常常能夠通過巧妙的論證過程發(fā)現(xiàn)共同的解決思想和方法。在數(shù)學史上，推導三角形內(nèi)角和基本上都利用了將未知的知識轉化為已知的知識，并通過推理來解決問題的思想方法。因此，教師課堂上重現(xiàn)這些思想方法，讓學生經(jīng)歷轉化和推理的過程，讓他們感受轉化思想和推理的作用，理解解決一系列問題的思想方法的一致性。同時，讓學生重溫數(shù)學家們經(jīng)歷的探索過程，與古代數(shù)學家進行