考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷2（共206題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷2（共9套）（共206題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=在x=0處連續(xù)，則f(x)在x=0處()．A、不可導(dǎo)B、fˊ(0)=ln23+1C、fˊ(0)=(ln3+1)D、fˊ(0)=(ln23+1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以a=1+ln3，于是f(x)=2、曲線y=的漸近線的條數(shù)為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?∞，所以曲線沒有水平漸近線；由，得曲線有兩條鉛直漸近線；由，得曲線有一條斜漸近線，選(C)．3、對函數(shù)f(x)=∫0x2(4－t)ln(1+t)dt()．A、僅有極大值B、僅有極小值C、既有極大值又有極小值D、沒有極值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令fˊ(x)=2x(4－x2)ln(1+x2)=0，得x1=－2，x2=0，x3=2．當(dāng)x<－2時(shí)，fˊ(x)>0；當(dāng)x∈(－2，0)時(shí)，fˊ(x)<0；當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，fˊ(x)>0；當(dāng)x>2時(shí)，fˊ(x)<0，則x1=－2，x3=2為f(x)的極大值點(diǎn)，x2=0為f(x)的極小值點(diǎn)，選(C)．4、設(shè)f(x)=∫0xdt∫0ttln(1＋u2)du，g(x)=(1－cost)dt，則當(dāng)x→0時(shí),f(x)是g(x)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價(jià)無窮小D、同階非等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：所以f(x)是g(x)的低階無窮小，選(A)．5、設(shè)平面圖形A由x2+y2≤2x及y≥x所確定，則A繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積公式為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取[y，y+dy][0，1]，則dV=π(1+)2－(2－y)2]dy，于是V=∫01dV=π∫01[(1+)2－(2－y)2]dy，選(C)．6、設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2+，則關(guān)于f(x)的極值問題有()．A、存在極小值B、存在極大值C、存在極小值D、存在極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩邊求導(dǎo)，得fˊ(x)+2f(x)=2x，其通解為f(x)=Ce－2x+(x－)．因?yàn)閒(0)=,所以C=1，從而f(x)=e－2x+(x－)．令fˊ(x)=－2e－2x+1=0，得唯一駐點(diǎn)為x=ln2．因?yàn)閒ˊˊ(x)=4e－2x＞0，故x=ln2是極小值點(diǎn)，極小值為．7、已知四維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且與向量α1，α2，α3均正交，則向量組β1，β2，β3，β4的秩為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)αi=(ai1，ai2，ai3，ai4)T(i=1，2，3)，由已知條件有βiTαj=0(i=1,2,3,4;j=1,2,3),即βi(i=1,2,3,4)為方程組的非零解.由于α1，α2，α3線性無關(guān)，所以方程組系數(shù)矩陣的秩為3，所以其基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量，從而向量組β1，β2，β3，β4的秩為1，選(A)．8、設(shè)A，B及A*都是n(n≥3)階非零矩陣，且AB=O，則r(B)=()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由B為非零矩陣得r(A)*)=0或r(A*)=1，因?yàn)锳*為非零矩陣，所以r(A*)=1，于是r(A)=n－1，又由AB=O得r(A)+r(B)≤n，從而r(B)≤1，再由B為非零矩陣得r(B)≥1，故r(B)=1，選(B)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，且f(tx，ty)=t2f(x，y)，又fˊ1(1，2)=2，fˊ2(1，2)=4，則f(1，2)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：對f(tx，ty)=t2f(x，y)兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得xfˊ1(tx，ty)+yfˊ2(tx，ty)=2tf(x，y)，取t=1，x=1，y=2得fˊ1(1，2)+2fˊ2(1，2)=2f(1，2)，于是f(1，2)=5．11、=________·標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)z=f(x，y)連續(xù)，且=2，則dz｜(1，2)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2dx—dy知識(shí)點(diǎn)解析：令ρ=，由f(x，y)連續(xù)得f(1，2)=3，由=2得f(x，y)—2x+y—f(1，2)=o(ρ)，即△z=f(x，y)—f(1，2)=2(x—1)—(y—2)+o(ρ)，故dz｜(1,2)=2dx—dy．13、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：于是14、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣ξ1=為方程組AX=0的解，ξ2=為方程組(2E－A)X=0的一個(gè)解，｜E+A｜=0，則A=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：顯然為A的特征向量，其對應(yīng)的特征值分別為λ1=0，λ2=2，因?yàn)锳為實(shí)對稱陣，所以ξ1Tξ2=k2－2k+1=0，解得k=1，于是又因?yàn)椋麰+A｜=0，所以λ3=－1為A的特征值，令λ3=－1對應(yīng)的特征向量為ξ3=三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、令x=cost(02)yˊˊ－xyˊ+y=0化為y關(guān)于t的微分方程，并求滿足y｜x=0=1，yˊ｜x=0=2的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：yˊ=yˊˊ=，代入原方程得+y=0，該方程的通解為y=C1cost十C2sint，原方程的通解為y=C1x+C2，將初始條件y｜x=0=1，yˊ｜x=0=2代入得C1=2，C2=1，故特解為y=2x+.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)方程=0在變換下化為=0，求常數(shù)a的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：代入整理得從而故a=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求曲線y=－x2+1上一點(diǎn)P(x0，y0)(其中x0≠0)，使過P點(diǎn)作拋物線的切線，此切線與拋物線及兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：切線方程為y=－2x0x+x02+1，令y=0，得切線與x軸的交點(diǎn)為A(，0)令x=0，得切線與y軸的交點(diǎn)為B(0，1+x02)．1)當(dāng)x0＞0時(shí)，因?yàn)椋?，所以所圍成圖形面積為S=令因?yàn)椋?，所以當(dāng)x0=時(shí)，所圍成的面積最小，所求的點(diǎn)為P.2)當(dāng)x0＜0時(shí)，因?yàn)椋?，所以所圍成的面積為S=令因?yàn)椋?，所以當(dāng)x0=時(shí)，所圍成的面積最小，所求點(diǎn)為P知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0，在(0，a)內(nèi)二階可導(dǎo)且fˊˊ(x)>0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=因?yàn)閒ˊˊ(x)＞0，所以fˊ(x)單調(diào)增加，故fˊ(ξ)＜fˊ(x)，于是φˊˊ(x)＞0(0＜x＜a)．由得φˊ(x)＞0(0＜x≤a)，再由得φ(x)＞0(0＜x≤a)，于是由φ(a)＞0，故∫0axf(x)dx＞∫0af(x)dx.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算二重積分，其中積分區(qū)域D=｛(x，y)｜0≤x2≤y≤x≤1｝．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ex確定，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求.標(biāo)準(zhǔn)答案：由ex+ey=ez得.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求微分方程yˊˊ+yˊ－2y=xex+sin2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+λ－2=0，特征值為λ1=－2，λ2=1，yˊˊ+yˊ－2y=0的通解為y=C1e－2x+C2ex．設(shè)yˊˊ+yˊ－2y=xex(*)yˊˊ+yˊ－2y=sin2x(**)令(*)的特解為y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得a=，b=，由yˊˊ+yˊ－2y=sin2x得yˊˊ+yˊ－2y=(1－cos2x)，顯然yˊˊ+yˊ－2y=有特解y=．對yˊˊ+yˊ－2y=－cos2x，令其特解為y=Acos2x+Bsin2x．代入得A=,B=．則y2(x)=，所以原方程的通解為y=C1e－2x+C2ex+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)A是三階矩陣，α1，α2，α3為三維列向量且α1≠O，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3．22、證明：向量組α1，α2，α3線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由Aα1=α1得(A—E)α1=0，由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1，由Aα3=α2+α3得(A—E)α3=α2．令k1α1+k2α2+k3α3=01)兩邊左乘以(A—E)得k2α1+k3α2=02)兩邊再左乘(A－E)得k3α1=0，由α1≠0得k3=0，代入2)得k2α1=0，則k2=0，再代入1)得k1α1=0，從而k1=0，于是α1，α2，α3線性無關(guān)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、證明：A不可相似對角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：令P=(α1，α2，α3)，由(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α1+α2，α2+α3)得AP=P從而p－1AP==B，由｜λE－A｜=｜λE－B｜=(λ－1)3=0得A的特征值為λ1=λ2=λ3=1，E－B=，因?yàn)閞(E－B)=2，所以B只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即B不可相似對角化，而A～B，故A不可相似對角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，若存在正交矩陣Q，使得QTAQ=，又α=且=α．(Ⅰ)求正交矩陣Q；(Ⅱ)求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)顯然A的特征值為λ11=λ2=－1，λ3=2，A*的特征值為μ1=μ2=－2,μ3=1．因?yàn)棣翞锳*的屬于特征值μ3=1的特征向量，所以α是A的屬于特征值λ3=2的特征向量，令α=α3．令A(yù)的屬于特征值λ1=λ2=－1的特征向量為ξ=，因?yàn)閷?shí)對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，所以－x1－x2+x3=0，則A的屬于特征值λ1=λ2=－1的線性無關(guān)的特征向量為α1=,α2=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(，y)在點(diǎn)(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足，則f(x，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否有極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以由極限的保號(hào)性，存在δ＞0。6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、曲線漸近線的條數(shù)為A、0．B、1C、2．D、3．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：[詳解]由，知x＝1為鉛直漸近線；由，知y＝1為水平漸近線；顯然，沒有斜漸近線．故應(yīng)選(C)．[評(píng)注]若求漸近線的上述極限不存在，則需要考慮單側(cè)極限，即考慮一側(cè)是否有這三種漸近線，在曲線的同側(cè)若有水平漸近線，則一定沒有斜漸近線．8、(2003年試題，二)設(shè)，則()．A、l1＞l2＞1B、1>l1＞l2C、l2＞l1＞1D、1＞l2＞l1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)，當(dāng)，因此即．因此可排除C,D．令，則又令，則g’(x)=1一cos2x，顯然當(dāng)g’(x)>0，因此g(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增，即g(x)>g(0)=0，從而f’(x)>0，即f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以因此即l1<1，綜上有l(wèi)21<1，所以選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知?jiǎng)tA-1=______________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗阅敲?0、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、A是二階矩陣，有特征值λ1=1，λ2=2，f(x)=x2一3x+4，則f(A)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2E知識(shí)點(diǎn)解析：利用矩陣A的相似對角陣．由題設(shè)條件A是二階矩陣，有兩個(gè)不同的特征值，故A～A，即存在可逆陣P，使得P-1AP=A，A=PAP-1，其中且f(x)=x2一3x+4=(x一1)(x一2)+2．f(A)=(A—E)(A一2E)+2E=(PA-1一PP-1)(PA-1一2PP-1)+2E或直接計(jì)算f(A)=A2一3A+4E=(PAP-1)2一3PAP-1+4PP-1=PA2P-1—3PA-1+4PP-1一P(A2一3A+4E)P-114、設(shè)z＝esinxy，則dx＝_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，v，w)二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)u=f(x，y，z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)y=y(x)及z=z(x)分別由下列兩式確定：求du/dx.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、估計(jì)下列積分值：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率分布為P{X=xi，Y=yj}=pij(i，j=1，2，…)，邊緣概率分別為piX和pjY(i，j=1，2，…)，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是pij=piXpjY(i，j=1，2，…)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)A，B，A+B，A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1等于A、A-1+B-1．B、A+B．C、A(A+B)-1B．D、(A+B)-1．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：6、把x→0＋時(shí)的無窮小量排列起來，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，則正確的排列次序是A、α，β，γ．B、α，γ，βC、β，α，γ．D、β，γ，α．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：[分析]先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序；也可先求出各無窮小量關(guān)于x的階數(shù)，再進(jìn)行比較．[詳解1]，可排除(C)，(D)選項(xiàng)，又可見γ是比β低階的無窮小量，故應(yīng)選(B)．[詳解2]由存在且不為零，知n＝1；存在且不為零，知n＝3；存在且不為零，知n＝2；故應(yīng)選(B)．7、設(shè)A為3階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B，再交換B的第二行與第三行得單位矩陣，記，則A＝A、P1P2．B、P1－1P2．C、2P1．D、2P1－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件有P2AP1E得A＝P2－1EP1－1＝P2P1－1．故應(yīng)選(D)．8、(2006年試題，二)設(shè)A為三階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的一1倍加到第2列得C記則()．A、C=P-1APB、C=PAP-1(c)C=PTAPC、C=PAPTD、初等矩陣的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意，用初等矩陣描述有所以已知．所以C=PAP-1．故選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、*]，其中f和g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)u＝f(x,y,z)，ψ(x2，ey，z)＝0，y＝sinx，其中f，ψ都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且．標(biāo)準(zhǔn)答案：。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求二元函數(shù)z＝f(x，y)＝x2y(4－x－y)在由直線x＋y＝6、x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的極值、最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：極大值：f(2，1)＝4，最大值：f(2，1)＝4，最小值：f(4，2)＝－64．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)二元函數(shù)f(x，y)=D={(x，y)｜x｜+｜y｜≤2}．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)區(qū)域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜1＜｜x｜+｜y｜≤2}則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、(1998年試題，十一)設(shè)x∈(0，1)，證明：(1)(1+x)ln2(1+x)2；(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：證明不等式的一條常規(guī)途徑是構(gòu)造輔助函數(shù)，通過研究其單調(diào)性來證明不等式．由題設(shè)，引入輔助函數(shù)φ(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，則φ(x)=In2(1+x)+21n(1+x)一2x至此尚無法判斷φ’(x)的符號(hào)，于是由知，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)φ’’(x)<0，因此φ’(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減，且由φ’(0)=0知，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ’(x)<0，從而φ(x)也是嚴(yán)格單調(diào)遞減，且由φ(0)=0知，φ(x)<0，此即(1+x)ln2(1+c)2，x∈(φ，1)，(1)得證又引入第二個(gè)輔助函數(shù)則由(1)已知結(jié)論，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)f’(x)<0，所以f(x)在(0，1)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減．已知f(x)在[0，1]上連續(xù)，且所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，此即(2)的左不等式又由即右邊不等式成立綜上，(2)成立．知識(shí)點(diǎn)解析：利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性，再利用單調(diào)性來證明不等式是常用的不等式證明方法之一．21、設(shè)(2E—C－1B)AT＝C－1，其中E是4階單位矩陣，AT是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，，求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)得C(2E—C－1B)AT＝E，即(2C—B)AT＝E．由于2C—B＝，｜2C—B｜＝1≠0，故2C—B可逆．于是A＝E(2C－B)－1]T＝[(2c－B)T]－1知識(shí)點(diǎn)解析：將已知矩陣化簡，再利用逆矩陣的性質(zhì)求A．22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知f(x)在x＝0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)＝0．，則在點(diǎn)x＝0處f(x)A、不可導(dǎo)．B、可導(dǎo)，且f’(0)≠0．C、取得極大值．D、取得極小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、以下四個(gè)命題中，正確的是A、若f’(x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)，則f(x)在(0，1)內(nèi)有界．B、若f(x)在(0，1)內(nèi)連續(xù)，則f(x)在(0，1)內(nèi)有界．C、若f’(x)在(0，1)內(nèi)有界，則f(x)存(0，1)內(nèi)有界．D、若f(x)在(0．1)內(nèi)有界，則f’(x)在(0，1)內(nèi)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與xm為同階無窮?。衷O(shè)x→0時(shí)，與,ak為同階無窮小，其中m與n為正整數(shù)．則k=()A、mn+n．B、2n+m．C、m+n．D、mn+n－1．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)f(x)與xm為同階無窮小，從而知存在常數(shù)A≠0，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)～Axm，從而f(xn)～Axnm．于是由題意，上式為不等于零的常數(shù)，故k=nm+n．6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、若f(x－1)＝x2(x－1)，則f(x)=[]．A、x(x+1)2B、x(x－1)2C、x2(x＋1)D、x2(x－1)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)，則fˊ(0)=[]．A、6B、3C、2D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)3階矩陣A的特征值為2，3，λ．若行列式｜2A｜=-48，則λ=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)函數(shù)f(u)可微，且，則z＝f(4x2－yx)在點(diǎn)(1，2)處的全微分＝_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：4dx－2dy；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、標(biāo)準(zhǔn)答案：3/4知識(shí)點(diǎn)解析：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：A=1/10,K=10知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)A，B為3階矩陣，且｜A｜＝33，｜B｜＝2，｜A－1＋B｜＝2，則｜A＋B－1｜＝_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填3．知識(shí)點(diǎn)解析：[分析]本題考查矩陣的運(yùn)算、行列式的性質(zhì)．[詳解]由于｜A＋B－1｜＝1(AB＋E)B－1｜＝｜(AB＋AA－1)B－1｜＝｜A(B＋A－1)B－1｜＝｜A｜.｜A－1＋B｜.｜B－1｜＝3.2.2B－1＝3因此應(yīng)填3．[評(píng)注]也可以由｜A｜.A－1＋B｜＝｜E＋AB｜＝｜A＋B－1｜.｜B｜得｜A＋B－1｜＝3．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)函數(shù)f(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(h)＋bf(2h)－f(0)在h→0時(shí)是比h高階的無窮小，試確定a，b的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＝2，b＝－1；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求微分方程x2y’＋xy＝y(tǒng)2滿足初始條件的特解．標(biāo)準(zhǔn)答案：；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上存在一階導(dǎo)數(shù)，且｜f’(x)｜≤M，證明：當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)答案：令．故在(a，b)內(nèi)｜φ(x)｜存在最大值點(diǎn)x=x0．若｜φ(x0)｜=0，則φ(x)｜≡0，結(jié)論自然成立．若｜φ(x0)｜≠0，則φ(x0)總是φ(x)的極值(極大值或極小值)，于是φ’(x0)=0．由泰勒公式，以φ(a)=0，φ(a)=0分別代入上式，并且注意到φ’(x0)=0，φ’(x)=f(x)，于是有于是無論是還是總可得于是有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、(2005年試題，一)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)級(jí)數(shù)在x＞0時(shí)發(fā)散，而在x＝0處收斂，則常數(shù)a＝[]．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則f(χ)在χ＝0處()．A、不可導(dǎo)B、f′(0)＝In23＋1C、f′(0)＝(ln3＋1)D、f′(0)＝(ln23＋1)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：＝1＋ln3，因?yàn)閒(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以＝a＝1＋ln3，于是f(χ)＝又因?yàn)椋詅(χ)在χ＝0處可導(dǎo)，且f′(0)＝(ln23＋1)，選D．2、曲線y＝的漸近線的條數(shù)為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋健匏郧€沒有水平漸近線；由＝∞，得曲線有兩條鉛直漸近線；由，得曲線有一條斜漸近線，選C．3、對函數(shù)f(χ)(4－t)ln(1＋t)dt()．A、僅有極大值B、僅有極小值C、既有極大值又有極小值D、沒有極值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令f′(χ)＝2χ(4－χ2)ln(1＋χ2)＝0，得χ1＝－2，χ1＝0，χ1＝2．當(dāng)χ<－2時(shí)，f′(χ)>0；當(dāng)χ∈(－2，0)時(shí)，f′(χ)<0；當(dāng)χ∈(0，2)時(shí)，f′(χ)>0；當(dāng)χ>2時(shí)，f′<0，則χ1＝－2，χ3＝2為f(χ)的極大值點(diǎn)，χ2＝0為f(χ)的極小值點(diǎn)，選C．4、設(shè)f(χ)＝∫0χdt∫0ttln(1＋u2)du，g(χ)＝(1－cost)dt，則當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價(jià)無窮小D、同階非等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：所以f(χ)sg(χ)的低階無窮小，選A.5、設(shè)平面圖形A由χ2＋y2≤2χ及y≥χ、所確定，則A繞商線χ＝－2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積公式為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取[y，y＋dy][0，1]，則dV＝π[－(2－y)2]dy，于是，選C6、設(shè)f(χ)連續(xù)，且滿足f(χ)＋2∫0χf(t)dt＝χ2＋，則關(guān)于f(χ)的極值問題有()．A、存在極小值ln2B、存在極大值－ln2C、存在極小值D、存在極小值－標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：等式兩邊求導(dǎo)，得f′(χ)＋2f(χ)＝2χ，其通解為f(χ)＝Ce-2χ＋(χ－)．因?yàn)閒(0)＝,所以C＝1，從而F(χ)＝e-2χ＋(χ－)．令f′(χ)＝－2e-2χ＋1＝0，得唯一駐點(diǎn)為χ＝ln2．因?yàn)閒〞(χ)＝4e-2χ＞0，故χ＝ln2是極小值點(diǎn)．極小值為．7、已知四維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，若向量βi(i＝1，2，3，4)是非零向量且與向α1，α2,α3均正交，則向量組β1，β2，β3，β4的秩為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)αi＝(ai1，ai2，ai3，ai4)T(i＝1，2，3)，由已知條件有βiTαj＝0(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)，即βi(1，2，3，4)為方程組的非零解.由于α1，α2，α3線性無關(guān)，所以方程組系數(shù)矩陣的秩為3，所以其基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量，從而向量組β1，β2，β3，β4的秩為1，故選A.8、設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝2，λ3＝4，對應(yīng)的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，令P＝(－3ξ2,2ξ1，5ξ3)，則P-1(A*＋2E)P等于().A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A*＋2E對應(yīng)的特征值為μ1＝10，μ2＝－2，μ3＝0，對應(yīng)的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，則-3ξ2，2ξ1，5ξ3A*＋2E的對應(yīng)于特征值μ2＝-2，μ1＝10，μ3＝0的特征向量，于是有，故選B.二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(χ，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，且f(tχ，ty)＝t2f(χ，y)，又f′1(1，2)＝2，f′2(1，2)＝4，則f(1，2)＝________.標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：對f(tχ，ty)＝t2f(χ，y)兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得χf′1＋yf′2＝2tf(χ，y)，取t＝1，y＝2得f′1(1，2)＋f′2(1，2)＝2f(1，2)，于是f(1，2)＝511、_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：.12、微分方程y′＝的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：χ＝Ce2y－(2y＋1)知識(shí)點(diǎn)解析：由y′＝，得－2χ＝y(tǒng)，解得χ＝，即χ＝Ce2y－(2y＋1)13、_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，ξ1＝為方程組AX＝0的解，ξ2＝為方程組(2E－A)X＝0的一個(gè)解，｜E＋A｜＝0，則A＝_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：顯然為A的特征向量，其對應(yīng)的特征值分別為λ1＝0，λ2＝2，因?yàn)锳為實(shí)對稱陣，所以ξ1Tξ2＝k2－2k＋1＝0，解得k＝1，于是．又因?yàn)椋麰＋A｜＝0，所以λ3＝－1為A的特征值，令λ3＝－1對應(yīng)的特征向量為.由．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(χ)在[0，1]上可微，且f(1)＝2f(χ)dχ．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ).標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(χ)＝f(χ)，顯然φ(χ)在[0，1]上可微，由積分中值定理得f(1)＝，從而e-1f(1)＝ef(c)，其中c∈[0，]，于是φ(c)＝φ(1)．由羅爾定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝ef′(χ)－2χef(χ)，所以＝0，注意到≠0，故f′(ξ)－2ξf(ξ)＝0，即f′(ξ)＝2ξf(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)拋物線y＝a2χ＋bχ＋c過點(diǎn)(0，0)及(1，2)，其中a<0，確定以a，b，c，使拋物線與χ軸所圍成的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：由拋物線y＝aχ2＋bχ＋c(1過點(diǎn)(0，0)及(1，2)得(c＝0，a＋b＝2或b＝2－a，c＝0．因?yàn)閍＜0，所以b＞0，由aχ2＋bχ＝0，得χ1＝0，χ2＝－＞0．S(a)＝，令S′(a)＝0得a＝－4，從而b＝6，故a＝－4，b＝6，c＝0.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(u)二階連續(xù)可導(dǎo)，z＝f(eχsiny)，且＝e2χz＋e3χsiny，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：，或f〞－f＝eχsiny，于是有f〞(χ)－f(χ)＝χ．顯然f(χ)＝C1e-χ＋C2eχ－χ知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)L：＋y2＝1(χ≥0，y≥0)，過L上一點(diǎn)作切線，求切線與拋物線所圍成面積的最小值.標(biāo)準(zhǔn)答案：首先求切線與坐標(biāo)軸圍成的面積設(shè)M(χ，y)∈L，過點(diǎn)M的L的切線方程為X＋yY＝1．令Y＝0，得X＝，切線與χ軸的交點(diǎn)為P(，0)；令X＝0，得Y＝切線與y軸交點(diǎn)為Q(0，)，切線與橢圓圍成的圖彤面積為S(χ，y)＝．其次求最優(yōu)解方法一：設(shè).方法二：由①，②，得y＝－χ，χ＝－λy兩式相乘，得于是最小面積為S＝2－知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知微分方程＝(y－χ)z，作變換u＝χ2＋y2，μ＝，ω＝lnz(χ＋y)，其中ω＝ω(u，μ)，求經(jīng)過變換后原方程化成的關(guān)于ω，u，μ的微分方程的形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：ω＝lnz－(χ＋y)兩邊關(guān)于χ，求偏導(dǎo)得－1；ω＝lnz－(χ＋y)兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)得－1，解得，帶入原方程整理得＝0.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算二重積分(χ，y)dσ，其中區(qū)域D是由直線χ＝－2，y＝0，y＝2及曲線χ＝－所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)曲線χ＝－與y軸圍成的平面區(qū)域?yàn)镈0則．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、當(dāng)隕石穿過大氣層向地面高速墜落時(shí)，隕石表面與空氣摩擦產(chǎn)生的高溫使隕石燃燒并不斷揮發(fā)，實(shí)驗(yàn)證明，隕石揮發(fā)的速率(即體積減少的速率)與隕石表面積成正比，現(xiàn)有一隕石是質(zhì)量均勻的球體，且在墜落過程中始終保持球狀．若它存進(jìn)人大氣層開始燃燒的前3s內(nèi)，減少了體積的，問此隕石完全燃盡需要多少時(shí)間?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)隕石體積為V，表面積為S，半徑為，r它們都是時(shí)間t的函數(shù)，因?yàn)閂＝πr3，S＝4πr2，所以S＝．由題設(shè)得＝－kS(k>0)，即＝V0，其中V0為燃燒前的體積．解得，再由條件，得，所以，令V＝0，得t＝6，即完全燃盡需要6s．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)，問a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX＝B有解，有解時(shí)求全部解.標(biāo)準(zhǔn)答案：令X＝(ξ1，ξ2，ξ3)，B＝(β1，β2，β3)，矩陣方程化為A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(β1，β2，β3)．即方程組Aξ1＝β1的通解為(k為任意常數(shù))；方程組Aξ2＝β2的通解為(l為任意常數(shù))；方程組Aξ3＝β3的通解為(t為任意常數(shù)).于是(其中k，l，t為任意常數(shù)).知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f＝2y12－y22－y32，又A*α＝α，其中α＝(1，1，－1)T．(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)求正交矩陣Q，使得經(jīng)過正交變換X＝QX，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形.標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)顯然A的特征值為λ1＝2，λ2＝1，λ3＝－1，｜A｜＝2，伴隨矩陣A*的特征值為μ1＝1，μ2＝－2，μ3＝－2．由A*α得AA*α＝Aα，即Aα＝2α，即α＝(1，1，－1)T是矩陣A的對應(yīng)于特征值λ1＝2的特征向量．令ξ＝(χ1，χ2，χ3)T為矩陣A的對應(yīng)于特征值λ2＝－1，λ3＝－1的特征向量，因?yàn)锳為實(shí)對稱矩陣，所以αTξ＝0，即χ1＋χ2－χ3＝0，于是λ2＝－1，λ3＝－1對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)＝則f(χ)在χ＝0處()．A、不連續(xù)B、連續(xù)但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、連續(xù)可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(0－0)＝f(0)＝f(0＋0)＝0，所以f(χ)在χ＝0處連續(xù)，又因?yàn)椴淮嬖冢詅(χ)在fχ＝0處連續(xù)但不可導(dǎo)，選B．2、當(dāng)χ＞0時(shí)，fln(χ)＝則∫-22χf′(χ)dχ為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由，則故選C．3、設(shè)f(χ，y)＝則f(χ，y)在(0，0)處()A、連續(xù)但不可偏導(dǎo)B、可偏導(dǎo)但不連續(xù)C、連續(xù)、可偏導(dǎo)但不可微D、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?≤｜f(χ，y)－0｜＝，所以f(χ，y)＝0＝f(0，0)，故f(χ，y)在(0，0)處連續(xù)．＝0，所以f′χ(0，0)＝0，同理f′y(0，0)＝0，即f(χ，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)．△z－dz＝f(χ，y)，令ρ＝，因?yàn)椴淮嬖冢詅′(χ，y)在(0．0)處不可微，選C．4、設(shè)函數(shù)f(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如下圖所示，則f(χ)有(A、一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B、兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)C、兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D、三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)導(dǎo)函數(shù)的圖形與χ軸的交點(diǎn)從左至右依次為A，B，C，在點(diǎn)A左側(cè)f′(χ)＞0，右側(cè)f′(χ)＜0．所以點(diǎn)A為f(χ)的極大值點(diǎn)，同理可知點(diǎn)B與C都是f(χ)的極小值點(diǎn)，關(guān)鍵是點(diǎn)O處，在它左側(cè)f′(χ)＞0，右側(cè)f′(χ)＜0，而f(χ)在點(diǎn)O連續(xù)，所以點(diǎn)O也是f(χ)的極大值點(diǎn)(不論在χ＝0處f(χ)是否可導(dǎo)，見極值第一充分條件)，選C．5、用定積分表示曲線(χ2＋y2)＝χ2－y2所圍成的平面區(qū)域的面積A為()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：雙紐線(χ2＋y2)2＝χ2－y2的極坐標(biāo)方程形式為，r2＝cos2θ，在第一象限部分的區(qū)域可表示為D1＝，根椐對稱性得A1＝4A1，其中A1，為區(qū)域D1，的面積．而A1＝，選C．6、設(shè)函數(shù)U＝f(χz，yz，χ)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則＝()．A、0B、χzf〞11＋yzf〞22＋z2f〞12C、z2f〞12＋zf32D、χzf〞11＋yzf〞22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：，選C．7、設(shè)矩陣B的列向量線性無天，且BA＝C，則()．A、若矩陣C的列向請線性無關(guān)，則矩陣A的列向量線性相關(guān)B、若矩陣C的列向量線性無關(guān)，則矩陣A的行向量線性相關(guān)C、若矩陣A的列向量線性無關(guān)，則矩陣C的列向量線性棚關(guān)D、若矩陣C的列向量線性無關(guān)，則矩陣A的列向量線性無關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)B為m×n矩陣，A為n×s矩陣，則C為m×s矩陣，且r(B)＝n．因?yàn)锽A＝C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)＝s，則r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)＝s．A的列向量組線性無關(guān).A項(xiàng)不對；若r(C)＝s，則r(A)＝s，所以A的行向量組的秩為s．故n≥s，若n＞s，則A的行向量組線性相關(guān)，若n＝s，則A的行向量組線性無關(guān).B項(xiàng)不對；若r(A)＝s，因?yàn)閞(C)≤s，所以不能斷定C的列向量組線性相關(guān)還是無關(guān)．C項(xiàng)不對；若r(C)＝s，則r(A)＝s，選D．8、設(shè)n階方陣A的，n個(gè)特征值全為0，則()．A、A＝0B、A只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量C、A不能與對角陣相似D、當(dāng)A與對角陣相似時(shí)，A＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若A的全部特征值皆為零且與對角矩陣相似，則存在可逆矩陣P，使得P-1AP＝于是A＝O，選D.二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(χ)為單調(diào)函數(shù)，且g(χ)為其反函數(shù)，又設(shè)f(1＝2)，f′(1)＝－，f〞(1)＝1則g〞(2)＝________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(χ＝)f(χ)dχ＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)0≤χ＜1時(shí)，f(χ)＝；當(dāng)χ＝1時(shí)，f(χ)＝0；當(dāng)χ＞1時(shí)，f(χ)＝，所以f(χ)＝，則．11、已知函數(shù)z＝u(χ，y)eaχ｜by，且＝0，若z＝z(χ，y)滿足方程＋z＝0，則a＝________，b＝________.標(biāo)準(zhǔn)答案：a＝1，b＝1知識(shí)點(diǎn)解析：則a＝1，b＝1.12、＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：改變積分次序，得，．13、微分方程y〞＋y＝－2χ的通解為_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C1cosχ＋C2sinχ－2χ.知識(shí)點(diǎn)解析：y〞＋y＝－2χ的特征方程為λ2＋1＝0，特征值為λ1,2＝±i，y〞＋y＝0的通解為y＝C1cosχ＋C2sinχ，又y〞＋y＝－2χ，顯然有特解y＝－2χ，故方程y〞＋y＝－2χ的通解為y＝C1cosχ＋C2sinχ－2χ．14、設(shè)A＝且｜A｜＝3，B＝，則B*A＝________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锽＝AE12(2)E13，所以｜B｜＝｜A｜｜E12(2)｜｜E13｜＝－3，又因?yàn)锽*＝｜B｜B-1，所以B*＝－3E13-1E12-1(2)A-1＝－3E13E12(-2)A-1，故B*A＝－3E13E12(-2)＝－3E13三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)可導(dǎo)，f(1)＝0，∫01χf′(χ)dχ＝2，證明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝4．標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分，得，于是∫01f(χ)dχ＝－2．由拉格朗日中值定理，得f(χ)＝f(χ)－f(1)＝f′(η)(χ－1)，其中η∈(χ，1)，f(χ)＝f′(η)(χ－1)兩邊對χ從0到1積分，得∫01f(χ)dχ＝∫01f′(η)(χ－1)dχ＝－2.因?yàn)閒′(χ)在[0．1]上連續(xù)，所以f′(χ)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(χ－1)≤f′(η)(χ－1)≤m(χ－1)兩邊對χ從0到1積分，得，即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)u＝f()滿足＝0．(Ⅰ)求f′(χ)．(Ⅱ)若f(0)＝0，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)＝，且g(χ的一個(gè))原函數(shù)為ln(χ＋1)，求∫01f(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(χ)，g(χ)滿足f′(χ)＝g′(χ)，g′(χ)＝2eχ－f(χ)，又f(0)＝0，g(0)＝2，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f〞(χ)＝g′(χ)＝2eχ－f(χ)得f〞(χ)＋f(χ)＝2eχ，解得f(χ)＝C1cosχ＋C2sinχ＋eχ，由f(0)＝，f′(0)＝g(0)＝2得，解得C1＝－1，C2＝1，故f(χ)＝－cosχ＋sinχ＋eχ．．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(χ)為[－a，a]上的連續(xù)的偶函數(shù)且f(χ)＞0，令F(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt..(Ⅰ)證明：F′(χ)單調(diào)增加．(Ⅱ)當(dāng)χ取何值時(shí)，F(xiàn)(χ)取最小值?(Ⅲ)當(dāng)F(χ)的最小值為f(a)－a2－1時(shí)，求函數(shù)f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)镕〞(χ)＝2f(χ)＞0，所以F′(χ)為單調(diào)增加的函數(shù)．(Ⅱ)因?yàn)镕′(0)＝∫-a0f(χ)dχ－∫0af(χ)dχ且f(χ)為偶函數(shù)，所以F′(0)＝0，又因?yàn)镕〞(0)＞0，所以χ＝0為F(χ)的唯一極小點(diǎn)，也為最小點(diǎn)．故最小值為F(0)＝∫-aa｜t｜f(t)dt＝2∫0atundefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算，其中χ2＋y2≤a2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于y軸對稱，所以．又因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于直線y＝χ對稱，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、現(xiàn)有兩只桶分別盛有10L濃度為15g/L的鹽水．現(xiàn)同時(shí)以2L/min的速度向第一只桶中注入清水，攪拌均勻后以2L/min的速度注入第二只桶中，然后以2L/min的速度從第二只桶中排出，問5min后第二只桶中含鹽多少克?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻第一、二只桶中所含鹽的質(zhì)量分別為m1(t)，m2(t)，則有由＝0得m1(t)＝，再由m1(0)＝150得C1＝150，故m1(t)＝150，再由，則m2(t)＝，由m2(0)＝150得C2＝150，于是，5分鐘后第二只桶含鹽m2(5)＝克．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、就a，b的不同取值情況討論方程組何時(shí)無解、何時(shí)只有唯一解、何時(shí)有無數(shù)個(gè)解，在有無數(shù)個(gè)解時(shí)求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：，1)當(dāng)a≠1，a≠6時(shí)，方程組只有唯一解；2)當(dāng)a＝－1時(shí)，，當(dāng)a＝－1，b≠36時(shí)，方程組無解；當(dāng)a＝－1，b＝36時(shí)，方程組有無數(shù)個(gè)解，由得方程組的通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)α＝(1，1，－1)T是A＝的一個(gè)特征向量．(Ⅰ)確定參數(shù)a，b及特征向最α所對應(yīng)的特征值；(Ⅱ)問A是否可以對角化?說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由Aα＝λα，得，解得a＝－3，b＝0，λ＝－1．(Ⅱ)由｜λE－A｜＝(λ＋1)3＝0，得λ＝－1是三重特征值．因?yàn)閞(－E－A)＝2，所以λ＝－1對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，所以A不可以對角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、由下列各條件可以得的是()．A、對任意ε＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，有B、存在一個(gè)ε＞0，對任意正數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，有∣xn一a∣＜εC、對任意正整數(shù)N＞0，存在ε＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，∣xn一a∣＜εD、對任意ε＞0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，有無窮個(gè)xn，使∣xn一a∣＜ε標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：準(zhǔn)確理解極限定義中的“ε-N”語言的含義．解(A)中條件雖與極限定義稍有不同，但注意ε→0時(shí)，有，只是趨近于0的速度慢些．但由完全可以保證數(shù)列xn與a無限接近．一般地，對于ε的函數(shù)f(ε)，只要滿足當(dāng)e—O時(shí)，有f(ε)→0，因而將(A)中條件換為f(ε)，結(jié)論仍成立．(B)中條件不能得到．例如數(shù)列xn=(一1)n+a，取ε=2，則對任意N，當(dāng)n＞N時(shí)，有∣xn一a∣=1＜ε，但xn顯然發(fā)散．(C)中條件也不能得到．例如數(shù)列xn=(一1)n+a，對任意N，存在ε=2，當(dāng)n＞N時(shí)，有∣xn一a∣＜ε，但xn發(fā)散．(D)中條件也不能得到．例如數(shù)列xn=a+(一1)n+1，對任意ε＞0，存在N=1，對n＞N的所有奇數(shù)項(xiàng)x2n+1均有∣x2n+1一a∣=0＜ε，但數(shù)列xn發(fā)散．2、若f(x)=一f(一x)，在(0，+∞)內(nèi)f′(x)＞0，f″(x)＞0，則f(x)在(一∞，0)內(nèi)()．A、f′(x)＜0，f″(x)＜0B、f′(x)＜0，f″(x)＞0C、f′(x)＞0，f″(x)＜0D、f′(x)＞0，f″(x)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)為奇函數(shù)．利用奇函數(shù)的下述性質(zhì)推出正確結(jié)果：奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)正負(fù)性相反，而單調(diào)性相同，但凹向相反，且拐點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．解可把f(x)視為在(一∞，+∞)內(nèi)的奇函數(shù)：已知在(0，+∞)內(nèi)f′(x)＞0，f″(x)＞0，利用上述性質(zhì)，則f(x)在對稱區(qū)間(一∞，0)內(nèi)，必有f′(x)＞0，f″(x)＜0．例如f(x)=x3，有f(x)=一f(一x)=一(一x3)=x3，在(一∞，0)內(nèi)，f′(x)=3x2＞0，f″(x)=6x＜0．對比四個(gè)選項(xiàng)知．3、下列計(jì)算正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對廣義積分首先要弄清它是否收斂，如不收斂，則對稱性、奇偶性的結(jié)論不成立，因而不能用!如果收斂，則同定積分一樣可以使用．解因所以f(x)為連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，故．至于(A)，因?yàn)閺V義積分，按定義有而等式右端的兩個(gè)廣義積分都是發(fā)散的．例如，至于(B)，因分母cos2x在π／2∈[0，π]處取值為0，因而(B)中被積函數(shù)那樣提公因式是不允許的．(C)也是一個(gè)廣義積分按定義：然而右邊兩個(gè)廣義積分也是分別發(fā)散，按牛頓一萊布尼茲公式計(jì)算是錯(cuò)誤的．4、A、2B、C、D、π標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：先作代換將反常積分化為定積分計(jì)算．如積分區(qū)間為對稱區(qū)間，為簡化計(jì)算，還應(yīng)考察被積函數(shù)或其子函數(shù)的奇偶性．解5、設(shè)函數(shù)F(x，y)在(x0，y0)的某鄰域有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0，y0)=F′x(x0，y0)=0，F(xiàn)′y(x0，y0)＞0，F(xiàn)″xx(x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某鄰域確定的隱函數(shù)y=y(x)，它有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且y(x0)=y0，則()．A、y(x)以x=x0為極大值點(diǎn)B、y(x)以x=x0為極小值點(diǎn)C、y(x)在x=x0不取極值D、(x0，y(x0))是曲線y=y(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則及已知條件，如能證明y′(x0)=0，y″(x0)＞0，則x0為y(x)的極小值點(diǎn)．解按隱函數(shù)求導(dǎo)法知，y′(x)滿足令x=x0，相應(yīng)地y=y0，因F′x(x0，y0)=0，F(xiàn)′y(x0，y0)＞0，故y′(x0)=0．將上式再對x求導(dǎo)，并注意y=y(x)，即得再令x=x0，相應(yīng)地y=y0．由y′(x0)=0，F(xiàn)′y(x0，y0)＞0，得到因得y″(x0)＞0．因此，x=x0是y=y(x)的極小值點(diǎn)．6、設(shè)，則f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)()．A、沒有零點(diǎn)B、只有一個(gè)零點(diǎn)C、恰有兩個(gè)零點(diǎn)D、恰有三個(gè)零點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：注意到，而因而可在(一∞，一1)，(一1，+∞)內(nèi)分別使用介值定理，說明f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，再由f(x)的單調(diào)性說明僅有兩個(gè)零點(diǎn)．解求f′(x)，分析其單調(diào)性區(qū)間．由于因此x=一1是f(x)的最小值點(diǎn)，且．又由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在(一∞，一1)與(一1，+∞)內(nèi)必存在f(x)的零點(diǎn)．又因f(x)在(一∞，一1)與(一1，+∞)均單調(diào)，所以在每個(gè)區(qū)間上也只能有一個(gè)零點(diǎn)．因此，f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)．7、下列矩陣中屬于正定矩陣的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：n階矩陣A=[aij]為正定矩陣的充分必要條件是順序主子式全大于0，而必要條件是aij＞0．可用此判別正確選項(xiàng)．解一(C)中矩陣的元素a38=一1＜0，必不正定；(A)中矩陣的二階順序主子式，必不正定；(D)中矩陣的三階順序主子式∣A∣=一1＜0，必不正定．由排除法可知．解二(B)中矩陣的一階順序主子式大于0，顯然其二階順序主子式其三階順序主子式即(B)中矩陣的各階順序主子式都大于0，8、要使都是線性方程組Ax=0的解，只要系數(shù)矩陣A為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用系數(shù)矩陣A的秩的性質(zhì)判別．也可用代入法判別．解一由題設(shè)知ε1與ε2線性無關(guān)(分量不成比例)，故有3一秩(A)≥2，從而秩(A)≤1．顯然只有(A)滿足要求．解二將ε1，ε2，分別代入Ax=0．易知僅A為(A)中矩陣，ε1，ε2才是Ax=0的解．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用冪指函數(shù)極限的求法求之．求解時(shí)要注意利用等價(jià)無窮小代換：ax一1～xlna(x→0)．解而故10、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知ln(1+2x2)+x2f(x)=0(x3)，由此求出的表達(dá)式代入所求極限計(jì)算．解一或由2x2～ln(1+2x2)～(2x2)2／2=2x4，即得解二因故因而則11、方程x+y=ax2+by2+cx3(a+b≠0)確定了隱函數(shù)y=f(x)，其中a，b，c均為常數(shù)，則在點(diǎn)(0，0)處曲線的曲率是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：直接按曲線的曲率公式計(jì)算：為此先要求出y′∣(0，0)，y″∣(0，0)．解在所給方程兩邊對x求導(dǎo)，得到1+y′=2ax+2byy′+3cx2．①兩邊再對x求導(dǎo)，得到y(tǒng)″=2a+2b(yy″+y′2)+6cx．②將x=0，y=0代入式①求得y′∣(0，0)=一1，再將x=0，y=0，y′=一1代入式②，得到y(tǒng)″∣(0，0)=2(a+b)，則所求曲率為12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將極限函數(shù)化成積和式形式，用定積分定義求之．解這是求積和式的極限，將它轉(zhuǎn)化成積分和，利用定積分定義求該極限．由有13、設(shè)z=z(u)，且，其中z(u)為可微函數(shù)，且φ′(u)連續(xù)，φ′(u)≠1，p(t)連續(xù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：給出隱函數(shù)u及其自變量x，y所滿足的等式，為求有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)，常利用此式設(shè)出輔助函數(shù)F(x，y，u)=0，再利用公式求出有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)解設(shè)則又故14、設(shè)矩陣A，B滿足A*BA=2BA一8E，其中，E為單位矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則B=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：為消掉方程中未知矩陣A*，需在方程兩邊左乘A，然后右乘A-1以化簡方程．解在所給方程的兩邊左乘A，則AA*BA=2ABA一8A，即一2BA=2ABA一8A，在此方程兩邊右乘A-1，則一2B=2AB一8E，即AB+B=4E，(A+E)B=4E，故三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)u=f(x，y，z)，且x=rcosθsinφ，y=rsinθsinqφ，z=rcosφ，證明：(Ⅰ)若，則u僅是θ與φ的函數(shù)；(Ⅱ)若，則u僅是r的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)僅需證明；(2)僅需證明解(1)所謂U僅是θ與φ的函數(shù)，就意味著u與r無關(guān)．由于所以u(píng)不依賴于r．(2)同(1)相類似，由題設(shè)得則，說明u與θ、φ均無關(guān)，即u僅是r的函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)為在[a，b]上連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：對F(x)=lnf(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理．證令F(x)=lnf(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)，當(dāng)r≠0時(shí)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足求函數(shù)u(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法建立u對x，y的偏導(dǎo)數(shù)，以及u對r的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．將題設(shè)中的方程①轉(zhuǎn)化為u(r)的常微分方程，然后求出u(r)．解由于u(x，y)是u(r)與的復(fù)合函數(shù)，有將它們相加得于是題設(shè)中所給方程①變成令p=u′(r)，降階得，改寫成兩邊乘，積分得再積分得其中c1，c2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)參數(shù)方程求證：(Ⅰ)由參數(shù)方程確定連續(xù)函數(shù)y=y(x)(0≤x≤2π)；(Ⅱ)y=y(x)在[0，π]單調(diào)上升，在[π，2π]單調(diào)下降；(Ⅲ)y=y(x)在[0，2π]是凸函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)證明x=φ(t)在[0，2π]存在連續(xù)的反函數(shù)；(Ⅱ)證明(Ⅲ)證明證(Ⅰ)φ′(t)=1一cost＞0(t∈(0，2π))，φ′(0)=φ′(2π)=0，又φ(t)在[0，2π]上連續(xù)，故φ(t)在[0，2π]上單調(diào)上升，值域?yàn)閇φ(0)，φ(2π)]=[0，2π]，得x=φ(t)在[0，2π]上存在連續(xù)的反函數(shù)t=t(x)，定義域?yàn)閇0，2π]．因此，在[0，2π]上連續(xù)．(Ⅱ)由反函數(shù)的可導(dǎo)性及復(fù)合函數(shù)的可導(dǎo)性知，y=y(x)在(0，2π)內(nèi)可導(dǎo)，由參數(shù)式求導(dǎo)法，有由于t∈[0，π]，有x∈[0，π]；t∈[π，2π]，x∈[π，2π]，于是因此，y=y(x)在[0，π]上單調(diào)上升，在[π，2π]上單調(diào)下降．(Ⅲ)由于y(x)在[0，2π]上連續(xù)，則由x∈(0，2π)時(shí)，有(t∈(0，2π)，即x∈(0，2π))．y=y(x)在[0，2π]上是凸函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)，且a＜b．證明：存在正整數(shù)N使得當(dāng)n＞N時(shí)有xn＜yn．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用極限的定義證之，關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)摩牛C因，又a＜b，取，則對于ε＞0存在正整數(shù)N1與N2，使當(dāng)n＞N1時(shí)，有a一ε＜xn＜a+ε．①當(dāng)n>N1時(shí)，有b一ε＜yn＜b+ε．②令N=max{N1，N2)，則當(dāng)n＞N時(shí)，由式①與式②同時(shí)得到知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)二階可微函數(shù)滿足方程求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：在所給方程兩邊分別對x求一階、二階導(dǎo)數(shù)以建立關(guān)于f(x)的微分方程初值問題，然后再求解，得到f(x)的表示式．解在所給方程兩邊關(guān)于x分別求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得到且f′(0)=1／2，f″(x)+f′(x)=ex+2一f″(x)．故得微分方程的初值問題則對應(yīng)齊次方程的特征方程為λ2+λ／2=0，解得λ1=0，λ2=一1／2．對應(yīng)齊次方程的通解為Y=c1+c2e一x／2．令非齊次方程的一個(gè)特解為y*=y1*+y2*=Ax+Bex，代入方程①得到A=2，B=1／3，故因而，原方程的通解為由y(0)=1，f′(0)=1／2，得到c1+c2+1／3=1，一c2／2+2+1／3=1／2，解得c1=一3，c2=11／3，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)由x=0，x=π／2，y=sinx(0≤x≤π／2)，y=t(0≤t≤1)所圍區(qū)域的面積為S(t)，求S(t)的最大值與最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：先根據(jù)定積分的幾何意義求出S(t)的表示式，再求出其極值點(diǎn)．解如下圖所示，y=t將S(t)分為兩部分，且令S′(t)=0得唯一駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)．又S(0)=1，S(1)=π／2—1，所以S(t)的最大值為1，最小值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)A是n階矩陣，a1，a2，…，an是n維列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0．(Ⅰ)證明a1，a2，…，an線性無關(guān)；(Ⅱ)求A的特征值、特征向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)利用線性無關(guān)的定義證之；(2)利用相關(guān)矩陣的性質(zhì)求之．解(1)令k1α1+k2α2+…+knαn=0．①由題設(shè)Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn一1=αn，有Anα1=An一1α2=…=Aan=0．將An一1左乘式①，得k1αn=0．由于αn≠0，故k1=0．再依次用An一2，An一3，…乘式①，可得k2=k3=…=kn=0，所以α1，α2，…，αn線性無關(guān)．(2)由于A[α1，α2，…，αn]=[α2，α3，…，αn，0]因?yàn)棣?，α2，…，αn線性無關(guān)，矩陣[α1，α2，…，αn]可逆，從而得知A的特征值全為0．又因秩(A)=秩(B)=n一1，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系由n一秩(A)=1個(gè)向量組成，由Aαn=0·αn知，A的線性無關(guān)的特征向量為αn，全部特征向量為kαn，k≠0為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知A=[α1，α2，α3，α4]T是四階矩陣，α1，α2，α3，α4是四維列向量．若方程組Ax=β的通解是[1，2，2，1]T+k[1，一2，4，0]T，又B=[α1，α2，α1，β一α4]，求方程組Bx=α1一α2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：已知方程組的通解要能由解的結(jié)構(gòu)找出基礎(chǔ)系及特解，還要能用線性方程組的向量形式求出齊次方程組與非齊次線性方程組的解．解由方程組Ax=β的解的結(jié)構(gòu)，可知秩(A)=秩(α1，α2，α3，α4)=3，且α1+2α2+2α3+α4=β，α1—2α2+4α3=0，故α1，α2，α3線性相關(guān)．因?yàn)锽=[α3，α2，α1，β一α4]=[α3，α2，α1，α1+2α2+2α3]，且α1，α2，α3線性相關(guān)，故秩(B)=2，所以Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系只含n一秩(B)=4一2=2個(gè)解向量．由知，[0，一1，1，0]T是方程組Bx=α1一α2的一個(gè)解．又由可知[4，一2，1，0]T，[2，一4，0，1]T是Bx=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故Bx=α1一α2的通解為[0，一1，1，0]T+k1[4，一2，1，0]T+k2[2，一4，0，1]T．其中k1，k2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、A、1B、C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因不相同，且也不相同，故需分兩種情況分別求出極限．解故極限不存在，2、如果f(x)對任何x都滿足f(1+x)=2f(x)，且f(0)存在，f′(0)=2，則f′(1)=()．A、4B、一4C、8D、一8標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：只能用函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義求之．因?yàn)橹恢纅′(0)，不知道f(x)在其他點(diǎn)處是否可導(dǎo)，所以不能在所給等式兩端對x求導(dǎo)，再求出f′(1)．解由條件f(1+x)=2f(x)知f(1)=f(1+0)=2f(0)．根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義得3、已知函數(shù)f(x)，g(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且則在點(diǎn)x=0處f(x)()．A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)，且f′(0)≠0C、取得極小值D、取得極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用極限的局部保號(hào)性確定正確選項(xiàng)．解由題設(shè)知故知，f(0)=0，且存在x=0的某空心鄰域，使得所以在點(diǎn)x=0處f(x)取極小值．4、設(shè)f(x)，g(x)是恒不為零的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)＞0，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)()．A、f(x)g(x)＞f(1)g(1)B、f(x)g(x)＞f(0)g(0)C、f(x)g(1)＜f(1)g(x)D、f(x)g(0)＜f(0)g(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件f′(x)g(x)一f(x)g′(x)＞0，有(因g(x)是恒不為零的可導(dǎo)函數(shù))，即為單調(diào)增函數(shù)．解由題設(shè)知為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，于是當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，由于g(x)是恒不為零的可導(dǎo)函數(shù)，因此g(x)連續(xù)，從而g(x)保持恒定的符號(hào)，故g(x)g(1)＞0．于是由得到f(x)g(1)＜f(1)g(x)．5、已知f(x)在x=0處的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且其中n為大于1的正整數(shù)，則()．A、x=0為f(x)的極大值點(diǎn)B、x=0為f(x)的極小值點(diǎn)C、(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用所給極限希望能推出結(jié)果：據(jù)此即可判定選項(xiàng)的正確性．解一即由上述極限可知，在x=0的左右兩側(cè)f″(x)要改變符號(hào)，故(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．解二由解一中的式①進(jìn)而得到f″(0)=0，f″(0)=一n≠0．由此可知(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．注意應(yīng)記住下述結(jié)論：(1)若f′(x0)=0，f″(x0)=0，但f′″(x0)≠0，則點(diǎn)(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)；(2)若f″(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，且，則f″(x0)=0，f′″(x0)=A．因此當(dāng)A≠0時(shí)，(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．6、在直角坐標(biāo)系xOy中，區(qū)域令x=rcosθ，y=rsinθ，則直角坐標(biāo)系中的二重積分可化為極坐標(biāo)系(，一，θ)中的累次積分()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：先畫出積分區(qū)域，將x2+y2≤2x及用極坐標(biāo)表示．應(yīng)注意由得到，故θ=π／3為積分下限．解積分區(qū)域D如下圖所示．由于x2+y2=2x的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為，故D的極坐標(biāo)表示為于是7、要使α1=[1，一1，1，1]T，α2=[8，一6，1，0]T是齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，則系數(shù)矩陣A可以是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：已知其基礎(chǔ)解系，求該方程組的系數(shù)矩陣的方法如下：(1)以所給的基礎(chǔ)解系為行向量作矩陣B；(2)解方程組BX=0，求出其基礎(chǔ)解系；(3)以(2)中所求出的基礎(chǔ)解系中的向量為行向量，作矩陣C，則該矩陣C即為所求．因基礎(chǔ)解系不唯一，在選項(xiàng)中如果沒有矩陣C，這時(shí)也可用他法(如排他法)求之．解一令矩陣求BX=0的基礎(chǔ)解系．因取基礎(chǔ)解系為α1=[5，7，2，0]T，α2=[3，4，0，1]T，則所求的矩陣A為解二用排除法確定選項(xiàng)．因α1，α2為AX=0的基礎(chǔ)解系，故N一秩(A)=4一秩(A)=2，即秩(A)=2．而秩(B)=秩(A)，故秩(B)=2．排除(A)、(B)．又α2=[8，一6，1，0]不滿足(D)中第2個(gè)方程4x1+5x2+x4=0，也應(yīng)排除(D)．8、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22一4x32一4x1x3—2x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形為()．A、2y12+y22一7y32B、一2y12一y22一3y32C、一2y12+y22D、2y12+y22+3y32標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：解一因f(0，0，1)=一4＜0，故f不正定．又因f(1，0，0)=2＞0，故f不負(fù)定．所以(B)、(D)不能入選．又因二次型f的矩陣為而∣A∣≠0，故秩(A)=3，所以(C)不正確．解二用配方法求之．令則f(x1，x2，x3)=2yx12一yx22一7yx32．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：lnx知識(shí)點(diǎn)解析：對于同底數(shù)的兩指數(shù)函數(shù)差的函數(shù)為求其極限，先用提公因式等法將其化為乘積形式，再用等價(jià)無窮小代換求之．解10、設(shè)y=f(x+y)，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于1，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之．解11、已知函數(shù)在x=0有一階導(dǎo)數(shù)，則A=_______，B=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1，一1知識(shí)點(diǎn)解析：利用函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義及函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，可建立A與B的兩個(gè)方程．聯(lián)立解之，即可求得A與B的值．解因連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，所以f(0一0)=f(0+0)=f(0)，而f(0—0)=2A，f(0+0)=一2B，f(0)=一2B，故A=一B．又由．f′-(0)=f′+(0)，可得1+2A=9+6B．又因A=一B，故9—6A=1+2A，于是A=1，B=一1．12、設(shè)f′(1nx)=1+x，則f(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：x+ex+c知識(shí)點(diǎn)解析：先作變量代換：lnx=t，再求不定積分．求解時(shí)要注意，結(jié)果中的任意常數(shù)c不能丟掉．解令lnx=t，則x=et，于是f′(t)=1+et．又即f(x)=x+ex+c．13、積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：可用調(diào)換積分次序法求之．解積分區(qū)域D如圖所示．改換原積分的積分次序得到14、設(shè)A是三階可逆矩陣，如果A-1的特征值是1，2，3，則∣A∣的代數(shù)余子式A11+A22+A33=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：注意到A11+A22+A33；為三階伴隨矩陣A*的主對角線上的元素之和，它就是A*的跡，它等于A*的三個(gè)特征值之和，因而只需求出A*的三個(gè)特征值即可．解因?yàn)锳-1的特征值為1，2，3，所以∣A-1∣=1×2×3=6，從而．又則，故A*的特征值為．故三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、標(biāo)準(zhǔn)答案：先將函數(shù)之差化為乘積，再用等價(jià)無窮小量代換求之．解根據(jù)有界函數(shù)乘無窮小仍為無窮小的結(jié)論，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)a，b＞0，證明存在ξ∈(a，b)，使aeb一bea=(1一ξ)eξ(a一b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將左邊的分子、分母同除以ab，歸結(jié)證明可用柯西中值定理證之．證設(shè)f(x)=ex／x，g(x)=1／x．顯然f(x)，g(x)在[a，b]上滿足柯西中值定理的條件，故存在ξ∈(a，b)，使即aeb一bea=(1一ξ)eξ(a一b)．注意為找到使用柯西中值定理的兩函數(shù)，有時(shí)需用兩端點(diǎn)坐標(biāo)的乘積(或其函數(shù)乘積)同除分子、分母，使之能化成兩函數(shù)在端點(diǎn)處的差值比．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)(1)f(x)在[a，b](a＞0)上有連續(xù)的非負(fù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)=1；(2)對任意x∈[a，b]，在曲線y=f(x)上從a到x這一段的弧長為求由x=a，x=b，y=0及y=f(x)所圍圖形繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：先由弧長的關(guān)系式求出f(x)的表示式，再由旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算公式求出其圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積．解先求出f(x)的表示式．由曲線弧長公式，有將上式兩邊對x求導(dǎo)，得到因而f′(x)=1(舍去f′(x)=一1，因題設(shè)f′(x)≥0)，解得f(x)=x+c．將f(a)=1代入上式得c=1—a，因而f(x)=x+1一a．故所求旋轉(zhuǎn)體體積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，，且對所有x，t∈(0，+∞)，滿足條件，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：先利用變上限積分求導(dǎo)法，在所給方程兩邊對x求導(dǎo)，得到關(guān)于f(x)的階微分方程，解之即可求得f(x)．解因在上式兩端關(guān)于x求導(dǎo)得令x=1，得又，將其代入上式，有在等式兩端再對t求導(dǎo)，得又t∈(0，+∞)，即得，于是將代入上式，得，則于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、解微分方程y2dx一(y2+2xy—x)dy=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：可化為以x為因變量，y為自變量的一階微分方程求之．解原方程可變形為解此一階線性方程：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、作出函數(shù)的圖形．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求y′得出函數(shù)的增減區(qū)間及極值，再求出二階