考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷7（共208題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷7（共9套）（共208題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=,則x=0是f(x)的()．A、連續(xù)點B、第一類間斷點C、第二類間斷點D、不能判斷連續(xù)性的點標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：當(dāng)x＞0時，f(x)=當(dāng)x=0時，f(x)=當(dāng)x＜0時，f(x)=x．因為f(0+0)=1．f(0)=,f(0—0)=0，所以x=0為f(x)的第一類間斷點，選B2、曲線的漸近線的條數(shù)為()．A、1條B、2條C、3條D、4條標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：3、設(shè)φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)是微分方程y"+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的三個線性無關(guān)的特解，則該方程的通解為()．A、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)B、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]+C3[φ2(x)一φ3(x)]+φ1(x)C、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ2(x)+φ3(x)D、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]+[φ1(x)+φ2(x)+φ3(x)]標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：顯然C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]為y"+P(x)y’+Q(x)y=0的通解，且[φ1(x)+φ2(x)+φ3(x)]為y"+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的特解，選D4、設(shè)冪級數(shù)在x=-4處條件收斂，則級數(shù)在x=一3處()．A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因為在x=一4處條件收斂，所以收斂半徑為R=當(dāng)x=一3時，因為|一3+1|=2＜R=3，所以當(dāng)x=一3時，級數(shù)絕對收斂，應(yīng)選A5、設(shè)A為三階矩陣，令將A的第一、二兩行對調(diào)，再將A的第三列的2倍加到第二列成矩陣B，則B等于()．A、P1AP2B、P1-1AP2C、P2AP1D、P1-1AP21標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：即B=P1-1AP2-1，選D6、設(shè)A為三階矩陣，其對應(yīng)的特征值為λ1=λ2=一1，λ3=2，對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，令P1=(α1-α3，α2+α3，2α3)，則P11(A*+3E)P1=()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：|A|=λ1λ2λ3=2，A*的特征值為A*+3E的特征值為1，1，4，A*+3E對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量仍為α1，α2，α3，7、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨立，且X～N(1，σ12)，Y～N(1，σ22)，則P(|X—Y|＜1)()．A、隨σ1，σ2的增加而增加B、隨σ1，σ2的增加而減少C、與σ1，σ2的取值無關(guān)D、隨σ1的增加而增加，隨σ2的增加而減少標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令Z=X—Y，則Z～N(0，σ12+σ22)．選B8、設(shè)X，Y為兩個隨機(jī)變量，其中E(X)=2，E(Y)=一1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y的相關(guān)系數(shù)為，由切比雪夫不等式得P{|X+Y一1|≤10}≥()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令Z=X+Y，則E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，則P{|X+Y一1|≤10}=P{|z—E(Z)|≤10}≥選B二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(0)=0，f’(0)=2，則=_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：∫0xf(x—t)dtx-t-u=∫x0f(u)(一du)=∫0xf(u)du，10、過點A(3，2，1)且平行于L1的平面方程為______標(biāo)準(zhǔn)答案：x—2y-5z+6=0知識點解析：s1={1，一2，1}，s2={2，1，0}，則所求平面方程的法向量為n=s1×s2={一1，2，5}所求平面方程為π：一(x一3)+2(y一2)+5(z一1)=0，即π：x-2y一5z+6=0．11、設(shè)f(x)二階可導(dǎo)且滿足∫0xt2f(t)dt=x3+f(x)，則f(x)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：對∫0xt2f(t)dt=x3+f(x)兩邊求導(dǎo)得x2f(x)=3x2+f’(x)，整理得f’(x)一x2f(x)=一3x2解得f(x)=當(dāng)x=0時，f(x)=0，于是C=一3，故f(x)=12、平面π：Ax+By+z+D=0被柱面x2+4y2=4所截得的面積為______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：平面π為z=一Ax一By—D，由于是平面π被柱面所截得的面積為13、設(shè)及β1，β2，β3為三維向量空間R3的兩組基，A=(β1，β2，β3)為可逆矩陣，且則從基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的過渡矩陣為_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：設(shè)從基β1，β2，β3到α1，α2，α3的過渡矩陣為Q，則(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)Q，14、設(shè)X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn分別為來自相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X與Y的簡單隨機(jī)樣本，令則D(Z)=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2(m+n一2)知識點解析：因為X與Y相互獨立，所以相互獨立，于是D(Z)=2(m一1)+2(n—1)=2(m+n一2)．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)=1+x(0≤x≤1)．(Ⅰ)將f(x)展開成余弦級數(shù)，并求(Ⅱ)將f(x)展開成正弦級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將f(x)進(jìn)行偶延拓和周期延拓，則a0=2∫01f(x)dx=2∫01(1+x)dx=3，an=2∫01f(x)cosnπxdx=2∫01(1+x)cosnπxdxbn=0(n=1，2，…)，則(Ⅱ)將f(x)進(jìn)行奇延拓和周期延拓，則an=0(n=0，1，2，…)，bn=2∫01f(x)sininπdx=2∫01(1+x)sinnπxdx知識點解析：暫無解析17、設(shè)f"(x)∈C[a，b]，證明：存在ξ∈(a，b)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫axf(t)dt，則F’(x)=f(x)，且F"’(x)∈C[a，b]．由泰勒公式得兩式相減，得因為f"(x)∈C[a，b]，所以f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值定理，f"(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上取得最小值和最大值，分別記為m，M，則有再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得f"(ξ)=，從而有知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[1，+∞)上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，f(1)=0，f’(1)=1，且二元函數(shù)z=(x2+y2)f(x2+y2)滿足求f(x)在[1，+∞)的最大值．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對稱性得解得f=(C1+C2t)et，于是f(r)=(C1+C2lnr)，由f(1)=0，得C1=0，f(r)=，由f’(1)=1，得C2=1，于是f(x)=．令f’(x)=，得x=e，當(dāng)x∈(1，e)時，f’(x)＞0，當(dāng)x＞e時，f’(x)＜0，則x=e為f(x)在[1，+∞)上的最大值點，最大值為f(e)=．知識點解析：暫無解析19、計算曲面積分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(x2一1)dxdy，其中∑為曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：補(bǔ)充∑0：z=0(x2+y2≤1)，取下側(cè)，由格林公式得知識點解析：暫無解析20、a，b取何值時，方程組有唯一解、無解、有無窮多個解?有無窮多個解時，求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a≠1時，r(A)==4，所以方程組有唯一解；當(dāng)a=1，b≠一1時，r(A)≠，所以方程組無解；當(dāng)a=1，b=一1時，方程組有無窮多個解，通解為X=k1(1，一2，1，0)T+k2(1，一2，0，1)T+(一1，1，0，0)T(k1，k2為任意常數(shù))知識點解析：暫無解析21、設(shè)A是n階矩陣，證明：(Ⅰ)r(A)=1的充分必要條件是存在n階非零列向量α，β，使得A=αβT；(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，證明A可相似對角化．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)若r(A)=1,則A為非零矩陣且A的任意兩行成比例，即A=于是顯然α，β都不是零向量且A=αβT．反之，若A=αβT，其中α，β都是n維非零列向量，則r(A)=r(αβT)≤r(α)=1．又因為α，β為非零列向量，所以A為非零矩陣，從而r(A)≥1，于是r(A)=1．(Ⅱ)因為r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，顯然tr(A)=(α，β)，因為tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．令A(yù)X=λX，因為A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2一kλ)X=0，注意到x≠0，所以矩陣A的特征值為λ=0或λ=k．因為λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(OE—A)=r(A)=1，得A一定可以對角化．知識點解析：暫無解析22、有甲、乙、丙三個盒子，第一個盒子里有4個紅球1個白球，第二個盒子里有3個紅球2個白球，第三個盒子里有2個紅球3個白球，先任取一個盒子，再從中先后取出3個球，以X表示紅球數(shù)．(Ⅰ)求X的分布律；(Ⅱ)求所取到的紅球不少于2個的概率．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令A(yù)k={所取為第k個盒子}(k=1，2，3)，則P(A1)=P(A2)=P(A3)=，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，由全概率公式得知識點解析：暫無解析23、設(shè)總體X的密度函數(shù)為其中θ＞0為未知參數(shù)，(X1，X2，…，Xn)為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，求參數(shù)θ的矩估計量和極大似然估計量．標(biāo)準(zhǔn)答案：E(X)=0，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)，F(xiàn)(x)=f(t)dt，則下列命題中錯誤的是()．A、若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)B、若f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)C、若f(x)以T為周期且是偶函數(shù)，則F(x)以T為周期且是奇函數(shù)D、若f(x)以T為周期且是奇函數(shù)，則F(x)以T為周期且是偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：利用f(t)dt的性質(zhì)判定．利用f(t)dt的性質(zhì)知，(A)、(B)均正確，而(C)錯誤．例如，f(x)≡1是以T為周期的偶函數(shù)，但F(x)=1dt=x不是周期函數(shù)，但(D)是正確的．我們知道，若f(x)是以T為周期，則其原函數(shù)F(x)=f(t)dt也是以T為周期的充要條件是f(x)dx=0．當(dāng)f(x)以T為周期且是奇函數(shù)時，有因而F(x)=f(t)dt以T為周期且是偶函數(shù)．僅(C)入選．2、設(shè)正項級數(shù)ln(1+an)收斂，則級數(shù)()．A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：所給級數(shù)為正項級數(shù)，判別與此有關(guān)的另一級數(shù)的斂散性，需利用下述判別正項級數(shù)斂散性的比較判別法．設(shè)bn均為正項級數(shù)．(1)若存在一個與n無關(guān)的正常數(shù)c1，從某一項起有an≤c1bn，若級數(shù)bn收斂，則級數(shù)an收斂；(2)若存在一個與n無關(guān)的常數(shù)c2，使從某一項起有an≥c2bn，若級數(shù)bn發(fā)散，則級數(shù)an發(fā)散．(較判別法的極限形式：若=l，則因ln(1+an)收斂，故an=0，則所以an也收斂．因｜(－1)n≤(an+an+1)／2，而絕對收斂．僅(B)入選．3、若f(x)=在(－∞，+∞)上連續(xù)，且f(x)=0，則()．A、λ＜0，k＜0B、λ＜0，k＞0C、λ≥0，k＜0D、λ≤0，k＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因f(x)在(－∞，+∞)上連續(xù)，當(dāng)然f(x)在(－∞，+∞)上有定義，為此f(x)的分母不能為0．如果λ＞0，而e－kx＞0，因而－e－kx＜0．于是有可能使f(x)的分母為0，從而使f(x)出現(xiàn)無定義的點，故必有λ≤0．又為保證x→－∞時，有f(x)=0，必有k＞0．故僅(D)入選．4、微分方程y″一y′=ex+1的一個特解具有的形式為()．A、Aex+BB、Axex+BC、Aex+BxD、Axex+Bx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：視ex+1為兩個非齊次項f1(x)=ex，f2(x)=1=e0x，于是需考查0與1是否為特征方程的根，據(jù)此分別寫出y1*與y2*的形式．原方程對應(yīng)的齊次方程為y″一y′=0，它的特征方程為r2一r=0，解得r1=1，r2=0．對于非齊次項ex，因λ=1是特征方程的根，故原方程的特解應(yīng)為y1*=Axex．對于非齊次項1=e0x，λ=0也是特征方程的根，原方程特解應(yīng)為y2*=Bx，故僅(D)入選．5、若α1，α2，α3，β1，β2都是四維列向量，且四階行列式｜α1，α2，α3，β1｜=m，｜β2，α1，α2，α3｜=n則四階行列式｜α3，α2，α1，β1+β2｜等于()．A、m+nB、－(m+n)C、n－mD、m－n標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：利用行列式性質(zhì)將所給行列式分解為已知其值的行列式的代數(shù)和．｜α3，α2，α1，β1+β2｜=－｜α1，α2，α3，β1+β2｜=－｜α1，α2，α3，β1｜－｜α1，α2，α3，β2｜=－｜α1，α2，α3，β1｜+｜β2，α2，α3，α1｜=－m－｜β2，α1，α3，α2｜=－m+｜β2，α1，α2，α3｜=－m+n=n－m．僅(C)入選．6、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)向量組是()．A、α1+α2，α2+α3，α3－α1B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D、α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2一5α3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：用線性無關(guān)向量組線性表示的向量組的線性相關(guān)性的判定常用下述矩陣表示法：設(shè)向量組(Ⅱ)：β1，…，βr能由線性無關(guān)向量組(Ⅰ)：α1，…，αs線性表示為或[β1，…，βr]=[α1，…，αs][gij]s×r=[α1，…，αs]G，則向量組(Ⅱ)線性無關(guān)的充要條件是秩(K)=r(或秩(G)=r)．當(dāng)r=s時，歸結(jié)為計算行列式｜K｜或｜G｜．如它們不等于0，則向量組(Ⅱ)線性無關(guān)；如等于零，向量組(Ⅱ)線性相關(guān)．方法一對于(A)，令β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3一α1，則[α1+α2，α2+α3，α3一α1]=[α1，α2，α3]==[α1，α2，α3]G1，而｜G1｜==0，故向量組α1+α2，α2+α3，α3一α1線性相關(guān)．對于(B)，令β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α1+2α2+α3，則[α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3]=[α1，α2，α3]==[α1，α2，α3]G2，而｜G2｜==0，故向量組α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3線性相關(guān)．對于(C)，令β1=α1+2α2，β2=2α2+3α3，β3=3α3+α1，則[α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1]=[α1，α2，α3]==[α1，α2，α3]G3，而｜G3｜==12≠0，故向量組α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1線性無關(guān)．對于(D)，令β1=α1+α2+α3，β2=2α1－3α2+22α3，β3=3α1+5α2－5α3，則[α1+α2+α3，2α1－3α2+22α3，3α1+5α2－5α3]=[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]G4，而｜G4｜==0，故(D)中向量組線性相關(guān)．僅(C)入選．方法二也可用定義判別．對于選項(C)，令k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0，即(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0．因α1，α2，α3線性無關(guān)，故因該方程組的系數(shù)矩陣行列式不等于0，故該方程組只有零解，即k1=k2=k3=0，所以該向量組線性無關(guān)．僅(C)入選．7、設(shè)X為隨機(jī)變量，若矩陣A=的特征值全為實數(shù)的概率為0．5，則()．A、X服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布B、X服從二項分布B(2，0．5)C、X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布D、X服從正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：先計算A的特征多項式，再由特征值全為實數(shù)應(yīng)滿足的概率條件進(jìn)而確定X的分布．因｜λE－A｜==(λ一2)(λ2+2λ+X)，故A的特征值全為實數(shù)的條件為b2一4ac=4—4X≥0．由題設(shè)有P(4—4X≥0)=0．5，即P(X≤1)=P(0≤X≤1)=(1—0)／(2一0)=0．5，因而X服從區(qū)間[0，2]上的均勻分布．僅(A)入選．8、設(shè)隨機(jī)變量X，y相互獨立且都服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若概率P(aX—bY＜μ)=1／2，則()．A、a=1／2，b=1／2B、a=1／2，b=－1／2C、a=－1／2，b=1／2D、a=－1／2，b=－1／2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先求出aX—bY服從的正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：其隨機(jī)變量在其數(shù)學(xué)期望的左右兩側(cè)取值的概率均為1／2，找出口與6的關(guān)系并由此關(guān)系判定選項．因X，Y相互獨立，且都服從N(μ，σ2)，故aX—bY服從正態(tài)分布，且aX—bY～N(aμ一bμ，(a2+b2)σ2)，所以P(aX－bY≤aμ一bμ)=1／2．于是aμ一bμ=μ，即a一b=1．因而僅(B)入選．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)9、曲面z—y—lnx+lnz=0與平面x+y一2z=1垂直的法線方程為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：x一1=y一1一(z一1)／(一2)知識點解析：令曲面方程為F(x，y，z)=z—y—lnx+lnz=0．設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0，z0)．在該點處曲面的法向量為n=(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)｜(x0，y0，z0)=由平行條件得到從而求得x0=1，z0=1．將(x，y，z)=(1，y0，1)代入F(x，y，z)=0得到y(tǒng)0=1．于是(x0，y0，z0)=(1，1，1)，故所求的法線方程為x一1=y一1一(z一1)／(一2)．10、dx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4π知識點解析：11、原點O(0，0，0)到直線的距離d=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點解析：已知P1(x1，y1，z1)=P1(2，1，2)，P0(x0，y0，z0)=P0(0，0，0)，則將上述數(shù)值代入上述公式，即得d=1．12、設(shè)二次型f(x1，x2，…，xn)=(nx1)2+(nx2)2+…+(nxn)2－(x1+x2+…+xn)2(n＞1)，則f的秩是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識點解析：二次型f的矩陣為此矩陣A的主對角線上的元素全為n2一1，非主對角線上的元素全為一1，由上述結(jié)果可直接寫出該矩陣的行列式的值：｜A｜=[(n2一1)+(n一1)(一1)][(n2一1)一(一1)]n－1=(n2一n)(n2)n－1=n(n一1)(n2(n－1))．因n＞1，故｜A｜≠0，所以f的秩為n．13、設(shè)X的概率密度函數(shù)f(x)=已知P(X≤1)=，則E(X2)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由P(X≤1)=1一P(X＞1)=1—λe－λxdx=1一e－λ=1／2，故λ=ln2．于是E(X)=則E(X2)=D(x)+[E(X)]2=三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(0)=f()，2f(x)dx=f(2)．證明存在ξ∈(0，2)，使f″(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：由積分中值定理2f(x)dx=2.(1一≤η≤1．于是f(x)在[η，2]上滿足羅爾定理，即存在ξ1∈(η，2)，使f′(ξ1)=0．①又f(x)在[0，]滿足羅爾定理，于是存在ξ2∈(0，)，使f′(ξ2)=0．②由式①、式②得到f′(ξ1)=f′(ξ2)．再對f′(x)在[ξ2，ξ1]上使用羅爾定理，得到ξ∈(ξ2，ξ1)(0，2)，使f″(ξ)=0．注意題設(shè)條件或待證結(jié)論中含有定積分等式時，要想到使用積分中值定理，有多個函數(shù)值相等時，要想到使用羅爾定理．知識點解析：暫無解析15、求，a為任意正實數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：將極限函數(shù)的分子、分母分別化成積和式的形式，利用定積分定義求其極限．16、求由方程2x2+2y2+z2+8xz—z+8=0所確定的隱函數(shù)z=z(x，y)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：為求隱函數(shù)的極值，先利用原方程求出駐點及其相應(yīng)的函數(shù)值．由隱函數(shù)微分法得令=0，解得x=－2z，y=0，代入原方程得7z2+z一8=0，又解得z1=1，z2=－8／7，于是駐點為(一2，0)及(16／7，0)．在點(一2，0)處，z=1，=0．因故函數(shù)z=z(x，y)在點(一2，0)處得極小值z=1．在點(=0．因故函數(shù)z=z(x，y)在點(16／7，0)處得極大值一8／7．知識點解析：先根據(jù)二元函數(shù)極值存在的必要條件求出二元函數(shù)的所有駐點，再利用二元函數(shù)極值存在的充分條件判定這些駐點是否為極值點．17、計算x2ydx+(x2+y2)dy+(x+y+z)dz，其中L為x2+y2+z2=11，z=x2+y2+1的交線，從z軸正向往負(fù)向看，L是逆時針的．標(biāo)準(zhǔn)答案：用參數(shù)法計算．為此先求出曲線L在xOy上的投影曲線的方程．由x2+y2+1+z2=12，z2+z－12=(z+4)(z一3)=0，因z＞0，故z=3．因而x2+y2+1=3，即x2+y2=2．用參數(shù)方程表示為x=sint，故L的參數(shù)式方程為x=sint，z=3．故x2ydx+(x2+y2)dy+(x+y+z)dz知識點解析：空間第二類曲線積分常用下述三法求之．借助曲線的參數(shù)方程化為定積分計算，也可用斯托克斯公式轉(zhuǎn)化為曲面積分計算，還可投影到坐標(biāo)面上化為平面上的第二類曲線積分計算．18、求微分方程y″一ay′=ebx(a，b為實常數(shù)，且a≠0，b≠0)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程r2一ar=0，r=0，r=a．故對應(yīng)的齊次方程的通解為Y=c1e0x+c2eax=c1+c2eax．下求特解．當(dāng)b≠a時，設(shè)y*=Aebx，代入方程得當(dāng)b=a時，設(shè)y*=Bxebx，代入方程得綜上所述，微分方程的通解為：當(dāng)b≠a時，y=c1+c2eax+ebx當(dāng)b=a時，y=c1+c2eax+xeax知識點解析：對于含參數(shù)的微分方程，要討論參數(shù)的取值情況以確定特解形式．19、如果A是一個r行n列的其秩為r的矩陣，A的所有行向量形成一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，而B是一個任意r階可逆矩陣，則矩陣BA的所有行向量也形成該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A=，其中αj為A的行向量，B=[bij]r×r，則BA=，其中βj為BA的行向量，則因α1，α2，…，αr線性無關(guān)，且B為滿秩矩陣，即r(B)=r=向量組(β1，β2，…，βr)的個數(shù)，故β1，β2，…，βr線性無關(guān)．因αj為某齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則因β1，β2，…，βr均為α1，α2，…，αr的線性組合，故β1，β2，…，βr也必為該齊次線性方程組的r個解．又它們線性無關(guān)，所以β1，β2，…，βr即BA的r個行向量也為該齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系．知識點解析：將矩陣A，B的行向量組的關(guān)系轉(zhuǎn)化為矩陣關(guān)系證之．20、用非退化(可逆)的線性變換化二次型f(x1，x2，x3)=－4x1x2+2x1x3+2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并求此非退化的線性變換．標(biāo)準(zhǔn)答案：令①則再令②則原式=－因此原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為所作的非退化的線性變換是用新變量表示舊變量的線性變換，即X=PZ，其中X=[x1，x2，x3]T，Z=[z1，z2，z3]T．為求此變換，由方程組②得到y(tǒng)3=z3，y2=z2，y1=(z1+z3)／2．將此代入方程組①得到所求的非退化的線性變換：即且使知識點解析：由于所給的二次型的各項全是交叉項，不含平方項，故常作可逆的線性變換：x1=y1+y2，x2=y1一y2，x3=y3將其化為標(biāo)準(zhǔn)形．21、測量某物體高度時，測量誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，52)，即X的概率密度為f(x)=，一∞＜x＜+∞，求測量誤差的絕對值｜X｜的數(shù)學(xué)期望與方差．標(biāo)準(zhǔn)答案：故D｜X｜=E(｜X｜2)一[E(｜X｜)]2=25—知識點解析：使用期望和方差的定義，并應(yīng)甩對稱性和Γ函數(shù)求之．22、設(shè)(x1，x2，…，xn)和(x1，x2，…，xn)是參數(shù)θ的兩個獨立的無偏估計量，且方差是方差的4倍．試求出常數(shù)k1與k2，使得k1+k2是θ的無偏估計量，且在所有這樣的線性估計中方差最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：由無偏估計量的定義，為使k1也是θ的無偏估計量，必有E(k1)=(k1+k2)θ=θ，即得k1+k2=1．為求k1，k2之值，使無偏估計量k1)之值最小，因故歸結(jié)為求函數(shù)f(k1，k2)=在條件k1+k2=1下的最小值．可用拉格朗日乘數(shù)法求之．為此，令F(k1，k2，λ)=+λ(k1+k2—1)，令=8k1+λ=0，=2k2+λ=0，=k1+k2—1=—0，易求得k1=即滿足上述條件的所有線性估計中，當(dāng)k1=時，相應(yīng)方差最?。R點解析：由無偏估計量的定義易求出，在條件k1+k2=1時，可使k1也是θ的無偏估計量．然后用拉格朗日乘數(shù)法，求出線性估計中的最小方差D(k1)在條件k1+k2=1時的k1與k2之值．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)在x=4處連續(xù)，且=-4，則曲線y=-f(x)在點(4，f(4))處的切線方程是()A、4x-y-12=0。B、4x+y-12=0。C、x-4y-12=0。D、x-4y+12=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：令5-x=4+△x，則△x=1-x，代入所給極限可得由f(x)在點x=4處連續(xù)及上式可得f(4)=f(4+△x)=4，把f(4)=4代入(*)式，得=4，這表明f(x)在x=4處可導(dǎo)，且f’(4)=4。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得曲線y=f(x)在點(4，f(4))=(4，4)處的切線方程是y=f(4)+f’(4)(x-4)，即4x-y-12=0。2、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=bnsinnπx，-∞＜x＜+∞，其中bn=2∫1f(x)sinnπxdx，n=1，2，3，…，則s(-1／2)等于()A、-1／2。B、-1／4。C、1／4。D、1／2。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：因為s(x)是正弦級數(shù)，所以此傅里葉級數(shù)是對f(x)在(-1，0)內(nèi)作奇延拓后展開的，于是和函數(shù)s(x)在一個周期內(nèi)的表達(dá)式為從而s(-1／2)=-(-1／2)2=1／4，故選B。3、設(shè)I=∫0π／6dx，則I，J，K的大小關(guān)系是()A、I＜J＜K。B、I＜K＜J。C、J＜I＜K。D、K＜J＜I。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：令f(x)=tanx-cosx。當(dāng)0＜x＜π／6時，f’(x)=sec2x+sinx＞0，則f(x)在(0，π／6)上單調(diào)遞增，所以f(x)＜f(π／6)=＜0，即tanx＜cosx。又因為當(dāng)0＜x＜π／6時，sinx＜x＜tanx，所以sinx＜tanx＜cosx，于是sinx／x＜tanx／x＜cosx／x，由定積分的保不等式性可得I＜K＜J。4、設(shè)A是5×4矩陣，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，-2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則A的列向量的極大線性無關(guān)組是()A、α1，α3。B、α2，α4。C、α2，α3。D、α1，α2，α4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：由Aη1=0知α1+α2-2α3+α4=0，①由Aη2=0知α2+α4=0，②因為n-r(a)=2，所以r(a)=2，所以可排除選項D；由②知α2，α4線性相關(guān)，故應(yīng)排除選項B；把②代入①得α1-2α3=0，即α1，α3線性相關(guān)，排除選項A；如果α2，α3線性相關(guān)，則r(α1，α2，α3，α4)=r(2α3，α2，α3，-α2)=r(α2，α3)=1與r(a)=2相矛盾，因此α2，α3線性無關(guān)。故選C。5、設(shè)矩陣A=，則下列矩陣中與矩陣A等價、合同但不相似的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：由|λE-A|==λ(λ-3)(λ+3)可知，矩陣A的特征值是3，-3，0，故r(A)=2，二次型xTAx的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1。選項A中的矩陣的秩為1，不可能與矩陣A等價；選項B中矩陣的特征值為1，4，0，正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0，與矩陣A既不合同也不相似，但等價(因為秩相等)；選項C中矩陣的特征值為3，-3，0，與矩陣A不僅等價、合同，而且也是相似的，不符合題意；對于選項D，記其矩陣為D，則有|λE-D|==λ(λ-1)(λ+1)，可知D的特征值是1，-1，0，xTAx與xTDx的正、負(fù)慣性指數(shù)一樣，所以它們合同但不相似(因為特征值不同)，故選D。6、設(shè)A，B是兩個隨機(jī)事件，當(dāng)A，B同時發(fā)生時，事件C一定發(fā)生，下列結(jié)論正確的是()A、P(C)=P(A+B)。B、P(C)=P(AB)。C、P(C)≥P(A)+P(B)-1。D、P(C)≤P(A)+P(B)-1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因為事件A，B發(fā)生時，事件C一定發(fā)生，所以ABC，于是P(C)≥P(AB)，而P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)≥P(A)+P(B)-1，故P(C)≥P(A)+P(B)1。故選C。7、設(shè)隨機(jī)變量X服從分布F(n，n)，記P1=P{X≥1}，P2=P{1／X≤1}，則()A、P1＞P2。B、P1＜P2。C、P1=P2。D、因n未知，無法比較P1，P2大小。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：如果X～F(m，n)，則1／X～F(n，m)。由題中條件知m=n。于是X與1／X都服從分布F(n，n)。事件{X≥1}與{1／X≤1}相同，因此P{X≥1}=P{1／X≤1}=P1。又因X與1／X同分布，因此P{1／X≤1)=p{x≤1}=P2。綜上分析知，P1=P2。故選C。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1／2知識點解析：所以I=e-1／2。9、∫0π／2ln(sinx)dx=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：-ln2知識點解析：令x=2t，則I=2∫0π／4ln(sin2t)dt=2∫0π／44(ln2+lnsint+lncost)dt=ln2+2∫0π／4lnsint+2∫0π／4lncostdt。令u=-t，則∫0π／4lncostdt=∫π／4π／2lnsinudu，所以I=ln2+2∫0π／4lnsintdt+2∫π／4π／4lnsintdt=ln2+2I．因此I=-ln2。10、設(shè)f(x，y)可微f(x，x2)=1且f’x(x，y)=x。當(dāng)x≠0時，f’y(x，想2)=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1／2知識點解析：f(x2)是二元函數(shù)f(x，y)與一元函數(shù)x=x，y=x2復(fù)合而成的一元函數(shù)，由f(x，x2)=1及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得f(x，x2)=f’x(x，x2)+f’y(x，x2)．(x2)’=x+f’y(x，x2)．2x=0，因此f’y(x，x2)=-1／2。11、設(shè)Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}，則Z2dxdydz=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：4／15π知識點解析：利用球面坐標(biāo)。12、設(shè)n階方陣A=(aij)的主對角線元素為2，當(dāng)|i-j|=1時，aij=-1，其他元素為0，則|A*|=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(n+1)n-1知識點解析：根據(jù)題意令按行展開，得Dn=2Dn-1-Dn-2，且D2=3，D1=2，故|A|=Dn=n+1≠0，對AA*=|A|E兩邊取行列式得|AA*|=|A|n，故|A*|=|A|n-1=(n+1)n-1。13、相互獨立的隨機(jī)變量X1和X2均服從正態(tài)分布N(0，1／2)，則D(|X1-X2|)=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1-知識點解析：隨機(jī)變量X1和X2均服從正態(tài)分布N(0，1／2)，記Z=X1-X2，則Z～N(0，1)，因此有概率密度φ(z)=D(|X1-X2|)=D(|Z|)=E(|Z|2)-[E(|Z|)]2=E(Z2)-[E(|Z|)]2=D(Z)+[E(Z)]2-[E(|Z|)]2，其中D(Z)=1，E(Z)=0，E(|Z|)=∫-∞+∞|z|φ(z)dz=∫-∞+∞|z|因此可得D(|X1-X2|)=1+0-三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)14、計算二重積分xarctanydxdy，其中積分區(qū)域D是由拋物線y=x2和圓x2+y2=2及x軸在第一象限所圍成的平面區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D的圖形如圖所示：積分區(qū)域D={(x，y)|0≤y≤1，}，則知識點解析：暫無解析15、求微分方程(1+x)y"=k(x≥0)滿足初始條件y(0)=y’(0)=0的特解，其中常數(shù)k＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令p=y’，則y"=p’，故有(1+x)p’=k，兩邊積分得ln(p+)=kln(1+x)+lnC1，即p+=C1(1+x)k。由p(0)=y’(0)=0可知，C1=1，故+p=(1+x)k，上式分子有理化，得故由r(0)=0得C2=-，因此特解為知識點解析：暫無解析16、計算曲線積分I=[φ(y)cosx-πy]dx+[φ’(y)sinx-π]dy。其中φ(y)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，曲線Г為從A(π，2)到B(3π，4)在直線AB下方的任意路徑，該曲線與直線AB所圍成的區(qū)域面積為2。標(biāo)準(zhǔn)答案：添加一條邊BA，則I=[φ(y)cosx-πy]dx+[φ’(y)sinx-π]dy+[φ(y)cosx-πy]dx+[φ’(y)sinx-π]dy。曲線與直線AB所圍成的區(qū)域記為D，由格林公式可得[φ(y)cosx-πy]dx+[φ’(y)sinx-π]dy由于D的面積為2，可知πdxdy=2π。直線AB的方程為y=+1，則從而I=-6π2。知識點解析：暫無解析17、計算曲面積分，其中S是曲面x2+y2=R2及兩平面z=R，z=-R(R＞0)所圍成的立體表面的外側(cè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令S1=取外側(cè)，則有令Dxy：表示S1，S2在xOy面上的投影區(qū)域，則有令Dyz：表示S3在yOz面的投影區(qū)域，則有知識點解析：暫無解析設(shè)數(shù)列{xn}滿足x1＞0，xn+1=sinxn，n=1，2，…。18、證明xn存在；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x1＞0，且-1≤sinx≤1，所以-1≤x2=sinx1≤1。由數(shù)學(xué)歸納法可知對一切的n=2，3，…，有-1≤xn≤1，則|xn|≤1，即數(shù)列{|xn|}有界。又因為|xn+1|=|sinxn|＜|xn|，所以數(shù)列{|xn|}單調(diào)遞減且有界。由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知，|xn|存在。設(shè)該極限為a，對|xn+1|=|sinxn|兩邊取極限，得a=sina，顯然a=0，即|xn|=0，所以xn=0。知識點解析：暫無解析19、計算xn。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于數(shù)列{xn}的符號不確定，所以分以下三種情況考慮(k=1，2，3，…)：①當(dāng)x1=kπ時，xn=0，則xn=0；②當(dāng)2(k-1)π＜x1＜(2k-1)π時，xn＞0；③當(dāng)(2k-1)，π＜x1＜2kπ時，xn＜0；對于②和③，考慮xn2。由上可知，當(dāng)n→∞時，xn→0，故上式可變形為因為xn2=1。綜上所述知識點解析：暫無解析20、當(dāng)a，b取何值時，方程組有唯一解，無解，有無窮多解?當(dāng)方程組有解時，求通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：將增廣矩陣用初等行變換化為階梯形①當(dāng)a=-1，b≠36時，r(A)=3，r()=4，方程組無解。②當(dāng)a≠-1且a≠6時，r(A)=r()=4，方程組有唯一解，其解為③當(dāng)a=-1，b=36時，r(A)=r()=3，方程組有無窮多解，此時方程組化為令x4=0，有x3=0，x2=-12，x1=6，即特解是ξ=(6，-12，0，0)T。令x4=1，解齊次方程組有x3=0，x2=5，x1=-2，即η=(-2，5，0，1)T是基礎(chǔ)解系。所以通解為ξ+kη=(6，-12，0，0)T+k(-2，5，0，1)T，k是任意常數(shù)。④當(dāng)a=6時，r(A)=r()=3，方程組有無窮多解，此時方程組化為令x3=0，有特解令x3=1，齊次方程組基礎(chǔ)解系β=(-2，1，1，0)T。所以通解為α+kβ=()T+k(-2，1，1，0)T，k是任意常數(shù)。知識點解析：暫無解析21、已知α1=(1，2，1)T，α2=(1，1，a)T分別是三階實對稱不可逆矩陣A的屬于特征值λ1=1與λ2=-1的特征向量。若β=(8，0，10)T，試求Akβ。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A不可逆可知，A有特征值λ3=0，設(shè)特征值0對應(yīng)的特征向量為α3=(x1，x2，x3)T。注意到A為實對稱矩陣，其不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交，故由α1T．α2=0，α1T．α3=0，α2T．α3=0可得解得α=-3，x1=7x3，x2=-4x3。令α3=(7，-4，1)T，將β寫成α1，α2，α3的線性組合，由初等行變換(α1，α2，α3，β)可得β=3α1-2α2+α3。由Akαi=λikαi(i=1，2，3)得到Akβ=Ak(3α1-2α2+α3)=3Akα1-2Akα2+Akα3=3λ1kα1-2λk2α2=3α1-2(-1)kα2=(3+2(-1)k+1，6+2(-1)k+1，3+6(-1)k)T，其中k為正整數(shù)。知識點解析：暫無解析設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為求：22、(X，Y)的邊緣概率密度fX(x)，fY(y)；標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)邊緣概率密度的定義知識點解析：暫無解析23、Z=2X-Y的概率密度fZ(z)；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)z＜0時，F(xiàn)Z(z)=0；當(dāng)0≤z≤2時，當(dāng)z＞2時，F(xiàn)Z(z)=1。因此知識點解析：暫無解析24、P{Y≤1／2|X≤1／2}的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：X，Y所圍區(qū)域如圖所示知識點解析：暫無解析設(shè)總體X服從區(qū)間[0，θ]上的均勻分布，X1，X2，…Xn是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本，Xi，X(n)=max{X1，…，Xn}。25、求θ的矩估計量和最大似然估計量；標(biāo)準(zhǔn)答案：總體X的密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為E(X)=θ／2，令E(X)=，解得θ的矩估計量為樣本X1，…，Xn的似然函數(shù)為L(x1，…，xn；θ)=L(θ)為θ的單調(diào)減函數(shù)，且0≤xi≤θ，即θ要取大于xi的一切值，所以θ的最小取值為max{x1，…，xn}，θ的最大似然估計量=max{X1，…，Xn}=X(n)。知識點解析：暫無解析26、求常數(shù)a，b，使=bX(n)的數(shù)學(xué)期望均為θ，并求D()。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于E(X)=θ／2，D(X)=θ2／12，所以θ=E()=αE(X)=aθ／2，則a=2，且X(n)的分布函數(shù)F(n)(x)及密度函數(shù)f(n)(x)分別為F(n)(x)=P{X(n)≤x}=P{Xi≤x}=[F(x)]n，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，f′(a)＜0，f′(b)＜0，則方程f′(x)在(a，b)內(nèi)()．A、沒有實根B、有且僅有一個實根C、有且僅有兩個不相等的實根D、至少有兩個不相等實根標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：因f′(a)=＜0，故在a的某鄰域內(nèi)存在點x1，a＜x1＜，使f(x1)＜0．同理由f′(b)＞0知，必存在點x2，＜x2＜b，使f(x2)＞0．由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)(介值定理)知，存在c∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)=0．在閉區(qū)間[a，c]和[c，b]上對f(x)分別使用羅爾定理知，至少存在一點ξ1∈(a，c)，使得f′(ξ1)=0，至少存在一點ξ2∈(c，b)，使得f′(ξ2)=0，故方程f′(x)=0在(a，b)內(nèi)至少有兩個不相等的實根．僅(D)入選．2、直線L1：()．A、垂直不相交B、垂直相交C、相交不垂直D、既不垂直也不相交標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：先判別L1與L2是否垂直，再判別它們是否相交．先求出L1的方向向量令τ1=(一1，2，一1)和L2的方向向量τ2=(一4，一1，2)．因τ1.τ2=0，故L1⊥L2．排除(C)、(D)．再考慮它們是否相交．為此令=t，則x=6—4t，y=－t，z=3+2t，代入L1的方程中得t=3，即得其交點為(一6，一3，9)．僅(B)入選．3、級數(shù)()．A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、可能收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：僅(A)入選．因為滿足而發(fā)散，由比較判別法知其發(fā)散，故原級數(shù)不絕對收斂．由萊布尼茨定理知，原級數(shù)收斂，故其條件收斂．4、已知曲面S：x2+2y2+3z2=1，y≥0，z≥0；區(qū)域D：x2+2y=1，x≥0，則()．A、xdxdyB、ydxdyC、ydxdyD、xdxdy標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：因S關(guān)于平面yOz對稱，故xdS=0．又D關(guān)于x軸對稱，而y又是關(guān)于y為奇函數(shù)，故ydxdy=0．因而ydxdy=0．僅(C)入選．5、設(shè)P，Q都是n階矩陣，且(PQ)2=E，其中E是n階單位矩陣，則必有()．A、(QP)2=EB、P2Q2=EC、Q2P2=ED、以上均不對標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：僅(A)入選．由(PQ)2=E得PQPQ=E，則QPQP=E=(QP)(QP)≠(QP)2=E．6、設(shè)A是三階非零矩陣，滿足A2=0，則線性非齊次方程AX=b的線性無關(guān)的解向量個數(shù)是()．A、1個B、2個C、3個D、4個標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：利用下述結(jié)論求之．設(shè)AX=0的基礎(chǔ)解系為α1，α2，…，αn－r；β為AX=b的一特解，則AX=b共有n－r+1個線性無關(guān)的解向量，且β，α1，α2，…，αn－r就是AX=b的n一r+1個線性無關(guān)的解．先求r(A)．因A2=A.A=O，故r(A)+r(A)=2r(A)≤3，即r(A)≤3／2，亦即r(A)≤1．又A≠O，r(A)≥1，故r(A)=1，從而n－r+1=3－r(A)+1=3－1+1=3，即AX=b有3個線性無關(guān)的解向量．僅(C)入選．7、設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨立，且分別服從參數(shù)為λ和μ的指數(shù)分布(μ，λ)(μ＞0，λ＞0)，則P(X＞Y)等于()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因X，Y的概率密度函數(shù)分別為而X，Y獨立，故(X，Y)的概率密度函數(shù)為8、設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且P(X＞σ)A、小于1B、等于1C、大于1D、不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：因P(X＞σ)+P(X＜σ)=1－P(X=σ)=1，又已知P(X＜σ)＞P(X＞σ)，因而P(X＜σ)＞1／2．而P(X＜μ)=1／2，根據(jù)分布函數(shù)單調(diào)不減的性質(zhì)應(yīng)有σ＞μ，從而μ／σ的值小于1．僅(A)入選．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、過z軸及點M(3，－2，5)的平面方程是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x+3y=0知識點解析：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0．由題設(shè)知，平面必過點(0，0，0)，由此知D=0．．又平面法向量，n=(A，B，C)應(yīng)與z軸上的單位向量k=(0，0，1)垂直，從而n.k=C=0．而點M(3，一2，5)在平面上，由Ax+By=0，有3A一2B=0，即B=A．將其代入Ax+By=0，得到Ax+Ay=0，故所求平面方程為2x+3y=0．10、設(shè)二重積分I=(x2+y2)dxdy，其中D是由曲線x2+y2=2x所圍第一象限的平面區(qū)域，則I=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：D的圖形如下圖中的陰影部分所示．在極坐標(biāo)系下D滿足0≤θ≤π／2，0≤r≤2cosθ，且x2+y2=(rcosθ)2+(rsinθ)2=r2，故11、設(shè)(a×b).c=1，則[(a+b)×(b+c)].(c+a)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點解析：[(a+b)×(b+c)].(c+a)=[(a+b)×b+(a+b)×c].(c+a)=[a×b+b×b+a×c+b×c].(c+a)=(a×b+b×c+a×c).(c+a)=(a×b).c+(b×c).c+(a×c).c+(a×b).a+(b×c).a+(a×c).a=(a×b).c+0+0+0+(b×c).a+0=(a×b).c+(a×b).c=2(a×b).c=2．12、I=｜x｜ds=___________，其中L為｜x｜+｜y｜=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由｜y｜ds(因積分曲線L關(guān)于y=x對稱)，得到13、設(shè)三元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為1，且α1，α2，α3是它的三個解向量．若α1+α2=[1，2，一4]T，α2+α3=[0，一2，2]T，α3+α1=[1，0，一1]T，則該非齊次線性方程組的通解為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：c1[1，4，一6]T+c2[一1，2，3]T+[1，0，一2]T知識點解析：設(shè)AX=b為三元非齊次線性方程組．由題設(shè)n=3，r(A)=1，因而Ax=0的一個基礎(chǔ)解系含n一r(A)=3—1=2個解向量．因α1+α2一(α2+α3)=[1，4，一6]T=α1一α3，α2+α3一(α3+α1)=[一1，一2，3]T=α2一α1，而α1一α3，α2一α1均為Ax=0的解向量，且不成比例，故線性無關(guān)，可視為AX=0的一個基礎(chǔ)解系．又因(α1+α2)+(α2+α3)+(α3+α1)=2(α1+α2+α3)=[2，0，一3]T，即α1+α2+α3=[1，0，一3／2]T，①又α1+α2+α2+α3=[1，0，一2]T，②由式②一式①得到α2=[0，0，1／2]T，此為AX=b的特解，從而所求通解為c1(α1一α3)+c2(α2一α1)+α2=c1[1，4，一6]T+c2[一1，2，3]T+[1，0，一2]T．14、設(shè)X1，X2，…，Xn是正態(tài)總體X～N(μ，σ2)的簡單隨機(jī)樣本，樣本方差S2=(Xi－)2，則D(S2)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：因D=2(n一1)，故D(S2)=2(n一1)，即D(S2)=三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)且非負(fù)，證明：在(0，1)內(nèi)存在一點ξ，使ξf(ξ)=f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知，顯然F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=0，F(xiàn)(1)=0，則F(x)在[0，1]上滿足羅爾定理的諸條件．由該定理知，存在一點ξ∈(0，1)，使F′(ξ)=0，即亦即注意若按照一般輔助函數(shù)F(x)的構(gòu)造方法，自然想到令F(x)=xf(x)一f(t)dt，但此時F(0)=－f(t)dt≤0，F(xiàn)(1)=f(1)一f(t)dt=f(1)≥0，得不到F(x)在[0，1]區(qū)間端點處嚴(yán)格異號，因而不能直接使用羅爾定理．知識點解析：將待證等式改寫為xf(x)=f(t)dt，即xf(x)一f(t)dt=0．亦即xf(x)+f(t)dt=[xf(t)dt]′=0，因而構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=xf(t)dt．下只需證明F(x)在[0，1]上滿足羅爾定理的條件即可．16、已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)f′(x)存在．設(shè)連接A(a，f(a))，B(b，f(b))兩點的直線交曲線y=f(x)于點C(c，f(c))，且a＜c＜b．試證：在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f″(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：直線AB的方程是y=(x一a)+f(a)．引進(jìn)輔助函數(shù)F(x)=f(x)一[(x一a)+f(a)]．它的幾何意義是連接A、B兩點的直線與曲線f(x)之差．由題設(shè)知在A點、B點及C點處這兩條線相交，自然有F(a)=F(b)=F(c)=0，也就是說在這三點處兩函數(shù)的函數(shù)值相同．由已知條件F(a)=F(c)=F(b)=0知，函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，c]和[c，b]上滿足羅爾定理．因此，在區(qū)間(a，c)內(nèi)至少存在一點ξ1，使得F′(ξ1)=0；在區(qū)間(c，b)內(nèi)至少存在一點ξ2，使得F′(ξ2)=0．因a＜ξ1＜c＜ξ2＜b，且F″(x)=f″(x)在(a，b)內(nèi)存在，故F′(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上滿足羅爾定理條件．于是，在區(qū)間(ξ1，ξ2)內(nèi)至少存在一點ξ，顯然ξ也在區(qū)間(a，b)內(nèi)，使得F″(ξ)=f″(ξ)=0．知識點解析：利用曲線f(x)與直線AB的方程之差作一輔助函數(shù)F(x)，由題設(shè)知這兩條線有三個交點，因而F(x)有三個零點．對F(x)兩次使用羅爾定理，在此基礎(chǔ)上再對F′(x)使用一次羅爾定理，則存在ξ∈(a，b)，使F″(ξ)=0．17、設(shè)曲線y=y(x)，x∈[0，t]，y(x)≥0．若y=y(x)在[0，t]上的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積的形心坐標(biāo)為(，0)，=4t／5，求y=y(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如下圖取旋轉(zhuǎn)體體積微元：dV=πy2(x)dx．則旋轉(zhuǎn)體形心坐標(biāo)(，0)應(yīng)滿足由題意得到y(tǒng)2(x)dx，兩邊對t求導(dǎo)得到ty2(t)=ty2(t)．求導(dǎo)再化簡得到[y2(t)+2ty(t)y′(t)]=5y2(t)．即2t=3y分離變量解之即得y=Ct3／2，即y=Cx3／2(C為任意常數(shù))．知識點解析：由形心坐標(biāo)的積分表示得到y(tǒng)′(x)滿足的微分方程，解之即得所求曲線方程y=y(x)．18、(1)求級數(shù)的和函數(shù)S(x)；(2)將S(x)展開為x一π／3的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)S(x)=，則故S(x)=(一∞＜x＜+∞)．(2)(一∞＜x＜+∞)．知識點解析：暫無解析19、求解微分方程y″一標(biāo)準(zhǔn)答案：原方程可化為x2y″一xy′+y=2x，此謂歐拉方程．作代換x=et，則t=lnx，代入方程得到+(一1—1)+y=2et，即+y=2et．①事實上，將其代入原方程即得方程①．下求解方程①．其特征方程為r2一2r+1=(r一1)2=0，r1=r2=1，故其齊次方程的通解為Y=(C1+C2t)et=(C1+C2lnx)x．設(shè)非齊次方程的特解為y*=At2et．代入①得A=1，故y*=t2et=x(lnx)2．于是原方程的通解為y=Y+y*=(C1+C2lnx)x+x(lnx)2．知識點解析：暫無解析20、計算n(n≥2)階行列式標(biāo)準(zhǔn)答案：=a1a2a3…an將各列都加到第1列得到最后按第1列展開得到知識點解析：先提取第i列的公因子ai(i=1，2，…，n)，然后再將各列加到第1列，最后按第1列展開．21、設(shè)A為n階實對稱矩陣，AB+BTA是正定矩陣，證明A是可逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：由正定矩陣的定義知，對任意X≠0，有XT(AB+BTA)X=XTABX+XTBTAX+XTATBX+(BX)TAX=(AX)T(BX)+(BX)T(AX)＞0．因而對任意X≠0有AX≠0，即齊次線性方程組Ax=0只有零解，故r(A)=n，即A為可逆矩陣．知識點解析：由題設(shè)知，對任意X≠0，有XT(AB+BTA)X＞0．由此可推得對任意X≠0，有AX≠0，從而A可逆．22、設(shè)隨機(jī)變量X在[0，π]上服從均勻分布，求(1)Y=sinX的概率密度；(2)E(Y)和D(Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由題設(shè)知X的概率密度為先求y的分布函數(shù)：FY(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)．當(dāng)y≤0時，F(xiàn)Y(y)=P()=0；當(dāng)0＜y≤1時(見下圖)，F(xiàn)Y(y)=P(0≤X≤arcsiny)一P(π—arcsiny≤X≤π)當(dāng)y＞1時，F(xiàn)Y(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)=1．綜上得到FY(y)=則Y的概率密度為知識點解析：暫無解析23、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從均勻分布，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為求Z=X—Y的概率密度函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：Z=X—Y的分布函數(shù)為Fz(z)=P(Z≤z)=P(X—Y≤z)=f(x，y)dxdy．因隨著z的取值范圍不同，區(qū)域x—y≤z與f(x，y)的取值非零的區(qū)域即正方形區(qū)域0≤x≤2，0≤y≤2相交的情況不一樣，需分別討論．因f(x，y)取非零值的定義域的邊界點為(0，0)，(0，2)，(2，2)，(2，0)，相應(yīng)地，z=x—y的可能取值為z=0—0=0，z=0—2=－2，z=2—2=0，z=2—0=2．因而z應(yīng)分下述情況分別求出分布函數(shù)：(1)z＜－2，(2)一2≤x＜0，(3)0≤z＜2，(4)z≥2．(1)當(dāng)z＜－2時，區(qū)域x—y＜z(這時當(dāng)x=0時，一y＜一2，即y＞2)與正方形0≤x≤2，0≤y≤2沒有公共部分(參見下圖)，所以Fz(z)=0dxdy=0．(2)當(dāng)一2≤z＜0時(這時當(dāng)x=0時，則一2≤x—y=一y≤0，即0≤y≤2)，區(qū)域x—y≤z與正方形0≤x≤2，0≤y≤2的公共部分如下圖陰影區(qū)域所示，則(3)當(dāng)0≤z＜2時，區(qū)域x一y＜z與正方形區(qū)域0≤x≤2，0≤y≤2的公共部分如下圖陰影部分所示，故(4)當(dāng)z≥2時，x一y=z≥2，當(dāng)x=0時，y=－2，當(dāng)y=0時，x≥2，因而區(qū)域x—y＜z在x—y=z的上方，它包含整個正方形區(qū)域(參見下圖)，故Fz(z)=dy=1．綜上得到故知識點解析：求二維隨機(jī)變量(X，Y)函數(shù)(尤其是其線性函數(shù))的分布函數(shù)常利用其定義求之．求時需對X—Y≤z中z的不同取值情況分別確定f(x，y)不為0的區(qū)域與{(x，y)｜x—y≤z}的交集．在此交集上進(jìn)行二重積分，求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)，即可求得概率密度函數(shù)．考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、A、∞B、0C、6D、一6標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：2、設(shè)α是實數(shù)，f(x)在點x=1處可導(dǎo)，則α的取值范圍()A、α＜一1B、一1≤α＜0C、0≤α＜1D、α≥1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由導(dǎo)數(shù)定義知：當(dāng)α+1＜0，即α＜一1時，(x一1)一(α+1)為無窮小，為有界變量，故當(dāng)α＜一1時，f’+(1)=0，f’一(1)=0，故f’(1)=0．3、在下列微分方程中，以y=(c1+x)e一x+c2e2x(c1，c2是任意常數(shù))為通解的是()A、y"+y’一2y=5e一xB、y"+y’一2y=3e一xC、y"一y’一2y=一5e一xD、y"一y’一2y=一3e一標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：y=(c1+z)e一x+c2e2x=c1e一x+c2e2x+xe一x．從而由齊次微分方程的解結(jié)構(gòu)可得λ，=一1，λ1=2，y*=xe一x，即y"一y’一2y=0，再將y*代入上式可得(D)項正確．4、已知曲面x=4一x2一y2上點P處的切平面平行于平面2x+2y+x=1，則點P坐標(biāo)為()A、(1，一1，2)B、(1，1，2)C、(一1，1，2)D、(一1，一1，2)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：設(shè)P點的坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，則點P處的切平面為2x0(x—x0)+2y0(y—y0)+(z—z0)=0當(dāng)且僅當(dāng)時，該切平面與2x+2y+z=1平行，故選(B)．5、設(shè)向量組α，β，γ線性無關(guān)，向量組α，β，δ線性相關(guān)，則()A、α不可由β，γ，ε線性表示B、δ可由α，β，γ線性表示C、β不可由α，γ，δ線性表示D、δ不可由α，β，γ線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：α，β，y線性無關(guān)r(α，β，γ)=3；α，β，δ線性相關(guān)r(α，β，δ)＜3，從而δ可由α，β線性表示，則δ可由α，β，γ線性表示．6、以下矩陣可相似對角化的個數(shù)為()A、2個B、3個C、4個D、5個標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：(1)有3個不同的特征值，可對角化；(2)的特征值為1，1，3，λ=1為二重根，但其只有一個特征向量，從而不能對角化；(3)的秩為1，從而特征根為6，0，0，λ=0為二重根，其有兩個線性無關(guān)的特征向量，從而可對角化；(4)為實對稱矩陣，則可對角化；(5)A2×2，|A|＜0，顯然有兩個不同的特征值，也可對角化；綜上所述，可對角化的矩陣有4個．7、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，且都在(0，α)上服從均勻分布，則隨機(jī)變量Z=max{X，Y)的概率密度為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：8、設(shè)隨機(jī)變量t～t(n)，對α∈(0，1)，tα(n)為滿足P(t＞tα(n))=α的實數(shù)，則滿足P(|t|≤b)=α的b等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：2ln2—1．知識點解析：10、若當(dāng)x→0時，x一(a+bcosx)sinx為x3的高階無窮小，其中a，b為常數(shù)，則(a，b)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：11、設(shè)，則y(n)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：12、設(shè)則f(x)以2π為周期的傅立葉級數(shù)在x=π處收斂于________，在x=2π處收斂于________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由于f(x)的周期為2π，且在點x=0處連續(xù)，故在x=2π處收斂于f(2π)=f(0)=1．13、設(shè)，B=A一1，則B的伴隨矩陣B*的所有元素之和等于________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：故B*的所有元素之和為14、設(shè)X～B(n，p)，若(n+1)p不是整數(shù)，則當(dāng)P{X=k)最大時，k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(n+1)p．知識點解析：設(shè)X～B(n，p)，則使P{X=k)達(dá)到最大的忌稱為二項分布的最可能值，記為k0且三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，又(Ⅰ)求f’(0)與f"(0)；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[1，3]上連續(xù)，在(1，3)內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在ξ，η∈(1，3)，使得η3f’(ξ)=10f’(η)．標(biāo)準(zhǔn)答案：要證存在ξ，η∈(1，3)使η3f’(ξ)=10f’(η)，即要證由拉格朗日中值定理知由柯西中值定理知由①式知f(3)一f(1)=2f’(ξ)，由②式知f(3)一f(1)=則，故礦f’(ξ)=10f’(η)，其中ξ，η∈(1，3)．知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(x)，g(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且[y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy=0，其中L為平面上任意簡單閉曲線．(Ⅰ)求f(x)和g(x)，其中f(0)=g(0)=0；(Ⅱ)計算沿任一條曲線從點(0，0)到點(1，1)的積分Ⅰ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由知，s[g’(x)一f(x)]+f’(x)一g(x)一ex=0，知識點解析：暫無解析18、(Ⅰ)求級數(shù)的和函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)y=y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y’(0)=的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：將以上兩式代入原方程得y"一y=sinx．(2)特征方程為ρ2一1=0，ρ=±1．非齊次方程待定特解為y*=Acosx+Bsinx．代入y"一y=sinx得，A=0，則非齊次方程通解為由y(0)=0，y’(0)=可得c1=1，c2=一1．則所求特解為知識點解析：暫無解析20、已知A=(α1，α2，α3，α4)是4階矩陣，α1，α2，α3，α4是4維列向量，若方程組Ax=β的通解是k(1，一2，4，0)T+(1，2，2，1)T，又B=(α3，α2，α1，β一α4)，求方程組Bx=α1一α2的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由方程組Ax=β的通解是k(1，一2，4，0)T+(1，2，2，1)T，得4一r(A)=1，即r(A)=3；(α1，α2，α3，α4)即α1一2α2+4α3=0．①且(α1，α2，α3，α4)α知識點解析：暫無解析21、設(shè)齊次線性方程組(2E—A)x=0有通解x=kξ1=k(一1，1，1)T，k是任意常數(shù)，其中A是二次型f(x1，x2，x3)=xTAx對應(yīng)的矩陣，且r(A)=1．(Ⅰ)求方程組Ax=0的通解．(Ⅱ)求二次型f(x1，x2，x3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)A是二次型的對應(yīng)矩陣，故AT=A，由(2E一A)x=0有通解x=kξT=k(一1，1，1)T，知A有特征值λ1=2，且A的對應(yīng)于λ1=2的特征向量為ξ1=(一1，1，1)T．由于r(A)=1，故知λ=0是A的二重特征值．Ax=0的非零解向量即是A的對應(yīng)于λ=0的特征向量．設(shè)λ2=λ3=0所對應(yīng)的特知識點解析：暫無解析22、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率分布為其中a，b，c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)=一0．2，P{Y≤0|X≤0}=0．5．記Z=X+Y．(Ⅰ)求a，b，c的值；(Ⅱ)求Z=X+Y的概率分布；(Ⅲ)求概率P{X=Z}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用概率分布的規(guī)范性得到a+0．2+0．1+6+0．2+0．1+c=1，即a+b+c=0．4①利用(X，Y)的概率分布得到X的邊緣概率分布為由①②③得到a=0．2，b=0．1，c=0．1(Ⅱ)Z=X+Y的概率分布為(Ⅲ)P{X=Z}=P{X=X+Y)=P{Y=0)=0．2．知識點解析：暫無解析23、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞．(Ⅰ)求常數(shù)A；(Ⅱ)求條件概率密度fY|X(y|x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)一）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B，再把B的第2列加到第3列得C，則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：暫無解析2、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：3、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：4、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：5、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：6、A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)7、設(shè)函數(shù)y=1/(2x+3),則y(n)(0)=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：[(-1)nn!2n]/3n+1知識點解析：暫無解析8、標(biāo)準(zhǔn)答案：e^-x知識點解析：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識點解析：11、設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且f(x)的傅里葉級數(shù)為，則n≥1時，an=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：這是求偶里葉系數(shù)的問題，若f(x)以2t為周期，按公式取l=1,得12、設(shè)l為圓周一周，則空間第一型曲線積分x2ds=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：由輪換對稱性知，所以而為l的全長，l是平x+y+z=a上的圓周，點O到此平面的距離為所以此l的半徑為所以三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)13、設(shè)L為正向圓周x2+y2=2在第一象限中的部分，求曲線積分的值.標(biāo)準(zhǔn)答案：原積分知識點解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)二次型，滿足，AB=0，其中18、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所作正交變換；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件故B的3個列向量都是Ax=0的解向量，也是A的對應(yīng)于λ=0的特征向量，其中線性無關(guān)且正交，．故λ=0至少是二重特征值．又因另一個是λ3=2，故λ1=λ2=0是二重特征值．因A是實對稱陣，故對應(yīng)λ3=2的特征向量應(yīng)與ξ1，ξ2正交，設(shè)ξ3=[x1，x2，x3]T，則有得ξ3=[1，1，一2]T,故存在正交變換x=Qy，其中使得知識點解析：暫無解析19、求該二次型；標(biāo)準(zhǔn)答案：先求二次型對應(yīng)矩陣．因故故所求二次型為f(x1，x2，x3)=(x12+x22+4x32一2x1x2－4x1x3－4x2x3)．知識點解析：暫無解析20、f(x1，x2，x3)=1表示什么曲面?標(biāo)準(zhǔn)答案：法一由標(biāo)準(zhǔn)形知f(x1,x2,x3)=2y32=1．y3=表示兩個平行平而，法二由(Ⅱ)得二次型f(x1,x2,x3)=(x12+x22+4x32+2x3x2－4x1x3一x2x3)=(x1,x2一2x3)2．若f(x1,x2,x3)=1．得(x1+x2一2x3)=．表示兩個平行平面．【注】(Ⅱ)求二次型的對應(yīng)矩陣A，也可用AB=O，AT=A直接求得．知識點解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點解析：暫無解析設(shè)n為自然數(shù)，證明：23、f(x)在[0，+∞)取最大值并求出最大值點；標(biāo)準(zhǔn)答案：求f’(x)，考察f(x)的單淵性區(qū)間．由于因此，當(dāng)x>1時僅當(dāng)x=kπ(k=1，2，…)時f’(x)=0．于是，f(x)在[0，1]單調(diào)上升，f(x)在[1，+∞)單調(diào)下降→f(x)知識點解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：方法1。估計就是估計積分值由sint≤t(t