考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷1（共282題）

考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷1（共9套）（共282題）考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、某五元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等變換，化為．則自由變量可取為(1)x4，x5．(2)x3，x5．(3)x1，x5．(4)x2，x3．那么正確的共有()A、1個(gè)．B、2個(gè)．C、3個(gè)．D、4個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩r(A)=3，有n—r(A)=5—3=2，故應(yīng)當(dāng)有2個(gè)自由變量．由于去掉x4，x5兩列之后，所剩三階矩陣為因?yàn)槠渲扰cr(A)不相等，故x4，x5不是自由變量．同理，x3，x5不能是自由變量．而x1，x2與x2，x3均可以是自由變量，因?yàn)樾辛惺蕉疾粸?．所以應(yīng)選B．2、已知α1,α2,α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，那么下列向量α1一α2，α1+α2一2α3,，α1一3α2+2α3中能導(dǎo)出方程組Ax=0解的向量共有()A、4個(gè)．B、3個(gè)．C、2個(gè)．D、1個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1+α2—2α3)=Aα1+Aα2—2Aα3=b+b一2b=0，A(α1一3α2+2α3)=Aα1一3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0，那么，α1—α2，α1+α2—2α3，，α1一3α2+2α3均是齊次方程組Ax=0的解．所以應(yīng)選A．3、已知α1=(1，1，一1)T，α2=(1，2，0)T是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，一1，3)T．B、(2，1，一3)T．C、(2，2，一5)T．D、(2，一2，6)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：如果A選項(xiàng)是Ax=0的解，則D選項(xiàng)必是Ax=0的解．因此選項(xiàng)A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一個(gè)解η，亦即方程組x1α1，+x1α2=η必有解，因?yàn)榭梢姷诙€(gè)方程組無解，即(2，2，一5)T不能由α1，α2線性表示．所以應(yīng)選B．4、設(shè)n元齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A的秩為r，則Ax=0有非零解的充分必要條件是()A、r=n．B、r≥N．C、r＜n．D、r＞n．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：將矩陣A按列分塊，A=(α1,α2……αn)，則Ax=0的向量形式為x1α1+x2α2+…+xnαn=0，而Ax=0有非零解α1,α2……αn線性相關(guān)．所以應(yīng)選C．5、已知4階方陣A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均為四維列向量，其中α1,α2線性無關(guān)，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2為任意常數(shù)，那么Ax=β的通解為()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由α1+2α2一α3=β知即γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是導(dǎo)出組Ax=0的解，并且它們線性無關(guān)．于是Ax=0至少有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，有n—r(A)≥2，即r(A)≤2，又因?yàn)棣?,α2線性無關(guān)，有r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2．所以必有r(A)=2，從而n—r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基礎(chǔ)解系，根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，所以應(yīng)選B．6、已知β1，β2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，α1，α2是對應(yīng)的齊次線性方程Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對于A、C選項(xiàng)，因?yàn)樗赃x項(xiàng)A、C中不含有非齊次線性方程組Ax=b的特解，故均不正確．對于選項(xiàng)D，雖然(β1一β2)是齊次線性方程組Ax=0的解，但它與α1不一定線性無關(guān)，故D也不正確，所以應(yīng)選B．事實(shí)上，對于選項(xiàng)B，由于α1，(α1一α2)與α1，α2等價(jià)(顯然它們能夠互相線性表示)，故α1，(α1一α2)也是齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，而由可知是齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，由非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)定理知，B選項(xiàng)正確．7、三元一次方程組329，所代表的三個(gè)平面的位置關(guān)系為()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為A，對增廣矩陣A作初等行變換，有因?yàn)閞(A)=2，而r(A)=3，方程組無解，即三個(gè)平面沒有公共交點(diǎn)．又因平面的法向量，n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，一1，一2)互不平行．所以三個(gè)平面兩兩相交，圍成一個(gè)三棱柱．所以應(yīng)選C．8、設(shè)A是m×n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()A、若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解．B、若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多個(gè)解．C、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解．D、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴徽擙R次線性方程組Ax=0的解的情況如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A；b)所以選項(xiàng)A、B均不正確．而由Ax=b有無窮多個(gè)解可知，r(A)=r(A；b)＜n．根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件可知，此時(shí)Ax=0必有非零解．所以應(yīng)選D．9、要使都是線性方程組Ax=0的解，只要系數(shù)矩陣A為()A、[一211]．B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由題意，ξ1、ξ2與A的行向量是正交的，對于選項(xiàng)A，因(一2，1，1)ξ1=0，(一2，1，1)ξ2=0，而逐一驗(yàn)證可得，其他三個(gè)選項(xiàng)均不滿足正交條件．所以應(yīng)選A．10、設(shè)A為n階矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，對于線性方程組(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有()A、(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(I)的解．B、(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(I)的解．C、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解不是(Ⅱ)的解．D、(Ⅱ)的解不是(I)的解，(I)的解也不是(Ⅱ)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：如果α是(I)的解，有Aα=0，可得ATAα=AT(Aα)=AT0=0，即α是(Ⅱ)的解．故(I)的解必是(Ⅱ)的解．反之，若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得αT(ATAα)=(αAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)=αT0=0，若設(shè)Aα=(b1，b2，…，bn)，那么(Aα)T(Aα)=b12+b22+…+bn2=0→bi=0(i=1，2，…，n)即Aα=0．亦即α是(I)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(I)的解．所以應(yīng)選A．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、設(shè)A為3×3矩陣，且方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量，則r(A)=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：由線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的和等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，且本題系數(shù)矩陣為3×3階，因此r(A)=n一r=3—2=1．12、設(shè)A是一個(gè)五階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若η，η是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則r(A*)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：η1，η2是齊次線性方程組Ax=O的兩個(gè)線性無關(guān)的解．因此由方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系，有n—r(A)≥2，即r(A)≤3．又因?yàn)锳是5階矩陣，而r(A)≤3，因此｜A｜的4階子式一定全部為0，因此代數(shù)余子式Aij，恒為零，即A*=O，所以r(A*)=0．13、方程組有非零解，則k=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點(diǎn)解析：一個(gè)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式等于零，即因此得k=一1．14、設(shè)，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T知識點(diǎn)解析：A是一個(gè)3階矩陣，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n—r(A*)=3一1=2，因此A*x=0有兩個(gè)基礎(chǔ)解系，其通解形式為k1η1+k2η2．又因?yàn)锳*A=｜A｜E=0，因此矩陣A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T．15、已知方程組總有解，則λ應(yīng)滿足的條件是__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：對于任意的b1，b2，b3，方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩為3，即｜A｜≠0，由16、已知方程組有無窮多解，那么α=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是，而有無窮多解的充分必要條件是，對增廣矩陣作初等行變換，有由于r(A)=2，則可以推出6—2a=0，因此方程組有無窮多解的充分必要條件是a=3．17、已知α1，α2是方程組的兩個(gè)不同的解向量，則α=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣?，α2是方程組的兩個(gè)不同的解，因此該方程組有無窮多解，即系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等，且均小于3，對增廣矩陣作初等行變換有因此a=一2時(shí)，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等且均為2．故a=一2．18、四元方程組Ax=b的三個(gè)解是α1,α2,α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如果r(A)=3，則方程組Ax=b的通解是____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知識點(diǎn)解析：根據(jù)(α2+α3)一2α1=(α2一α1)+(α2一α1)=(2，3，4，5)T一2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，因此可知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又因?yàn)閞(A)=3，n一r(A)=1，所以Ax=b的通解為(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．19、設(shè)α1=(6，一1，1)T與α2=(一7，4，2)T是線性方程組的兩個(gè)解，那么此方程組的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(6，一1，1)T+k(13，一5，一1)T(k為任意常數(shù))知識點(diǎn)解析：一方面因?yàn)棣?，α2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，因此一定有r(A)=r(A)＜3．另一方面由于在系數(shù)矩陣A中存在2階子式因此一定有r(A)≥2，因此必有r(A)=r(A)=2．則n一r(A)=3—2=1，因此，導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)解向量所構(gòu)成，根據(jù)解的性質(zhì)可知α1一α2=(6，一1，1)T一(一7，4，2)T=(13，一5，一1)T，是導(dǎo)出組Ax=0的非零解，即基礎(chǔ)解系，那么由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)可知(6，一1，1)T+k(13，一5，一1)T(k為任意常數(shù))是方程組的通解．三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)設(shè)A=E一ξξT，其中E是n階單位矩陣，ξ是n維非零列向量，ξT是ξ的轉(zhuǎn)置．證明：20、A2=A的充分條件是ξTξ=1；標(biāo)準(zhǔn)答案：A2=(E一ξξT)(E一ξξT)=E一2ξξT+ξ(ξTξ)ξT=E一(2一ξTξ)ξξT因此A2=A→E一(2一ξTξ)ξξT=E一ξξT→(ξTξ一1)ξξT=0．因?yàn)棣巍?，所以ξξT≠0，因此A2=A的充分條件為ξTξ=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、當(dāng)ξTξ=1時(shí)，A是不可逆矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)ξTξ=1時(shí)，由A=E一ξξT可得Aξ=ξ一ξξTξ=ξ一ξ=0，因?yàn)棣巍?，因此Ax=0有非零解，即｜A｜=0，所以A不可逆．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)已知方程組Ax=b有無窮多解，求a的值并求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題干可知，線性方程組Ax=b有無窮多解．對線性方程組Ax=b的增廣矩陣作初等行變換，知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)α1,α2……αs為線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α1+t2α3，…，βs=t1α1+t2α1，其中t1，t2為實(shí)常數(shù)．試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1β2……βs也為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣耰(i=1，2，…，s)是α1,α2……αs的線性組合，且α1,α2……αs是Ax=0的解，所以根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知βi(i=1，2，…，s)均為Ax=0的解．由α1,α2……αs是Ax=0的基礎(chǔ)解系，知s=n—r(A)．以下分析β1β2……βs線性無關(guān)的條件：設(shè)k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0，由于α1,α2……αs線性無關(guān)，因此有當(dāng)t1s+(一1)s+1t2s≠0時(shí)，方程組(*)只有零解k1=k2=…=ks=0．因此當(dāng)s為偶數(shù)，t1≠±t2，或當(dāng)s為奇數(shù)，t1≠一t2時(shí)，β1β2……βs線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、已知平面上三條不同直線的方程分別為l1：ax+26y+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0，試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：必要性：設(shè)三條直線l1，l2，l3交于一點(diǎn)，則其線性方程組為：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：(3)nx1+(n一1)x2+…+2xn-1+xn=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)方程組的系數(shù)矩陣所以r(A)=2，因此基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為4—2=2，又原方程組等價(jià)于取x3=1，x4=5，得x1=一4，x2=2；取x3=0，x4=4，得x1=0，x2=1．因此基礎(chǔ)解系為(2)方程組系數(shù)矩陣得r(A)=2，基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為4—2=2．又原方程組等價(jià)于取x3=1，x4=2得x1=0，x2=0；取x3=0，x4=19，得x1=1，x2=7．因此基礎(chǔ)解系為(3)記A=(n，n一1，…，1)，可見r(A)=1，從而有n一1個(gè)線性無關(guān)的解構(gòu)成此方程的基礎(chǔ)解系，原方程組為xs=一nx1一(n一1)x2－…一2xn-1．取x1=1，x2=x3=…=xx-1=0，得xn=一n；取x2=1，x1=x3=x4=…=xx-1=0，得xn=一(n一1)=一n+1：……取xn-1=1，x1=x2=…=xn-2=0，得xn=一2．所以基礎(chǔ)解系為知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求一個(gè)齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為ξ1=(0，1，2，3)T，ξ2=(3，2，1，0)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)所求齊次方程為Ax=0，ξ1，ξ2是4維列向量，基礎(chǔ)解系含有2個(gè)向量，因此r(A)=4—2=2，即方程的個(gè)數(shù)大于等于2．記B=(ξ1，ξ2)，即有AB=0，且r(A)=2即BTAT=0且r(AT)=2．所以AT的列向量就是BTx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)四元齊次線性方程組求：27、方程組I與Ⅱ的基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：求方程組I的基礎(chǔ)解系：系數(shù)矩陣為知識點(diǎn)解析：暫無解析28、I與Ⅱ的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x=(x1，x2，x3，x4)T為I與Ⅱ的公共解，用兩種方法求x的一般表達(dá)式：方法一：x是I與Ⅱ的公共解，因此x是方程組Ⅲ的解，方程組Ⅲ為I與Ⅱ聯(lián)立的方程組，即知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)29、求滿足Aξ2=ξ1，A2ξ=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣(A：ξ1)作初等行變換，則得Ax=0的基礎(chǔ)解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T．故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T或ξ2=(k，一2k，2k+1)T，其中k為任意常數(shù)．由于，對增廣矩陣(A2；ξ1)作初等行變換，有得A2x=0的基礎(chǔ)解系(一1，1，0)T，(0，0，1)T．又A2x=ξ1有特解故其中t1，t2為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、對(1)中任意向量ξ2和ξ3，證明ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗?，?，ξ2，ξ3線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)已知線性方程組Ax=b，存在兩個(gè)不同的解．31、求λ，a；標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知可得，線性方程組Ax=b有兩個(gè)不同的解，則．故｜A｜=0，即知識點(diǎn)解析：暫無解析32、求方程組Ax=b的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=一1，a=一2時(shí)，知識點(diǎn)解析：暫無解析33、已知齊次線性方程組同解，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于方程組(Ⅱ)中“方程個(gè)數(shù)＜未知數(shù)個(gè)數(shù)”，所以方程組(Ⅱ)必有非零解．那么方程組(I)必有非零解．(I)的系數(shù)矩陣行列式為0，即對方程組(I)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有則方程組(I)的通解是k(一1，一1，1)T．由已知，則(一1，一1，1)T也是方程組(Ⅱ)的解，則有知識點(diǎn)解析：暫無解析34、已知A是m×n矩陣，其m個(gè)行向量是齊次線性方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系，B是m階可逆矩陣，證明：BA的行向量也是齊次方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知可得A的行向量是Cx=0的解，即CAT=O．則C(BA)T=CATBT=OBT=0．可見BA的行向量是方程組Cx=0的解．由于A的行向量是基礎(chǔ)解系，所以A的行向量線性無關(guān)，于是m=r(A)=n—r(C)．又因?yàn)锽是可逆矩陣，r(BA)=r(A)=m=n—r(C)，所以鮒的行向量線性無關(guān)，其向量個(gè)數(shù)正好是n—r(C)，因此是方程組Cx=0的基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、非齊次線性方程組Ax=b中，系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的秩都等于4，A是4×6矩陣，則()A、無法確定方程組是否有解。B、方程組有無窮多解。C、方程組有唯一解。D、方程組無解。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同是方程組有解的充要條件，且方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)是6，而系數(shù)矩陣的秩為4，因此方程組有無窮多解，故選B。2、設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量，若則線性方程組()A、Ax=α必有無窮多解。B、Ax=α必有唯一解。C、僅有零解。D、必有非零解。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：齊次線性方程必有解(零解)，則選項(xiàng)C、D為互相對立的命題，且其正確與否不受其他條件制約，故其中有且只有一個(gè)正確，因而排除A、B。又齊次線性方程組有n+1個(gè)變量，而由題設(shè)條件知，。所以該方程組必有非零解，故選D。3、設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充要條件是()A、A的列向量線性無關(guān)。B、A的列向量線性相關(guān)。C、A的行向量線性無關(guān)。D、A的行向量線性相關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：Ax=0僅有零解→r(A)=n→A的列向量線性無關(guān)。故選A。4、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則線性方程組(AB)x=0()A、當(dāng)n＞m時(shí)，僅有零解。B、當(dāng)n＞m時(shí)，必有非零解。C、當(dāng)m＞n時(shí)，僅有零解。D、當(dāng)m＞n時(shí)，必有非零解。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳B是m階矩陣，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以當(dāng)m＞n時(shí)，必有r(AB)＜m，根據(jù)齊次方程組存在非零解的充分必要條件可知，選項(xiàng)D正確。5、設(shè)A是m×n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()A、若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解。B、若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多個(gè)解。C、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解。D、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴徽擙R次線性方程組Ax=0的解的情況如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A；b)，所以選項(xiàng)A、B均不正確。而由Ax=b有無窮多個(gè)解可知，r(A)=r(A；b)＜n。根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件可知，此時(shí)Ax=0必有非零解。所以應(yīng)選D。6、非齊次線性方程組Ax=b中未知量的個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣的秩為r，則()A、r=m時(shí)，方程組Ax=b有解。B、r=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。C、m=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。D、r＜n時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：對于選項(xiàng)A，r(A)=r=m。由于r(A；b)≥m=r，且r(A；b)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有r(A；b)=r，從而r(A)=r(A；b)，此時(shí)方程組有解，所以應(yīng)選A。由B、C、D選項(xiàng)的條件均不能推得“兩秩”相等。7、已知α1,α2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，那么中，仍是線性方程組Ax=b特解的共有()A、4個(gè)。B、3個(gè)。C、2個(gè)。D、1個(gè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于Aα1=b，Aα2=b，那么可知均是Ax=b的解。而可知不是Ax=b的解。故應(yīng)選C。8、設(shè)α1,α2,α3均為線性方程組Ax=b的解，下列向量中可以作為導(dǎo)出組Ax=0的解向量有()個(gè)。A、4。B、3。C、2。D、1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1—2α2+α3)=Aα1一2Aα2+Aα3=b一2b+b=0A(α1+3α2一4α3)=Aα1+3Aα2—4Aα3=b+3b一4b=0。這四個(gè)向量都是Ax=0的解，故選A。9、已知α1,α2,α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，那么向量中，是對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0解向量的共有()A、4。B、3。C、2。D、1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b一b=0，A(α1+α2一2α3)=Aα1+Aα2一2Aα3=b+b一2b=0，A(α1一3α2+2α3)=Aα1一3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0，即α1一α2，α1+α2—2α3，(α2一α1)，α1—3α2+2α3均是齊次方程組Ax=0的解。所以應(yīng)選A。10、設(shè)方程組Ax=0有非零解。α是一個(gè)三維非零列向量，若Ax=0的任一解向量都可由α線性表出，則a=()A、1。B、一2。C、1或一2。D、一1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于Ax=0的任一解向量都可由α線性表出，所以α是Ax=0的基礎(chǔ)解系，即Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，因此r(A)=2。由方程組Ax=0有非零解可得，｜A｜=(a一1)2(a+2)=0，即a=1或一2。當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=1，舍去；當(dāng)a=一2時(shí)，r(A)=20所以選B。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)11、方程組有非零解，則k=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式等于零，即因此得k=一1。12、已知線性方程組．無解，則a=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點(diǎn)解析：對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換得因?yàn)榫€性方程組無解，所以系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，所以a=一1。13、已知方程組總有解，則λ應(yīng)滿足的條件是___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：對于任意的b1，b2，b3，方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩為3，即14、已知方程組有無窮多解，則a=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：凡元線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是r(A)=r(A)，而有無窮多解的充分必要條件縣r(A)=r(A)＜n．對增廣矩陣作初等行變換，有由于r(A)=2，所以6—2a=0，即a=3。15、齊次方程組有非零解，則λ=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一3或一1知識點(diǎn)解析：系數(shù)矩陣的行列式所以當(dāng)λ=一3或一1時(shí)，方程組有非零解。16、已知齊次線性方程組有非零解，則a=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩小于末知量的個(gè)數(shù)。由于因此有r(A)＜3→a=2。17、,方程Ax=β無解，則a=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1或3知識點(diǎn)解析：已知方程組無解，所以r(A)≠r(A，β)。又因?yàn)閞(A，β)=3，所以r(A)≤2，故有｜A｜=0→a=1或3。18、設(shè)A是一個(gè)五階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若η1，η2是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則r(A*)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：η1，η2是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解。由方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系，可得n—r(A)≥2，即r(A)≤3.又因?yàn)锳是五階矩陣，所以｜A｜的四階子式一定全部為零，則代數(shù)余子式Aii恒為零，即A*=O，所以r(A*)=O。19、設(shè)1=(6，一1，1)T與2=(一7，4，2)T是線性方程組的兩個(gè)解，則此方程組的通解是___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(6，一1，1)T+k(13，一5，一1)T，k為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：一方面因?yàn)棣?，α2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，所以一定有r(A)=r(A)＜3。另一方面由于在系數(shù)矩陣A中存在二階子式所以一定有r(A)≥2，因此必有r(A)=r(A)=2。由n—r(A)=3—2=1可知，導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)解向量構(gòu)成，根據(jù)解的性質(zhì)可知α1一α2=(6，一1，1)T一(一7，4，2)T=(13，一5，一1)T是導(dǎo)出組Ax=0的非零解，即基礎(chǔ)解系，則方程組的通解為X=(6，一1，1)T+k(13，一5，一1)T，k為任意常數(shù)。20、設(shè)A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2是任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，則由n—r(A*)=2可知，A*x=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，其通解形式為k1η1+k2η2。又因?yàn)锳*A=｜A｜E=O，所以矩陣A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、已知方程組有解，證明：方程組無解。標(biāo)準(zhǔn)答案：用A1，A1和A2，A2分別表示方程組(1)與(2)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，則A1=A2T。已知方程組(1)有解，故r(A1)=r(A1)。又由于(b1，b2，…，bm，1)不能由(a11，a21，…，am1，0)，(a12，a22，…，am2，0)，…，(a1n，a2n，…，amn，0)線性表示，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)(I)求滿足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)對(I)中任意向量ξ2和ξ3，證明ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)對增廣矩陣(A；ξ1)作初等行變換，則得Ax=0的基礎(chǔ)解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T.故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T，其中k為任意常數(shù)。所以ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)已知線性方程組Ax=b存在兩個(gè)不同的解。23、求λ，a；標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榫€性方程組Ax=b有兩個(gè)不同的解，所以r(A)=r(A)＜n。于是解得λ=1或λ=一1。當(dāng)λ=1時(shí)，r(A)=1，r(A)=2，此時(shí)線性方程組無解。當(dāng)λ=一1時(shí)，若a=一2，則r(A)=r(A)=2，方程組Ax=b有無窮多解。故λ=一1，a=一2。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、求方程組Ax=b的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ=一1，a=一2時(shí)，所以方程組Ax=b的通解為知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有當(dāng)a=0時(shí)，r(A)=1＜n，方程組有非零解，其同解方程組為x1+x2+…+xn=0，由此得基礎(chǔ)解系為η1=(一1，1，0，…，0)T，η2=(一1，0，1，…，0)T，…，ηn-1=(一1，0，0，…，1)T，于是方程組的通解為x=k1η1+…+kn-1ηn-1，其中k1，…，kn-1為任意常數(shù)。當(dāng)a≠0時(shí)，對矩陣B作初等行變換，有當(dāng)時(shí)，r(A)=n一1＜n，方程組也有非零解，其同解方程組為由此得基礎(chǔ)解系為η=(1，2，…，n)T，于是方程組的通解為x=kη，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析26、已知齊次線性方程組其中。試討論a1，a2，…，an和b滿足何種關(guān)系時(shí)：(I)方程組僅有零解；(Ⅱ)方程組有非零解，在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組的系數(shù)矩陣的行列式(I)當(dāng)b≠0且時(shí)，r(A)=0，方程組僅有零解。(Ⅱ)當(dāng)b=0時(shí)，原方程組的同解方程組為a1x1+a2x2+…+anxn=0。由可知，ai(i=1，2，…，n)不全為零。不妨設(shè)a1≠0，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(一a2，a1，1，0，…，0)T，α2=(一a3，0，a1，…，0)T，…，αn-1=(一an，0，0，…，a1)T。當(dāng)時(shí)，有b≠0，原方程組的系數(shù)矩陣可化為由此得原方程組的同解方程組為x3=x1，x3=x1，…，xn=x1。原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α=(1，1，…，1)T。知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)線性方程組已知(1，一1，1，一1)T是該方程組的一個(gè)解，求方程組所有的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：將(1，一1，1，一1)T代入方程組可得λ=μ。對增廣矩陣作初等行變換，可得知識點(diǎn)解析：暫無解析已知A，B為三階非零矩陣，且β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T是齊次線性方程組Bx=0的三個(gè)解向量，且Ax=β3有解。求28、a，b的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由B≠O，且β1，β2，β3是齊次線性方程組Bx=0的三個(gè)解向量可知，向量組β1，β2，β3必線性相關(guān)，于是解得a=3b。由Ax=β3有解可知，線性方程組Ax=β3的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，對增廣矩陣作初等行變換得所以b=5，a=3b=15。知識點(diǎn)解析：暫無解析29、求Bx=0的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锽≠O，所以r(B)≥1，則3一r(B)≤2.又因?yàn)棣?，β2是Bx=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故3一r(B)=2，所以β1，β2是Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是Bx=0的通解為x=k1β1+k2β2，其中k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、η1，η2是n元齊次方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解，若r(A)=n一1，則Ax=0的通解為()A、kη1。B、kη2。C、k(η1+η2)。D、k(η1一η2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)閞(A)=n一1，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量，η1一η2為Ax=0的非零解，所以Ax=0的通解為k(η1一η2)。2、設(shè)A為n階矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，對于線性方程組(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有()A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解。B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：如果α是(1)的解，有Aα=0，可得ATAα=AT(Aa)=AT0=0，即α是(2)的解。故(1)的解必是(2)的解。反之，若α是(2)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得0=αT0=αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(Aα)，若設(shè)Aa=(b1，b2，…，bm)，那么(Aα)T(Aα)=b1+b22+…+bn2=0,bi=0(i=1，2，…，n)，即Aα=0，說明α是(1)的解。因此(2)的解也必是(1)的解。所以應(yīng)選A。3、設(shè)A是n階矩陣，對于齊次線性方程組(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，現(xiàn)有四個(gè)命題：①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。以上命題中正確的是()A、①②。B、①④。C、③④。D、②③。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：若Anα=0，則An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，則α必是(2)的解，可見命題①正確。如果An+1α=0，而Anα≠0，那么對于向量組α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的兩邊得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。類似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα線性無關(guān)。但另一方面，這是n+1個(gè)n維向量，它們必然線性相關(guān)，兩者矛盾。故An+1α=0時(shí)，必有Anα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命題②正確。所以應(yīng)選A。4、設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0，其中A，B均為m×n矩陣，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0與Bx=0同解，則r(A)=r(B)；④若r(A)=r(B)，則Ax=0與Bx=0同解。以上命題中正確的有()A、①②。B、①③。C、②④。D、③④。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于線性方程組Ax=0和Bx=0之間可以無任何關(guān)系，此時(shí)其系數(shù)矩陣的秩之間的任何關(guān)系都不會影響它們各自解的情況，所以②，④顯然不正確，利用排除法，可得正確選項(xiàng)為B。下面證明①，③正確：對于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程組Bx=0含于Ax=0之中。從而Ax=0的有效方程的個(gè)數(shù)(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的個(gè)數(shù)(即r(B))，故r(A)≥r(B)。對于③，由于A，B為同型矩陣，若Ax=0與Bx=0同解，則其相同，即n—r(A)=n—r(B)，從而r(A)=r(B)。5、設(shè)A為n階方陣，齊次線性方程組Ax=0有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，A*是A的伴隨矩陣，則()A、A*x=0的解均是Ax=0的解。B、Ax=0的解均是A*x=0的解。C、Ax=0與A*x=0沒有非零公共解。D、Ax=0與A*x=0恰好有一個(gè)非零公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由題設(shè)知n一r(A)≥2，從而有r(A)≤n一2，故A*=O，任意n維向量均是A*x=0的解，故正確選項(xiàng)是B。二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)6、若則X=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：其中x2，y2是任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：矩陣可得線性方程組故x1=2一x2，y1=3一y2，所以．其中x2，y2是任意常數(shù)。7、已知齊次線性方程組有通解k1(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，則方程組的通解是___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(13，一3，1，5)T，k為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：方程組(2)的通解一定會在方程組(1)的通解之中，且是方程組(1)的通解中滿足(2)中第三個(gè)方程的解，將(1)的通解代入(2)的第三個(gè)方程，得(2k1+3k2)一2(一k1+2k2)+0k2+k1=0，即5k1=k2，將其代入(1)的通解中，得方程組(2)的通解為5k2(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，一3，1，5)T，k2為任意常數(shù)。8、已知方程組(1)與方程(2)x1+5x3=0，則(1)與(2)的公共解是___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(一5，3，1)T，k為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：將方程組(1)和方程(2)聯(lián)立，得到方程組的解就是兩者的公共解。對(3)的系數(shù)矩陣作初等行變換可得由于A的秩為2，所以自由變量有一個(gè)，令自由變量x3=1，代入可得x2=3，x1=一5，所以(3)的基礎(chǔ)解系為η=(一5，3，1)T。因此(1)和(2)的公共解為k(一5，3，1)T，k為任意常數(shù)。三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)9、已知方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T。試寫出線性方程組的通解，并說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知，線性方程組(2)的通解為y=c1(a1，a12，…，a2,2n)T+c2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+cn(an1，an2，…，an,2n)T，其中c1，c2，…，cn是任意的常數(shù)。這是因?yàn)椋涸O(shè)方程組(1)和(2)的系數(shù)矩陣分別為A，B，則根據(jù)題意可知ABT=O，因此BAT=(ABT)T=O，可見A的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置為(2)的n個(gè)解向量。由于B的秩為n，所以(2)的解空間的維數(shù)為2n—r(B)=2n一n=n，又因?yàn)锳的秩等于2n與(1)的解空間的維數(shù)的差，即n，因此A的n個(gè)行向量是線性無關(guān)的，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。知識點(diǎn)解析：暫無解析10、已知三階矩陣A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全為零，矩陣(k為常數(shù))，且AB=O，求線性方程組Ax=0的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。若k≠9，則r(B)=2，于是r(A)≤1，顯然r(A)≥1，故r(A)=1?？梢姶藭r(shí)Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為3一r(A)=2，矩陣B的第一列、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0的通解為：x=k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，k1，k2為任意常數(shù)。若k=9，則r(B)=1，從而1≤r(A)≤2。①若r(A)=2，則Ax=0的通解為：x=k1(1，2，3)T，k1為任意常數(shù)。②若r(A)=1，則Ax=0的同解方程組為：ax1+ax2+cx3=0，不妨設(shè)a≠0，則其通解為k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)矩陣A=(α1,α2,α3,α4)，其中α2,α3,α4線性無關(guān)，α1=2α2一α3，向量b=α1+α2+α3+α4，求方程組Ax=b的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知α2，α3，α4線性無關(guān)，則r(A)≥3.又由a1，a2，a3線性相關(guān)可知a1，a2，a3，a4線性相關(guān)，故r(A)≤3。綜上所述，r(A)=3，從而原方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為4—3=1。又因?yàn)樗詘=(1，一2，1，0)T是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。又由b=a1+a2+a3+a4可知x=(1，1，1，1)T是方程組Ax=b的一個(gè)特解。于是原方程組的通解為x=c(1，1，1，1)T+c(1，一2，1，0)T，c∈R。知識點(diǎn)解析：暫無解析12、已知4×5矩陣A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均為四維列向量，α1,α2,α4線性無關(guān)，又設(shè)α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于α1，α2，α4線性無關(guān)，α3=α1一α4，α5=a1+a2+a4，所以r(A)=3。由已知條件β=2α1+α2一α3+α4+α5，從而線性方程組Ax=β有特解η=(2，1，一1，1，1)T。由α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，可知導(dǎo)出組Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解為ξ1=(1，0，一1，一1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，一1)T。由r(A)=3，可知齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無關(guān)的解構(gòu)成，故ξ1，ξ2為Ax=0的基礎(chǔ)解系，方程組Ax=β的通解為x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)四元齊次線性方程組求：13、方程組(1)與(2)的基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：求方程組(1)的基礎(chǔ)解系：對方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換求方程(2)的基礎(chǔ)解系：對方程組(2)的系數(shù)矩陣作初等行變換分別取其基礎(chǔ)解系可取為知識點(diǎn)解析：暫無解析14、(1)與(2)的公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x=(x1，x2，x3，x4)T為(1)與(2)的公共解，用兩種方法求x的一般表達(dá)式：將(1)的通解x=(c1，一c1，c2，一c1)T代入(2)得c2=一2c1，這表明(1)的解中所有形如(c1，一c1，一2c1，一c1)T的解也是(2)的解，從而是(1)與(2)的公共解。因此(1)與(2)的公共解為x=k(一1，1，2，1)T，k∈R。知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)方程組與方程(2)x1+2x2+x3=a—1有公共解，求a的值及所有公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程組(1)與(2)聯(lián)立，得方程組則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解。對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有因方程組(3)有解，所以(a一1)(a一2)=0。當(dāng)a=1時(shí),此時(shí)方程組(3)的通解為k(一1，0，1)T(k為任意常數(shù))，此即為方程組(1)與(2)的公共解。當(dāng)a=2時(shí),此時(shí)方程組(3)有唯一解(0，1，一1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)四元齊次線性方程組(1)為而已知另一四元齊次線性方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。16、求方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有則n—r(A)=4—2=2，基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成。取x3，x4為自由變量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程組(1)的基礎(chǔ)解系。知識點(diǎn)解析：暫無解析17、當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(1)與(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)η是方程組(1)與(2)的非零公共解，則η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2與l1，l2均是不全為0的常數(shù)。由k1β1+k2β2—l1α1—l2α2=0，得齊次方程組對方程組(3)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有當(dāng)a≠一1時(shí)，方程組(3)的系數(shù)矩陣變?yōu)??？芍匠探M(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合題意。當(dāng)a=一1時(shí)，方程組(3)系數(shù)矩陣變?yōu)椋獾胟1=l1+4l2，k2=l1+7l2。于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。所以當(dāng)a=一1時(shí)，方程組(1)與(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T，1，l2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)線性方程組(1)Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。線性方程組(2)Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為β1=(1，1，一1，一1，1)T，β2=(1，一1，1，一1，2)T，β3=(1，一1，一1，1，1)T。求18、線性方程組(3)的通解；標(biāo)準(zhǔn)答案：線性方程組(1)Ax=0的通解為x=k1α1+k2α2+k2α3；線性方程組(2)Bx=0的通解為x=l1β1+l2β2+l3β3；線性方程組(3)的解是方程組(1)和(2)的公共解，故考慮線性方程組(4)k1α1+k2α2+k3α3=l1β1+l2β2+l3β3，將其系數(shù)矩陣作初等行變換，即則方程組(4)的一個(gè)基礎(chǔ)解系是(一2，0，2，一1，0，1)T。將其代入(4)得到方程組(3)的一個(gè)基礎(chǔ)解系ξ=一2α1+2α2=一β1+β3=(0，一2，0，2，0)T。所以方程組(3)的通解為x=k(0，一1，0，1，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析19、矩陣C=(AT，BT)的秩。標(biāo)準(zhǔn)答案：線性方程組(3)與線性方程組xT(AT，BT)=0等價(jià)，而方程組(3)的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)向量，故矩陣C=(AT，BT)的秩r(C)=5—1=4。知識點(diǎn)解析：暫無解析20、已知齊次線性方程組同解，求a，b，c的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉匠探M(2)中“方程個(gè)數(shù)＜未知數(shù)個(gè)數(shù)”，所以方程組(2)必有非零解。于是方程組(1)必有非零解，則(1)的系數(shù)行列式為0，即所以a=2。對方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有則方程組(1)的通解是k(一1，一1，1)T。因?yàn)?一1，一1，1)T是方程組(2)的解，所以故b=1，c=2或b=0，c=1。當(dāng)b=1，c=2時(shí)，方程組(2)為其通解是k(一1，一1，1)T，所以方程組(1)與(2)同解。當(dāng)b=0，c=1時(shí)，方程組(2)為由于方程組(2)的系數(shù)矩陣的秩為1，而方程組(1)的系數(shù)矩陣的秩為2，故方程組(1)與(2)不同解，則b=0，c=1應(yīng)舍去。綜上，當(dāng)a=2，b=1，c=2時(shí)，方程組(1)與(2)同解。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知齊次線性方程組的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解。試證明線性方程組有解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知齊次線性方程組的所有解都是方程b1x1+b1x2+…+bnxn=0(2)的解，可知方程組(1)與方程組由r(A)=r(AT)，r(B)=r(BT)，所以r(AT)=r(BT)，即方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，故線性方程組有解。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、已知α1=(1，1，一1)T，α2=(1，2，0)T是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，一1，3)T。B、(2，1，一3)T。C、(2，2，一5)T。D、(2，一2，6)T。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：如果A選項(xiàng)是Ax=0的解，則D選項(xiàng)必是Ax=0的解。因此選項(xiàng)A、D均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=0的任何一個(gè)解η均可由α1，α2線性表示，也即方程組x1α1+x2α2=η必有解，而可見第二個(gè)方程組無解，即(2，2，一5)T不能由α1，α2線性表示。所以應(yīng)選B。2、某五元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等變換化為則自由變量可取為①x4，x5；②x3，x5；③x1，x5；④x2，x3。那么正確的共有()A、1個(gè)。B、2個(gè)。C、3個(gè)。D、4個(gè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩r(A)=3，則17,一r(A)=5—3=2，故應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)自由變量。由于去掉x4，x5兩列之后，所剩三階矩陣為．因?yàn)槠渲扰cr(A)不相等，故x4，x5不是自由變量。同理，x3，x5不能是自由變量。而x1，x5與x2，x3均可以是自由變量，因?yàn)樾辛惺蕉疾粸?。所以應(yīng)選B。3、設(shè)A是秩為n一1的n階矩陣，α1,α2是方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解向量，則Ax=0的通解必定是()A、α1+α2。B、kα1。C、k(α1+α2)。D、k(α1一α2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳是秩為n一1的忍階矩陣，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)非零向量。又因?yàn)棣?，α2是方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解向量，所以α1一α2必為方程組Ax=0的一個(gè)非零解，即α1一α2是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以Ax=0的通解必定是k(α1一α2)。選D。此題中其他選項(xiàng)不一定正確。因?yàn)橥ń庵斜赜腥我獬?shù)，所以選項(xiàng)A不正確；若α1=0，則選項(xiàng)B不正確；若α1=一α2≠0，則α1+α2=0，此時(shí)選項(xiàng)C不正確。4、設(shè)α1,α2,α3,α4是四維非零列向量組，A=(α1,α2,α3,α4)，A*為A的伴隨矩陣。已知方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為k(1，0，2，0)T，則A*x=0的基礎(chǔ)解系為()A、α1,α2,α3。B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。C、α2,α3,α4。D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，所以四階方陣A的秩，r(A)=4—1=3，則其伴隨矩陣A*的秩r(A*)=1，于是方程組A*x=0的基礎(chǔ)解系含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量。又A*(α1,α2,α3,α4)=A*A=｜A｜E=D，所以向量α1,α2,α3,α4都是方程組A*x=0的解。將(1，0，2，0)T。代入方程組AX=0可得α1+2α3=0，這說明α1可由向量組α2,α3,α4線性表出，而向量組α1,α2,α3,α4的秩等于3，所以向量組α2,α3,α4必線性無關(guān)。所以選c。事實(shí)上，由α1+2α3=0可知向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，選項(xiàng)A不正確；顯然，選項(xiàng)B中的向量都能被α1,α2,α3線性表出，說明向量組α1+α2，α2+α3，α1+α3線性相關(guān)，選項(xiàng)B不正確；而選項(xiàng)D中的向量組含有四個(gè)向量，不是基礎(chǔ)解系，所以選型D也不正確。5、設(shè)η1，η2,η3，η4是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的基礎(chǔ)解系還可以是()A、η1一η2，η2+η3，η3一η4，η4+η1。B、η1+η2，η2+η3+η4，η1一η2+η3。C、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1。D、η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由已知條件知Ax=0的基礎(chǔ)解系由四個(gè)線性無關(guān)的解向量所構(gòu)成。選項(xiàng)B中僅三個(gè)解向量，個(gè)數(shù)不合要求，故排除B項(xiàng)。選項(xiàng)A和C中，都有四個(gè)解向量，但因?yàn)?η1－η2)+(η2+η3)一(η2一η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3+η4)一(η4+η1)=0說明選項(xiàng)A、C中的解向量組均線性相關(guān)，因而排除A項(xiàng)和C項(xiàng)。用排除法可知選D。或者直接地，由(η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1)=(η1，η2,η3，η4)因?yàn)橹?+η2，η2一η2，η3+η4，η4+η1線性無關(guān)，又因η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1均是Ax=0的解，且解向量個(gè)數(shù)為4，所以選D。6、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次線性方程組Ax=b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系()A、不存在。B、僅含一個(gè)非零解向量。C、含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。D、含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由A*≠O可知，A*中至少有一個(gè)非零元素，由伴隨矩陣的定義可得矩陣A中至少有一個(gè)n—1階子式不為零，再由矩陣秩的定義有r(A)≥n一1。又因Ac=b有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有r(A)＜n，從而r(A)=n一1。因此對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)非零解向量，故選B。7、設(shè)A是m×n矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置，若η1，η2,……ηt為方程組ATx=0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=()A、t。B、n—t。C、m—t。D、n—m。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：r(AT)+t等于AT的列數(shù)，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m—t=r(A)。8、已知四階方陣A=(α1,α2,α3,α4)，α1,α2,α3,α4均為四維列向量，冥中α1,α2線性無關(guān)，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2為任意常數(shù)，那么Ax=β的通解為()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由α1+2α2一α3=β知即，γ1=(1，2，一1，0)T是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T均是Ax=β的解，則η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ2=(1，2，0，1)T是導(dǎo)出組Ax=0的解，并且它們線性無關(guān)。于是Ax=0至少有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，則n一r(A)≥2，即r(A)≤2，又因?yàn)棣?,α2線性無關(guān)，故r(A)=r(α1,α2,α3,α4)≥2。所以必有r(A)=2，從而n一r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基礎(chǔ)解系。所以應(yīng)選B。9、設(shè)α1,α2,α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解x=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：根據(jù)線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，易知2α1一(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一個(gè)非零解，所以應(yīng)選C。10、已知β1，β2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，α1,α2是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解是()A、k1α1+k2(α1+α2)+B、k1α1+k2(α1一α2)+C、k1α1+k2(β1+β2)+D、k1α1+k2(β1一β2)+標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對于A、C選項(xiàng)，因?yàn)樗赃x項(xiàng)A、C中不含有非齊次線性方程組Ax=b的特解，故均不正確。對于選項(xiàng)D，雖然β1一β2是齊次線性方程組Ax=0的解，但它與α1不一定線性無關(guān)，故D也不正確，所以應(yīng)選B。事實(shí)上，對于選項(xiàng)B，由于α1，α1一α2與α1，α2等價(jià)(顯然它們能夠互相線性表示)，故α1，α1一α2也是齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，而由可知是齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，由非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)定理知，B選項(xiàng)正確。二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)11、設(shè)，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嘇的秩是2，所以｜A｜=O，且r(A*)=1。再由A*A=｜A｜E=O可知，A的列向量為A*x=0的解，因此A*x=0的通解是A*x(1，4，7)T+k2(2，5，8)T。12、設(shè)A是秩為3的5×4矩陣，α1,α2,α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，如果α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，則方程組Ax=b的通解是___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T，k為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：由于r(A)=3，所以齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只含有4一r(A)=1個(gè)解向量。又因?yàn)?α1+α2+2α3)一(3α1+α2)=2(α3一α1)=(0，一4，一6，一8)T是Ax=0的解，所以其基礎(chǔ)解系為(0，2，3，4)T，由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，可知(α1+α2+2α3)是方程組Ax=b的一個(gè)解，根據(jù)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)可知，其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T。13、設(shè)(1，1，1)T，(2，2，3)T均為線性方程組的解向量，則該線性方程組的通解為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R知識點(diǎn)解析：該線性方程組的系數(shù)矩陣為。已知原方程組有兩個(gè)不同的解，所以系數(shù)矩陣A不滿秩，也即r(A)＜3，又因?yàn)锳的一個(gè)二階子式所以r(A)≥2.故r(A)=2.因此導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)解向量，由線性方程組解的性質(zhì)可知(2，2，3)T一(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基礎(chǔ)解系。故原方程組的通解為k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。14、設(shè)n階矩陣A的秩為n一2,α1,α2,α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)線性無關(guān)的解，則Ax=b的通解為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：α1+k1(α2一α1)+k2(α2一α1)，k1，k2為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：α1,α2,α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)線性無關(guān)的解，則α2一α1，α3一α1是Ax=0的兩個(gè)非零解，且它們線性無關(guān)。又n—r(A)=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=b的通解為α1+k1(α2一α1)+k2(α2一α1)，k1，k2為任意常數(shù)。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)設(shè)n元線性方程組Ax=b，其中15、當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求x1；標(biāo)準(zhǔn)答案：由數(shù)學(xué)歸納法得到方程組系數(shù)矩陣的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an。當(dāng)a≠0時(shí)，Dn≠0，方程組有唯一解。將A的第一列換成b，得行列式為所以由克拉默法則得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=0時(shí)，方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n—1，所以方程組有無窮多解，其通解為x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)17、計(jì)算行列式｜A｜；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，方程組Ax=b有無窮多解，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得要使原線性方程組有無窮多解，則有1一a4=0且一a一a2=0，即a=一1。當(dāng)a=一1時(shí)，可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(1，1，1，1)T，非齊次方程的特解為(0，一1，0，0)T，故其通解為(0，一1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)當(dāng)a，b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC—CA=B，并求所有矩陣C。標(biāo)準(zhǔn)答案：令則由AC—CA=B得該方程組是四元非齊次線性方程組，如果C存在，此線性方程組必須有解。對系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得當(dāng)a=一1，b=0時(shí)，線性方程組有解，即存在C，使AC—CA=B。此時(shí)增廣矩陣變換為所以通解為即(其中c1，c2為任意常數(shù))。知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)線性方程組為問k1與k2各取何值時(shí)，方程組無解?有唯一解?有無窮多解?有無窮多解時(shí)，求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：①當(dāng)k2≠1時(shí)，r(A)=3≠r(B)=4，方程組無解；②當(dāng)k2=1時(shí)，r(A)=r(B)=3＜4，方程組有無窮多解，且綜上，當(dāng)k1≠2時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)k1=2且k2≠1時(shí)，方程組無解；當(dāng)k1=2且k2=1時(shí)，方程組有無窮多解，且通解為式(*)。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知線性方程組問：a、b為何值時(shí)，方程組有解，并求出方程組的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)η1，…，ηk是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解，k1，…，ks為實(shí)數(shù)，滿足k1+k2+…+ks=1。證明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程組的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于η1，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解，故有Aηi=b(i=1，…，s)。因?yàn)閗1+k2+…+ks=1，所以Ax=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs，=b(k1+…+ks)=b，由此可見x也是方程組的解。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)α1,α2，…，αs為線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，β1=t1+t2，β2=t2+t23，…，βs=t1s+t21，其中t1，t2為實(shí)常數(shù)。試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1β2，…，βs也為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣耰(i=1，2，…，s)是α1,α2，…，αs的線性組合，且α1,α2，…，αs是Ax=0的解，所以根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知βi(i=1，2，…，s)均為Ax=0的解。從α1,α2，…，αs是As=0的基礎(chǔ)解系知s=n—r(A)。以下分析β1β2，…，βs線性無關(guān)的條件：設(shè)k1β2+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2k2)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α2+…+(t2kt-1+t1ks)αs=0，由于α1,α2，…，αs線性無關(guān)，所以又因系數(shù)矩陣的行列式當(dāng)t1s+(一1)s+1t2s≠0時(shí)，方程組(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此當(dāng)s為偶數(shù)且t1≠±t2，或當(dāng)s為奇數(shù)且t1≠一t2時(shí)，β1β2，…，βs線性無關(guān)。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)α1,α2,α3是4元非齊次線性方程組Ax=b的3個(gè)解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，C表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解x=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：本題考查非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)，所涉及的知識點(diǎn)是(1)非齊次線性方程組通解為其對應(yīng)齊次線性方程組的通解加上非齊次線性方程組的一個(gè)特解．(2)非齊次線性方程組兩個(gè)解的和被2除仍是非齊次線性方程組的解．(3)非齊次線性方程組兩個(gè)解的差是其對應(yīng)的齊次線性方程組的解．由于r(A)=3，故線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為4一r(A)=1．又A=α1=b，Aα2=b，Aα3=b，有即是Ax=0的解．根據(jù)Ax=0的解的結(jié)構(gòu)理論，知C為Ax=b的通解．2、設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充分條件是()A、A的列向量線性無關(guān)．B、A的列向量線性相關(guān)．C、A的行向量線性無關(guān)．D、A的行向量線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題考查齊次線性方程組僅有零解的條件．由于Ax=0僅有零解的充分條件是r(A)=n，即A的列向量組的秩等于n，故應(yīng)選A．3、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則線性方程組(AB)c=0()A、當(dāng)n＞m時(shí)僅有零解．B、當(dāng)n＞m時(shí)必有非零解．C、當(dāng)m＞n時(shí)僅有零解．D、當(dāng)m＞n時(shí)必有非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：本題考查齊次線性方程組僅有零解的條件和矩陣的秩的性質(zhì)．要求考生掌握：(1)對于m階矩陣AB，若r(AB)=m，則(AB)x=0僅有零解；若r(AB)＜m，則(AB)x=0必有非零解．(2)矩陣的秩的公式：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，r(Am×n)≤min{m，n}．當(dāng)m＞n時(shí)，r(A)≤n4、要使都是線性方程組Ax=0的解，只要系數(shù)矩陣A為()A、(一2，1，1)．B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題考查線性方程組解的概念和齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系中解向量個(gè)數(shù)的關(guān)系．由于ξ1，ξ2都是Ax=0的解，且ξ1，ξ2線性無關(guān)，所以r(A)≤1，又ξ1，ξ2滿足由選項(xiàng)A中所確定的方程組Ax=0，故應(yīng)選A．5、設(shè)A是m×n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下面結(jié)論正確的是()A、若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解．B、若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多個(gè)解．C、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解．D、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：本題考查非齊次線性方程組Ax=b解的存在性和與其對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0解的關(guān)系．注意到Ax=0有解，而Ax=b不一定有解．對于A、B兩種情形，由題設(shè)條件不能判定方程組Ax=b的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩是否相等，無法確定方程組Ax=b是否有解．又若Ax=b有無窮多個(gè)解，則其解應(yīng)為Ax=0的基礎(chǔ)解系的線性組合與Ax=b的一個(gè)特解之和，若Ax=b有無窮多個(gè)解，則r(A)=r(A，b)＜n，而當(dāng)r(A)＜n時(shí)，方程組Ax=0有非零解，所以C不正確，故選D．6、設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量，若，則線性方程組()A、Ax=α必有無窮多解．B、Ax=α必有唯一解．C、僅有零解．D、必有非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：本題考查線性方程組有解的判定方法．所涉及的知識點(diǎn)是(1)對于齊次線性方程組Ax=0，若｜A｜≠0，則Ax=0僅有零解，若｜A｜=0，則Ax=0有非零解．(2)對于非齊次線性方程組Ax=b有唯一解r(A)=r(Ab)=r=n，Ax=b有無窮多解r(A)=r(Ab)=r＜n，Ax=b無解r(A)≠r(Ab)．若必有非零解．因而選D．選項(xiàng)C錯(cuò)．又當(dāng)｜A｜≠0，α=0時(shí)，選項(xiàng)A錯(cuò)；當(dāng)｜A｜=0，α=0時(shí)，選項(xiàng)B錯(cuò)．7、設(shè)A為n階實(shí)矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對于線性方程組(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有()A、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．B、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：本題考查齊次線性方程組解的概念及相關(guān)理論．顯然(I)的解是(Ⅱ)的解．設(shè)x0是(Ⅱ)的解，則有ATx0=0，在該式兩邊左乘x0T，得x0TATAx0=0，即(Ax0)TAx0=0，從而‖Ax0‖=0．于是Ax0=0，即(Ⅱ)的解是(I)的解．故選A．8、設(shè)A為4×3矩陣，η1，η2,η3是非齊次線性方程組Ax=β的3個(gè)線性無關(guān)的解，k1，k2為任意常數(shù)，則Ax=β的通解為()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：本題考查線性方程組解的性質(zhì)和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)．要求考生掌握：(1)非齊次線性方程組兩個(gè)解的差是對應(yīng)齊次線性方程組的解。(2)非齊次線性方程組的通解是其對應(yīng)齊次線性方程組的通解加上非齊次線性方程組的一個(gè)特解．由于η2一η1，η3一η1都是Ax=0的解，且可證明η2一η1，η3一η1線性無關(guān)，所以基礎(chǔ)解系解向量的個(gè)數(shù)為3一r(A)≥2，于是r(A)≤1，又A≠O，所以r(A)≥1，故r(A)=1，從而Ax=0的基礎(chǔ)解系解向量的個(gè)數(shù)為2，因此A、B不選．而都是Ax=0的解，所以D不選，由非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)知+k1(η2一η1)+k2(η3一η1)是Ax=β的通解．故選C．9、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次線性方程組Ax=b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系()A、不存在．B、僅含有一個(gè)非零解向量．C、含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量．D、含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本題考查齊次線性方程組基礎(chǔ)解