考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷2（共264題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷2（共9套）（共264題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、下列各式中正確的是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由重要極限結(jié)論=e，可立即排除B、D。對(duì)于A、C選項(xiàng)，只要驗(yàn)算其中之一即可。對(duì)于C選項(xiàng)，因=e—1，故C不正確，選A。2、設(shè)對(duì)任意的x，總有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，則A、存在且等于零B、存在但不一定為零C、一定不存在D、不一定存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：取φ（x）=f（x）=g（x）=x，顯然有φ（x）≤f（x）≤g（x），且[g（x）—φ（x）]=0，但[g（x）一φ（x）]=0，但=1，可見C也不正確，敬選D。3、設(shè)f（x）在[a，b]可導(dǎo)，f（a）=，則（）A、f+’（0）=0B、f+’（a）≥0C、f+’（A）＜0D、f+’（a）≤0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件f+’（a）=≤0，故選D。4、設(shè)f（x）在（1—δ，1+δ）內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，f’（x）嚴(yán)格單調(diào)減少，且f（1）=f’（1）=1，則（）A、在（1—δ，1）和（1，1+∞內(nèi)均有f（x）＜xB、在（1—δ，1）和（1，1+∞內(nèi)均有f（x）＞xC、在（1—δ，1）有f（x）＜x，在（1，1+δ）內(nèi)均有f（x）＞xD、在（1—δ，1）有f（x）＞x，在（1，1+δ）內(nèi)均有f（x）＜x標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：f’（x）在（1—δ，1+δ）上嚴(yán)格單調(diào)減少，則f（x）在（1—δ，1+δ）是凸的，因此在此區(qū)間上，y=f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線為y—l=f’（1）（x—1），即y=x在此曲線的上方（除切點(diǎn)外）。因此f（x）＜x（x∈（1—δ，1+δ），x≠1）。5、已知f（x）在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且f（0）=0，=2，則在點(diǎn)x=0處f（x）（）A、不可導(dǎo)B、可導(dǎo)且f’（0）≠0C、取得極大值D、取得極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因當(dāng)x→0時(shí)，1—cosx～，故極限條件等價(jià)于=2。從而可取f（x）=x2，顯然滿足題設(shè)條件。而f（x）=x2在x=0處取得極小值，故選D。6、若f（x）的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f（x）有一個(gè)原函數(shù)為（）A、1+sinxB、1—sinxC、1+cosxD、1—cosx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由f’（x）=sinx，得f（x）=∫f’（x）dx=∫sinxdx=—cosx+C1，所以f（x）的原函數(shù)是F（x）=∫f（x）dx=∫（一cosx+C1）dx=—sinx+C1x+C2，其中C1，C2為任意常數(shù)。令C1=0，C2=1得F（x）=1—sinx。故選B。7、方程根的個(gè)數(shù)為（）A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)F（x）=∫0x則F（x）在（一∞，+∞）內(nèi)連續(xù)，又F（0）=，由零點(diǎn)定理得F（x）=0至少有一個(gè)根。又易知且當(dāng)x∈（一∞，+∞）時(shí)，≥1（等號(hào)僅當(dāng)x=0成立），又≤1，—1≤sinx≤1，所以有—1≤≤1，又F’（0）=1＞0，因此F’（x）＞0，從而有F（x）在（一∞，+∞）嚴(yán)格單調(diào)遞增，由此F（x）=0最多有一個(gè)實(shí)根。綜上，F(xiàn)（x）=0在（一∞，+∞）上有且僅有一個(gè)實(shí)根，故選B。8、設(shè)可微函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）取得極小值，則下列結(jié)論正確的是（）A、f（x0，y）在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零B、f（x0，y）在y=y0處的導(dǎo)數(shù)等于零C、f（x0，y）在y=y0處的導(dǎo)數(shù)小于零D、f（x0，y）在y=y0處的導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因可微函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）取得極小值，故有fx’（x0，y0）=0，fy’（x0，y0）=0。又由f’（x0，y0）f（x0，y）|y=y0，可知B正確。9、交換積分次序∫1edx∫0lnxf（x，y）dy為（）A、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxB、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxC、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dxD、∫0edy∫0lnxdyf（x，y）dx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：交換積分次序得∫1edx∫0lnxf（x，y）dy=∫01dy∫eyef（x，y）dx。10、已知級(jí)數(shù)an收斂，則下列級(jí)數(shù)中必收斂的是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于（an+an+k）=an去掉了前k項(xiàng)，因此也收斂，故（an+an+an+k）必收斂，應(yīng)選D。11、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)極限都存在，則由題設(shè)條件可知12、具有特解y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex的三階常系數(shù)齊次線性微分方程是（）A、y"’—y"—y’+y=0B、y"’+y"—y’—y=0C、y"’—6y"+11y’—6y=0D、y"—2y"—y’+2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由y1=e—x，y2=2xe—x，y3=3ex是所求方程的三個(gè)特解知，r=—1，—1，1為所求三階常系數(shù)齊次微分方程的特征方程的三個(gè)根，則其特征方程為（r—1）（r+1）2=0，即r3+r2—r—1=0，對(duì)應(yīng)的微分方程為y"’+y"—y’—y=0，故選B．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)13、數(shù)列xn=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用等價(jià)無窮小因子代換，14、已知y=lnlnlnx，則y’=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)f（x）在x=0處連續(xù)，且=2，則曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，arcslnx—x～由極限的運(yùn)算法則可得所以曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為16、設(shè)a＞0，則I=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，原式可化為17、設(shè)二元函數(shù)z=xex+y1+（x+1）ln（1+y），則出|（1，0）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2edx+（e+2）dy知識(shí)點(diǎn)解析：由已知因此dz|（1，0）=2edx+（e+2）dy。18、交換積分次序∫—10dy∫21—y（x，y）dx=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：∫12dx∫01—xf（x，y）dy知識(shí)點(diǎn)解析：由累次積分的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D（如圖1—4—11）：—1≤y≤0，1—y≤x≤2。則有∫—10dy∫1—y2f（x，y）dx=交換積分次序∫—10dy∫21—y（x，y）dx=∫—12f（x，y）dx=一∫12dx∫1—x0f（x，y）dy=∫12dx∫01—xf（x，y）dy。19、在x=—1處的泰勒展開式為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（—1）n（x+1）n，（—2＜x＜0）知識(shí)點(diǎn)解析：20、微分方程xy’+y=0滿足條件y（1）=1的特解為y=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由兩邊積分，得ln|y|=—ln|x|+C，代入條件y（1）=1，得C=0。所以y=三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出類型。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)只有x=0和x=1。所以x=0為可去間斷點(diǎn)，x=1為跳躍間斷點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f（x）在（一∞，+∞）上有定義，在區(qū)間[0，2]上，f（x）=x（x2—4），若對(duì)任意的x都滿足f（x）=kf（x+2），其中k為常數(shù)。（Ⅰ）寫出f（x）在[—2，0）上的表達(dá)式；（Ⅱ）問k為何值時(shí)，f（x）在x=0處可導(dǎo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）當(dāng)—2≤x＜0，即0≤x+2＜2時(shí)，則f（x）=kf（x+2）=k（x+2）[（x+2）2—4]=kx（x+2）（x+4），所以f（x）在[—2，0）上的表達(dá)式為f（x）=kx（x+2）（x+4）。（Ⅱ）由題設(shè)知f（0）=0。令f—’（0）=f+’+（0），得k=時(shí)，f（x）在x=0處可導(dǎo)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)=1，且f"（x）＞0，證明f（x）＞x（x≠0）。標(biāo)準(zhǔn)答案：由=0，所以f（0）=0（因?yàn)閒"（x）存在，則f（x）一定連續(xù)）。且f（x）在x=0處展成一階麥克勞林公式因?yàn)閒"（x）＞0，所以f"（ξ）＞0，即f（x）＞f（0）+f’（0）x=x。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)曲線y=ax2（x≥0，常數(shù)a＞0）與曲線y=1—x2交于點(diǎn)A，過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線與曲線y=ax2圍成一平面圖形D，求：（Ⅰ）D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V（a）；（Ⅱ）a的值，使V（a）為最大。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意知，y=ax2與），=1—x2的交點(diǎn)為直線OA的方程為（Ⅰ）旋轉(zhuǎn)體的體積當(dāng)a＞0時(shí)，得V（a）的唯一駐點(diǎn)a=4。當(dāng)0＜a＜4時(shí)，V’（a）＞0；當(dāng)a＞4時(shí)，V’（a）＜0。故a=4為V（a）的唯一極大值點(diǎn)，即為最大值點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：分別在z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、已知=x+2y+3，u（0，0）=1，求u（x，y）及u（x，y）的極值，并問此極值是極大值還是極小值？說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由=2x+y+1，有u（X，y）=x2+xy+x+φ（y），再結(jié)合=x+2y+3，有x+φ’（y）=x+2y+3，得φ’（y）=2y+3，φ（y）=y2+3y+C。于是u（x，y）=x2+xy+x+y2+3y+C。又由M（0，0）=1得C=1，因此u（x，y）=x2+xy+y2+x+3y+1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、（Ⅰ）驗(yàn)證函數(shù)y（x）=（—∞＜x＜+∞）滿足微分方程y"+y’+y=ex；（Ⅱ）求冪級(jí)數(shù)y（x）=的和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的收斂域是（—∞＜x＜+∞），因而可在（一∞＜x＜+∞）上逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)，得（Ⅱ）與y"+y’+y=ex對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為y"+y’+y=0，其特征方程為λ2+λ+1=0，特征根為λ1，2=因此齊次微分方程的通解為設(shè)非齊次微分方程的特解為y*=Aex，將y*代入方程y"+y’+y=ex可得因此，方程通解為當(dāng)x=0時(shí)，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、用變量代換x=cost（0＜t＜π）化簡微分方程（1—x2）y"—xy’+y=0，并求其滿足y|x=0=1，y’|x=0=2的特解。標(biāo)準(zhǔn)答案：解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+C2將y|x=0=1，y’|x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故滿足條件的特解為y=2x+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、若f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，則下列正確的是()．A、x=0是f(x)的零點(diǎn)B、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)C、x=0是f(x)的極大點(diǎn)D、x=0是f(x)的極小點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)有定義，且f(0)=0，則f(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)曲線y=x2+ax+b與曲線2y=xy3一1在點(diǎn)(1，一1)處切線相同，則()．A、a=1，b=1B、a=一1，b=一1C、a=2，b=1D、a=一2，b=一1．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由y=x2+ax+b得y’=2x+a，2y=xy3一1兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2y’=y3+3xy2y’，解得，因?yàn)閮汕€在點(diǎn)(1，一1)處切線相同，所以，應(yīng)選B．4、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上有定義，x0≠0為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，則()．A、x0為f(x)的駐點(diǎn)B、一x0為一f(一x)的極小值點(diǎn)C、—x0為一f(x)的極小值點(diǎn)D、對(duì)一切的x有f(x)≤f(x0)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥=f(一x)的圖像與y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，所以一x0為f(一x)的極大值點(diǎn)，從而一x0為—f(一x)的極小值點(diǎn)，選B．5、設(shè)f’(x0)=f"(x0)=0，f’"(x0)＞0，則下列正確的是()．A、f’(x0)是f’(x)的極大值B、f(x0)是f(x)的極大值C、f(x0)是f(x)的極小值D、(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’"(x0)＞0，所以存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x—x0｜＜δ時(shí)，，從而當(dāng)x∈(x0一δ，x0)時(shí)，f"(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，f"(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐點(diǎn)，選D．6、設(shè)f(x)=x3+ax2+bx在x=1處有極小值一2，則()．A、a=1，b=2B、a=一1，b=一2C、a=0，b=一3D、a=0，b=3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因?yàn)閒(x)在x=1處有極小值一2，所以，解得a=0,b=一3，選C。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)7、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)f(u)可導(dǎo)，y=f(x2)在x0=一1處取得增量△x=0．05時(shí)，函數(shù)增量△y的線性部分為0．15，則f’(1)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=—1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因?yàn)椤鱵的線性部分為dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=一．9、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)f(x)=ln(2x2一x一1)，則f(n)(x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)12、證明不等式：xarctanx≥ln(1+x2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=xarctanx一，所以x=0位f(x)的極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，而f(0)=0，故對(duì)一切的x，有f(x)≥0，即xarctanx≥ln(1+x2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、求y=(1一t)arctantdt的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令y’=(1—x)arctanx=0，得x=0或x=1，y"=一arctanx+，因?yàn)閥"(0)=1＞0，y"(1)=一＜0，所以x=0為極小值點(diǎn)，極小值為y=0；x=1為極大值點(diǎn)，極大值為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)PQ為拋物線y=的弦，它在此拋物線過P點(diǎn)的法線上，求PQ長度的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、證明：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，(1+x)ln2(1+x)＜x2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；故當(dāng)0＜x＜1時(shí)，(1+x)ln2(1+x)＜x2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、證明：對(duì)任意的x，y∈R且x≠y，有．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(t)=et，因?yàn)閒"(t)=et＞0，所以函數(shù)f(t)=et為凹函數(shù)，根據(jù)凹函數(shù)的定義，對(duì)任意的x，y∈R且x≠y，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)b>a>0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、證明方程x+p+qcosx=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，其中p，q為常數(shù)，且0＜q＜1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x+p+qcosx，因?yàn)閒’(x)=1—qsinx＞0，所以f(x)在(一∞，+∞)上單調(diào)增加，又因?yàn)?，所以f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即原方程有且僅有一個(gè)實(shí)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、證明方程在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)根．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)k＞0，討論常數(shù)k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)、有一個(gè)零點(diǎn)及兩個(gè)零點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，．由f’(x)=lnx+1=0，得駐點(diǎn)為為f(x)的極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，最小值為，(1)當(dāng)k＞時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)沒有零點(diǎn)；(2)當(dāng)k=時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x=；(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)，討論f(x)的單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、水平漸近線．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋詅(x)在(一∞，+∞)上單調(diào)增加．因?yàn)?，?dāng)x＜0時(shí)，f"(x)＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f"(x)＜0，則y=f(x)在(一∞，0)的圖形是凹的，y=f(x)在(0，+∞)內(nèi)是凸的，(0，0)為y=f(x)的拐點(diǎn)．因?yàn)閒(一x)=一f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．由為曲線y=f(x)的兩條水平漸近線．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，且f(a)=0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，顯然φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，因?yàn)棣?a)=φ(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)a—1[(b一x)f’(x)一af(x)]得(b一ξ)a—1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a—1≠0，故f(ξ)=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，證明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令φ(x)=f(x)，因?yàn)閒(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．(2)令φ(x)=xf(x)，因?yàn)閒(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由羅爾定理，存在φ∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故nf’(φ)+f(η)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(1，2)，使得∈f’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令，則φ(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1)，由羅爾定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而，故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．知識(shí)點(diǎn)解析：26、設(shè)f(x)在[1，2]上連續(xù)，在(1，2)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)≠0，證明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=lnx，F(xiàn)’(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，，則()．A、f(2)是f(x)的極小值B、f(2)是f(x)的極大值C、(2，f(2))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、f(2)不是函數(shù)f(x)的極值，(2，f(2))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由，則存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x一2｜＜δ時(shí)，有，即當(dāng)x∈(2一δ，2)時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x∈(2，2+δ)時(shí)，f’(x)＞0，于是x=2為f(x)的極小點(diǎn)，選A．2、設(shè)f(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，g(x)在x=0的鄰域內(nèi)連續(xù)，且，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，則()．A、x=0是f(x)的極大值點(diǎn)B、x=0是f(x)的極小值點(diǎn)、C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0是f(x)的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：x∈(一δ，0)時(shí)，f(x)＞0，當(dāng)x∈(0，δ)時(shí)，f"(x)＜0，所以(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選C．4、設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f"(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，則()．A、f(0)是f(x)的極小值B、f(0)是f(x)的極大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f’(0)=0得f"(0)=0，f"’(x)=1—2f’(x)f"(x)，f"’(0)=1＞0，由極限保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜｜x｜＜δ時(shí)，f"’(x)＞0，再由f"(0)=0，得故(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選C．5、下列說法正確的是()．A、設(shè)f(x)在x0二階可導(dǎo)，則f"(x)在x=x0處連續(xù)B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其極大值C、f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定為最值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令不存在，所以A不對(duì)；若最大值在端點(diǎn)取到則不是極大值，所以B不對(duì)；C顯然不對(duì)，選D．6、設(shè)f(x)在[a，+∞)上二階可導(dǎo)，f(a)＞0，f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，則f(x)在(a，+∞)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(a)=0，且f"(x)≥k(x＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+為f’(a)=0，且f"(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)單調(diào)增加，所以零點(diǎn)是唯一的，選B．7、設(shè)k＞0，則函數(shù)f(c)=lnx一+k的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()．A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f’(x)＜0，由駐點(diǎn)的唯一性知x=e為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)，最大值為f(e)=k＞0，又，于是f(x)在(0，+∞)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，選C．8、曲線y=的漸近線的條數(shù)為()．A、0條B、1條C、2條D、3條標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖，則f(x)有()．A、兩個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，一個(gè)拐點(diǎn)B、兩個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)C、三個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)D、兩個(gè)極大點(diǎn)，三個(gè)極小點(diǎn)，兩個(gè)拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)當(dāng)x＜0時(shí)，f’(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；當(dāng)x＞0時(shí)，f’(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．當(dāng)x＜x1時(shí)，f’(x)＞0，當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，f’(x)＜0，則x=x1為f(x)的極大點(diǎn)；當(dāng)x∈(x2，0)時(shí)，f’(x)＞0，則x=x2為f(x)的極小點(diǎn)；當(dāng)x∈(0，x3)時(shí)，f’(x)＜0，則x=0為f(x)的極大點(diǎn)；當(dāng)x∈(x3，x4)時(shí)，f’(x)＞0，則x=x3為f(x)的極小點(diǎn)；當(dāng)x＞x4時(shí)，f’(x)＜0，則x=x4為f(x)的極大點(diǎn)，即f(x)有三個(gè)極大點(diǎn)，兩個(gè)極小點(diǎn)，又f"(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)零點(diǎn)兩側(cè)的增減性可得，y=f(x)有兩個(gè)拐點(diǎn)，選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)10、設(shè)函數(shù)y=y(x)由確定，則y=y(x)在x=ln2處的法線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=ln2時(shí)，t=±1；當(dāng)t=±i時(shí)，y=0．11、設(shè)在x=1處可微，則a=________，b=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2；-1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=1處可微，所以f(x)在x=1處連續(xù)，于是f(1一0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1處可微得a=2，所以a=2，b=一1．12、設(shè)F(x)=∫0x(x2一t2)f’(x)出，其中f’(x)在x=0處連續(xù)，且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)～x2，則f’(0)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt—∫0xt2f(t)dt，F(xiàn)’(x)=2x∫0xf’(t)dt，13、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上可導(dǎo)，，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’(1．2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，則φ’(1)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：47知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣铡?x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．15、曲線的斜漸近線為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=2x-4知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)16、就k的不同取值情況，確定方程x2一3x+k=0根的個(gè)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=x3一3x+k，．由f’(x)=3x2一3=0，得駐點(diǎn)為x1=一1，x2=1．f"(x)=6x，由f"(一1)=一6，f"(1)=6，得x1=一1，x2=1分別為f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，極大值和極小值分別為f(一1)=2+k，f(1)=k一2．(1)當(dāng)k＜一2時(shí)，方程只有一個(gè)根；(2)當(dāng)k=一2時(shí)，方程有兩個(gè)根，其中一個(gè)為x=一1，另一個(gè)位于(1，+∞)內(nèi)；(3)當(dāng)一2＜k＜2時(shí)，方程有三個(gè)根，分別位于(一∞，-1)，(一1，1)，(1，+∞)內(nèi)；(4)當(dāng)忌一2時(shí)，方程有兩個(gè)根，一個(gè)位于(一∞，一1)內(nèi)，另一個(gè)為x=1；(5)當(dāng)k＞2時(shí)，方程只有一個(gè)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)k為常數(shù)，方程kx一+1=0在(0，+∞)內(nèi)恰有一根，求k的取值范圍．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[一1，1]上可導(dǎo)，f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f’(0)=0，f"(0)=4．求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)且f(0)=f’(0)=0，f"(x)＞0．曲線y=f(x)上任一點(diǎn)(x，f(x))(x≠0)處作切線，此切線在x軸上的截距為u，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y=f(x)在點(diǎn)(x，f(x))處的切線方程為Y一f(x)=f’(x)(X—x)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)其中g(shù)(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且g(0)=1．(1)確定常數(shù)a，使得f(x)在x=0處連續(xù)；(2)求f’(x)；(3)討論f’(x)在x=0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f’+(a)f’-一(b)＜0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，根據(jù)極限的保號(hào)性，f’+(a)=＞0，則存在δ＞0(δ＜b一a)，當(dāng)0＜x一a＜δ時(shí)，，即f(x)＞f(x)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．同理由f’-(b)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)內(nèi)取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)為f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)在[0，2]上三階連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f"(ξ)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：先作一個(gè)函數(shù)P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得令g(x)=f(x)一P(x)，則g(x)在[0，2]上三階可導(dǎo)，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g"’(ξ)=0，而g"’(x)=f"’(x)一2，所以f"’(ξ)=2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)是在[a，b]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=a＜b=f(b)．證明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令h=．因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n一1)h＜b=f(b)，由端點(diǎn)介值定理和函數(shù)單調(diào)性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn-1)=a+(n一1)h，再由微分中值定理，得f(c1)一f(a)=f’(ξ)(c1一a)，ξ∈(a，c1)，f(c2)一f(c1)=f’(ξ2)(c2一c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)一f(cn-1)=f’(ξn)(b一cn-1)，ξ∈(cn-1，b)，從而有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)y=f(x)二階可導(dǎo)，f’(x)≠0，且與x=φ(y)互為反函數(shù)，求φ"(y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楹瘮?shù)的一階導(dǎo)數(shù)與其反函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在x=x0的鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且=M．證明：f’(x0)=M．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)一f(x0)=f’(ξ)(x一x0)，其中ξ介于x0與x之間．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0．證明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(x)=(x一1)2f’(x)，顯然φ(x)在[0，1]上可導(dǎo)，由f(0)=f(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x一1)f’(x)+(x一1)2f"(x)，所以2(ξ一1)f’(ξ)+(ξ一1)2f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1，證明：對(duì)任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=0，f(1)=1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端點(diǎn)介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=．由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(z)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．證明：(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；(2)存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；(3)存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；(4)存在η∈(a，b)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令F(x)=∫axf(x)dt，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，6)，使得∫abf(x)dx=F(b)一F(a)=F’(c)(b一a)=f(c)(b一a)=0，即f(c)=0．(2)令h(x)=exf(x)，因?yàn)閔(a)=h(c)=h(b)=0，所以由羅爾定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．(3)令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由羅爾定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f"(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．(4)令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由羅爾定理，存在η1(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e-x[f’(x)一f(x)]且e≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由羅爾定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)a1＜a2＜…＜an，且函數(shù)f(x)在[a1，an]上n階可導(dǎo)，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．證明：存在ξ∈(a1，an)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)c=ai(i=1，2，…，n)時(shí)，對(duì)任意的ξ∈(a1，an)，結(jié)論成立；設(shè)c為異于a1，a2，…，an的數(shù)，不妨設(shè)a1＜c＜a2＜…＜an．令，構(gòu)造輔助函數(shù)φ(x)=f(x)一k(x一a1)(x一a2)…(x一an)，顯然φ(x)在[a1，an]上n階可導(dǎo)，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由羅爾定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈(an-1，an)，使得φ’(ξ1(1))=φ’(ξ2(1))=…=φ(ξn(1))=0，φ’(x)在(a1，an)內(nèi)至少有n個(gè)不同零點(diǎn)，重復(fù)使用羅爾定理，則φ(n-1)(x)在(a1，an)內(nèi)至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，設(shè)為c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由羅爾定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，a2)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)一n!k，所以f(n)(ξ)=n!k，從而有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，且f"(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜θ＜1)．證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0．證明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，所以f’(x)在區(qū)間[0，1]上取到最大值M和最小值m，對(duì)f(x)一f(0)=f’(f)x(其中c介于0與x之間)兩邊積分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、求的最大項(xiàng)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x∈(e，+∞)時(shí)，f’(x)＜0，則x=e為f(x)的最大點(diǎn)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)x3一3xy+y3=3確定隱函數(shù)y=y(x)，求y=y(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：k3一3xy+y3=3兩邊對(duì)x求導(dǎo)得3x2一3y一3xy’+3y2y’=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、函數(shù)+6x+1的圖形在點(diǎn)(0，1)處的切線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是()A、(一1，0)B、C、(1，0)D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒’(x)=x2+x+6，所以f’(0)=6．故過(0，1)的切線方程為y一1=6x，因此與x軸的交點(diǎn)為2、函數(shù)f(x)=2x+()A、只有極大值，沒有極小值B、只有極小值，沒有極大值C、在x=-1處取極大值，x=0處取極小值D、在x=-1處取極小值，x=0處取極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令f’(x)=0，得x=-1，且當(dāng)x=0時(shí)，f’(x)不存在，f(x)在x=-1左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，因此在x=-1處取極大值；在x=0左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，因此在x=0處取極小值．3、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)任意x1，x2，當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，則()A、對(duì)任意x，f’(x)＞0B、對(duì)任意x，f’(一x)≤0C、函數(shù)f(一x)單調(diào)增加D、函數(shù)一f(一x)單調(diào)增加標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)單調(diào)性的定義直接可以得出(D)項(xiàng)正確．4、兩曲線y=與y=ax2+b在點(diǎn)處相切，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因兩曲線相切于點(diǎn)，故相交于該點(diǎn)。將x=2，y=代入y=ax2+b中得=4a+b，又因?yàn)橄嗲杏谠擖c(diǎn)，故切線斜率相等，即導(dǎo)數(shù)相等，所以=2ax，將x=2代入得5、設(shè)函數(shù)在x=0處f(x)()A、不連續(xù)B、連續(xù)，但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)D、可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)g(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且g(0)=g’(0)=0，設(shè)則f(x)在x=0處()A、不連續(xù)B、連續(xù)，但不可導(dǎo)C、可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)D、可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)連續(xù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：所以導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)．7、設(shè)函數(shù)f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n為正整數(shù)，則f’(0)=()A、(一1)n-1(n一1)!B、(一1)n(n—1)!C、(一1)n-1n!D、(一1)nn!標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：8、給出如下5個(gè)命題：(1)若不恒為常數(shù)的函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，且x0≠0是f(x)的極大值點(diǎn)，則一x0必是一f(-x)的極大值點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，f"(x)在(a，+∞)內(nèi)存在且大于零，則F(x)=在(a，+∞)內(nèi)單調(diào)增加；(3)若函數(shù)f(x)對(duì)一切x都滿足xf"(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x，且y(x0)=0，x0≠0，則f(x0)是f(x)的極大值；(4)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程2y3一2y2+2xy一x2=1所確定，則y=y(x)的駐點(diǎn)必定是它的極小值點(diǎn)；(5)設(shè)函數(shù)f(x)=xex，則它的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)在點(diǎn)x0=-(n+1)處取得極小值。正確命題的個(gè)數(shù)為()A、2B、3C、4D、5標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)上述5個(gè)命題一一論證．對(duì)于(1)，只要注意到：若f(x)在點(diǎn)x0取到極大值，則-f(x)必在點(diǎn)x0處取到極小值，故該結(jié)論錯(cuò)誤；對(duì)于(2)，對(duì)任意x＞a，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，x)使f(x)-f(A)=f’(ξ)(x-a)，則由f"(x)＞0知，f’(x)在(a，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，因此，對(duì)任意的x與ξ，a＜ξ＜x，有f’(x)＞f’(ξ)，從而由上式得F’(x)＞0，所以函數(shù)F(x)在(a，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，該結(jié)論正確；對(duì)于(3)，因f’(x0)=0，故所給定的方程為，顯然，不論x0＞0，還是x0＜0，都有f"(x0)＞0，于是由f’(x0)=0與f"(x0)＞0得f(x0)是f(x)的極小值，故該結(jié)論錯(cuò)誤；對(duì)于(4)，對(duì)給定的方程兩邊求導(dǎo)，得3y2y’一2yy’+xy’+y—x=0，①再求導(dǎo)，得(3y2-2y+x)y"+(6y-2)(y’)2+2y’=1②令y’=0，則由式①得y=x，再將此代入原方程有2x3-x2=1，從而得y=y(x)的唯一駐點(diǎn)x0=1，因x0=1時(shí)y0=1，把它們代入式②得y"|(1，1)＞0，所以唯一駐點(diǎn)x0=1是y=y(x)的極小值點(diǎn)，該結(jié)論正確；對(duì)于(5)，因?yàn)槭乔髇階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)的極值問題，故考慮函數(shù)f(x)=xex的n+1階導(dǎo)數(shù)f(n+1)(x)，由高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式得f(n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n-1)=(x+n)ex，f(n+1)(x)=[x+(n+1)]ex；f(n+2)(x)=[x+(n+2)]ex．令f(n+2)(x)=0，得f(n)(x)的唯一駐點(diǎn)x0=-(n+1)；又因f(n+2)(x0)=e-(n+1)＞0，故點(diǎn)x0=一(n+1)是n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)的極小值點(diǎn)，且其極小值為f(n)(x0)=-ef-(n+1)，該結(jié)論正確．故正確命題一共3個(gè)，答案選擇(B)．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)9、若函數(shù)f(x)一asinx+處取得極值，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：10、曲線的斜漸近線方程為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=2x+1知識(shí)點(diǎn)解析：所以斜漸近線為y=2x+1．11、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫x20cost2dt-2x2cosx4知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、設(shè)f(x)=x3+4x2一3x一1，試討論方程f(x)=0在(一∞，0)內(nèi)的實(shí)根情況．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(一5)=-11＜0，f(一1)=5＞0，f(0)=一1＜0，所以f(x)在[一5，一1]及[一1，0]上滿足零點(diǎn)定理的條件，故存在ξ1∈(-5，-1)及ξ2∈(-1，0)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0，所以方程f(x)=0在(一∞，0)內(nèi)存在兩個(gè)不等的實(shí)根．又因?yàn)閒(1)=1＞0，同樣f(x)在[0，1]上滿足零點(diǎn)定理的條件，在(0，1)內(nèi)存在一點(diǎn)ξ3，使得f(ξ3)=0，而f(x)=0為三次多項(xiàng)式方程，它最多只有三個(gè)實(shí)根，因此方程f(x)=0在(一∞，0)內(nèi)只有兩個(gè)不等的實(shí)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)y=，求y’．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、曲線的切線與x軸和y軸圍成一個(gè)圖形，記切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，求切線方程和這個(gè)圖形的面積．當(dāng)切點(diǎn)沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時(shí)，該面積的變化趨勢(shì)如何?標(biāo)準(zhǔn)答案：先求曲線處的切線方程．所以切線斜率，切線方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…．證明：15、方程fn(x)=1在[0，+∞)有唯一實(shí)根xn；標(biāo)準(zhǔn)答案：fn(x)連續(xù)，且fn(0)=0，fn(1)=n＞1，由介值定理，∈(0，1)，使fn(xn)=1，n=2，3，…，又x＞0時(shí)，f’n(x)=1+2x+…+nxn-1＞0，故fn(x)嚴(yán)格單增，因此xn是fn(x)=1在[0，+∞)內(nèi)的唯一實(shí)根．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由(1)可得，xn∈(0，1)，n=2，3，…，所以{xn}有界．又因?yàn)閒n(xn)=1=fn+1(xn+1)，n=2，3，…，所以xn+xn2+…+xnn=xn+1+xn+12+…+xn+1n+xn+1n+1，即(xn+xn2+…+xnn)一(xn+1+xn+12+…+xn+1n)=xn+1n+1＞0，因此xn＞xn+1，n=2，3，…，即{xn}嚴(yán)格單調(diào)減少。于是由單調(diào)：有界準(zhǔn)則知=1．因?yàn)?＜xn＜1，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，=+∞，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，證明：f(f(x))至少在兩點(diǎn)處取得最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)一x0，則F(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且F(x0)＜0，F(xiàn)(x)=+∞，由F(x)=+∞，知＜x0，使得F(A)＞0；＞x0，使得F(b)＞0，于是由零點(diǎn)定理，知∈(a，x0)，使得F(x1)=0；∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，從而得f(f(x1))=f(x0)=f(f(x2))．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=0的某鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是當(dāng)x→0時(shí)比x高階的無窮小，且f(x)在x=1處可導(dǎo)，求y=f(x)在點(diǎn)(6，f(6))處的切線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：求切線方程的關(guān)鍵是求斜率，因f(x)的周期為5，故在(6，f(6))處和點(diǎn)(1，f(1))處曲線有相同的斜率，根據(jù)已知條件求出f’(1)．則4f’(1)=8，f’(1)=2，由f(6)=f(1)=0，f’(6)=f’(1)=2，故所求切線方程為y=2(x一6)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、試證明：曲線恰有三個(gè)拐點(diǎn)，且位于同一條直線上．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以這三個(gè)拐點(diǎn)在一條直線上．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)(a，b＞0)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立．標(biāo)準(zhǔn)答案：令它們?cè)趨^(qū)間[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且G’(x)=滿足柯西中值定理的三個(gè)條件，于是在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．試證：在[a，b]內(nèi)存在ξ，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分別為f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，g"(x)≠0，f(A)=f(b)=g(A)=g(b)=0．證明：22、在(a，b)內(nèi)，g(x)≠0；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上兩次運(yùn)用羅爾定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，對(duì)g’(x)在[ξ1，ξ2]上運(yùn)用羅爾定理，可得g"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(c)≠0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)=(x)g’(x)一f’(x)g(x)在[a，b]上運(yùn)用羅爾定理，F(xiàn)(a)=0，F(xiàn)(b)=0．故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上二階可導(dǎo)，且f(A)=f(b)=g(A)=0．證明：∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=f(x)g(x)，在x=a點(diǎn)展開泰勒公式．因f(a)=f(b)=g(a)=0，則F(a)=F(6)=0，且F’(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、若函數(shù)φ(x)及ψ(x)是n階可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0時(shí)，φ(n)(x)＞ψ(k)(x0)．試證：當(dāng)x＞x0時(shí)，φ(x)＞ψ(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u(n-1)(x)=φ(n-1)(x)一ψ(n-1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)=u(n)(ξ).(x—x0)，x＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n-1)(x)一u(n-1)(x0)＞0，且u(n-1)(x0)=0，所以u(píng)(n-1)(x)＞0，即當(dāng)x＞x0時(shí)，φ(n-1)(x)＞ψ(n-1)(x)．同理u(n-2)(x)=φ(n-2)(x)一ψu(yù)(n-2)(x)＞0．歸納有u(n-3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，當(dāng)x＞x0時(shí)，φ(x)＞ψ(x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f(x)和f"(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有界，證明：f’(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：存在正常數(shù)M0，M2，使得對(duì)∈(一∞，+∞)，恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有所以函數(shù)f’(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有界．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析已知f(x)二階可導(dǎo)，且f(x)＞0，f(x)f"(x)一(f'(x))2≥0(x∈R)．27、證明：f(x1)f(x2)≥標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、若f(0)=1，證明：f(x)≥ef’(0)x(x∈R)．標(biāo)準(zhǔn)答案：g(x)=g(0)+g’(0)x+≥f’(0)x，即f(x)≥ef’(0)x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)b＞a＞e，證明：ab＞ba．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)，其中l(wèi)nx＞lne=1，所以，f’(x)＜0，即函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。所以，當(dāng)b＞a＞e時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設(shè)f（x）=則（）A、f（x）在點(diǎn)x=1連續(xù)，在點(diǎn)x=—1間斷B、f（x）在點(diǎn)x=1間斷，在點(diǎn)％=—1連續(xù)C、f（x）在點(diǎn)x=1，x=—1都連續(xù)D、f（x）在點(diǎn)x=1，x=—1都間斷標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由函數(shù)連續(xù)的定義可知，所以，f（x）在x=—1處連續(xù)，故選B。2、設(shè)f（x）=|x|sin2x，則使導(dǎo)數(shù)存在的最高階數(shù)n=（）A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故f（3）（0）不存在。因此n=2，選C。3、設(shè)f（x）為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件=—1，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為（）A、2B、—1C、D、—2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：將題中極限條件兩端同乘2，得由導(dǎo)數(shù)定義可知，f’（1）=一2，故選D。4、曲線y=（x—1）2（x—3）2的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于曲線y，有y’=2（x—1）（x—3）2+2（x—1）2（x—3）=4（x—1）（x—2）（x—3），y"=4[（x—2）（x—3）+（x—1）（x—3）+（x—1）（x—2）]=4（3x2—12x+11），令y"=0，得x1=2—又由y"’=24（x—2），可得y"’（x1）≠0，y"’（x2）≠0，因此曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)，故選C。5、設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，則在下列變上限積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（）A、∫0xt[f（t）—f（—t）]dtB、∫0xt[f（t）+f（—t）]dtC、∫0xf（t2）dtD、∫0x[f（t）]2dt標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：取f（x）=x，則相應(yīng)的∫0xt[f（x）一f（一t）]dt=2t2dt=∫0xf（t2）dt=∫0xt2dt=∫0x[f（t）]2dt=∫0xt2dt=均為奇函數(shù)，故不選A、C、D。應(yīng)選B。6、設(shè)=0，則f（x，y）在點(diǎn)（0，0）處（）A、不連續(xù)B、連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在C、兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微D、可微標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f（x，y）—f（0，0）+2x—y=o（p），（當(dāng)（x，y）→（0，0）時(shí)）即f（x，y）—f（0，0）=—2x+y+o（p），由微分的定義可知f（x，y）在點(diǎn)（0，0）處可微，故選D。7、設(shè)D為單位圓x2+y2≤1，I1=（2x6+y5）dxdy，則（）A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I3＜I2＜I1D、I1＜I3＜I2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于積分域D關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，而x3是x的奇函數(shù)，y3是y的奇函數(shù)，則由于在D內(nèi)|x|≤1，|y|≤1，則x6+y6≤x4+y4，則0＜（x4+y4）dxdy，從而有I1＜I3＜I2。故選D。8、設(shè)區(qū)域D由曲線y=smx，x=（x5y—1）dxdy=（）A、πB、2C、—2D、—π標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：區(qū)域D如圖1—4—8中陰影部分所示，引入曲線y=—sinx將區(qū)域分為D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2關(guān)于y軸對(duì)稱，可知在D1∪D2上關(guān)于x的奇函數(shù)積分為零，故x5ydxdy=0；又由于D3，D4關(guān)于x軸對(duì)稱，可知在D3∪D4上關(guān)于y的奇函數(shù)為零，故x5ydxdy=0。因此，=一π，故選D。9、若級(jí)數(shù)bn發(fā)散，則（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由（an+|bn|）必發(fā)散，故選D。10、微分方程xdy+2ydx=0滿足初始條件y|x=2=1的特解為（）A、xy2=4B、xy=4C、x2y=4D、—xy=4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：原微分方程分離變量得兩端積分得ln|y|=—2ln|x|+lnC，x2y=C，將y|x=2=1代入得C=4，故所求特解為x2y=4。應(yīng)選C。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?e3a=8，所以a=ln2。12、已知f（x）=則f’（x）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x＜0時(shí)，f’（x）=cosx；當(dāng)x＞0時(shí)，f’（x）=1；13、已知xy=ex+y，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在方程兩端分別對(duì)x求導(dǎo)，得y+xy’=ex+y+y（1+y’），即其中y=y（x）是由方程xy=ex+y所確定的隱函數(shù)。故14、曲線y=（x—5）的拐點(diǎn)坐標(biāo)為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（—1，—6）知識(shí)點(diǎn)解析：已知x=—1時(shí)，y"=0，在x=—1左、右兩側(cè)的微小鄰域內(nèi)，y"異號(hào)；x=0時(shí)，y"不存在，在x=0左、右微小鄰域內(nèi)，y"＞0。其中y（—1）=—6，故曲線的拐點(diǎn)為（—1，—6）。15、標(biāo)準(zhǔn)答案：—4π知識(shí)點(diǎn)解析：16、∫0+∞標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：原式整理得17、將∫01dy∫0yf（x2+y2）dx化為極坐標(biāo)下的二次積分為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖1—4—9所示，則有18、交換積分次序標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，積分區(qū)域如圖1—4—13所示，則有19、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)收斂半徑的判斷方法，有由于該冪級(jí)數(shù)缺奇數(shù)項(xiàng)，則20、微分方程xy’+y=0滿足初始條件y（1）=2的特解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可化為（xy）’=0，積分得xy=C，代入初始條件得C=2，故所求特解為xy=2，即y=21、設(shè)y=ex（asinx+bcosx）（a，b為任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y"—2y’+2y=0知識(shí)點(diǎn)解析：由通解的形式可知，特征方程的兩個(gè)根是r1，r2=1±i，因此特征方程為（r—r1）（r—r2）=r2一（r1+r2）r+r1r2=r2—2r+2=0，故所求微分方程為y"—2y’+2y=0。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)22、證明：（Ⅰ）對(duì)任意正整數(shù)n，都有成立；（Ⅱ）設(shè)an=1+—lnn（n=1，2，…），證明{an}收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）令=x，則原不等式可化為＜ln（1+x）＜x，x＞0。先證明ln（1+x）＜x，x＞0。令f（x）=x—ln（1+x）。由于f’（x）=1—＞0，x＞0，可知f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增。又由于f（0）=0，因此當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0。也即In（1+x）＜x，x＞0。可知g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增。又因g（0）=0，因此當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）=0。即再代入=x，即可得到所需證明的不等式。（Ⅱ）an+1—an=可知數(shù)列{an}單調(diào)遞減。又由不等式因此數(shù)列{an}是有界的。由單調(diào)有界收斂定理可知數(shù)列{an}收斂。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、證明函數(shù)恒等式arctanx=，x∈（—1，1）。標(biāo)準(zhǔn)答案：令f（x）=arctanx，g（x）=要證f（x）=g（x）在x∈（—1，1）時(shí)成立，只需證明：（Ⅰ）f（x），g（x）在（—1，1）內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x∈（—1，1）時(shí)，f’（x）=g’（x）；（Ⅱ）存在x0∈（—1，1），使得f（x0）=g（x0）。由初等函數(shù)的性質(zhì)知，f（x）與g（x）都在（—1，1）內(nèi)可導(dǎo)，且容易計(jì)算得到即當(dāng)x∈（一1，1）時(shí)，f’（x）=g’（x）。又f（0）=g（0）=0，因此當(dāng)x∈（一1，1）時(shí)f（x）=g（x），即原等式成立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)分（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)，且f（a）=f（b）=1，證明：必存在ξ，η∈（a，b）使得eη—ξ[f（η）+f’（η）]=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)F（x）=exf（x），由已知f（x）及ex在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，均滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此，存在ξ，η∈（a，b），使得F（b）—F（a）=ebf（b）—eaf（A）=F’（η）（b—a）=eη[f’（η）+f（η）]（b—a）及eb—ea=eξ（b—a）。將以上兩式相比，且由f（a）=f（b）=1，則有eη—ξ[f（η）+f’（η）]=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，且滿足f（b）．cosb=證明至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f’（ξ）=f（ξ）．tanξ。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f（x）在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，知f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，從而F（x）=f（x）cosx在（a，b）使F’（ξ）=f’（ξ）cosξ—f（ξ）sinξ=0，即f’（ξ）=f（ξ）tanξ，ξ∈（a，b）。undefinedundefined知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)z=f（xy，yg（x）），其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g（x）可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g（1）=1，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f1’（xy，yg（x））y+f2’（xy，yg（x））yg’（x），=f11"（xy，yg（x））xy+f12"（xy，yg（x））yg（x）+f1’（xy，yg（x））+f21"（xy，yg（x））xyg’（x）+f22"（xy，yg（x））yg（x）g’（x）+f2’（xy，yg（x））g’（x）由g（x）在x=1處取得極值g（1）=1，可知g’（1）=0．故|x=1，y=1=f11"（1，g（1））+f12"（1，g（1））g（1）+f1’（1，g（1））+f21"（1，g（1））g’（1）+f22"（1，g（1））g（1）g’（1）+f2’（1，g（1））g’（1）=f11"（1，1）+f12"（1，1）+f1’（1，1）。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求二重積分（x—y）dxdy，其中D={（x，y）|（x—1）2+（y—1）2≤2，y≥x}。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知條件，積分區(qū)域D={（x，y）I（x—1）2+（y—1）2≤2，y≥x}。由（x—1）2+（y—1）2≤2，得r≤2（sinθ+cosθ），于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)區(qū)域D={（x，y）x2+y2≤1，x≥0}，計(jì)算二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1—4—22所示。因?yàn)閰^(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗允諗堪霃綖镽=3，相應(yīng)的收斂區(qū)間為（—3，3）。當(dāng)x=3時(shí)，因?yàn)槎际諗俊Ｋ栽?jí)數(shù)在點(diǎn)x=—3處收斂。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、下列廣義積分發(fā)散的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)在區(qū)間[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f"(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)]，則()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[a，b]上為單調(diào)減少的凹函數(shù)，根據(jù)幾何意義，S1＜S2＜S3，選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閷?duì)[一a，a]上連續(xù)的函數(shù)f(x)有∫—aaf(x)dx=∫0af(x)+f(—x)]dx，所以4、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(x)=，則f(x)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)f(x)∈c[1，+∞)，廣義積分∫1+∞f(x)dx收斂，且滿足f(x)=，則f(x)=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：e—1—1知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)8、設(shè)f(x)=求∫02f(x一1)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、求∫0nπ｜c(diǎn)osx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、求∫0nπ｜c(diǎn)osx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、求∫02π｜sinx—cosx｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)∈c[一π，π]，且f(x)=，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)=，求∫01x2f(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)=，求∫01f(x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫01f(x)dx=A，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)=f(x一π)+sinx，且當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)=x，求∫π3πf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)y’=arctan(x一1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)=sin3x+∫—ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令∫—ππxf(x)dx=A，則f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin3x+Ax兩邊積分得∫—ππxf(x)dx=∫—ππxsin3xdx+∫—ππAxdx，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求∫—11(｜x｜+x)e—｜x｜dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由定積分的奇偶性得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求∫—22max(1，x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閙ax(1，x)是偶函數(shù)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)條件收斂，且=r，則()．A、|r|＜1B、|r|＞1C、r=一1D、r=1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閡n條件收斂，所以級(jí)數(shù)un一定不是正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，故r≤0．2、設(shè)un=(一1)nln，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：顯然un條件收斂，收斂，所以u(píng)n2收斂，選(B)．3、設(shè)冪級(jí)數(shù)an(x一2)n在x=6處條件收斂，則冪級(jí)數(shù)(x一2)2n的收斂半徑為()．A、2B、4C、D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍nx(x一2)n在x=6處條件收斂，所以級(jí)數(shù)ann的收斂半徑為R=4，又因?yàn)榧?jí)數(shù)anxn有相同的收斂半徑，所以的收斂半徑為R=4，于是(x一2)2n的收斂半徑為R=2．選(A)．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)4、已知f(x)=，則f(n)(3)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、標(biāo)準(zhǔn)答案：3e．知識(shí)點(diǎn)解析：6、標(biāo)準(zhǔn)答案：2(1一ln2)．知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)級(jí)數(shù)條件收斂，則p的取值范圍是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)8、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、計(jì)算其中D為單位圓x2+y2=1所圍成的第一象限的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、計(jì)算二重積分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲線(x2+y2)2=az(x2一y2)圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對(duì)稱性(x2+4x+y2)dxdy=(x2+y2)dxdy，其中D1是D位于第一卦限的區(qū)域．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)半徑為R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，問R取何值時(shí)，球面S在定球面內(nèi)的面積最大？標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)球面S:x2+y2+(z一a)2=R2，由得球面S在定球內(nèi)的部分在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy:x2+y2≤(4a2一R2),球面S在定球內(nèi)的方程為因?yàn)闀r(shí)球面S在定球內(nèi)的面積最大．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=[∫abf(x)dx]2．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F（x）=∫abf(t)dt，則∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=∫abf(x)[F(b)一F(x)]dx=F(b)∫abf(x)dx一∫abf(x)F(x)dx=F2(b)一∫abF(x)dF(x)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x，y)，g(x，y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且g(x，y)≥0．證明：存在(ξ，η)∈D，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x，y)在D上連續(xù)，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M，又由g(x，y)≥0得