【專項(xiàng)精練】第26課 平面向量的概念及線性運(yùn)算-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項(xiàng)精練（解析版）

第26課平面向量的概念及線性運(yùn)算（分層專項(xiàng)精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023春·重慶酉陽(yáng)·高一重慶市酉陽(yáng)第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．平行向量不一定是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有D．若滿足且與同向，則【答案】C【分析】對(duì)于A：根據(jù)單位向量的概念即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)共線向量的定義即可判斷；對(duì)于C：分類討論向量的方向，根據(jù)三角形法則即可判斷；對(duì)于D：根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.【詳解】依題意，對(duì)于A，單位向量模都相等，方向不一定相同，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，平行向量就是共線向量，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若同向共線，，若反向共線，，若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對(duì)于任意向量，必有，故正確；對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故錯(cuò)誤.故選：C.2．（2023春·新疆·高一八一中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，，點(diǎn)E是的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加法法則和減法法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】故選：B.3．（2023春·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量線性運(yùn)算的幾何意義即可計(jì)算【詳解】.故選：B4．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第四中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)O，A，B三點(diǎn)共線，則，，，代入整理．【詳解】因?yàn)镺，A，B三點(diǎn)共線，則所以，，即整理得：又∵向量，不共線，則，則故選：A．二、多選題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．若線段，則向量B．若向量，則線段C．若向量與共線，則線段D．若向量與反向共線，則【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)得到點(diǎn)B在線段上，進(jìn)行判斷A正確；BC選項(xiàng)，可舉出反例；D選項(xiàng)，根據(jù)向量線性運(yùn)算推導(dǎo)出答案.【詳解】選項(xiàng)A：由得點(diǎn)B在線段上，則，A正確：選項(xiàng)B；三角形，，但，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，反向共線時(shí)，，故，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：,反向共線時(shí)，，故D正確．故選：AD．6．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．【答案】ABD【分析】求得的長(zhǎng)度判斷選項(xiàng)A；求得的長(zhǎng)度判斷選項(xiàng)B；求得的余弦值判斷選項(xiàng)C；求得的化簡(jiǎn)結(jié)果判斷選項(xiàng)D.【詳解】連接PC，并延長(zhǎng)交AB于Q，中，，，，則，,，，，選項(xiàng)A:.判斷正確；選項(xiàng)B:.判斷正確；選項(xiàng)C:.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D:.判斷正確.故選：ABD7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若為平面向量，，則B．若為平面向量，，則C．若，，則在方向上的投影為D．在中，M是AB的中點(diǎn)，＝3，BN與CM交于點(diǎn)P，＝+，則λ＝2μ【答案】CD【分析】利用向量共線的概念判斷A、B，；利用向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用向量共線的推論即可判斷D.【詳解】A，若，則與任意向量共線，所以與不一定平行，故A錯(cuò)誤；B，若，則，，當(dāng)共面時(shí)，，若不共面時(shí)，與不平行，故B錯(cuò)誤；C，若，則，所以，在方向上的投影為，故C正確；D，，設(shè),則，設(shè)，則，即，①，設(shè)，，，即，②由①②可得，，即，故D正確.故選：CD三、填空題8．（2023春·上海浦東新·高一校考期中）在中,,且在方向上的數(shù)量投影是-2,則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)在方向上的數(shù)量投影先求出,取,則,即求的最小值,過(guò)點(diǎn)作的垂線即可求得.【詳解】解:由題知在方向上的數(shù)量投影是-2,,,,即,記,則,若求的最小值即求的最小值,過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),此時(shí)最小,如圖所示:,故答案為:9．（2023春·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖,在平行四邊形中,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段BD上的一個(gè)三等分點(diǎn),且,若,則.【答案】【分析】根據(jù)題意可知,,根據(jù)平面向量基本定理,將用線性表示,根據(jù)兩個(gè)向量相等即可得的值,進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解:由題知點(diǎn)F為線段BD上的一個(gè)三等分點(diǎn),所以,所以,因?yàn)椴还簿€,所以,故.故答案為:四、解答題10．（2022春·廣東茂名·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，.（1）求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）若，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值.【答案】（1）證明見解析；（2）12.【分析】（1）通過(guò)證明可得結(jié)果；（2）由共線定理得，列出關(guān)于的方程解出即可.【詳解】（1）證明：由已知得，∵，∴.又與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．（2）由（1）可知，∵，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴，即，∴，解得.【二層練綜合】一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知不共線的平面向量?jī)蓛伤傻慕窍嗟龋?，則（

）A． B．2 C．3 D．2或3【答案】D【分析】先求出，轉(zhuǎn)化，列方程即可求出.【詳解】由不共線的平面向量，，兩兩所成的角相等，可設(shè)為θ，則.設(shè)||=m.因?yàn)?，所以，即，所以即，解得：?.所以||=2或3故選：D二、多選題2．（2023春·高一單元測(cè)試）中華人民共和國(guó)的國(guó)旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關(guān)系象征著中國(guó)共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命與人民大團(tuán)結(jié)．如圖，五角星是由五個(gè)全等且頂角為36°的等腰三角形和一個(gè)正五邊形組成．已知當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】連接DH，AF，CH，BH，利用五角星的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，連接DH，如圖，由DF=FH，得：，，A正確；對(duì)于B，連接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，則，B正確；對(duì)于C，與不共線，C不正確；對(duì)于D，連接CH，BH，由選項(xiàng)A知，，而，則四邊形是平行四邊形，，D不正確.故選：AB三、填空題3．（2023春·江西宜春·高一?？计谥校┮阎倪呅沃?，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則.【答案】【分析】如圖，分別過(guò)點(diǎn)作,垂足分別為,求出，再利用平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)作,垂足分別為.由題得四邊形為等腰梯形，,所以.由題得.故答案為：四、解答題4．（2022春·廣東茂名·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，.（1）求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）若，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值.【答案】（1）證明見解析；（2）12.【分析】（1）通過(guò)證明可得結(jié)果；（2）由共線定理得，列出關(guān)于的方程解出即可.【詳解】（1）證明：由已知得，∵，∴.又與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．（2）由（1）可知，∵，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴，即，∴，解得.【三層練能力】一、多選題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）定義平面向量的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的兩個(gè)向量，，令，下面說(shuō)法一定正確的是（

）A．對(duì)任意的，有B．存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立C．若與垂直，則與共線D．若與共線，則與的模相等【答案】AD【分析】由表示出和，即可判斷A；假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即方程組，對(duì)任意恒成立，解方程可判斷B；若與垂直，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷C；若與共線，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷D.【詳解】設(shè)向量，，對(duì)于A，對(duì)任意的，有，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程組，對(duì)任意恒成立，而此方程組無(wú)解，故B不正確；對(duì)于C，若與垂直，則，設(shè)，則，，其中，故C不正確；對(duì)于D，若與共線，則，設(shè)，，，所以與的模相等，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬于創(chuàng)新題，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.二、填空題2．（2023春·江西九江·高一?？计谥校┰O(shè)是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且.若存在，使得與垂直，且，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，令，，從而得出有共線，結(jié)合題設(shè)推出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，此時(shí)面積最大，則O到的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)取到最小值，即可求解.【詳解】如圖示，是平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，由題意得：，令，則三點(diǎn)共線