2025高考總復習專項復習-概率專題十四（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學--概率專題十四知識點一頻率分布直方圖的實際應(yīng)用,由頻率分布直方圖估計平均數(shù),利用對立事件的概率公式求概率,典例1、某公司全體員工的年齡的頻率分布表如下表所示，其中男員工年齡的頻率分布直方圖如圖所示.已知該公司年齡在35歲以下的員工中，男、女員工的人數(shù)相等.年齡（歲）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）[55，60）合計人數(shù)681123189580（1）求圖中實數(shù)a的值，并估計該公司男員工的平均年齡；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（2）若從年齡在[55，60）的員工中隨機抽取2人參加活動，求這2人中至少有1名女員工的概率.

隨堂練習：在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機抽取了參加本次質(zhì)檢考試的100名學生的數(shù)學考試成績，并將其統(tǒng)計如下表所示.成績?nèi)藬?shù)62442208（1）試估計本次質(zhì)檢中數(shù)學測試成績樣本的平均數(shù)（以各組區(qū)間的中點值作為代表）；（2）現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績在及之間的學生中隨機抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行試卷分析，求這2人的成績都在之間的概率.典例2、2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，為引導和帶動青少年重溫共青團百年光輝歷程，某校組織全體學生參加共青團百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：（1）試估計這100名學生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）；（2）試估計這100名學生得分的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（3）現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80，90）和[90，100]兩組中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人參加這次競賽的交流會，試求兩組各有一人被抽取的概率.

隨堂練習：某校組織學生觀看“太空授課”，激發(fā)了學生的學習熱情.學校組織1000名學生進行科學探索知識競賽，成績分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若圖中未知的數(shù)據(jù)a，b，c成等差數(shù)列，成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為400.（1）求出直方圖中a，b，c的值；（2）估計中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）若從得分在區(qū)間內(nèi)的學生中抽取2人編號為A，B，從得分在區(qū)間內(nèi)的學生中抽取6人編號為1，2，3，4，5，6，組成幫助小組，從1，2，3，4，5，6中選3個人幫助A，余下的3個人幫助B，求事件“1，2幫助A”的概率.典例3、《中共中央國務(wù)院關(guān)于深入打好污染防治攻堅戰(zhàn)的意見》提出“構(gòu)建智慧高效的生態(tài)環(huán)境管理信息化體系”，下一步，需加快推進5G、物聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)、云計算等新信息技術(shù)在生態(tài)環(huán)境保護領(lǐng)域的建設(shè)與應(yīng)用，實現(xiàn)生態(tài)環(huán)境管理信息化、數(shù)字化、智能化．某科技公司開發(fā)出一款生態(tài)環(huán)保產(chǎn)品，已知該環(huán)保產(chǎn)品每售出1件預計利潤為0.4萬元，當月未售出的環(huán)保產(chǎn)品，每件虧損0.2萬元．根據(jù)市場調(diào)研，該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量在內(nèi)取值，將月需求量區(qū)間平均分成5組，畫出頻率分布直方圖如下．（1）請根據(jù)頻率分布直方圖，估計該環(huán)保產(chǎn)品的市場月需求量的平均值和方差．（2）若該環(huán)保產(chǎn)品的月產(chǎn)量為185件，x（單位：件，，）表示該產(chǎn)品一個月內(nèi)的市場需求量，y（單位：萬元）表示該公司生產(chǎn)該環(huán)保產(chǎn)品的月利潤．①將y表示為x的函數(shù)；②以頻率估計概率，標準差s精確到1，根據(jù)頻率分布直方圖估計且y不少于68萬元的概率．

隨堂練習：新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有660人.（1）求頻率分布直方圖中的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；（2）從頻率分布直方圖中，估計本次評測分數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)（精確到0.1）；（3）為了今后更好地完成當?shù)氐姆酪吖ぷ?，政府部門又按照分層抽樣的方法，從評分在的居民中選出6人進行詳細的調(diào)查，再從中選取兩人進行面對面溝通，求選出的兩人恰好都是評分在之間的概率.知識點二計算古典概型問題的概率,卡方的計算典例4、為了助力北京2022年冬奧會、冬殘奧會，某校組織全校學生參與了奧運會項目知識競賽.

為了解學生的競賽成績(競賽成績都在區(qū)間內(nèi))的情況，隨機抽取n名學生的成績，并將這些成績按照，，，，分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.其中，，三組的頻率成等比數(shù)列，且成績在的有16人.（1）求n的值；（2）在這n名學生中，將成績在的學生定義為“冬奧達人”，成績在的學生定義為“非冬奧達人”.請將下面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“是否是冬奧達人與性別有關(guān)”？并說明你的理由.男生女生合計冬奧達人30非冬奧達人36合計參考公式：，其中.臨界值表：0.0500.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828

隨堂練習：某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個“AI作業(yè)"項目，并且在甲?乙兩個學校的高一學生中做用戶測試，經(jīng)過一個階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對學生學習的促進情況，該公司隨機抽取了200名學生，對他們“向量數(shù)量積”知識點掌握情況進行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226試用頻率估計概率，并假設(shè)每位學生是否掌握“向量數(shù)量積”'知識點相互獨立.（1）從兩校高一學生中隨機抽取1人，估計該學生對“向量數(shù)量積”知識點基本掌握的概率；（2）完成下面列聯(lián)表，并分析是否有的把握認為基本掌握“向量數(shù)量積”知識點與使用AI作業(yè)有關(guān)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)合計基本堂握沒有掌握合計附：典例5、2019年10月1日，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式在北京天安門廣場隆重舉行，央視對閱兵式進行了直播.為了解市民在直播中觀看閱兵式的情況，某機構(gòu)隨機抽取了800名市民，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：觀看閱兵式未觀看閱兵式合計男300200500女200100300合計500300800（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否觀看閱兵式與性別有關(guān)”？（2）經(jīng)統(tǒng)計，抽取的500名觀看閱兵式的市民中有高三學生5名，其中3名男生，2名女生，若從這5名高三學生中隨機抽取兩人接受采訪，求抽取的兩名學生性別不同的概率.附表及公式：，其中.P(K2≥k0)50.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

隨堂練習：某研究型學習小組調(diào)查研究“中學生使用智能手機對學習的影響”，對我校80名學生調(diào)查得到部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表，記為事件：“學習成績優(yōu)秀且不使用手機”；為事件：“學習成績不優(yōu)秀且不使用手機”，且已知事件的頻率是事件的頻率的2倍.不使用手機使用手機合計學習成績優(yōu)秀人數(shù)12學習成績不優(yōu)秀人數(shù)26合計（1）求表中的值，并補全表中所缺數(shù)據(jù)；（2）運用獨立性檢驗思想，判斷是否有的把握認為中學生使用手機對學習有影響？參考數(shù)據(jù)：，其中.典例6、隨著經(jīng)濟的高速發(fā)展，南昌市居住環(huán)境及人文環(huán)境進一步得到改善.目前已基本依水建成贛江西岸綠道?贛江東岸綠道?烏沙河綠道?玉帶河桃花河綠道?撫河故道綠道?幸福渠綠道?艾溪湖瑤湖綠道等城市主干綠道.新建提升20個公園，精心打造100條景觀路，織起一張“四橫七縱六環(huán)”的“綠道網(wǎng)”.另外，位于鳳凰洲贛江邊的省文化中心的建成已成為展示江西歷史文化的地標建筑.省文化中心由省博物館?省圖書館?省科技館三館組成，三個主體建筑由北向南排列，分別隱喻歷史?現(xiàn)在與未來，反映出文化發(fā)展的路徑，描述了探索知識的故事與旅程.作為江西省文化的新地標，城市的新客廳，成為加快推動江西文化強省建設(shè)的一個亮麗縮影，成為豐富江西省人民群眾精神文化需求重要陣地.（1）相比老年人而言，青年人更喜歡在閑暇時間選擇去省文化中心參觀?學習.已知某區(qū)青年人的男女比例為3：2，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取100名作為樣本，對這100位青年是否在閑暇時間去省文化中心進行統(tǒng)計，得條形圖如下所示.男女合計去省文化中心不去省文化中心合計完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為青年人選擇去省文化中心與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四位青年人，他們每個周末都選擇去省文化中心，將他們想去的場館情況匯總?cè)缦拢簣鲳^圖書館科技館博物館意向甲?乙?丙甲?乙?丁乙?丙?丁若每人只能從已登記的選擇意向中隨機選取一個場館，且每個場館至多有兩人選擇，求甲?乙兩人選擇去同一個場館的概率.附：0.1000.0500.0250.010，其中.2.7063.8415.0246.635

隨堂練習：江西新高考改革自2021年執(zhí)行，在取消文理科后實行“”考試模式，即除語數(shù)外三科，學生需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6科任選3科參加高考．上饒市某學校為了解學生對全理（選擇物理、化學、生物）的選擇是否與性別有關(guān)，從該校高一年級的500名男生和400名女生中按比例共抽取90人進行模擬選科，經(jīng)統(tǒng)計，選擇全理的人數(shù)比不選全理的人數(shù)多10人．選擇全理不選擇全理合計男生15女生合計（1）完成上面的列聯(lián)表并判斷是否有99.5%的把握認為選擇全理與性別有關(guān)；（2）為了解學生選科的理由，隨機選取了男生4名，女生2名進行座談，再從中抽取2名代表作問卷調(diào)查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828人教A版數(shù)學--概率專題十四答案典例1、答案：（1）0.016，；（2）.解：（1）由男員工年齡的頻率分布直方圖得（0.012+2a十2×0.024+0.048+0.060)×5=1，解得a=0.016.則男員工的平均年齡：（2）該校年齡在35歲以下的男女員工人數(shù)相等,且共14人，年齡在35歲以下的男員工共7人.由（1）知，男員工年齡在[25,35)的頻率為，所以男員工共有（人），女員工共有（人），所以年齡在[55,60）的員工中，男員工為0.016×5×50=4（人），不妨設(shè)為，則女員工為1人，設(shè)為，從年齡在[55,60）的員工中隨機抽取2人，則有，共有10種可能情形，其中至少有1名女員工的有4種，故所求概率為.隨堂練習：答案：（1）（2）解：（1）根據(jù)統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)的計算方法，可得本次質(zhì)檢中數(shù)學測試成績樣本的均數(shù)為.（2）由題意知，隨機抽取的5人中，成績在的有1人記為，成績在的有4人記為，從中隨機抽取2人有，，，，，，，，，，共有10種可能，其中成績都在之間有的，，，，，，共有6種可能，所以這2人成績都在之間的概率.典例2、答案：（1）70.5（2）71.67（3）0.6解：（1）由頻率分布直方圖可得這100名學生得分的平均數(shù)：（2）因為成績在[40，70)的頻率為0.45，成績在[70，80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為（3）在[80，90）和[90，100]兩組中的人數(shù)分別為和人，故在[80，90）分組中抽取的人數(shù)為人，故在[90，100]分組中抽取的人數(shù)為2人，兩組各有一人被抽取的概率為.隨堂練習：答案：（1）、、（2）中位數(shù)約為，平均數(shù)為；（3）解：（1）依題意，又且，解得，；（2）因為，設(shè)中位數(shù)為，則，所以，解得，即中位數(shù)約為；平均數(shù)為（3）從1，2，3，4，5，6中選3個人幫助A，余下的3個人幫助B，所以可能結(jié)果為（只列出幫助的學生），，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個基本事件，其中滿足1，2幫助的有，，，共個，故滿足“1，2幫助”的概率典例3、答案：（1）；.（2）①；②.解：（1），,（2）①當，且時，萬元；當，且時，萬元，所以，②，，，所以，當時，萬元，當時，由得，故當萬元時，，綜上所述：，所以.所以估計且y不少于68萬元的概率為.隨堂練習：答案：（1），1200人（2）中位數(shù)為82.9，平均數(shù)為80.7（3）解：（1）由頻率分布直方圖知即，解得設(shè)總共調(diào)查了人，則，解得，即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為1200人；（2）因為，所以中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得：，所以中位數(shù)為82.9，所以估計本次考試成績的中位數(shù)為82.9.由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02?0.04?0.14?0.20?0.35?0.25，所以，設(shè)平均數(shù)為，則.所以所以估計本次考試成績的平均數(shù)為.（3）用分層抽樣的方法應(yīng)該從評分在抽出2人，記編號為1，2，從評分在抽出4人，記編號為3，4，5，6，.則樣本空間為Ω＝{{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}}．用A表示抽出的2人恰好來自于評分在，則A={{1，2}}．所以選出的兩人恰好都是評分在之間的概率為.典例4、答案：（1）（2）列聯(lián)表見解析，有，理由見解析解：（1）由題意知，，三組的頻率成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得或（舍去），則這一組的頻率為，由題意知，解得.（2）成績在的人數(shù)為，成績在的人數(shù)為44.補充完整的列聯(lián)表如下：男生女生合計冬奧達人301444非冬奧達人203656合計5050100計算得的觀測值，故有99%的把握認為“是否是冬奧達人與性別有關(guān)”.隨堂練習：答案：（1）0.7（2）表格見解析，有的把握認為基本掌握“向量數(shù)量積"知識點與使用AI作業(yè)有關(guān)解：（1）在兩所學校被調(diào)查的200名學生中，對“向量數(shù)量積”知識點基本掌握的學生有140人，所以估計從兩校高一學生中隨機抽取1人，該學生對“向量數(shù)量積”知識點基本掌握的概率為使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)合計基本掌握8258140沒有掌握204060合計10298200（2），因為，所以有的把握認為基本掌握“向量數(shù)量積"知識點與使用AI作業(yè)有關(guān).典例5、答案：（1）不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否觀看閱兵式與性別有關(guān)”（2）解:（1）將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得k=≈3.556<3.841，所以不能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否觀看閱兵式與性別有關(guān)”.（2）記抽取的3名男生分別為A，B，C，2名女生分別為d，e，則從這5名學生中隨機抽取2人，共包含：(A，B)，(A，C)，(A，d)，(A，e)，(B，C)，(B，d)，(B，e)，(C，d)，(C，e)，(d，e)，共10種等可能的結(jié)果，其中既有男生又有女生這一事件包含：(A，d)，(A，e)，(B，d)，(B，e)，(C，d)，(C，e)，共6種等可能的結(jié)果，由古典概型的概率計算公式可得，抽取的兩名學生性別不同的概率為P=.隨堂練習：答案：（1），表格答案見解析；（2）有的把握認為中學生使用手機對學習有影響.解：（1）由題意得解得，（2）補全表中所缺數(shù)據(jù)如下：不使用手機使用手機合計學習成績優(yōu)秀人數(shù)281240學習成績不優(yōu)秀人數(shù)142640合計423880根據(jù)題意計算觀測值為，所以有的把握認為中學生使用手機