2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題七（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題七知識(shí)點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間典例1、已知：函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）求證：當(dāng)時(shí)，.典例2、已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若且，求證：．隨堂練習(xí)：已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若且，求證：.典例3、已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；設(shè)，對(duì)任意的恒成立，求整數(shù)的最大值；求證：當(dāng)時(shí)，知識(shí)點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根,由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）典例4、已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）討論方程根的個(gè)數(shù).隨堂練習(xí)：已知，．（1）存在滿足：，，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．典例5、已知函數(shù)，．（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）討論關(guān)于x的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)．典例6、函數(shù)，.（1）試討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的集合；（3）當(dāng)時(shí)，判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題七答案典例1、答案：（1）單調(diào)遞增；（2）.解:（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；所以取得最小值，所以在上成立，所以在上遞增；（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，恒成立，即，恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增；所以取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，易知，不成立，當(dāng)a=0時(shí)，成立，綜上：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.隨堂練習(xí)：答案：（1）見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，則，解得，在單調(diào)遞增；令，則，解得；在單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）要證當(dāng)時(shí)，，只須證：，而，因此，只要證：，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；所以，即；所以當(dāng)時(shí)，．典例2、答案：（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.解:（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，．若，則，在上單調(diào)遞減．若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增．若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增．（2）若且，則．欲證，只需證．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．設(shè)函數(shù)，則．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，故存在，使得，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以，且，故存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，所以，，即，．一題多解：（2）另解一若且，則，欲證，只需證．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)函數(shù)，，因?yàn)椋?，所以，又，所以，所以，即原不等式成立．隨堂練習(xí)：答案：(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.解:（1）函數(shù)的定義域?yàn)棰偃魰r(shí)，則，在上單調(diào)遞減；②若時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增（2）若且，欲證只需證即證設(shè)函數(shù)，，則當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)在上單調(diào)遞增所以設(shè)函數(shù)，則設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，故存在，使得從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故存在，使得即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減因?yàn)楣十?dāng)時(shí)，所以即典例3、答案：（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明見(jiàn)解析.解：（1）由題意知，,當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：要證明當(dāng)時(shí)，，,即證當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，令，所以，因?yàn)?，，則，僅在或時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，，.隨堂練習(xí):答案:（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.解:（1）①若，則，函數(shù)在上為增函數(shù)；②若，由可得；由可得因此在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；（2）若，則，不滿足題意；若，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)；設(shè)，則，又在上單調(diào)遞增且，故存在唯一使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故，解得，又，則綜上的最大值為；（3）由（2）可知，時(shí)，，記，則記，則由可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增即典例4、答案：（1）（2）答案見(jiàn)解析解：（1）時(shí)，.①時(shí)，，，所以，即在時(shí)單調(diào)遞減；②時(shí)，.所以，即在時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得最小值為所以的最小值是.（2）由題，，則，即.所以.由，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，在上遞減；在上遞增.又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)或.又，故和不可能同時(shí)成立.所以方程根的個(gè)數(shù)是兩函數(shù)和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，令，即，解得.當(dāng)易知時(shí)，,單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；在處取得最小值為，所以時(shí)，直線與函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；時(shí)，直線與函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，直線與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)函數(shù)，有2個(gè)零點(diǎn).同理：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，設(shè)，則所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在處的函數(shù)值為，所以故時(shí)，在上必有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，時(shí)，方程有1個(gè)根；時(shí)，方程有2個(gè)根；時(shí)，方程有3個(gè)根.隨堂練習(xí)：答案：（1）或4；（2）答案見(jiàn)解析.解：（1）時(shí)，原條件等價(jià)于，∴，令，則，∴為增函數(shù)，由，則有唯一解，所以，時(shí)，，解得：．綜上，或4．（2）ⅰ.時(shí)，則，，而，，即為增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故，∴恒成立，故時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；ⅱ.時(shí)，，由①知：僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．ⅲ.時(shí)，，則，，∴為增函數(shù)，，，∴僅有一解，設(shè)為，則在上，在上，所以最小值為，故．又，，故、上各有一零點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)．ⅳ.時(shí)，上，，∴無(wú)零點(diǎn)，則上，，，∴為增函數(shù)，，，∴有唯一解，設(shè)為，則，又，，故、上，各有一個(gè)零點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)．ⅴ.時(shí)，由（1）知：上有唯一零點(diǎn)：；在上，則，，所以為增函數(shù)，，，故使，則上，遞減；上，遞增；故，而，又，，故在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以共有3個(gè)零點(diǎn)．綜上：時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．典例5、答案：（1）（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，，，則切線的斜率為，又，所以曲線在處的切線方程是，即．（2）即為，化簡(jiǎn)得，令，則，令，則，令，得．當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減．①當(dāng)時(shí)，，即，所以在R上單調(diào)遞減．又，所以有唯一零點(diǎn)0；②當(dāng)時(shí)，，，所以存在，，又，令，，所以在上單調(diào)遞減，，即，所以存在，，xnm－0＋－單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減則，又，所以存在，；同理，，又，所以存在，，由單調(diào)性可知，此時(shí)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)0，，．綜上，當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，方程有唯一的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，方程有3個(gè)實(shí)根．典例6、答案：（1）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；（2）；（3）2，證明見(jiàn)解析.詳解:（1）定義域?yàn)椋?，，由得：，?dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，由恒成立得，，設(shè)，，，由得：，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，，要使恒成立，則，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，且，當(dāng)，，不合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的集合；（3）原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，理由如下：由得，，令，因?yàn)?，所以是的一根，?/p>