2025高考總復(fù)習(xí)專項復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專題五

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題五知識點一求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題,根據(jù)韋達定理求參數(shù)典例1、已知雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線的右頂點在圓上，且．（1）求雙曲線的方程；（2）動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，設(shè)為坐標(biāo)原點．求證：的面積為定值．

隨堂練習(xí)：已知雙曲線C：的離心率為，焦點到其漸近線的距離為1．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l：與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，直線OA，OB的斜率之積為，求△OAB的面積．典例2、已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合，一條漸近線的傾斜角為．（1）求雙曲線的方程；（2）經(jīng)過點的直線與雙曲線的右支交與兩點，與軸交與點，點關(guān)于原點的對稱點為點，求證：．

隨堂練習(xí)：已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，的左?右焦點分別為，，且到的一條漸近線的距離為1.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是與在第一象限的交點，與的另一個交點為P，與的另一個交點為，與的面積分別為，，求.典例3、已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為1．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點，為坐標(biāo)原點，直線，的斜率之積為，求的面積．

隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中中，已知雙曲線的一條漸近線方程為，過焦點垂直于實軸的弦長為．（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點，且，若的面積為，求直線的方程.知識點二直線與拋物線交點相關(guān)問題,根據(jù)韋達定理求參數(shù)典例4、已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點P（2，0）的直線l交拋物線C于A（x1，y1）和B（x2，y2）兩點.（1）當(dāng)x1+x2＝8時，求直線l的方程；（2）若過點P（2，0）且垂直于直線l的直線l'與拋物線C交于M，N兩點，記△ABF與△MNF的面積分別為S1與S2，求S1S2的最小值.

隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點為，斜率為2的直線與拋物線相交于、兩點．（1）若直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點，且，求直線的方程；（2）若直線不過原點，且，求的周長．

典例5、已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點．（1）當(dāng)l的傾斜角為時，若，求；（2）設(shè)點，且，求l的方程．

隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點為，直線過點，且與拋物線交于、兩點，．（1）求的取值范圍；（2）若，點的坐標(biāo)為，直線與拋物線的另一個交點為，直線與拋物線的另一個交點為，直線與軸交于點，求的取值范圍．典例6、已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于M，N兩點，交y軸于P點，點N位于點M和點P之間.（1）若，求直線l的斜率；（2）若，證明：為定值.

隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點為．（1）如圖所示，線段為過點且與軸垂直的弦，動點在線段上，過點且斜率為1的直線與拋物線交于兩點，請問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；（2）過焦點作直線與交于兩點，分別過作拋物線的切線，已知兩切線交于點，求證：直線?、的斜率成等差數(shù)列．人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題五答案典例1、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）不妨設(shè),因為,從而故由,又因為,所以,

又因為在圓上,所以

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)直線與軸交于點，雙曲線的漸近線方程為由于動直線與雙曲線恰有1個公共點,且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點,當(dāng)動直線的斜率不存在時,,，,當(dāng)動直線的斜率存在時,且斜率,不妨設(shè)直線,故由

依題意，且,化簡得,

故由,同理可求,,

所以又因為原點到直線的距離,

所以,又由所以,

故的面積是為定值,定值為隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）雙曲線C：的焦點坐標(biāo)為，其漸近線方程為，所以焦點到其漸近線的距離為．因為雙曲線C的離心率為，所以，解得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，得，，所以，．由，解得t＝1（負值舍去），所以，．直線l：，所以原點O到直線l的距離為，，所以△OAB的面積為．典例2、答案：（1）；（2）證明見解析．解：（1）由題意得，，解得所以雙曲線的方程為：（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，得，，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得，所以所以直線與雙曲線右支有兩個交點，所以所以，設(shè)，所以隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）雙曲線的離心率為：故橢圓的離心率為：雙曲線的一條漸近線方程為：設(shè)的坐標(biāo)為：，則，解得又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）聯(lián)立方程組：解得：，即點坐標(biāo)為：直線的斜率為：則直線的方程為：聯(lián)立方程組：解得：或即點坐標(biāo)為，點到的距離為聯(lián)立方程組：解得：或即點坐標(biāo)為，點到的距離為則，即典例3、答案：（1），離心率為（2）解：（1）由題意知焦點到漸近線的距離為，則因為一條漸近線方程為，所以，又，解得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為．（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立則，所以，由解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面積為隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）或解：（1）過C的焦點垂直于實軸的弦長為6，將代入雙曲線，得，則①，又C的一條漸近線方程為，則②，由①②解得，，所以雙曲線C的方程為．（2）顯然，當(dāng)直線OA斜率為0或不存在時均不符合題意．當(dāng)直線OA斜率存在且不為0時，設(shè)直線OA的斜率為k，則方程為．聯(lián)立，整理得，于是得則，同理可得，因為整理得，解得．即或（滿足）．考慮到，只需分以下兩種情形：①當(dāng)OA、OB的斜率為、時，結(jié)合得或，同理可得或，于是由點、，據(jù)直線的兩點式方程并化簡可得AB方程，同理可得AB的方程為或或．②同理，當(dāng)OA、OB的斜率為、時，直線AB的方程為，或或或綜上，直線AB的方程為或典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12.解:（1）直線l過定點P（2，0），在x軸上，且直線l與拋物線相交，則斜率一定不為0，可設(shè)直線l的方程為x＝my+2，聯(lián)立拋物線的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，因為x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，所以直線l的方程為x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）設(shè)直線l的方程為x＝my+2，聯(lián)立拋物線的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，則S1|PF||y1﹣y2|2，因為直線MN與直線l垂直，且當(dāng)m＝0時，直線l的方程為x＝2，此時直線l'的方程為x＝0，但此時直線l'與拋物線C沒有兩個交點，所以不符題意，所以m≠0，所以直線l的斜率為，因此直線MN的斜率為﹣m（m≠0），由點斜式方程可得直線l'的方程為y﹣0＝﹣m（x﹣2），即mx+y﹣2m＝0，聯(lián)立拋物線的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4，x3x4＝4，則y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），因此|y3﹣y4|＝|m||x3﹣x4|＝|m||m|，所以S2|PF||y3﹣y4|1，所以S1S2＝2444412，當(dāng)且僅當(dāng)2m2即m＝±1時等號恒成立，所以S1S2的最小值為12.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解:（1）由拋物線可知，準(zhǔn)線為，設(shè)直線的方程為，則點的坐標(biāo)為，聯(lián)立方程，消去后整理為，又由，可得，由點的坐標(biāo)為，有，解得或（舍去），故直線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，點、的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立方程，消去后整理為，可得，，又由，可得．又由，，可得，得（舍去）或．由，可得，，所以，，故的周長為．典例5、答案：（1）（2）或解：（1）當(dāng)l的傾斜角為時，l的斜率為1，又，所以直線，將代入，得，即，設(shè)，，則，，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可知，，，因為，可知，，所以．（2）當(dāng)軸時，，，，此時PA不垂直于PB．當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的斜率為k，則直線，將代入，得，即，．設(shè)，，則，，又，，，所以，即，所以，化簡有，解得，所以l的方程為或．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解:（1）依題意，設(shè)直線為，代入得，其判別式為，∴．設(shè)，為交點，∴，．∵焦點的坐標(biāo)為，∴，．∵，∴，∴，∴或．∵成立．∴．（2）若，則，設(shè)點，為直線、直線與拋物線的交點．設(shè)直線為，代入得，∴，∴，同理可得，∴點和的坐標(biāo)分別為，．又∵在直線上，∴，共線，∴，∴．∵，∴，∴，設(shè)，∴在時恒成立，∴在單調(diào)遞增，∴的取值范圍為．典例6、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）設(shè)，因為過點的直線l交拋物線C于M，N兩點，所以直線斜率存在，且不為0，設(shè)直線l為，聯(lián)立與得：，則，，因為，所以，故，解得：，當(dāng)時，，此時，解得：，直線l的斜率為，滿足點N位于點M和點P之間，當(dāng)時，，此時，解得：，直線l的斜率為，滿足點N位于點M和點P之間，綜上：直線l的斜率為；（2）設(shè)，因為過點的直線l交拋物線C于M，N兩點，所以直線斜率不