2024年高考數(shù)學一輪復習知識清單（新高考專用）專題12 數(shù)列通項及數(shù)列前n項和求法（原卷版）

專題12數(shù)列通項及數(shù)列前n項和求法一、知識速覽二、考點速覽知識點1數(shù)列的遞推公式1、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、通項公式和遞推公式的異同點不同點相同點通項公式可根據(jù)某項的序號n的值，直接代入求出an都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項遞推公式可根據(jù)第一項(或前幾項)的值，通過一次(或多次)賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的an，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an知識點2數(shù)列通項公式的求法1、觀察法：已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．2、公式法（1）使用范圍：若已知數(shù)列的前項和與的關系，求數(shù)列的通項可用公式構造兩式作差求解．（2）用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．3、累加法：適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)要點：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、構造法：對于不滿足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的遞推關系，常采用構造法要點：對所給的遞推公式進行變形構造等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求解類型一：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出類型二：形如型的遞推式：（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：—①，，兩邊同時乘以得—②，由①②兩式相減得，即，構造等比數(shù)列。法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：，再結合第一種類型。6、取倒數(shù)法：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構造新數(shù)列求解7、三項遞推構造：適用于形如型的遞推式用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．8、不動點法（1）定義：方程的根稱為函數(shù)的不動點．利用函數(shù)的不動點，可將某些遞推關系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種求數(shù)列通項的方法稱為不動點法．（2）在數(shù)列中，已知，且時，（是常數(shù)），=1\*GB3①當時，數(shù)列為等差數(shù)列；=2\*GB3②當時，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；=3\*GB3③當時，數(shù)列為等比數(shù)列；=4\*GB3④當時，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列的通項公式為：；（3）形如，，（是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項，其特征方程為（*）．（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數(shù)）．(其中、可利用，求得)知識點3幾種數(shù)列求和的常用方法1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項和，推導方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④2、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．（2）常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3、并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，．4、倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的．5、裂項相消法求和：如果一個數(shù)列的通項為分式或根式的形式，且能拆成結構相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負項相互抵消，只剩下有限的幾項，從而求出該數(shù)列的前n項和．6、錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法來求.一、已知Sn求an的三個步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當n≥2時，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達式．（3）看a1是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；否則應寫成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關系式，再求解．【典例1】（2023·山東煙臺·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A．20B．19C．18D．17【典例2】（2023·廣東廣州·高三校考模擬預測）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記數(shù)列的前項和，且滿足，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．二、累加法求通項公式形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造：【典例1】（2023·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式為．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）若是函數(shù)的極值點，數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式．三、累乘法求通項公式形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造：【典例1】（2023秋·江西宜春·高三校考開學考試）若，則通項公式.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，求.四、形如的構造法形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．【典例1】（2023春·四川瀘州·高三?？奸_學考試）若數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前項和.【典例2】（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項公式為．【典例3】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項公式為.五、形如的構造法形如，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關于的等差數(shù)列；當時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足：，（），數(shù)列滿足：．求數(shù)列的通項公式．六、形如的構造法通過配湊轉(zhuǎn)化為，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知：，時，，求的通項公式．【典例2】（2022秋·河北保定·高三?？计谥校┤?，，則；【典例3】（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為.七、取倒數(shù)法求通項對于，取倒數(shù)得．當時，數(shù)列是等差數(shù)列；當時，令，則，可用待定系數(shù)法求解．【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，且，則為（）A．B．C．D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，已知，，則的通項公式為．八、裂項相消法求數(shù)列的前n項和1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．2、裂項相消法中常見的裂項技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和（）A．B．C．D．【典例2】（2023秋·寧夏石嘴山·高三?？茧A段練習）數(shù)列中，，，則（）A．97B．98C．99D．100【典例3】（2023·四川綿陽·?？寄M預測）設數(shù)列的前n項和為，．（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．（2）若數(shù)列的前m項和，求m的值，九、錯位相減法求數(shù)列的前n項和1、解題步驟2、注意解題“3關鍵”①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．③在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．【典例1】（2023秋·福建三明·高三三明一中?？茧A段練習）設是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列.（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和，求和.【典例2】（2023秋·河南鄭州·高三校考階段練習）記為數(shù)列的前項和，已知.（1）求的通項公式；（2）設，求.【典例3】（2023秋·湖南長沙·高三?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足：.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.易錯點1由求時忽略對“”檢驗點撥：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項與其前n項和之間關系如下，在使用這個關系式時，要牢牢記住其分段的特點。當題中給出數(shù)列｛｝的與關系時，先令求出首項，然后令求出通項，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項，也不對進行檢驗?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且，則（）A．B．C．D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和，則.【典例3】（2022秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的前n項和為（）A．B．C．D．易錯點2裂項求和剩余項出錯點撥：用裂項相消法求和時，