高中數(shù)學(xué)蘇教版選修23教學(xué)案26正態(tài)分布

正態(tài)分布

抽象問題情境化，新知無師自通【對應(yīng)同學(xué)用書P43]

/////y豫'〃〃/

I.概率密度曲線

對于某一隨機(jī)變量的頻率分布直方圖，假設(shè)數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小,那么頻率分

布直方圖上的頻率折線將趨于一條光滑的曲線，我們將此曲線稱為概率密度曲線.

2.正態(tài)密度曲線

1（x—"）2

函數(shù)表達(dá)式尸（X）—r卷e2聲，XCR,其中實(shí)數(shù)〃〃WR）和H">0）為參數(shù)

（1）當(dāng)XV”時(shí)，曲線上升;當(dāng)x>“時(shí)，曲線下降.

當(dāng)曲線向左右兩邊無限延長時(shí)，以退為漸近線

圖象的特征（2）正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱

（3）。越太，正態(tài)曲線越扁平；（7越小，正態(tài)曲線越尖陡

（4）在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1

3.正態(tài)分布

假設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，那么對任給區(qū)間（a,b],P（a<XW1恰好是正態(tài)密度曲線下方

和x軸上（。，加上方所圍成的圖形的面積,我們就稱隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為〃和W的正態(tài)分

布，簡記為X?M“，g2）.

4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

正態(tài)分布MOJ）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

5.正態(tài)總體在三個(gè)特別區(qū)間內(nèi)取值的概率值

落在區(qū)間（//一<7,〃+<7）上的概率約為68.3%；

落在區(qū)間P（〃一2°,〃+2。）上的概率約為95.4%；

落在區(qū)間〃+3。）上的概率約為99.7%.

6.中心極限定理

在地大數(shù)量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，就平均而言，任何一個(gè)隨機(jī)變量的分布都將趨近于正態(tài)分布,

這就是中心極限定理.

[歸納.升華.領(lǐng)悟1---------------------------------------'

1?在正態(tài)分布X?N（〃，/）中，〃就是隨機(jī)變量X的均值，標(biāo)就是隨機(jī)變量X的方差，

它們分別反映X取值的平均大小和穩(wěn)定程度.

2.正態(tài)密度曲線的性質(zhì)

⑴曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x="對稱;

〃處到達(dá)峰值6左;

(3)曲線在x=

(4)曲線與x軸之間的面積為1；

(5)當(dāng)“肯定時(shí)，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移，如圖①；

(6)當(dāng)〃肯定時(shí)，曲線的外形由＜7確定，C越小，曲線越"尖陡"；(7越大，曲線越''扁

平"，如圖②.

高頻考點(diǎn)題組化,名師一點(diǎn)就通【對應(yīng)同學(xué)用書P44】

0^3正態(tài)分布和正態(tài)密度曲線的概念

［例IJ如下圖，是一個(gè)正態(tài)密度曲線.試依據(jù)該圖像寫出

其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期

望和方差.

［思路點(diǎn)撥］解答此題可首先借助圖像觀看該函數(shù)的對稱

軸及最大值，然后結(jié)合勿,可知〃及°的值?

［精解詳析］從給出的正態(tài)密度曲線可知，該正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=20對稱，最大

值是4^'所以"=20.

nr-=Z-r'解得巾.

72Tlp2y兀

于是概率密度函數(shù)的解析式是

a、1(X—20)2

府產(chǎn)總,e----4-，xe(—8,oo),

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是〃=20,

方差是標(biāo)=(啦＞=2.

［一點(diǎn)通］利用圖像求正態(tài)密度曲線的方程.關(guān)鍵是確定〃，＜7.結(jié)合圖像，利用正態(tài)密

度曲線的兩條性質(zhì)：一是對稱軸，二是最值即可求出?、呦鄳?yīng)參數(shù)確定了，代入/0=4=-

72no

e—廿（X—4）2即可F.

噩做集例

I.以下函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是

⑴火?Weg

，〃，。(。＞0)都是實(shí)數(shù)

（2求x）=^e"

“1(X—I2

⑶危尸礪e一.)

⑷於尸忘4

解析：此題考查正態(tài)密度函數(shù)，可對比

,、____!_一一〃)-

/)一◎?廠2/，

其中指數(shù)局部的。應(yīng)與系數(shù)的分母處的＜7保持全都，系數(shù)為正數(shù)且指數(shù)為負(fù)數(shù).

(1)有兩處錯誤，分別是，五七錯為也正，指數(shù)錯為正數(shù).(3)從系數(shù)可得＜7=2,從而指

數(shù)處可得。=6，明顯不符.(4)中指數(shù)為正，錯誤.

答案：(2)

2.假設(shè)一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值.求該

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式.

解：由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對稱，即〃=

0.

由于看=看'得"=4,

故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是

］/

裔。a尸礪e—頭，仲一8,+°0）.

正態(tài)密度曲線的性質(zhì)

[1502]關(guān)于正態(tài)曲線p(x)=a2*"，xW(—8,H-oo),0>0有以下命題:

①正態(tài)密度曲線關(guān)于直線X=H對稱;

②正態(tài)密度曲線關(guān)于直線x=o對稱;

③正態(tài)密度曲線與X軸肯定不相交；

④正態(tài)密度曲線與X軸肯定相交；

⑤正態(tài)密度曲線所代表的函數(shù)是偶函數(shù)；

⑥曲線對稱軸由〃確定，曲線的外形由。打算；

⑦當(dāng)〃肯定時(shí)，C越大，曲線越"扁平"，C越小，曲線越“尖陡”.

其中正確的選項(xiàng)是（填序號）.

［思路點(diǎn)撥」依據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可直接推斷.

［精解詳析J依據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)可得，由于正態(tài)密度曲線是一條關(guān)于直線x=n

對稱，在處于最高點(diǎn)并由該點(diǎn)向左、右兩邊無限延長，漸漸降低的曲線，該曲線總是

位于x軸的上方，曲線外形由“打算，而且當(dāng)/，肯定時(shí)，比擬假設(shè)干個(gè)不同的。對應(yīng)的正態(tài)

曲線，可以發(fā)覺c越大，曲線越“扁平"，。越小，曲線越“尖陡".故①③⑥⑦正確.

I答案］①③⑥⑦

［一點(diǎn)通］解決正態(tài)曲線的性質(zhì)問題，應(yīng)對正態(tài)曲線的簡潔性質(zhì)要嫻熟把握并且能夠應(yīng)

用，尤其是對稱性，最高點(diǎn)的位置，曲線左右無限延長并漸漸降低，要結(jié)合正態(tài)曲線的圖象

理解并把握.

〃〃一題叔親鈍”〃/

3.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（〃i,山）（。|>0）和NQ/2，曲（。2>0）的密度函數(shù)圖像如下圖.那么以

下說法正確的選項(xiàng)是.

①<7!<<72；②<71><72；

③"1>"2，<7!<<72；④CT|><72.

解析：當(dāng)〃肯定時(shí)，曲線的外形由。確定.。越大，曲線越“扁平”，表示總體越分散;

。越小，曲線越“尖陡”，表示總體的分布越集中，這共性質(zhì)可直接推斷.由正態(tài)曲線性質(zhì)

知<71<<72.

答案：①

4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（O,I）在區(qū)間（-2,—1）和（1,2）上取值的概率分別為夕，p2，那么pi

與力的大小關(guān)系為.

解析：依據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，關(guān)于x=0對稱，故在區(qū)間（一2,-1）和（1,2）上取值的概率

相等，即pi=p2.

答案：p\—pi

利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求概率

［例3］假設(shè)隨機(jī)變量X?M。/)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求：

(1)P(XW1.26)；(2)P(X>1.26)；

(3)P(0.51<XW3.2)；(4)尸(XW-2.1).

［思路點(diǎn)撥］借助正態(tài)密度曲線的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為P(XW/n)的形式，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

分布表求值.

［精解詳析］(l)P(XW1.26)=0.8962.

(2)尸(X>1.26)=1-P(XW1.26)

=1-0.8962=0.1038.

(3)尸(0.51<XW1.2)=P(XW1.2)-P(XW0.51)=0.8849-0.6950=0.1899.

(4)尸(XW-2.1)=P(XN2.1)=1-P(XW2.1)=1-0.9821=0.0179.

［一點(diǎn)通］由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表是針對X>0設(shè)計(jì)的，假設(shè)X<0,那么須轉(zhuǎn)換再查表，

在查表前，可畫個(gè)草圖將所求的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再查表.

一題恨親如

5.隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布M%標(biāo))，假設(shè)P(XP(X<0)=.

解析：：隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布M4,標(biāo))，〃=4,P(X>8)=0.4,.,.P(X<0)=P(X>8)

=0.4.

答案：

6.X?N(3，G2)，假設(shè)尸(XW2)=0.2,那么P(XW4)等于.

解析：由正態(tài)分布學(xué)問，由于X?M3,標(biāo))，

所以P(XW3)=0.5,P(XW2)=0.2=P(X>4),

所以P(XW4)=1-P(X>4)=1—02=0.8.

答案：

［方法.規(guī)律.小結(jié)］----------------------------'

1.求隨機(jī)變量的正態(tài)密度函數(shù)時(shí)，只需求出〃”即可，也就是求出樣本的均值及標(biāo)準(zhǔn)

差.

2.在利用對稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，要留意正態(tài)曲線的對稱性.

課下訓(xùn)練經(jīng)典化,貴在觸類旁通〔對應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十七)1

一、填空題

1.正態(tài)曲線關(guān)于)，軸對稱，當(dāng)且僅當(dāng)它所對應(yīng)的正態(tài)總體均值為

解析：正態(tài)曲線關(guān)于直線尤=〃對稱，當(dāng)曲線關(guān)于y軸對稱時(shí)，說明〃=0.

答案：0

2.設(shè)隨機(jī)變量X?N(1,4),假設(shè)P(X'a+/?)=P(XWa-b),那么實(shí)數(shù)“的值為.

解析：:?尸(X2a+〃)=尸(XWa一3，

.(a+b)+(a-b)._

??2-1.??—1.

答案：1

3.隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(0，后)，假設(shè)尸(X>2)=0.023,那么P(—2WXW2)=

解析：?..隨機(jī)變量X聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布MO,標(biāo))，

二正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對稱，又P(X>2)=0,023.

AP(X<-2)=0.023.

二P(-2WXW2)=1—2X0.023=0.954.

答案：

X?N(0,0.25),丫?M。/)，Z?N(0,4)的密度曲線，那么三個(gè)隨機(jī)

變量X,y,Z對應(yīng)曲線分別是圖中的、、.

解析：在密度曲線中，。越大，曲線越"矮胖”；C越小，曲線越

“瘦高”.

答案：①②③

5.某中學(xué)有1000人參與高考并且數(shù)學(xué)成果近似地聽從正態(tài)分布N(100,IO?),那么此校

數(shù)學(xué)成果在120分以上的考生人數(shù)約為"(2)^0.977).

解析：用X表示此中學(xué)數(shù)學(xué)高考成果，

那么X?Ml00,10?),

P(X>120)=1-尸(XW120)

“20-100、

=1一jgJ20.023,

.?.120分以上的考生人數(shù)約為1000X0.023=23.

答案：23

二、解答題

6.如圖為某地成年男性體重的正態(tài)分布密度曲線圖，試依

據(jù)圖像寫出其正態(tài)分布密度函數(shù)，并求出隨機(jī)變量的期望與方

差.

解：由圖易知，該正態(tài)曲線關(guān)于x=72對稱，最大值為

總'所以/比二總得,=1°’

于是概率密度函數(shù)的解析式是

1一(1一72)2

以尸際.「55—'關(guān)(—8,+8).

總體隨機(jī)變量的期望是“=72,方差是〃=100.

7.在某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽同學(xué)的成果近似聽從正態(tài)分布N(60,100)，成

果在90分以上的同學(xué)有13人.

(1)求此次參與競賽的同學(xué)總數(shù)共有多少人？

(2)假設(shè)方案嘉獎競賽成果排在前228名的同學(xué)，問受獎同學(xué)的分?jǐn)?shù)線是多少？

解：設(shè)同學(xué)的得分狀況為隨機(jī)變量X,X?M60』00).