高中數(shù)學(xué)32簡(jiǎn)單的三角恒等變換同步練習(xí) 新人教a版必修4

3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換

一、選擇題

5n1-3;。一/）的結(jié)果是（）

1.設(shè)一3n<a<--—,則化簡(jiǎn)?

乙

aa

A.sin萬B.cos~

乙

aa

C.-C0STD.-sin-

［答案］c

53a5

［解析］V-3n<°F-F/T

..co

aa

???原式==Icos-7l=—COS-

若sina+sin￡=^^(cos￡—cos。)且a￡(0,n),萬￡(0,n),貝ija一￡等于

2.

J

)

2n

A.-3HB--I

n2

D-n

*5

［答案］D

［解析］二a,￡￡(0,Ji),，sina+sin萬>0.?,?cos￡—cos。>0,cos￡>cos。,又

在（0,冗）上，y=cosx是減函數(shù).:.尸<a,\0<a—乃<Ji

。+萬a-B小(—2sin中?sin-)，.?.tan^￡

由原式可知:由irr■^―?cos

23乙乙乙

2n

也???一與一a-^=—

o

3.在△486'中，若sin咫inC=cos,,則△力比'是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.不等邊三角形D.直角三角形

［答案］B

［解析］Vsin^in6'=cos2r,，sin/feinC=1即2sin咫inC=1-cos(4+

L/

0,2sin^sin^=l—cos^osC+sin^sinC

即cosmosr+sin^sinC=1,

/.cos(B—。=1,:.:.B=C.

4.在△/1比中，若Q30°,則cos力sinC的取值范圍是()

A.[-1,1]B.[―I，1]

c「13]cr3

C-[一『/D.[一7-]

[答案]C

[解析]cosHsin仁;[sin(/1+。-sin(4—

11/人

=---sin{A—Q,

13

*.*—l<=sin(J-6)<cl,/.cos^sinTG[——,—].

5.已知cos?a-cos??=4那么sin(。+?)?sin(。一￡)等于()

A.—B.'C.—aD.a

[答案]C

[解析]法一：sin(a+￡)sin(a一4)

=(sinacos￡+cososin(sinacos￡-cosasin￡)

=sin2acos*￡—cos?asin2B

=(1—cos2<7)cos2)5—cos2acos22)

=cos2cos2a=—a,故選C.

法二：原式=-w(cos2a—cos2fi)=——(2cos2a—1—2cos2-b1)=cos2P—cos2a

—a.

6.函數(shù)F(x)=cos，+sinxcosx的最大值是()

A.2B.1C.3D.呼

乙乙乙

［答案］c

啦(乎cosx+乎sin1)=^cos*sin(x

［解析］f(x)=cos*(cosx+sin；0=cosx?

=^[sin(2^+-^~)+siin(2%+-^~)+J

4AJL4

:.當(dāng)sin(2x+?)=1時(shí)，fix)取得最大值

即〃入）皿=乎乂1+3=^^.

7.貝!cosa+sina的值為()

A.-平B.44D.平

乙乙乙乙

［答案］C

［解析］

ina4-cosa也

2，

Asina+cosa=^,故選C.

cos'a—sin'°

法二：原式=

JIn

sin~

4

=-y［2(sina+cosQ)=一坐'

Acosa+sina=-1,故選C.

00

8.設(shè)5元＜。＜6式,cos—=a,則sirr^-等于()

乙*

［答案］D

,53i。3n

［解析］,??5兀＜。＜6n,＜-7-,

TAw

9.(09?江西文)函數(shù)F(x)=il+，5tanx)cosx的最小正周期為(）

3nJT

A.2nB.—r~C.nD—

乙乙

［答案］A

［解析］因?yàn)閒（A）=（l+，5tanx）cosx=cosx+/sinx

所以/'(*)的最小正周期為2n.

10.已知一號(hào)VaV—ii,則［/：+)?、/；+Jcos2。的值為(

乙\|乙乙\|乙乙

aa

A.—sin-B.cos-

乙

a

C.sin~

二、填空題

貝IJtan仔+a）=

11.若cos2a=0（卬/0）,

1±W—萬

［答案］

m

［解析］*.*cos2a=/n,.*.sin2a=±y/1一病,

12，sinl0°~silK。的值為

［答案］4

1也coslO°—msinlO°

［解析］原式

sinlO°coslO°—sinlO°coslO°

2cos(100+60°)

=j=4

-sin200

乙

rnqQ-cinG

13.已知尸均為銳角，且一"嬴則tan(a+0=—

［答案］1

八cos—sina1—tana

［解析］tanP-j\-~~［

cosa+sina1+tana

???；■—a,萬￡(-pj，且尸一/，S上是單調(diào)增函數(shù),

三、解答題

14.求sin42°-cosl20+sin54°的值.

［解析］sin420—cosl2°+sin54°

=sin42°—sin780+sin54°=_2cos60°sinl80+sin54°

=sin540-sinl80=2cos36°sinl8°

2cos360sinl80cosl80cos36°sin360

cosl80cosl80

2cos36°sin36°sin72°1

2cos18°=2cosl8°=2'

15.求cos^y-+cos^y-+cos^y-|W.

［解析］cos^y~+cos^y_4-cos-6n1

7n

2sirry

2nJI4T

cos-^~+2sinycos-^-H-2sinycos'

si4—sin^+bW—si帚

+(si號(hào)-si瑞川=—4(sinn-sinf)=4.

2sin-

16.方程8/+6M+2A+l=0的兩根能否是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦值，若能,

求出〃的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

［解析］設(shè)直角三角形兩銳角分別為。、￡,設(shè)已知方程的兩根為心孫

/JI

則M=sina,E=sin￡=si”^"—a

由韋達(dá)定理得:

=^sin（。+高

擊+^=sina+cosa

1n

Xi?^=sina?cosa=~sin2外0＜?！慈f

2

#+'=1

1<汨+為2五位

于是有

乙

r,—io

9Ag—820=04=2或4=一§

1＜和/，人平J

即

OO

2A-+11

易知該混合組無解.

故原方程的兩個(gè)根不可能是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦值.

［點(diǎn)評(píng)］此題易產(chǎn)生下面錯(cuò)解.

設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為a和尸.

已知方程的兩根為M和才2,PBJx\=sina,*2=sin￡.

又a與￡互余，，X2=sin（微■—a）=cosa.