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高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案(湖南卷)
2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類(lèi))
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出
的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)集合乂={-1,0,1},N={x|x2Wx},則MAN=()
A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}
2.命題“若a=
A.若,則tana=1"的逆否命題是(),則tanarlB.若
,貝(j若tanaW1,貝I」a#D.若tanaW1,
則a=
3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示,則該幾何體的俯視圖不可
能是(
4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線(xiàn)性
相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=l,2,n),用最小二乘法
建立的回歸方程為-85.71,
則下列結(jié)論中不正確的是().??
A.y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系
B.回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,y)
C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg
D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg
5.已知雙曲線(xiàn)C:x
a22-yb22=l的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線(xiàn)上,則C的方程
為()A.x2
20-y2
5=1B.
6x25-y220=lC.-=1D.-=120808020x2y2x2y26.函數(shù)
的值域?yàn)椋ǎ?/p>
22A.[-2,2]
C.[-1,1]
正
正
,]
7.在A(yíng)ABC中,AB=2,AC=3,AB2BC=1,則BC=()
C.
y/23
8
已知兩條直線(xiàn)11:y=m和12:y=(m>0),11與函數(shù)
y^log2x的圖像從左至右
相交于點(diǎn)于B,12與函數(shù)y=|log2x|的圖像從左至右相交于C,D.記線(xiàn)
段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b.當(dāng)m變化時(shí),b
a的最小值為()
石
B.C.84D.44
二、填空題:本大題共8小題,考生作答7小題,每小題5分,共
35分,把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線(xiàn)上
(一)選做題(請(qǐng)考生在第9.1011三題中人選兩題作答案,如果全
做,則按前兩題記分)
在直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線(xiàn)C1:
(t為參數(shù))與曲線(xiàn)C2:
為參數(shù),a>0)有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上,則a.
10.不等式2x+l|-2|xT|>0的解集為
11.如圖2,過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與。0相交于A(yíng),B兩點(diǎn).
若PA=1,AB=2,P0=3,則。0的半徑等于.
(二)必做題(12?16題)
12.已知復(fù)數(shù)z=(3+i)2(i為虛數(shù)單位),則|z[=
不
)的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)6
14.如果執(zhí)行如圖3所示的程序框圖,輸入x=-l,n=3,則輸出的數(shù)S=
15.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的比部分圖象
如圖4所示,其中,P為圖象與y軸的交點(diǎn),A,C為圖象與x軸的兩個(gè)交
點(diǎn),B為圖象的最低點(diǎn)。
6(1)若,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0
,2),則
(2)若在曲線(xiàn)段
5f?f¥I*II
板人篇《AlAV10
NUW*,夕A>192J1
ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)在4ABC內(nèi)的概率
為。
16.設(shè)N=2n(nGN+,nN2),將N個(gè)數(shù)xl,x2,,,,xN依次放入編號(hào)為
1,2,”,N的N個(gè)位置,得到排列P0=xlx2,,xN。將該排列中分別位于奇數(shù)與
偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前N
2N2
N
2和后個(gè)位置,得到排列Pl=xlx3?xN-lx2x4?xN,將此操作稱(chēng)為C變
換,個(gè)數(shù),并對(duì)每段作C變換,得到P2;當(dāng)2WiWn-2時(shí),將Pi分將P1
分成兩段,每段
成2i段,每段N
2i個(gè)數(shù),并對(duì)每段作C變換,得到Pi+1,例如,當(dāng)N=8時(shí),
P2=xlx5x3x7x2x6x4x8,
此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置。
(1)當(dāng)N=16時(shí),x7位于P2中的第一個(gè)位置;
(2)當(dāng)N=2n(nN8)時(shí),xl73位于P4中的第___個(gè)位置。
三、解答題:本大題共6小題,共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明
過(guò)程或演算步驟。
17.(本小題滿(mǎn)分12分)
某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集
了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示。
已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%。
(I)確定X,y的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)
學(xué)期望;
(II)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)
算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)(注:將頻率視為概
率)...2.5分鐘的概率。
18.(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖5,在四棱錐P-ABCD中,PA_L平面ABCD,AB=4,
BC=3,AD=5,ZDAB=ZABC=90°,E是CD的中點(diǎn)。
(I)證明:CD,平面PAE;
(II)若直線(xiàn)PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD
所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積。
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記A(n)=al+a2+,,,,+an,
B(n)=a2+a3+,,”+an+l,C(n)=a3+a4+”,,+an+2,n=l,2,??0
(1)若al=l,a2=5,且對(duì)任意n《N+,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組
成等差數(shù)列,
求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。
(2)證明:數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任
意n@N+,
三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。
20.(本小題滿(mǎn)分13分)
某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺(tái)產(chǎn)品
需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件)。已知每個(gè)工人每天可生
產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件。該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人
分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正
比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))。
(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫(xiě)出完成A,B,C三種部件生
產(chǎn)需要的時(shí)間;(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開(kāi)工,試確定正整數(shù)k
的值,使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最
短,并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案。
21.(本小題滿(mǎn)分13分)
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C1上的點(diǎn)均在圓C2:(x-5)2+y2=9外,
且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M,M到直線(xiàn)x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離
的最小值。
(I)求曲線(xiàn)C1的方程;
(II)設(shè)P(xO,yO)(yOW±3)為圓C2外一點(diǎn),過(guò)P作圓C2的兩條切
線(xiàn),分別與曲線(xiàn)C1
相交于點(diǎn)A,B和C,Do證明:當(dāng)P在直線(xiàn)x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,
B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值。
22.(本小題滿(mǎn)分13分)
已知函數(shù)f(x)=eax-x,其中aNO。
(1)若對(duì)一切x£R,f(x)Nl恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(數(shù)的圖象上取定兩點(diǎn)A(xl,f(xl)),B(x2,f(x2))(xl
<x2),記直線(xiàn)
AB的斜率為k,問(wèn):是否存在xO£(xl,x2),使廣(xO)>k成立?若
存在,求xO的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
圖s
2012年高考理科數(shù)學(xué)(湖南卷)參考答案
一、1、B【解析】-1,0,1},MnN={0,1}.
2.C【解析】因?yàn)椤叭魀,則q”的逆否命題為“若,則,所
以“若a=tana=1”的逆否命題是“若tanaWl,貝!JaN3.D
4.D【解析】由回歸方程為-85.71知y隨x的增大而增大,
所以y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,由最小二乘法建立的回歸方程得過(guò)程知
,所以回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x,y),利用
回歸方程可以預(yù)測(cè)估計(jì)總體,所以D不正確.5.A【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)C:
又的漸近線(xiàn)為
2
2
2
4
則
4
xa
22
yb
22
=1的半焦距為c,則
ba
ba
x,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線(xiàn)上,
,的方程為
22,即
又
b,
x
2
20
2
y
2
5
=1.
6.B【解析】f(x)=sinx-cos(x+
W
G
6
6
),
6
,f(x)值域?yàn)?/p>
6
7.A【解析】由下圖知
,解得
4
BC8
8.B【解析】在同一坐標(biāo)系中作出y=m,y=(m>0),圖像如下
1
.又由余弦定理知
222
由log2x=m,得
log2x=
m
m
,得
8
依照題意得
8
m
ba
8
m
12
12
12
12
12
二、9.
32
【解析】曲線(xiàn)C1:
直角坐標(biāo)方程為,與x軸交點(diǎn)為(,0);
2
3
22
,其與x軸交點(diǎn)為,曲線(xiàn)C2:直角坐標(biāo)方程為
由,曲線(xiàn)C1與曲線(xiàn)C2有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上,知
32
【解析】令,貝I」由
得
的解集為
瓜
11.P0交圓0于C,D,如圖,
設(shè)圓的半徑為R,由割線(xiàn)定理知
即
(-)12.10【解析】
+6-
6i,
-160
【解
析
)6
的展開(kāi)式項(xiàng)公式
是
r
.由題意知,所以二項(xiàng)展開(kāi)式
333
中的常數(shù)項(xiàng)為
【解析】輸入,執(zhí)行過(guò)程如下:
;,所以輸出
的是
15.(1)3;(2)
4
6
【解析】(1),當(dāng),點(diǎn)P的坐標(biāo)為
(0
2
)時(shí)
6
2
(2)由圖知設(shè)曲線(xiàn)段
T
?與ABC
b
a
設(shè)A,B的橫坐標(biāo)分別為a,b.
x軸所圍成的區(qū)域的面積為S則
ba
,由幾何概型知該
點(diǎn)在△
ABC
內(nèi)的概率為
S
24
16.(1)6;(2)
【解析】⑴當(dāng)N=16時(shí),
可設(shè)為
即為
即
位于P2中的第6
個(gè)位置,;
(2)方法同(1),歸納推理知xl73位于P4中的第個(gè)位
置.三、17.【解析】(1)由已知,得所以
該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所以收
集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量隨機(jī)樣本,將頻
率視為概率得
15
1005
X的分布為
\11.592.53
P33111
20104510
3
30
100
14,
X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)1
320
103
.1.9
為該顧客前面
2,)1(II)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘”,
第i位顧客的結(jié)算時(shí)間,則
且
且12
2
且
1)
由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且XI,X2的分布列都與X的分布列相同,所
1)
320
320
3
20
3
10
3
10
3
9.2080
故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率為
980
18.【解析】解法1(I如圖(1)),連接AC,由AB=4,
得又E是CD的中點(diǎn),所以
平面平面ABCD,所以
而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),所以CD_L平面PAE.(H)過(guò)
點(diǎn)B作分別與AE,AD相交于F,G,連接PF.由(I)CD,平面PAE
知,BG_L平面PAE.于是為直線(xiàn)PB與平面PAE所成的角,且
由平面ABCD知,為直線(xiàn)PB與平面ABCD所成的角.
由題意,知因?yàn)?/p>
PB,所以
由___________知,AD〃BC,又BG〃CD,所以四邊形BCDG是平行
四邊形,故于是
在RtABAG中,所以
AB2
\]AB2+AG:
于是
1
2又梯形ABCD的面積為
所以四棱錐的體積為
6
.155
解法2:如圖(2),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線(xiàn)分別為x
軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為:
A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
(I)易知因?yàn)?/p>
所以而AP,AE是平
面PAE
內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),所以平面PAE.
(II)由題設(shè)和(I)知,CD,AP分別是平面PAE,平面ABCD的法向量,
而PB與
平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,所以
即
由(I)知,由故
-16+0+0
2y)5$6+力2
0+0+h2
hJ]6+
解得
5
12
,所以四棱錐的體積為
又梯形ABCD的面積為
13
13
5
115
5
19?【解析】
解(1)對(duì)任意三個(gè)數(shù)人8)48),(:(11)是等差數(shù)列,所以
Bn
即亦即
故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列.于是
(II)(1)必要性:若數(shù)列是公比為
q的等比數(shù)列,則對(duì)任意,有
由知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是
B(n)A(n)
1
2
)
C(n)B(n)
23
1)
1
即
B(n)A(n)
C(n)B(n)
二q,所以三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.
(2)充分性:若對(duì)于任意,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比
為q的等比數(shù)列,則
qA(
,qB
n
于是得即
由有B(1即,從而
__________因?yàn)?,所?/p>
,故數(shù)列是首項(xiàng)為al,公比為q的等比數(shù)列,
綜上所述,數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任
意n£N+,三個(gè)數(shù)
A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.
20?【解析】
解:(I)設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位:天)
分別為
Tl(x),T2(x),T3(x),由題設(shè)有
6x1000
,T(x)2
x2000
,T(x3
期中均為1到200之間的正整數(shù).
(II)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為其定
義域?yàn)?/p>
易知,易(x),T2(x)為減函數(shù),易(x)為增函數(shù).注意
到
2k
Tl(x),于是
(1)當(dāng)時(shí),此時(shí)
1500
由函數(shù)Tl(x),T3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)
1000x
時(shí)f(x)取得最小值,解得
4009
由于
4009
而
25011
3001311
故當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,且最短時(shí)間為
250
(2)當(dāng)時(shí),由于k為正整數(shù),故,此時(shí)
易知T(x)為增函數(shù),則
由函數(shù)Tl(x),T(x)的單調(diào)性知,當(dāng)
40011
1000x2509
250
時(shí)取得最小值,解得
37513
40011
.由于
而
此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于
11
(3)當(dāng)時(shí),由于k為正整數(shù),故,此時(shí)
由函數(shù)T2(x),T3(x)的單調(diào)性
知,
當(dāng)
2000x
時(shí)f(x)取得最小值,解得
2509
80011
.類(lèi)似(1)的討論.此時(shí)
完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為,大于
25011
綜上所述,當(dāng)時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,此時(shí)生產(chǎn)A,B,C
三種部件的人數(shù)
分別為44,88,68.
21.【解析】(I)解法1:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知得
J(.r-+
3,
易知圓C2上的點(diǎn)位于直線(xiàn)的右側(cè).于是,所以
yj(x-5Y+
化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)C1的方程為
解法2:由題設(shè)知,曲線(xiàn)C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2(5,0)的距離等于
它到直線(xiàn)的
2距離,因此,曲線(xiàn)C1是以(5,0)為焦點(diǎn),直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物
線(xiàn),故其方程為
2
(II)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),P的坐標(biāo)為,又
,則過(guò)P且與圓
C2相切得直線(xiàn)的斜率k存在且不為0,每條切線(xiàn)都與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交
點(diǎn),切線(xiàn)方程為即kx-y+y0+4k=0.于是
15k+v0+4k|
4'+1
2
整理得
設(shè)過(guò)P所作的兩條切線(xiàn)PA,PC的斜率分別為kl,k2,則kl,k2是方程①
的兩個(gè)實(shí)根,故
18y072
y04
.②
由
2
得
設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為yl,y2,y3,y4,則是方程③的兩個(gè)實(shí)
根,所以
kl
.④
同理可得
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