高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案(湖南卷)

高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案（湖南卷）

2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出

的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合乂={-1,0,1},N={x|x2Wx},則MAN=（）

A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}

2.命題“若a=

A.若，則tana=1"的逆否命題是（），則tanarlB.若

,貝（j若tanaW1,貝I」a#D.若tanaW1,

則a=

3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可

能是（

4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性

相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi,yi）（i=l,2,n）,用最小二乘法

建立的回歸方程為-85.71,

則下列結(jié)論中不正確的是（）.??

A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點的中心（x,y）

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg

5.已知雙曲線C：x

a22-yb22=l的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程

為（）A.x2

20-y2

5=1B.

6x25-y220=lC.-=1D.-=120808020x2y2x2y26.函數(shù)

的值域為（）

22A.[-2,2]

C.[-1,1]

正

正

,]

7.在AABC中，AB=2,AC=3,AB2BC=1,則BC=()

C.

y/23

8

已知兩條直線11：y=m和12:y=(m>0),11與函數(shù)

y^log2x的圖像從左至右

相交于點于B,12與函數(shù)y=|log2x|的圖像從左至右相交于C,D.記線

段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a,b.當m變化時，b

a的最小值為()

石

B.C.84D.44

二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共

35分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上

（一）選做題（請考生在第9.1011三題中人選兩題作答案，如果全

做，則按前兩題記分）

在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：

（t為參數(shù)）與曲線C2：

為參數(shù)，a>0）有一個公共點在x軸上，則a.

10.不等式2x+l|-2|xT|>0的解集為

11.如圖2,過點P的直線與。0相交于A,B兩點.

若PA=1,AB=2,P0=3,則。0的半徑等于.

（二）必做題（12?16題）

12.已知復(fù)數(shù)z=（3+i）2（i為虛數(shù)單位），則|z[=

不

）的二項展開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）6

14.如果執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，輸入x=-l,n=3,則輸出的數(shù)S=

15.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的比部分圖象

如圖4所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A,C為圖象與x軸的兩個交

點，B為圖象的最低點。

6(1)若，點P的坐標為(0

,2),則

(2)若在曲線段

5f?f￥I*II

板人篇《AlAV10

NUW*，夕A>192J1

ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在4ABC內(nèi)的概率

為。

16.設(shè)N=2n(nGN+,nN2),將N個數(shù)xl,x2,,,,xN依次放入編號為

1,2,”，N的N個位置，得到排列P0=xlx2,,xN。將該排列中分別位于奇數(shù)與

偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前N

2N2

N

2和后個位置，得到排列Pl=xlx3?xN-lx2x4?xN,將此操作稱為C變

換，個數(shù)，并對每段作C變換，得到P2；當2WiWn-2時，將Pi分將P1

分成兩段，每段

成2i段，每段N

2i個數(shù),并對每段作C變換，得到Pi+1,例如，當N=8時，

P2=xlx5x3x7x2x6x4x8,

此時x7位于P2中的第4個位置。

(1)當N=16時，x7位于P2中的第一個位置；

(2)當N=2n(nN8)時，xl73位于P4中的第___個位置。

三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟。

17.(本小題滿分12分)

某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集

了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示。

已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%。

(I)確定X,y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)

學(xué)期望；

(II)若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)

算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過(注：將頻率視為概

率)...2.5分鐘的概率。

18.(本小題滿分12分)

如圖5,在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB=4,

BC=3,AD=5,ZDAB=ZABC=90°,E是CD的中點。

(I)證明：CD,平面PAE；

(II)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD

所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。

19.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記A(n)=al+a2+,,,,+an,

B(n)=a2+a3+,,”+an+l,C(n)=a3+a4+”,,+an+2,n=l,2,??0

(1)若al=l,a2=5,且對任意n《N+,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組

成等差數(shù)列，

求數(shù)列｛an｝的通項公式。

(2)證明：數(shù)列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任

意n@N+,

三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列。

20.(本小題滿分13分)

某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品

需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位：件)。已知每個工人每天可生

產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件。該企業(yè)計劃安排200名工人

分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正

比，比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))。

(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生

產(chǎn)需要的時間；(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)k

的值，使完成訂單任務(wù)的時間最

短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案。

21.(本小題滿分13分)

在直角坐標系xOy中，曲線C1上的點均在圓C2：(x-5)2+y2=9外，

且對C1上任意一點M,M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離

的最小值。

(I)求曲線C1的方程；

(II)設(shè)P(xO,yO)(yOW±3)為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切

線，分別與曲線C1

相交于點A,B和C,Do證明：當P在直線x=-4上運動時，四點A,

B,C,D的縱坐標之積為定值。

22.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)=eax-x,其中aNO。

(1)若對一切x￡R,f(x)Nl恒成立，求a的取值集合；

(2)在函數(shù)f(數(shù)的圖象上取定兩點A(xl,f(xl)),B(x2,f(x2))(xl

<x2),記直線

AB的斜率為k,問：是否存在xO￡（xl,x2）,使廣（xO）＞k成立？若

存在，求xO的取值范圍；若不存在,請說明理由。

圖s

2012年高考理科數(shù)學(xué)（湖南卷）參考答案

一、1、B【解析】-1,0,1}，MnN={0,1}.

2.C【解析】因為“若p,則q”的逆否命題為“若，則，所

以“若a=tana=1”的逆否命題是“若tanaWl,貝!JaN3.D

4.D【解析】由回歸方程為-85.71知y隨x的增大而增大，

所以y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，由最小二乘法建立的回歸方程得過程知

,所以回歸直線過樣本點的中心（x,y）,利用

回歸方程可以預(yù)測估計總體，所以D不正確.5.A【解析】設(shè)雙曲線C：

又的漸近線為

2

2

2

4

則

4

xa

22

yb

22

=1的半焦距為c,則

ba

ba

x,點P(2,1)在C的漸近線上,

,的方程為

22,即

又

b,

x

2

20

2

y

2

5

=1.

6.B【解析】f(x)=sinx-cos(x+

W

G

6

6

),

6

，f(x)值域為

6

7.A【解析】由下圖知

,解得

4

BC8

8.B【解析】在同一坐標系中作出y=m,y=(m>0),圖像如下

1

.又由余弦定理知

222

由log2x=m,得

log2x=

m

m

,得

8

依照題意得

8

m

ba

8

m

12

12

12

12

12

二、9.

32

【解析】曲線C1：

直角坐標方程為，與x軸交點為(,0)；

2

3

22

,其與x軸交點為，曲線C2：直角坐標方程為

由，曲線C1與曲線C2有一個公共點在X軸上，知

32

【解析】令,貝I」由

得

的解集為

瓜

11.P0交圓0于C,D,如圖,

設(shè)圓的半徑為R,由割線定理知

即

(-)12.10【解析】

+6-

6i,

-160

【解

析

)6

的展開式項公式

是

r

.由題意知，所以二項展開式

333

中的常數(shù)項為

【解析】輸入，執(zhí)行過程如下：

;,所以輸出

的是

15.(1)3；(2)

4

6

【解析】(1)，當，點P的坐標為

(0

2

)時

6

2

(2)由圖知設(shè)曲線段

T

?與ABC

b

a

設(shè)A,B的橫坐標分別為a,b.

x軸所圍成的區(qū)域的面積為S則

ba

,由幾何概型知該

點在△

ABC

內(nèi)的概率為

S

24

16.(1)6；(2)

【解析】⑴當N=16時，

可設(shè)為

即為

即

位于P2中的第6

個位置,；

（2）方法同（1），歸納推理知xl73位于P4中的第個位

置.三、17.【解析】（1）由已知，得所以

該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所以收

集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量隨機樣本，將頻

率視為概率得

15

1005

X的分布為

\11.592.53

P33111

20104510

3

30

100

14,

X的數(shù)學(xué)期望為

E(X)1

320

103

.1.9

為該顧客前面

2,)1(II)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘”，

第i位顧客的結(jié)算時間，則

且

且12

2

且

1)

由于顧客的結(jié)算相互獨立，且XI,X2的分布列都與X的分布列相同，所

1)

320

320

3

20

3

10

3

10

3

9.2080

故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為

980

18.【解析】解法1(I如圖(1)),連接AC,由AB=4,

得又E是CD的中點，所以

平面平面ABCD,所以

而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD_L平面PAE.(H)過

點B作分別與AE,AD相交于F,G,連接PF.由(I)CD,平面PAE

知，BG_L平面PAE.于是為直線PB與平面PAE所成的角，且

由平面ABCD知，為直線PB與平面ABCD所成的角.

由題意，知因為

PB,所以

由___________知，AD〃BC,又BG〃CD,所以四邊形BCDG是平行

四邊形，故于是

在RtABAG中,所以

AB2

\]AB2+AG：

于是

1

2又梯形ABCD的面積為

所以四棱錐的體積為

6

.155

解法2：如圖(2),以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別為x

軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系設(shè)則相關(guān)的各點坐標為：

A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).

(I)易知因為

所以而AP,AE是平

面PAE

內(nèi)的兩條相交直線，所以平面PAE.

(II)由題設(shè)和(I)知，CD,AP分別是平面PAE,平面ABCD的法向量，

而PB與

平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以

即

由（I）知,由故

-16+0+0

2y)5$6+力2

0+0+h2

hJ]6+

解得

5

12

,所以四棱錐的體積為

又梯形ABCD的面積為

13

13

5

115

5

19?【解析】

解(1)對任意三個數(shù)人8)48),(：(11)是等差數(shù)列，所以

Bn

即亦即

故數(shù)列是首項為1,公差為4的等差數(shù)列.于是

(II)(1)必要性：若數(shù)列是公比為

q的等比數(shù)列，則對任意，有

由知，A(n),B(n),C(n)均大于0,于是

B(n)A(n)

1

2

)

C(n)B(n)

23

1)

1

即

B(n)A(n)

C(n)B(n)

二q,所以三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.

(2)充分性：若對于任意，三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比

為q的等比數(shù)列，則

qA(

,qB

n

于是得即

由有B(1即，從而

__________因為，所以

,故數(shù)列是首項為al,公比為q的等比數(shù)列，

綜上所述，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任

意n￡N+,三個數(shù)

A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.

20?【解析】

解：(I)設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間(單位：天)

分別為

Tl(x),T2(x),T3(x),由題設(shè)有

6x1000

,T(x)2

x2000

,T(x3

期中均為1到200之間的正整數(shù).

(II)完成訂單任務(wù)的時間為其定

義域為

易知，易(x),T2(x)為減函數(shù),易(x)為增函數(shù).注意

到

2k

Tl(x),于是

(1)當時,此時

1500

由函數(shù)Tl(x),T3(x)的單調(diào)性知，當

1000x

時f(x)取得最小值，解得

4009

由于

4009

而

25011

3001311

故當時完成訂單任務(wù)的時間最短，且最短時間為

250

(2)當時,由于k為正整數(shù)，故，此時

易知T(x)為增函數(shù)，則

由函數(shù)Tl(x),T(x)的單調(diào)性知，當

40011

1000x2509

250

時取得最小值，解得

37513

40011

.由于

而

此時完成訂單任務(wù)的最短時間大于

11

(3)當時，由于k為正整數(shù)，故，此時

由函數(shù)T2(x),T3(x)的單調(diào)性

知，

當

2000x

時f(x)取得最小值，解得

2509

80011

.類似(1)的討論.此時

完成訂單任務(wù)的最短時間為，大于

25011

綜上所述，當時完成訂單任務(wù)的時間最短，此時生產(chǎn)A,B,C

三種部件的人數(shù)

分別為44,88,68.

21.【解析】(I)解法1：設(shè)M的坐標為(x,y),由已知得

J(.r-+

3,

易知圓C2上的點位于直線的右側(cè).于是，所以

yj(x-5Y+

化簡得曲線C1的方程為

解法2：由題設(shè)知，曲線C1上任意一點M到圓心C2(5,0)的距離等于

它到直線的

2距離，因此，曲線C1是以(5,0)為焦點，直線為準線的拋物

線，故其方程為

2

(II)當點P在直線上運動時，P的坐標為，又

,則過P且與圓

C2相切得直線的斜率k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個交

點，切線方程為即kx-y+y0+4k=0.于是

15k+v0+4k|

4'+1

2

整理得

設(shè)過P所作的兩條切線PA,PC的斜率分別為kl,k2,則kl,k2是方程①

的兩個實根，故

18y072

y04

.②

由

2

得

設(shè)四點A,B,C,D的縱坐標分別為yl,y2,y3,y4,則是方程③的兩個實

根，所以

kl

.④

同理可得