蚌埠學(xué)院學(xué)一食堂排隊(duì)分析31

蚌埠學(xué)院學(xué)一食堂排隊(duì)分析江琪（50905012007）汪亮（50905012008）吳影麗（50905012009）蚌埠學(xué)院數(shù)理系09級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（2）班引言伴隨著“叮鈴鈴”的放學(xué)鈴聲，同學(xué)們都從四面八方成群結(jié)隊(duì)的涌向食堂，頓時(shí)間，本來空蕩蕩的食堂一下變得水泄不通，一群群饑腸轆轆的同學(xué)焦急的在窗口前排著隊(duì)伍。漫長的隊(duì)伍好像一條條長龍陣似的，一點(diǎn)點(diǎn)的吞噬著同學(xué)們的耐心，所以我們在校園里能經(jīng)常聽到同學(xué)們抱怨聲:“隊(duì)伍怎么這么長啊！”，“窗口怎么這么少！”，“排隊(duì)時(shí)間怎么這么長！“……眾所周知，增加食堂窗口無疑給同學(xué)減少了排隊(duì)時(shí)間，但就對食堂而言，提高同學(xué)對該食堂的滿意度，從而獲得更多的同學(xué)到該食堂就餐，但1運(yùn)營成本就相對的增高了，因此如何在這兩者之間進(jìn)行權(quán)衡，找到最佳的窗口數(shù)量，對學(xué)生和食堂雙方來說都是至關(guān)重要的。對此，我們就我們蚌埠學(xué)院學(xué)一食堂中午的擁擠狀況進(jìn)行了調(diào)查，建立了數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用排隊(duì)論的觀點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，最終找到一個(gè)較為合理的解決方案。摘要開始，我們對所調(diào)查的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生流符合泊松分布，服務(wù)時(shí)間符合指數(shù)分布，由此我們的模型就變成了排隊(duì)論中典型的M\M\n模型，根據(jù)M\M\n模型中的各效率指標(biāo)的公式，我們可得到學(xué)一食堂擁擠情況的各方面數(shù)據(jù)。根據(jù)模型求解得到的數(shù)據(jù)，我們對模型進(jìn)行了更精確的量化分析。通過應(yīng)用排隊(duì)論，為食堂窗口服務(wù)工作構(gòu)建相應(yīng)的定量模型，為節(jié)約學(xué)生排隊(duì)就餐時(shí)間，提高食堂服務(wù)質(zhì)量、效率，以及平衡學(xué)生排隊(duì)時(shí)間與食堂收益之間的關(guān)系，優(yōu)化食堂資源配置提供一種較有效的管理決策手段。針對窗口數(shù)量與學(xué)生平均排隊(duì)時(shí)間之間的關(guān)系，我們從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度進(jìn)行了分析，比較增加窗口后成本的增加量與減少排隊(duì)等待時(shí)間所帶來的收益之間的大小關(guān)系，最后得出學(xué)一食堂設(shè)置6個(gè)窗口最為合理。進(jìn)一步，我們結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的競爭原理，分析了現(xiàn)在設(shè)置5窗口的原因。關(guān)鍵字排隊(duì)論M\M\n模型靈敏度等待損失學(xué)校食堂排隊(duì)時(shí)間排隊(duì)等待時(shí)間窗口服務(wù)學(xué)生服務(wù)時(shí)間模型的建立與分析由于周末學(xué)生不用上課，所以學(xué)生去食堂的時(shí)間較為分散，很少發(fā)生排長隊(duì)的現(xiàn)象，我們在此就不做分析了。我們僅就周一至周五的食堂擁擠情況進(jìn)行分析。經(jīng)我們觀察發(fā)現(xiàn)，一般打到飯菜的同學(xué)都能找到座位吃飯，所以我們可以認(rèn)為食堂的座位數(shù)量是足夠的，無需添加新的桌椅。所以，解決食堂擁擠狀況，主要是解決排長隊(duì)的問題。我們將就此問題建立模型，進(jìn)行分析。調(diào)查數(shù)據(jù)我們調(diào)查了從2011年4月25號到4月29號（周一至周五）11：35至11:55高峰期學(xué)一食堂的學(xué)生流分布情況：共統(tǒng)計(jì)了2164人次的數(shù)據(jù)，見下表：表一每20秒到達(dá)人數(shù)1234567頻數(shù)12627842165738720887由概率論知識我們得知，如果分布滿足，則該分布為泊松分布。由上表可得，=4.04。經(jīng)過檢驗(yàn)可知此分布近似于泊松分布。雖然我們只調(diào)查了學(xué)一食堂一周的數(shù)量，但考慮到學(xué)生到食堂就餐具有較大的穩(wěn)定性，所以認(rèn)為調(diào)查的數(shù)據(jù)還是較為可靠的。另外在非高峰時(shí)段很少發(fā)生排隊(duì)現(xiàn)象，所以在此我們就不做研究。模型假設(shè)假設(shè)每位同學(xué)來到食堂都是自覺排隊(duì)，沒有插隊(duì)現(xiàn)象。每位同學(xué)只打一份飯菜，沒有幫別人代打情況。由于學(xué)校學(xué)生多，而食堂少，在中午時(shí)段，學(xué)生又大都集中在11:35至11:55這一時(shí)間段趕去食堂吃飯，所以我們可以認(rèn)為在該時(shí)間段中學(xué)生源是無限的。每個(gè)窗口菜色都一樣，飯菜的供給量充足，學(xué)生到任何一個(gè)窗口都是隨機(jī)的。食堂實(shí)行先來先服務(wù)的原則，我們假設(shè)排隊(duì)方式是單一隊(duì)列等待制。觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)窗口服務(wù)人員工作效率是隨機(jī)的，認(rèn)為其滿足指數(shù)分布，平均每個(gè)學(xué)生的服務(wù)是60秒，而且服務(wù)員之間并無差異。以20秒為一個(gè)時(shí)間單位。模型建立 基于以上的假設(shè)，我們的模型符合排隊(duì)論中的多通道等待模型（M\M\n）。該模型特點(diǎn)是：服務(wù)系統(tǒng)中有n個(gè)服務(wù)員，學(xué)生按泊松流來到服務(wù)系統(tǒng)，到達(dá)強(qiáng)度為λ；服務(wù)員的能力都是μ，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布。當(dāng)學(xué)生到達(dá)時(shí)，如果所有服務(wù)員都忙著，學(xué)生便參加排隊(duì)，等待服務(wù)，一直等到有服務(wù)員為他服務(wù)為止。這個(gè)系統(tǒng)的效率指標(biāo)有：顧客到達(dá)強(qiáng)度λ每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間服務(wù)員能力μ=系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度，即平均每單位時(shí)間中系統(tǒng)可以為顧客服務(wù)的時(shí)間比例ρ=空閑概率=系統(tǒng)中排隊(duì)學(xué)生的平均數(shù)：=學(xué)生平均排隊(duì)時(shí)間：=學(xué)生平均逗留時(shí)間：系統(tǒng)中學(xué)生的平均數(shù)：模型求解由我們調(diào)查的數(shù)據(jù)，經(jīng)過計(jì)算得到λ=4.04=1min n=5代入以上各式得到:服務(wù)員能力μ==1系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度ρ==4.04空閑概率==0.014系統(tǒng)中排隊(duì)學(xué)生的平均數(shù)：==3學(xué)生平均排隊(duì)時(shí)間：==0.74學(xué)生平均逗留時(shí)間：=1.74系統(tǒng)中學(xué)生的平均數(shù)：=8由此可見，當(dāng)我們中午在11:35~11:55這個(gè)時(shí)間段去學(xué)一食堂吃飯時(shí)，一進(jìn)門就會(huì)發(fā)現(xiàn)里面人滿為患，幾乎不可能找到空閑的窗口。而且，已經(jīng)8個(gè)同學(xué)在排隊(duì)買飯。3人正在排隊(duì)等待，平均一個(gè)窗口5人。當(dāng)我們開始排隊(duì)時(shí)，要過60秒才能輪到我們，要過80秒我們才能吃上可口的飯菜。為了檢驗(yàn)我們的數(shù)據(jù)與事實(shí)相符，我們特地親身體驗(yàn)了一番，下表就是我們的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：表二時(shí)間4月25日11:354月26日11:404月27日11:354月28日11:50日排隊(duì)等待人數(shù)3435排隊(duì)等待時(shí)間65706075忽略那些隨機(jī)因素，我們得到的那些結(jié)論和實(shí)際數(shù)據(jù)還是較為符合的，可見我們的模型建立的還是很成功的。模型分析對于學(xué)生來說，中午的時(shí)間還是很有限的，能盡快吃上飯對我們來說還是很重要的。同時(shí)，學(xué)生在食堂排隊(duì)的平均逗留時(shí)間Wo很大程度上可以決定學(xué)生對食堂的選擇，所以食堂工作人員也希望盡可能滿足學(xué)生的需求。我們認(rèn)為平均服務(wù)時(shí)間t不可改變。因此能對平均排隊(duì)時(shí)間構(gòu)成影響的就只有窗口數(shù)量n了，下面我們將就n的取值對W的影響進(jìn)行分析：由matlab我們可以得到他們兩者之間的圖形：窗口數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)從以上的靈敏度分析可知，當(dāng)窗口數(shù)超過6時(shí)，即使增加再多的窗口，其平均排隊(duì)時(shí)間的拜年話絕對值大小也只在5秒左右，而這么少的時(shí)間間隔我們認(rèn)為對學(xué)生是不會(huì)造成什么影響的。但是增加窗口會(huì)給食堂帶來巨大的成本壓力，他們當(dāng)然也不可能增加。至于小于5個(gè)窗口時(shí)，平均排隊(duì)時(shí)間會(huì)有所增加，這就會(huì)引起學(xué)生的抱怨，造成學(xué)剩的流失，當(dāng)然也是不合理的。因此，我們可以看出，最佳的窗口設(shè)置是6個(gè)或7個(gè)。對于學(xué)生方面來說，當(dāng)然是排隊(duì)等待時(shí)間越短越好，即7個(gè)窗口比6個(gè)好。對于食堂方面來說，窗口數(shù)的增加一方面會(huì)導(dǎo)致成本的增加，另一方面會(huì)縮短排隊(duì)時(shí)間，即意味著它能為更多學(xué)生服務(wù)，所以它是否會(huì)增加窗口數(shù)就取決于成本和收益的大小關(guān)系。一般來說，每增加一個(gè)窗口，需要多配備三名服務(wù)人員以及一些配套的設(shè)施。所以增加窗口數(shù)所帶來的成本等于新增服務(wù)人員的工資加上配套設(shè)施的維修與清洗費(fèi)。新增窗口得到的收益是很難估量的。在此我們引入等待損失的概念，即由于排隊(duì)等待食堂所減少的收益。如食堂每分鐘可得收益a元，但是由于隊(duì)列過長，顧客不得不排隊(duì)等待服務(wù)，這意味著食堂無法及時(shí)為這些顧客服務(wù)，每等待1分鐘，食堂就損失a元。所以我們得到等待損失等于食堂單位時(shí)間收益乘以平均等待時(shí)間乘以顧客數(shù)。我們調(diào)查得知蚌埠市餐飲行業(yè)服務(wù)人員的每月平均工資為700元，即每周平均175元。至于配套設(shè)施的維修與清洗，我們可大致認(rèn)為其每周不超過300元。由此可知每增加一個(gè)窗口，食堂的成本就得增加825元。至于食堂從每個(gè)學(xué)生身上可獲得多少利潤，因?yàn)閷W(xué)生要的菜不同，而且菜的利潤也不同，所以是很難確定的，故我們由一般規(guī)律假定其每十秒鐘可得0.5元利潤。所以，學(xué)生因等待而使食堂發(fā)生的損失，Q=0.3×3059W，當(dāng)窗口數(shù)從6變?yōu)?時(shí)，食堂可少損失ΔQ=0.1×3059×ΔW=0.5×3059×(2.7-0.523)=3329.72元。由此可知最佳的窗口數(shù)為6。然而事實(shí)是學(xué)一食堂的窗口數(shù)是5，在這么長的實(shí)踐時(shí)間里，難道是食堂人員沒有發(fā)覺當(dāng)窗口數(shù)增加到6時(shí)，其利潤會(huì)更多嗎？還是有其它原因呢？其實(shí)從理論上來講，單從一個(gè)食堂來講，6個(gè)窗口是最合適的。但是事實(shí)上由于整個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)是一定的，故我們的假設(shè)中的第一條，學(xué)生源是無限的是不太合理的。當(dāng)學(xué)一食堂增加窗口時(shí)，必然會(huì)奪走其它食堂的學(xué)生，因此其它食堂也一定會(huì)同樣增加窗口，使學(xué)生在各食堂間進(jìn)行從新分配，最后達(dá)到新的平衡。可能到頭來，雖說學(xué)一食堂減少了平均排隊(duì)等待時(shí)間，但學(xué)生并沒有增加多少，利潤也沒多大變化，這是得不償失的。所以學(xué)校食堂之間的競爭有些類似于經(jīng)濟(jì)學(xué)中寡頭的競爭，他們?yōu)榱司鹑∽畲蟮睦麧櫍舜酥g達(dá)成了某種默契，把實(shí)際價(jià)格定得比理論價(jià)格要高。反映在我們食堂的窗口數(shù)設(shè)置上，就是學(xué)一食堂選擇了5個(gè)窗口，而不是6個(gè)窗口。我們認(rèn)為學(xué)校食堂應(yīng)以為學(xué)生服務(wù)為宗旨，不應(yīng)只看重經(jīng)濟(jì)利益，所以強(qiáng)烈建議學(xué)一食堂增設(shè)一個(gè)窗口，以滿足學(xué)生的需求。體會(huì)接觸數(shù)學(xué)建模這門學(xué)科已有兩個(gè)多月了，從老師分配了作業(yè)后，我們隊(duì)的三人就開始分頭行動(dòng)，一人負(fù)責(zé)去圖書館查閱資料，一人在網(wǎng)上搜索相關(guān)信息，一個(gè)人建立模型，通過三人的努力，我們終于建立好了模型并編程求解，經(jīng)過艱苦的奮斗，終于完成了論文的寫作。從選題到完成，這篇論文我們足足準(zhǔn)備了近三個(gè)多星期。一個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)模型課，最后的成果都集中在了這篇論文中，可見其分量之重，我們自然不敢懈怠。可是正應(yīng)了老師說的那句話，在我們的周圍有著很多的數(shù)學(xué)，問題在于我們怎么去發(fā)現(xiàn)它，解決它。經(jīng)過好幾天的考慮和比較，我們選擇了這個(gè)和我們每天的生活都密切相關(guān)的題目。題目是有了，可是要調(diào)查的數(shù)據(jù)卻極為龐大，我們抱著不撞南墻不回頭的精神，硬是耐著性子堅(jiān)持了一個(gè)星期的細(xì)致調(diào)查。我們相信，道路是曲折的，前途是光明的。盡管中間不時(shí)傳來其他同學(xué)已經(jīng)做完的消息，可是當(dāng)我們看著自己辛苦調(diào)查來的真實(shí)數(shù)據(jù)時(shí)，我們感到極其滿足。由于我們的論文用到了排隊(duì)論的知識，所以我們特意去圖書館借了本陸鳳山先生的《排隊(duì)論及其應(yīng)用》。我們在用新方法時(shí)，不僅要會(huì)用，還要知道為什么。所以，我們花了兩天來研究排隊(duì)論中各概念的含義和計(jì)算公式。接下來就是模型的建立與分析了，為此我們進(jìn)行了明確的分工。模型的組建和求解過程是由江琪同學(xué)完成的，模型的分析是由吳影麗同學(xué)完成的。至于模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)，是我們在共同的討論下完成的。在處理處理這一問題時(shí)，汪亮同學(xué)創(chuàng)造性地提出了等待損失的概念，使我們的模型能從經(jīng)濟(jì)學(xué)的