高中立體幾何典型知識點和例題

2018立體幾何知識點匯總（1）

高三數(shù)學

編寫意圖：立體幾何是浙江高考的重點，大約分值占到25分左右，選

擇題考察一道三視圖問題，一道空間角度比較問題，解答題放在第二大題,

19題，第一問一般都是考察線面和面面關(guān)系的證明，第二問考察線面角和

二面角，難度都不會太大，屬于可全拿。

1,三視圖，一定要在長方體中還原成立體圖，假如要不是常規(guī)立體圖，

2,、

3,那就要試圖分割成規(guī)則的立體圖，記住帶“椎”的都要乘以三分之

O

4,棱錐，棱柱，球體，圓臺，棱臺的表面積和體積公式熟記

5,立體幾何證明

線面平行:就是先找線和線平行。一般都是利用三角形中位線，平行四

邊形性質(zhì)，線線平行的傳遞。找面內(nèi)的一條直線和已知直線平行。要么就

是先證明面和面平行，先后在得出線面平行。

面面平行:就是先找面和面平行。找一個面內(nèi)的直線和另一個面內(nèi)的兩

條相交的直線都平行，通常也是利用三角形中位線和平行四邊形性質(zhì)，線

線平行相互傳遞求解。

線面垂直:就是先找線和線垂直。找已知直線和平面內(nèi)兩條相交的直線

都垂直，一般利用已知直線在平面內(nèi)都投影垂直于面內(nèi)的直線，注意一些

梯形中隱含的垂直條件。

面面垂直:就是先找線和面垂直。然后轉(zhuǎn)化為線和線垂直。

6,點到面的距離

點到面的垂線段的距離，用等體積法求解，更為容易，有線面垂直

的椎體，更容易求點到面的距離。

7,線面角

做面的垂線，找出直角三角形的一條邊

8,二面角

找出二個面的公共邊長，在公共邊長任意一點引出垂直于公共邊長

的直線。

(-)平行與垂直關(guān)系的論證

由判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，在應用中：低一級位置關(guān)系判定高一級位置關(guān)系;

高一級位置關(guān)系推出低一級位置關(guān)系，前者是判定定理，后者是性質(zhì)定理。

1.線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化:

典面平行性質(zhì)

aHy

PUy

na〃/

2.線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化:

a,bua

aC\b=O

lLaJA.b

>=>al-P

nIA-au句

三垂線定理、逆定理:線面垂直判定1面面垂直判定

PA_La,4。為戶。,線線，W之|線面之面面L

線面垂直定義面面垂直性質(zhì)，推論2

在a內(nèi)射影

Ha

aua

auaaC\/3=b>nala

貝UGLOA=aA.PO

=ILaau民a_Lb

aA-POnaLAO

aLy

Ar>nal/

aC\/3=a

/1.L^O

4人in/面面垂直定義

a[\ft=l,且二面角a-/-/

>=>a邛

成直二面角

3.平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化:

面面〃

ala

bA.a

4.應用以上“轉(zhuǎn)化”的基本思路一一“由求證想判定,

5.唯一性結(jié)論：

①過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

,應用中常用于“反

②過空間一點，有且只有一條直線與已知平面垂直

證法"或"同一法"

③過空間一點，有且只有一個平面與已知直線垂直

I.三類角的定義：

(1)b異面直線所成的角9：0°

<0W90°b/

e

o-

,a

/a/

(2)直線與平面所成的角：0°W9W90。

(3)二面角：二面角的平面角。，0°<0<180°

(定義法)(三垂線定理法)(垂面法，以棱，)

2.三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角”一找、二作、三算”

即：(1)找出或作出有關(guān)的角；(2)證明其符合定義；

(3)指出所求作的角；(4)計算大小。

如圖形38中,M_L平面須CD,且四邊形工少是平行四邊形.

(I)求證：AC±BN;

(II)當點￡在28的什么位置時，使得?〃平面MEC,并加以證明.

19.(本題滿分15分)正方體ABCD-43。1劣中，E,F分別是棱AD,0馬的中點.

求證：(])后尸〃平面C33;

(2)4CJ?平面a如.

24.如圖，在四棱錐產(chǎn)一工8c。中，產(chǎn)C_L平面,AB//DC,DCkAC.

(1)求證：DC_L平面取C；

(2)求證：平面R4B_L平面24c；

(3)設點9為乂￡的中點，在棱尸￡上是否存在點尸，使得E4//平面C5R?說明理由.

16.(本題滿分12分)如圖，在四棱錐F-a5CQ中，底面上8C。是正方形，側(cè)棱尸底面上BCQ

PD=DC=2,E是產(chǎn)C的中點，作Ef_LF8交尸8于點F.

(1)證明：PAH平面EDB;

(2)證明：F8_L平面EFD.

23.在如圖所示的幾何體中，2是/C的中點，EFHDB.

(1)已知=,AE=EC，求證：AC1EB;

(2)已知G,在分別是和煙的中點，求證：GHII平面48c.

C

20.(本題滿分8分)如圖，在直三棱柱/8C-48G中，HBJLHC,分別為的中點，點F在

側(cè)棱仍1上，且4FJLB.D求證：

(1)3%//平面AGF；

(2)用。，平面4弓9.

(本小題滿分10分)如圖，在幾何體P-ABCD中，平面ABCD_L平面

PAB，四皿ABCD為儂1PAB為IEH角形，若AB=2,AD=1,E,

F分別為AC,BP中點.

(I)求證EFII平面PCD;

(口)求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值.

20.(本小題滿分10分)已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形,ADllBC,AB±BC,AB=AD=1,BC=2

又PB_L平面ABCD,且PB=1,點E在棱PD上，且仍_L尸。.

(I)求異面直線PA與CD所成的角的大??；

(口)求證：BE，平面PCD;

(m)求二面角A-PD-B的大小.

17.(本題滿分12分)如圖，在三棱錐產(chǎn)-A5C中，&4BC是等邊三角形，。是的中點,PA=PC,二面角

產(chǎn)-幺的大小為60、

(1)求證：平面PBDJ_平面PAC；

(2)求48與平面融C所成角的正弦值.

18.（本題滿分12分抑圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊=4,點D在線段/C（不含C點）上，QE_L金8

于E,現(xiàn)將2LWE沿DE折起^LPDE的位置（如圖（2））

（1）求證：PB1.DE;

（2）若PELBE,AE=\.

加在線段BP上找一點加?，使得CMH平面PDE，求3加■的長；

潸二面角D-PC-B的余弦值.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，NBAD=60"根U棱PA_L底面ABCD,E、F分

別是PA^PC的中點.

（I）證明：PAII平面FBD;

（口）若PA=1,在棱PC上是否存在一點M使得二面角E-BD-M的大小為60°.若存在，求出PM的長，不存

在請說明理由.

18.(本題12分)如圖，在圓錐尸0中，已知尸0=、巧，園0的直徑力3=2，點C在弧力8上，且NC4B=30"

Q為/C的中點.

I證明：/C_L平面產(chǎn)。￡)；

n求直線0C和平面PAC所成角的正弦值.

19.(本小修滿分15分)如國，四枝惟尸-/B8中，底面48co是妍PM^ABCD.

PA=AD=2,Z.BAD=60°.

(1)求證，平面PB0_L平面PAG

(2)求點A到平面PBD的距離；

(3)求二面用A-PB-D的余弦值.

19.（本^^15分）在四捌￡-力8。。中,ABHCD,ABLAD,SA=AB=2CD=2,SB=2AD=2y/2

平面848_L平面H88,￡為劭的中點.

(1)求證：CEH^SAD;

(2)求證：平面EC;

(3)求直線與平面&4c所成角的余弦值.

【典型例題】

(-)與角有關(guān)的問題

例1.(1)如圖，E、F分別為三棱錐P—ABC的棱AP、BC的中點，PC=10,AB=6,EF=7,則異

面直線AB與PC所成的角為()

A.60°B.45°C.30°D.120°

解：取AC中點G,連結(jié)EG、FG,則

EG//-PC,FG//-AB

=2=2

ZEGF為AB與PC所成的角

在AEGF中，由余弦定理，

EG?+FG?-EF?52+32—722

cosZEGF=

2?EG?FG2x5x32

AB與PC所成的角為180°-120°=60°

...選A

(2)已知正四棱錐以棱長為1的正方體的某個面為底面，且與該正方體有相同的全面積，則這一正

四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的余弦值為()

設正四棱錐的高為h,斜高為h=

由題意：-4x1x+1=6x1

2

h=6

；?側(cè)棱長PB=Vh2+0BV2V26

~T~

...選A

(3)如圖，在正方體ABCD-A|B|C|D|中，P為AQ】上的一個定點，Q為

A|B|上的任意一點，E、F為CD上任意兩點，且EF的長為定值，有下列命題：

①點P到平面QEF的距離為定值；

②直線PQ與平面PEF所成的角為定值；

③二面角P—EF—Q的大小為定值；

④三棱錐P-QEF的體積為定值

其中正確命題的序號是。

解：平面QEF即是平面A|B|CD

上定點P到面A|B|CD的距離為定值

①對，②錯

二面角P—EF—Q,即面PDF與面A|BgD所成的角，且平面角NPDA1為定

值，.?.③對

因為A|B|〃DC,且EF為定值，，SAQEF為定值

又P點到平面QEF的距離為定值，...Vp_QEF為定值，二④對

綜上，①③④正確。

例2.圖①是一個正方體的表面展開圖，MN和PQ是兩條面對角線，請在圖(2)的正方體中將MN,

PQ畫出來，并就這個正方體解答下列各題：

(1)求MN和PQ所成角的大小；

(2)求四面體M—NPQ的體積與正方體的體積之比；

(3)求二面角M—NQ—P的大小。

圖①

解：(1)如圖②，作出MN、PQ

VPQ/7NC,又△MNC為正三角形

.?.ZMNC=60°

??.PQ與MN成角為60°

'(2J)'V'M-NPQ=V￥Q-PMN*MQ

_?2SMS

6Q&PMNQ=7PMDN,MQ

o

J-V

6正方體

即四面體M—NPQ的體積與正方體的體積之比為1：6

(3)連結(jié)MA交PQ于O點，則MOJ_PQ

又NP_L面PAQM,.\NP±MO,則乂0，面PNQ

過O作OE_LNQ,連結(jié)ME,則MEJLNQ

ZMEO為二面角M—NQ—P的平面角

在RtANMQ中，ME?NQ=MN?MQ

設正方體的棱長為a

ME==逅a,又MO=^a

V3a32

*a。I

在RtAMEO中，sinZMEO=——=/=_=』

MEV62

-----a

3

.,.ZMEO=60°

即二面角M—NQ—P的大小為60°。

例3.如圖，已知四棱錐P—ABCD,PB1AD,側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱

形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。

(1)求點P到平面ABCD的距離；

(2)求面APB與面CPB所成二面角的大小。

解：(1)作PO_L平面ABCD,垂足為O,連結(jié)OB、OA、OD,OB與AD交于點E,連結(jié)PE

p

F

VAD±PB,.*.AD±OB(根據(jù))

VPA=PD,；.OA=OD

于是OB平分AD,點E為AD中點

APE±AD

ZPEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角

；./PEB=120°,ZPEO=60°

又PE=6APO=PEsin60°=V3>—

22

即為P點到面ABCD的距離。

(2)由已知ABCD為菱形，及4PAD為邊長為2的正三角形

；.PA=AB=2,又易證PB_LBC

故取PB中點G,PC中點F

則AG_LPB,GF〃BC

又BC_LPB,AGF1PB

ZAGF為面APB與面CPB所成的平面角

；GF〃BC〃AD,AZAGF=n-ZGAE

連結(jié)GE,易證AE_L平面POB

又PE=BE=",G為PB中點

:.ZPEG=—ZPEB=60°

2

，GE=PEcos60°=—

22

在RtAAGE中，AE=-AD=1

2

tanZGAE=些=立

AE2

/T

?'.ZGAE=arctan----

2

AZAGF=TT-arctan—

2

所以所求二面角的大小為兀-arctan——

2

(2)解法2：如圖建立直角坐標系，其中O為坐標原點，x軸平行于DA

P(0,0,-),B(0,0)

22

PB的中點G的坐標為（0,與3,-）,連結(jié)AG

44

又A（1,—,0）,C（-2,2區(qū)，0）

22

由此得到61=（1,,PB=（0,巫,--）,

4422

BC=（-2,0,0）

―>—>—,—>

于是GA?PB=0,BC?PB=0

GA±PB,BC±PB

，GA、BC的夾角6為所求二面角的平面角

->—

GA?BC277

于是COS0-

7

|GA|?|BC|

...所求二面角大小為穴-arccos苧

(-)與距離有關(guān)的問題

例4.(1)已知在AABC中，AB=9,AC=15,ZBAC=120°,它所在平面外一點P到AABC三個

頂點的距離都是14,那么點P到平面ABC的距離是()

A.13B.11C.9D.7

解：設點P在4ABC所在平面上的射影為0

A

C

???PA=PB=PC,，O為AABC的外心

△ABC中，AB=9,AC=15,ZBAC=120°

/.BC=A/92+152-2x9xl5xcosl20°=21

由」一=2R,，R=—4^=7行

sinAJ3

2x

2

.\PO=^142-(7V3)2=7

(2)在直三棱柱ABC-A|B|G中，AB=BC=V2,BB1=2,NABC=

90°,E、F分別為AA「GB1的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路徑的

長度為O

解：（采用展開圖的方法）

將平面B|BCC|沿B|B旋轉(zhuǎn)使兩矩形A|ABB|與B|BCC|在同一平面內(nèi)

連接EF,則EF為所求的最短路徑

3V2

如圖③展開，EF

比較這三種方式展開，可見沿表面從E到F的最短路徑長度為3立。

2

點評：此類試題，求沿表面運動最短路徑，應展開表面為同一平面內(nèi)，則線段最短。但必須注意的是,

應比較其各種不同展開形式中的不同的路徑，取其最小的一個。

（3）在北緯45°圈上有甲、乙兩地，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)140。與西經(jīng)130°,設地球半徑為R,

則甲、乙兩地的球面距離是（)

,1c

A.—JURB.-TIR

2423

小由題意NAO|B=360°-140"+130。)=90"

解：?

（Oi為小圓圓心）

6

又由題意O|A=O1B=*R

1,2

則?AB中，AB=R

...△AOB為正三角形（O為球心）

K

:.ZAOB=—

3

qr

:.A、B兩點球面距離為一R

3

.,.選D

例5.如圖，四棱錐P—ABCD,底面ABCD是矩形，PA_L平面ABCD,E、F分別是AB、PD中點。

(1)求證：AF〃平面PEC；

(2)若AD=2,CD=2收，二面角P—CD—B為45°,求點F到平面PEC

距離。

解：G為PC中點，連結(jié)FG、EG

又為PD中點

AFG//-CD,又AE//-CD

=2=2

AFG/7AE

，四邊形AEGF為平行四邊形

...AF〃EG,又EGu面PEC,AFa面PEC

；.AF〃平面PEC

(2)VCD±AD,又PA_L面ABCD

AAD為PD在面ABCD上射影

ACD1PD

；./PDA為二面角P—CD—B的平面角，且/PDA=45°

則4PAD為等腰直角三角形

AAF1PD,又CD_L平面PAD

，CDJ_AF

.".AFlffiiPCD

作FH_LPC于H,貝ijAF_LFH

又EG〃AF,/.EG±FH

FH面PEC,FH為F到面PEC的距離

在RtAPEG中，F(xiàn)H?PG=PF?FG

方法2：(體積法)

；AF〃面PEC,故只要求點A到面PEC的距離d

由VA-PEC=Vp_AEC即5sApce,d=5sA,PA

易證AF_L面PCD,；.EG_L面PCD

AEG±PC

PC22

ASAPEC=y*EG=；M+（2V2）+2xV2=272

S=—AExBC=—xV2x2=V2

ZAxArPirC22

.d=SAAEC?PA_V?x2_]

S"EC2^/2"

（三）對命題條件的探索

例6.（1）如圖已知矩形ABCD中，AB=3,BC=a,若PA_L平面ABCD,在BC邊上取點E,使PE

_LDE,則滿足條件E點有兩個時，a的取值范圍是（）

P

A.a>6B.a>6

C.0<a<6D.0<a<6

解：VPAlffiABCD,PE±DE

由三垂線定理的逆定理知PE的射影AE1BE

所以滿足條件的點E是以AD為直徑的圓與BC的交點，要有兩個交點，則

AD>2AB=6

...選A

（2）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，點E、F、H、K分別為AC、CB'、A'B、BC的中點，G為4

ABC的重心，從K、H、G、B，中取一點作為P,使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行，則P為（）

A.KB.HC.GD.B

分析：從題目中的“中點”條件，聯(lián)想到“中位線”。

而平面PEF中，EF為定直線，連BC則F為BC'中點

故AACB中，EF〃AB=>AB〃平面PEF,A，B，〃平面PEF

考慮到若P為K點，則還有AA'BB\CC都平行于FK

即它們也都平行于平面PEF,不合題意。

同理P也不能為H點，若P為B，點時,EF與BA共面也不符合題意（這時只有一條棱平行于平面PEF）,

可見只能取G點。

故選C

例7,如圖，是棱長為1的正方體ABCD-A|B|GD|

（1）線段AR上是否存在一點P使得A》，平面PAC?若存在，確定P的位置；若不存在

說明理由。

（2）點P在線段A3上，若二面角C—AP—B的大小是arctan2,求P點位

置；

BO

（3）Q點在對角線BQ上，使AR〃平面QAC,求若■。

解：（1）（用反證法）

假設BA1，面PAC,則A|B，AC

VA,C,//AC,易知A》與A|G成60°

即A?B與AC成60°角，與A】BLAC矛盾

，A|B不垂直于平面PAC

...不存在點P滿足題目條件

（2）過B作BH_LAP于H,連CH

/T

45°

由于故CHLAP

即NBHC是二面角C—AP—B的平面角

:.tanZBHC=-=2

即在RtABHA中,

...NBAH=30°

在AABP中,

sin30°sin105°

2■xf^—

(3)由于A|B〃D]C,，A]B〃面D|AC

.??點Q是直線BQ與面D|AC的交點

下面求Q點的位置。

設ACCBD=O,顯然AQODSAQDB

.B|QBR2

QDDO

(四)對命題結(jié)論的探索

例8(1)正方體ABCD-A|B|CR中,點P在側(cè)面BCC[B]及其邊界上運動,

并且總保持APLBDi，則動點P的軌跡是()

A.線段BC

B.線段BQ

C.BB1中點與CG中點連成的線段

D.BC中點與BC中點連成的線段

分析：從條件AP_LBDi出發(fā)，可知AP必在過A點且與BDi垂直的平面&AC上

...點P必在BiC上

...選A

(2)如圖，斜三棱柱ABC—AIBIG中，ZBAC=90°,BC|J_AC,則Ci在底面ABC上的射影H必

在()

A.直線AB上B.直線BC上

C.直線CA上D.AABC內(nèi)部

解：連結(jié)ACi

VAC1AB,又AC_LBG

；.AC_L面ABC,

又ACu面ABC,.,.面ABC,面ABC1且AB為交線

則C在面ABC上的射影必在交線AB上

選A

例9.在四面體ABCD中，AB±BC,AB1BD,BC1CD,且AB=BC=1。

(1)求證：平面CBDJ_平面ABD；

(2)是否存在這樣的四面體，使二面角C—AD—B的平面角為30°?如果存在，求出CD的長；如

果不存在，請找出一個角0,使得存在這樣的四面體，使二面角C-AD-B的平面角為6。

A

解：⑴VAB1BC,AB±BD

，AB，平面BCD,又ABu面ABD

...面ABDlffiCBD

(2)設CD=x,在面CBD內(nèi)作CE_LBD于E

由(1)知平面ABD_L面BCD,且BD為交線

；.CEJ_平面ABD

作EF_LAD于F,連結(jié)CF,則CF_LAD

；./CFE為“二面角”C—AD—B的平面角，且NCFE=30°

又在RtABCD中，CE?BD=CB-CD

1xx_x

又VCD1BC,又BC為AC在面BCD上射影

ACDIAC

則在RtAACD中，CF?AD=AC-CD

在RtACEF中,

解出X2=-3,無實數(shù)解。

故不存在這樣的四面體，使二面角C—AD—B的平面角為30°

▽?/CE_Vx2+2_1L、

又sinNCFE=—-/=-產(chǎn)1H—z1

V2-V777V2VX-+17

7t71

:.ZCFEe

2）

故。可以取45°?90°之間的任意角。

點評：本題是一道存在性的探索問題。常常假定結(jié)論成立，再判斷它與已知條件是否符合。

【模擬試題】

選擇題。

l.PA、PB、PC是從P引出的三條射線，兩兩成60°，則PC與平面PAB所成角的余弦值是（）

V3V3屈

A.2B.FC.3D.3

2.在邊長為1的菱形ABCD中,ZABC=60°,將菱形沿對角線AC折起，使折起后BD=1,則二面

角B—AC—D的余弦值為（)

112"V3

A.3B.2C.3D.V

3.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，底面上一點到三個側(cè)面的距離分別是2,3,6,則這個點到三棱錐頂點

的距離是（）

A.VTTB,而C.7D.V61

4.已知A、B、C是球面上的三點，且AB=6,BC=8,AC=10,球心O到平面ABC的距離為

則球的表面積為（）

A.36兀B.72兀C.144KD.288兀

5.4ABC邊上的高線為AD,BD=a,?！?1?,且2<13,將^ABC沿AD折成大小為。的二面角B

八a

COS0=一

—AD—C,若b，則三棱錐A—BCD的側(cè)面4ABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.形狀與a,b的值有關(guān)的三角形

6.有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體的下底面的四個頂點是下層正

方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為2,且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面積）

超過39,則該塔中正方體的個數(shù)至少是（）

自

___V

A.4B.5C.6D.7

二.填空題。

7.如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=BC,且與，則PA與底面ABC所成角

的大小為O

8.如圖，矩形ABCD中，AB=*BC=3,沿AC把4DAC折起，當四面體的體積最大時，直線

AD與平面ABG所成角的正弦值是,

DC

3

A4B

9.如圖，正方體ABCD-A|B|CQ|棱長為],M、N分別為耳6、口6中點，則點c到截面MNDB

的距離是O

DiNCj

i/BT

三.解答題。

10.如圖，正三角形ABC的邊長為3,過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于以、Ci,將

△AB|G沿B|C|折起到AA|B|C|的位置，使點A1在平面BB|C|C上的射影恰是線段BC的中點M,求:

(1)二面角Ai-BQ]-M的大??；

(2)異面直線A31與CG所成角的余弦值。

B

11.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=",AF=I,M是線段EF的

中點。

(1)求證：AM〃平面BDE；

(2)求二面角A—DF—B的大?。?/p>

(3)試在線段AC上確定一點P,使得PF與BC所成的角是60°。

【試題答案】

一.選擇題。

1.C2.A3.C4.C5.C

6.C

提示：假設有n個正方體構(gòu)成，其表面積由二部分組成：

（1）俯視圖、表面只有一個正方形，其邊長為2。

（2）側(cè)面則由4n個正方形構(gòu)成，且各層（從下往上看）正方形面積構(gòu)成一個首項為4,公比為

的等比數(shù)列。

2

=4+4+44+*)+4(目+???+4>39

表面積

>39

2

An的最小值為6

二.填空題。