高斯數(shù)學五年級

第一講巧算小數(shù)運算

知識導航

(1)小數(shù)的加法、減法、乘法、除法的運算法則，力口、減、乘、除混合運算的運算順序。

(2)運算定律：加法交換律、加法結合律、乘法交換律和乘法分配律。

(3)商不變性質(zhì)。

(4)積不變的性質(zhì)：若一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小相同倍數(shù)，則積不變。

(5)補數(shù)定義：如果兩數(shù)的和恰好能湊成10,100,1000,…那么，其中的一個數(shù)就叫做另一個數(shù)的

補數(shù)，且這兩個數(shù)互為補數(shù)。

(6)會用a?—人2=(a+/?)x(a-b)

例題精講

例1：計算：72.19+6.48+27.81-1.38-5.48-0.62

練習

計算：176.2+348.3+42.47+252.5+382.23

例2：計算：1.25x67.875+125x6.7875+1250x0.053375

練習：計算：4.65x32+2.5x46.5+0.465x430

例3：計算:

1999+199.9+19.99+1.999

練習

1888+188.8+18.88+1.888

例4：計算:

(1+0.33+0.44)x(0.33+0.44+0.55)-(1+0.33+0.44+0.55)x(0.33+0.44)

練習

(1+0.23+0.45)x(0.45+0.67+0.89)-(1+0.45+0.67+0.89)x(0.23+0.45)

例5：計算：I2-22+32-42+52-62+----1002+1012

練習

計算：21234-42+62-82+102-122----482+502

課堂練習：

1,(0.1+0.12+0.123+0.1234)X(0.12+0.123+0.1234+0.12345)-(0.1+0.12+0.123+0.1234

+0.12345)X(0.12+0.123+0.1234)

2、2.32.14+64.28X0.5378X0.25+0.5378X64.28X0.75-8X64.28X0.125X0.5378

3、32-42+52-62+---2002+2012

家庭作業(yè)

1.3.49+4.47+3.51+2.38+4.53+2.62

2.0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999

3.0.035x935+0.035+3x0.035+0.07x61x0.5

4.19.98x37-199.8x1.9+1998x0.82

5.3.14x6.5+4.5x3.14-3.14

6.26.25+73.75x0.35+0.65x73.75

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

計算:A=0.000---0125,B=0.000--08,求A+B,AXB的值。

、、，J、________J

10個0

第二講平均數(shù)問題

知識導航

(1)用“總數(shù)量?總分數(shù)=平均數(shù)”直接求平均數(shù)。

(2)借助“整體思考法”巧解題。

(3)用“移多補少法”巧解題。

(4)借助“整數(shù)化”巧解題。

例1：小張、小李兩人的平均身高是1.70米，小李、小王兩人的平均身高是1.74米，小王、小張兩

人的平均身高是1.60米。問：小李、小張、小王三人的平均身高是多少米？

練習

A、B、C、D四位小朋友在一次測試中，A、B、C三人的平均成績是80分；B、C、D三人的平均分

是85分；A、C、D三人的平均分是83分；A、B、D三人的平均成績是82分。問：A、B、C、D四

人的平均成績是多少分？

例2：趙錢孫李四個小朋友，每兩人合稱一次體重，一共稱了6次，其平均體重分別是34.5,33.5,

36.0,35.0,37.5,36.5（單位：千克）。問：這四位小朋友的平均體重是多少千克？

練習：甲乙丙三個物體，兩兩合稱一次，一共稱三次，分別是30千克、28千克、26千克。問：這三

個物體平均重多少千克？

例3：有1000名大學畢業(yè)生參加公務員考試，錄取了150人。錄取者的平均成績與未錄取的平均成

績相差38分，全體考生的平均成績是55分。已知錄取分數(shù)線比錄取者的平均成績少6.3分，問：錄

取分數(shù)線是多少分？

練習

200名小學生參加英語競賽，有24名學生獲獎。獲獎者的平均成績與未獲獎的平均成績相差35分，

全體參賽的學生平均成績是60分。已知獲獎分數(shù)線比獲獎者的平均成績少5.8分，問：獲獎分數(shù)線

是多少分?

例4：A、B、C、D四個數(shù)，每次去掉一個數(shù)，將其余三個數(shù)求平均數(shù)，這樣算了4次，得到這樣的4

個數(shù)：45,60,65,70o問：A、B、C、D這四個數(shù)的平均數(shù)是多少？

練習

有五個數(shù)A、B、C、D、E每次去掉一個數(shù)，將其余4個數(shù)求平均數(shù)，這樣計算5次，得到這樣5個數(shù):

17,25,27,32,390求A、B、C、D、E這五個數(shù)的平均數(shù)。

例5：某次考試，甲，乙，丙，丁四個人的成績統(tǒng)計如下：甲、乙、丙三人的平均成績?yōu)?4分，乙、

丙、丁三人的成績?yōu)?2分，甲、丁兩人的平均成績是96分。問：甲得了多少分？

練習

某次考試，A、B、C、D、E五人成績統(tǒng)計如下：A、B、C、D四人的平均分75分；A、C、D、E四人平

均分為70分；A、D、E三人的平均分為60分；B、D兩人的平均分為65分。求A得了多少分？

課堂練習：

1、小明騎自行車從甲地到乙地，去時平均每小時行10千米，沿原路返回時平均每小時行15千米,

小明騎自行車從甲地到乙地往返的平均速度是多少？

2、某校數(shù)學競賽原定一等獎10人，二等獎20人。現(xiàn)在將一等獎中最后4人調(diào)整為二等獎，這樣得

二等獎的學生平均分提高了1分，得一等獎的學生平均分提高了3分，那么原來一等獎平均分比二等

獎平均分多多少分？

3、有A、B、C、D、E、F、G、H八個數(shù)成等差數(shù)列，已知D、E兩數(shù)的平均數(shù)是9,則有A、B、C、D、

E、F、G、H這八個數(shù)的平均數(shù)是多少？它們的和是多少？

家庭作業(yè)

1、設有A、B、C三個數(shù)，其中A和B相加是200,A和C相加是150,B和C相加是160.求A、B、C

這三個數(shù)的平均值。

2、甲、乙、丙、丁四個數(shù)，每次去掉一個數(shù)，將其余三個數(shù)平均，這樣計算4次，得到50、38、52、

46。求四個數(shù)的平均數(shù)。

3、甲數(shù)是240,乙數(shù)是甲數(shù)的3倍少30,丙數(shù)比乙數(shù)的2倍少180,求這三個數(shù)的平均數(shù)是多少？

4、有40個數(shù)的平均數(shù)是36。若劃去其中兩個數(shù)，劃去的兩個數(shù)的和是110,那么剩下的數(shù)的平均數(shù)

是多少？

5.李明在一次考試中，數(shù)學得90分，語文得92分，英語得87分，政治因病缺考，他要使自己的4

科的平均分達到90分，在補考政治時，至少要得多少分？

6.已知甲、乙、丙、丁四個數(shù)的平均數(shù)是10,甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是8,求丙、丁兩數(shù)的平均數(shù)？

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

有四個數(shù)，每次選取其中三個數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另一個數(shù)。用這樣的方法計算了4次,

分別得到以下四個數(shù)：26、30、36、40,那么原來的四個數(shù)中最大的一個數(shù)是多少？

第三講容斥原理

知識導航

容斥問題涉及到一個重要原理一一包含與排除原理，也叫容斥原理。即當兩個計數(shù)部分有重復

包含時，為了不重復計數(shù)，應從它們的和中排除重復部分。

容斥原理：對n個事物，如果采用不同的分類標準，按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么

具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個數(shù)=也十凡一心。

例題精講

例1：某班40名同學都在做語文和數(shù)學作業(yè)，其中，26人做完了語文作業(yè)，18人做完了數(shù)學作業(yè)。

現(xiàn)在已經(jīng)有5人兩門作業(yè)都做完了，求這兩門作業(yè)都沒有做完的有多少名同學？

練習

36個學生在回答兩個問題時，答對第一題的有23人，答對第二題的有25人，兩題都答對的有14人,

問：兩題都沒有答對的有多少人？

例2：在1至U100的自然數(shù)中，能被5或7整除的數(shù)共有多少個?

練習：在1到500這500個數(shù)中，既不是完全平方數(shù)，又不是立方數(shù)的數(shù)共有多少個?

例3：希望小學的318名學生去游樂園玩耍。其中參加劃船的有156人，乘電動飛機的有196人，坐

碰碰車的130人；既參加劃船又坐碰碰車的有74人，既參加劃船又乘電動飛機的有80人，既乘電動

飛機又坐碰碰車的有40人。問：三種活動都參加的有多少人？

練習

某班50名學生手中分別拿紅黃藍三種旗做游戲。已知34人手中有紅旗，26人手中有黃旗，18人手

中有藍旗，15人手中有紅黃兩種旗，10人手中有黃、藍兩種旗，9人手中有紅藍兩種旗。求手中有

紅、黃、藍三種旗的有多少人？

例4：某個班的全體學生進行了短跑、游泳、籃球三個項目，有4名學生在這三個項目都沒有達到優(yōu)

秀，其余每人至少有一個項目達到優(yōu)秀。這部分學生達到優(yōu)秀的項目如圖所示：求這個班的學生人數(shù)。

短跑游泳籃球短跑、游游泳、籃籃球、短游泳、短

泳球跑跑、籃球

1718156652

練習

某班在一次達標測試中，測得26人短跑達標，30人鉛球達標。其中短跑和鉛球都達標的有12人,

另外有8人這兩項都沒有達標。問：這個班一共有多少名學生？

例5：50名學生面向老師站成一排，按從左往右的順序報數(shù)：1,2,3,…，50o報完后，老師讓所

有報數(shù)的4的倍數(shù)的學生向后轉(zhuǎn)，接著又讓所有報數(shù)是6的倍數(shù)的學生向后轉(zhuǎn)。問：此時還有多少名

學生面向老師？

課堂練習：

1、在1到100的自然數(shù)中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的數(shù)共有多少個?

2、某學校五年級共有110人，參加語文、數(shù)學、英語三科活動小組，每人至少參加一組。已知參

加語文小組的有52人，只參加語文小組的有16人；參加英語小組的有61人，只參加英語小組的

有15人；參加數(shù)學小組的有63人，只參加數(shù)學小組的有21人。那么三組都參加的有多少人。

家庭作業(yè)

1、學校小星星藝術團的32名同學中，有14人會拉小提琴，有21人會彈鋼琴，小提琴和鋼琴都會演

奏的有8人，既不會拉小提琴又不會彈鋼琴的有多少人？

2、六年級有60人愛好數(shù)學，50人愛好語文，42人愛好體育，30人既愛好數(shù)學又愛好語文，20人既

愛好語文又愛好體育，35人既愛好體育又愛好數(shù)學，有18人則三方面都愛好。請問這個年級中數(shù)學、

語文、體育三方面至少愛好一項的學生有多少名？

3、外語實驗學校有英語、法語、日語教師共27人。其中只能教英語的有8人，只能教日語的有6

人，能教英、日語的有5人，能教法、日語的有3人，能教英、法語的有4人，能教英、法、日語的

只有2人。只能教法語的教師有多少人？

4、五年級100名同學，每人至少愛好體育、文藝和科學三項中的一項。其中，愛好體育的有58人,

愛好文藝的有60人，愛好科學的有54人，三項都愛好的有20人，只愛好體育和科學的有15人，只

愛好體育和文藝的有8人。問：多少人只愛好科學和文藝兩項？只愛好科學的有多少人？

5、在1到100的自然數(shù)中，能被5或6整除的數(shù)共有多少個?

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

100名學生面向老師站成一排，按從左往右的順序報數(shù)：1,2,3,…，100。老師讓所有報數(shù)的3的倍數(shù)

的學生向后轉(zhuǎn)，接著又讓所有報數(shù)是7的倍數(shù)的學生向后轉(zhuǎn)。問：此時還有多少名學生背對老師？

第四講計算與推理

知識導航

推理由一個或幾個已知的判斷，推導出一個未知的結論的思維過程，其作用是從已知的知識得

到未知的知識，特別是可以得到不可能通過感覺經(jīng)驗掌握的未知知識。很多數(shù)學問題就是要從一些簡

單的已知的知識中得到未知的知識，從而解決問題。

例題精講

例1：房間里有12個人，其中有些人總說假話，其余的人是老實人，總說真話。其中一個人說：“這

里沒有一個老實人?！钡诙€人說：“這里有一個老實人?！钡谌齻€人說：“這里有兩個老實人。”如此

往下，至第十二個人說：“這里有11個老實人?！眴柗块g里究竟有多少個老實人？

練習

30名學生參加數(shù)學競賽，已知參賽者中任何10人里都至少有一名男生，那么男生至少有多少人？

例2：有六箱水果，其中只有一箱是香蕉，其余都是蘋果或梨，已知六只箱里所放水果的重量分別是

1、3、12、21、17、35千克，并且蘋果的重量是梨的5倍。求香蕉有多少千克？

例3：六個人參加乒乓球比賽，每兩個人都要賽一場，勝者得2分，負者得0分。比賽結果，第二名

和第五名都是兩人并列。問：第一名和第四名各得多少分？

練習

A、B、C、D四個隊舉行足球比賽循環(huán)賽(即每兩隊都要賽一場)，勝一場得3分，平一場得1分負

一場得0分，已知：(1)比賽結束后四個隊的得分都是奇數(shù)；

(2)A隊總分第一；

(3)B隊恰有兩場平局，并且其中一場是與C隊平局。

那么，D隊得多少分？

例4：甲、乙、丙、丁與小明5位同學一起比賽象棋，每兩人都要賽一場。到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了

4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小明已經(jīng)賽了多少盤？

練習

五個足球隊進行循環(huán)比賽。每場比賽勝者得2分，負者得0分、打平各得1分，比賽結果各隊得分互

不相同。已知：

(1)第一名的隊沒有平過；

(2)第二名的隊沒有負過；

(3)第四名的隊沒有勝過；

問：全部比賽共打平了幾場？

☆☆☆☆☆例5：某商品的編號是一個三位數(shù)，現(xiàn)在五個三位數(shù)：874、765、123、364、925,其中

每個數(shù)與商品編號恰好在同一個數(shù)位上有一個相同的數(shù)字。這件商品的編號是多少？

1、8個球編號是①至⑧，其中有6個球一樣重，另外兩個球都輕1克。為了找出這兩個輕球，用天

平秤了3次，結果如下：

(1)①+②比③+④重

(2)⑤+⑥比⑦+⑧輕

⑶①+③+⑤和②+④+⑧一樣重。

求那兩個球較輕？

2、甲、乙兩數(shù)的和是231.已知甲數(shù)的末位是0.如果把甲數(shù)末位的0去掉，正好等于乙數(shù)。乙數(shù)是多

少？

3、十三個魚盆里魚的條數(shù)分別是2、3、5,7、9、10、11、13、14、17、21、24、24條。已知同一

盆里的魚的是同一種類，只有一盆是刀魚，其余都是青魚和鯽魚，并且鯽魚的條數(shù)是青魚的6倍，刀

魚有幾條？

4、圖書管理員把7類書疊成了7疊，其中只有一疊舊連環(huán)畫，其余都是故事書和科技書，且故事書

是科技書的6倍。如果這7疊書的本數(shù)分別是：3、4、5、16、21、25、38本，問：連環(huán)畫有多少本？

5.某班44人要從A、B、C、D、E五位候選人中選出一位班長，已知A得選票23張，B得選票占第二

位，C、D得票相同而E選票最少，只得了4票，那么B得了幾張選票？

第五講分數(shù)與循環(huán)小數(shù)

知識導航

同學們在計算分數(shù)的時候一定碰到過除不盡的情況。比如計算1+3,我們會發(fā)現(xiàn)商在0和小數(shù)

點之后一直出現(xiàn)3,怎么也計算不完；再比如在計算3+7的時候，我們會發(fā)現(xiàn)商在0和小數(shù)點之后

不停的出現(xiàn)428571。像這樣的某一位起，一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷重復出現(xiàn)的小數(shù)，叫做循環(huán)

小數(shù)。

下面我們來學習一下分數(shù)與小數(shù)之間的互化。把分數(shù)化成小數(shù)非常簡單，直接用分子除以分母即

可。但是循環(huán)小數(shù)又該怎樣化成分數(shù)呢？

例題精講

例1：將下列分數(shù)化成小數(shù)：-

869713

練習

17142257

將下列分數(shù)化成小數(shù)：—>—.—>-

20253711

例2：把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)：0.4,0.24,0.185>0.56>6.36513

練習：把循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)：0.1,0.12、0.123、0.245

71422113

例3：把下列分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)：、亍

1T101'45'35

練習

把下列分數(shù)化成循環(huán)小數(shù)：—,—>->—

33271436

例4：計算:(1)0.12+0.31；(2)0.12+0.434；(3)0.75-0.4

練習

計算：0.56+0.8760.123+0.456

例5：把真分數(shù)三化成小數(shù)后,小數(shù)點后第2013位上的數(shù)字是1,則a是多少？

練習

把真分數(shù)1化成小數(shù)后，從小數(shù)點后第一位開始的連續(xù)n位數(shù)之和是9006,則a和n分別是多少？

課堂練習：

1、0.12345+0.23451+0.34512+0.45123+0.51234

2、將算式0.3+0.6-0.3x0.6+0.3+0.6的計算結果用循環(huán)小數(shù)表示是多少？

1、把下列分數(shù)化為小數(shù):

小31313”、234印557小234

⑴王甘石；⑵5r玄⑶了西后⑷于?，淳

2、把下列循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)：

(1)0.i,0.4;(2)0.01,0.35;(3)0.08,0.38.

3、把下列循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)：0.7,0.12,O.i23,0.123

4、計算:(1)0.i+0.2+0.3;(2)0.2+03+0.4;(3)0.3+0.5+0.7;

(4)0.1+0.12+0.123;(5)0.12+0.23.

5.o.i2345+0.23451+0.34512+0.45123+0.51234.

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

冬冬將0.3力乘以一個數(shù)a時，看丟了一個循環(huán)點，使得乘積比正確結果減少了0.63正確結果應該是

多少？

第六講解方程及方程組

知識導航

同學們我們已經(jīng)會解簡單的一元一次方程，下面我們先對相關的概念做一個簡要的復習。

我們將用等號連接，表示相等關系的式子，叫做等式。而方程就是含有未知數(shù)的等式。等

式有兩個基本性質(zhì)：

性質(zhì)1：等式兩邊加上或減去一個數(shù)，結果仍相等。

性質(zhì)2、等式兩邊乘上一個，或除以一個不為0的數(shù)，結果仍相等。

利用等式的性質(zhì)我們可以解一些簡單的方程。

在解方程時，我們需要將含有未知數(shù)的項一起算，也就是合并同類項。有的時候，當含有未知數(shù)

的項不在等式的同一側時，我們還需要將這樣的項從等式的一側移到另一側，也就是所謂的移項。注

意方程中的每一項都包括數(shù)值與符號兩個部分，移項的時候要改變符號。

例1：解F列方程：（1）4x+3=3x+8(2)15—3x=19—4x(3)12—3x=7x—18

練習

(1)6+5x=10+3x(2)5—6x=17—9x(3)10-2x=5x-ll

例2：解下列方程：(1)5x+3(19—x)=65(2)7x—(3x—2)=22

練習：解下列方程：16+2（x-4）=3x18-(3x-6)=x

3x+57x-5

例3：解下列方程：（1）⑵=l

2-3

練習

3x+18x—2/c、3x+l5x-5,

(1)(2)-----+------=1

2548

，x+3y=7

例4：解下列方程組：(1)匕％+5y=32

(2)(2x+7y=15

練習

fx-2y=3fx+2y=7

(1)(3x+4y=29(2)(2x+5y=16

例5：解下列方程

(1)=(2)^11=2

48x+22

課堂練習：

1、x2+3x-5=x(x+2)

，5x+2y=16

2、(2x+3y=13

7家庭作業(yè)

1、求下列方程的解：（1）x-6=15(2)3x+5=17

2、求下列方程的解：（1）5x+8=3x+20(2)6—5x=8x—20

3、求下列方程的解：（1）3x+2（15-x）=45(2)9x-2(2x-2)=19

3x+76x-7

4、解方程:

4-5

fx-4y=0，5x+4y=33

5.(1)(3x+y=26(2)l5x-3y=19

第七講抽屜原理

知識導航

在《簡單抽屜原理》中，我們學習了運用抽屜原理處理一些簡單問題，以及最不利原則的一些簡

單應用。

抽屜原理：

把m個蘋果放入n個抽屜（m大于n）,結果有兩種可能：

如果m+n沒有余數(shù)，那么一定有抽屜至少放了“m+n”個蘋果；

如果m+n有余數(shù)，那么一定有抽屜至少放了“m+n的商再加1”個蘋果。

一例題精講

例1:（1）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個球，才能保證其中一定有兩

個顏色相同？

（2）口袋里有四種顏色的球，每種顏色足夠多，一次至少要取幾個球，才能保證其中一定有四個顏

色相同？

練習

箱子里有12種形狀不同的積木，每種都足夠多，一次至少要取幾個，才能保證其中一定有三個形狀

相同？

例2：盒子里有四色球各100個，每次從中摸出2個球，請問：至少要摸幾次，才能保證其中有三次

摸出球的顏色情況是相同的？

練習：小王把一副圍棋混裝在一個盒子里，然后每次從盒子中摸出4枚棋子，請問：她至少要摸幾次,

才能保證其中有三次摸出的顏色情況是相同的？（有黑白兩種顏色）

例3：將下圖3行7列的方格紙的每格染成紅色、黃色或綠色，要求每列的三個方格所染的顏色互不

相同。請說明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的。

練習

將2行5列的方格紙每一格染成黑色或白色，請說明不管怎么染，至少有兩列染色方式是一樣的。

例4：1至30這30個自然數(shù)中，至少取出多少個數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的和等于31?至少

取出多少個數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的差等于3?

練習

1至20這20個自然數(shù)中，至少取出多少個數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的和等于21?是找取出多

少個數(shù)，才能保證其中一定有兩個數(shù)的差等于5?

課堂練習：

1、五年級有47名學生參加一次數(shù)學競賽，成績都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學生的成績在

60分以下，其余學生的成績均在75?95分之間。問：至少有幾名學生的成績相同？

2、三（二）班有44名學生，他們至少都訂了甲、乙、丙三種報刊中的一種，問至少有多少名學生訂的報刊是相同

的？

家庭作業(yè)

1、箱子里有5種顏色相同的積木，每種都足夠多，那么一次至少要取多少個，才能保證一定有5個

顏色相同？

2、某校五年級一班有54名學生，其中至少有多少同學是在同一周過生日？

3、有紅、黃、藍、白四種顏色的小球混合放在一個布袋里，一次摸出9個小球，至少有多少個小球

的顏色相同？

4、圖書館有甲、乙、丙、丁四類圖書，規(guī)定每個同學最多可以借兩本不同類的圖書，至少有多少個

同學借書，才能保證有兩個人所借的圖書類別相同？

5.一副撲克54張，至少要取出多少張，才能保證其中必有4張點數(shù)相同？

6、一個口袋里裝有紅球10顆，黃球3顆，綠球12顆。從中至少摸出多少顆球，才能保證摸出的球

中3種顏色球都有

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12至多能選出多少個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)

都不是另一個數(shù)的2倍。

第八講列方程解應用題

知識導航

方程：含有未知數(shù)的等式叫方程

列方程解分數(shù)問題：有一些數(shù)量關系比較復雜的分數(shù)應用題，列算式解答比較繁瑣，甚至無法

求出，這時我們可根據(jù)題中的等量關系來列方程解答。

列方程解應用題的一般步驟：

1、讀清題意，設未知數(shù)；（當出現(xiàn)兩個或兩個以上的未知量時，一般用設的這個未知數(shù)去表示其

它的未知量）

2、根據(jù)題意，找準數(shù)量關系；

3、利用數(shù)量關系，建立等量關系；

例1：一次考試，小高比萱萱高6分，但是比卡麗低3分，他們3人的平均分為91分。請問：小高

考了多少分?

練習

甲數(shù)比乙數(shù)的3倍少6,兩數(shù)的平均數(shù)是43。那么乙數(shù)是多少？

例2：阿范和阿統(tǒng)吃餃子，阿范一共要吃90個，而阿統(tǒng)一共要吃100個。如果阿范每分鐘吃3個餃

子，阿統(tǒng)每分鐘吃5個餃子，經(jīng)過若干分鐘后，阿范剩下的餃子數(shù)比阿統(tǒng)剩下的餃子數(shù)的2倍少5

個。請問：這時阿范和阿統(tǒng)各吃了多少個餃子？

練習：箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)比白球數(shù)的3倍多2個，每次從箱子里取出7個白球和

15個紅球。經(jīng)過若干次以后，箱子里剩下3個白球和53個紅球。那么箱子里原有紅、白球各多少個？

例3：給某班分蘋果，第一組每人3個，第二組每人4個，第三組每人5個，第四組每人6個。已知

第二組和第三組共有22人，第一組人數(shù)是第二組的2倍，第三組和第四組人數(shù)相等，總共分出去230

個蘋果。問該班一共有多少人？

練習

司機小王身上帶有1元、2元、5元、10元四種面值的紙幣共82元，其中1元與2元紙幣共22張，

5元和10元紙幣共7張，2元紙幣的張數(shù)是5元紙幣張數(shù)的2.5倍。問：小王身上有多少張10元紙

幣？

例4：小楊去超市里買了一些士力架和德芙，共重266克，共花了30元。已知士力架每塊價格3元,

德芙每塊價格為2元。每塊士力架重35克，每塊德芙重14克。那么小楊各買了多少塊士力架和德芙？

練習

王老師抓了一群外星人，其中火星人有2個頭3個腳，金星人有3個頭5個腳，王老師數(shù)了數(shù)，發(fā)現(xiàn)

總共有34個頭，54個腳。那么請問王老師分別抓了多少個火星人和金星人？

例5：一個分數(shù)，分子與分母的和是122,如果分子、分母都減去19,得到的分數(shù)約分后是：，那么

原分數(shù)是多少？

課堂練習：

1、一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是個位數(shù)字的3倍。如果把這個兩位數(shù)減少36,所得到的數(shù)等于原數(shù)的十

位數(shù)字和個位數(shù)字對調(diào)后的數(shù)。原數(shù)是多少？

2、一個長方形，如果長增加2厘米，寬增加5厘米，那么面積就增加60平方厘米，并且這時恰好變

成一個正方形，原來長方形的面積是多少？

只家庭作業(yè)

4x+34

1、解方程:(1)2(x+2)=3x+l(2)

4x+l3

(6x+7y=23(3x+2y=19

2、解方程：(1)(14x+17y=55(2)bx-18y=33

3、一個數(shù)的5倍加上3等于這個數(shù)的8倍減去6,這個數(shù)是多少？

4、哥哥有180元，弟弟有100元?，F(xiàn)在兩人花去同樣多的錢后，剩下的錢數(shù)，哥哥是弟弟的3倍。

哥哥和弟弟各花去多少錢？

5.五一班同學合買一件禮物送給敬老院的老爺爺和老奶奶。如果每人出6元，則多48人；如果每人

出4.5元，則少27元。五一班學生有多少人？

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是個位數(shù)字的3倍。如果把這個兩位數(shù)減少36,所得到的數(shù)等于原數(shù)的十位

數(shù)字和個位數(shù)字對調(diào)后的數(shù)。原數(shù)是多少？

第九講牛吃草問題

知識導航

牛吃草問題是英國大物理學家牛頓提出來的數(shù)學名題,也叫牛頓問題。這類題是講牛在一片勻速

生長的草地上吃草，假設每頭牛每天的吃草量相同，那么草地上除了原有的草，還有新長出來的草，

而且又被牛每天消耗一部分，也就是說隨著時間的變化，我們考察的量也在不斷的變化，這就給我們

解答這類應用題帶來了難度。此類問題，由于解題思路具有一定的規(guī)律和模式，只要認真學習，仔細

分析，就能掌握這類問題的特點和解答方法，正確解答。

解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長，時間愈長，草的總量越

多。草的總量是由兩部分組成的：①某個時間期限前草場上原有的草量；②一段時間內(nèi)草場均勻生長

而新增的草量。因此，我們在解答這類題時必須設法找出這兩個量來：即原有的草量和牧場上新增的

草量。然后將牛分出一部分吃新生長的草，另一部分牛吃原有的草，吃原有草所用的時間就是這片草

地能吃多少時間。

同一片牧場中的牛吃草問題。一般的解法是：

兩種吃草方式的草總量之差小時間差=生長速度

一種吃法的草總量-一段時間草生長總量=原有草量

原有草量土（牛的頭數(shù)-吃新生草牛頭數(shù)）=能吃的時間

或：原有草量所需牛的頭數(shù)+吃新草頭數(shù)=所需牛的頭數(shù)

列猿a例題精講

例1：英國大科學家牛頓提出過一個極有趣味的問題：“一片勻速生長的草地，10頭牛20天吃完，或

者15頭牛10天吃完。問：可供25頭牛吃幾天？”

練習

牧場上有一片勻速生長的草地，27頭牛6天吃完，或者23頭牛9天吃完。如果是21頭牛，幾天可

以吃完？

例2：有一片牧場，草每天都在均勻的生長（即每天增長的草相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完

牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草；如果有一群牛12天把牧草吃完，那么這群牛有多少頭？

練習：一水池有一根進水管，有若干根相同的抽水管，進水管不間斷地進水，當水池裝滿時，若用

24根抽水管抽水，6小時即可把池中的水抽干；若用21根水管抽水，8小時可將池中的水抽干，那

么用16根抽水管，多少小時可將水池中的水抽干？

例3：畫展9點開門，但早有人來排隊等候，從第一個觀眾到時起，每分鐘來的觀眾一樣多。如果開

3個入場口，9點9分就不再有人排隊等候；如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊等候。那么

第一個觀眾到的時間是8點多少分？

練習

畫展8:30開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開

3個入場口，9點就不再有人排隊；如果開5個入場口，8點45分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達

的時間。

例4：某村有一塊草場，假設每天草都勻速生長，這片草場經(jīng)過測算可供100只羊吃200天，或供150

只羊吃100天。問：放牧250只羊可以吃多少天？放牧這么多羊?qū)?？為防止草場沙漠化，這片草場

最多可以放牧多少只羊？

練習

有一片牧場，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧場可供16頭大牛吃20天，或者可供80頭小牛吃10

天。如果一頭大牛的吃草量等于3頭小牛的吃草量，那么12頭大牛與60頭小牛一起吃草可以吃多少

天？

例5：兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級梯級，女孩每秒可走2級梯

級，結果從扶梯的一端到達另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問：該扶梯共有多少級梯級？

練習、自動扶梯以均勻的速度由下向上行駛，兩個頑皮的孩子從自動扶梯行駛的方向行走上樓，男孩

每分鐘可走20級梯級，女孩每分鐘可走15級梯級，結果男孩上樓用了5分鐘，女孩上樓用了6分鐘。

問：該自動扶梯共有多少梯級？

課堂練習：

1、一水庫原有存水量一定，河水每天入庫。5臺抽水機連續(xù)20天抽干，6臺同樣的抽水機連續(xù)15

天可抽干，若要6天抽干，要多少臺同樣的抽水機？

2、現(xiàn)在欲將一池塘的水全部抽干，但同時有水勻速流入池塘。若用8臺抽水機10天可以抽完，用6

臺抽水機20天可以抽干。問：；若要5天抽干池塘，需要多少臺同樣的抽水機來抽水？

1、一片均勻生長的草地，可供27頭牛吃6天，或者供23頭牛吃9天，那么可供多少頭牛吃3天?

2、有一片牧場，草每天都在均勻地生長（即每天增長的草相等），如果放牧5頭牛，則30天吃完牧

草；如果放牧8頭牛，則12天吃完牧草；如果放牧6頭牛，多少天可以吃完牧草？

3、有一眼泉水，用功率一樣的3部抽水機去抽，同時打開40分鐘可以抽完；用這樣的6部抽水機,

同時打開16分鐘可以抽干。用這樣的9部抽水機同時抽多少分鐘可以抽干？

4、有一片牧場，草每天都在均勻的生長（即每天增長的草相等），如果放牧10頭牛，則20天吃完牧

草；如果放牧15頭牛，則10天吃完牧草；如果牛5天把牧草吃完，那么牧場上放了多少頭牛？

5.食堂里有一批糧食，并且每天運進的糧食一樣多，如果50人吃，10天可以吃完；如果45人吃,

20天可以吃完。那么多少人25天可以吃完？

6、一只船有一個漏洞，水以均勻的速度流進船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水，如果用12人淘水3

小時，可以淘完，如果只用5個人淘水要10小時才能淘完。現(xiàn)在要想2小時淘完，需要多少人？

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

由于天氣逐漸變冷，牧場上的草不僅不長，反而每天以固定速度在減少。已知草地上的草可供20頭

牛吃5天，或者15頭牛吃6天，那么可供多少頭牛吃10天？

第十講環(huán)形路線

知識導航

行程問題是專門講物體運動的速度、時間、路程三者關系的應用題。速度是在單位時間內(nèi)所行的

路程。行程問題的主要數(shù)量關系是：路程=速度X時間。知道三個量中的兩個量就能求出第三個量。

“相遇問題”是行程問題中的一種，它研究的對象是兩個物體相向行駛的運動，所包含的內(nèi)容豐富、千

變?nèi)f化。相遇問題的基本關系式是：

路程和=速度和X相遇時間

相遇時間=路程和?速度和

速度和=路程和+相遇時間

兩個同向運動的物體，速度慢的在前，速度快的過了一段時間就能追上他，這就產(chǎn)生了”追及問

題“。追及問題的基本關系式是：

路程差=速度差X追及時間

追及時間=路程差小速度差

速度差=路程差?追及時間

在環(huán)形跑道上，快者從背后追上慢者時路程差就是一圈。第幾次追上路程差就是幾圈。

一例題精講

例1：黑白兩只小貓沿著周長為300米的湖邊跑步，黑貓的速度是每秒5米，白貓的速度是每秒7米。

若兩只貓同時從同一點出發(fā)，背向而行那么多少秒后第一次相遇？如果它們繼續(xù)不停的跑下去，2分

鐘內(nèi)一共會相遇多少次？最后一次相遇時距離出發(fā)點多遠？

練習

在420米的圓形跑道上，甲乙兩人從同一點出發(fā)，背向而行，甲的速度是每秒8米，乙的速度是每秒

6米；那么兩人第8次相遇時，距離出發(fā)點多遠？

例2：一個周長是40米的圓形跑道，甲沿著水池散步，每秒鐘走1米；甲乙沿著水池跑步，每秒鐘

走3.5米；甲乙兩人從同一地點同時出發(fā)，同向而行。當乙第8次追上甲時，他還要跑多少米才能回

到出發(fā)點？

練習：一環(huán)形跑道周長為400米，甲乙兩名運動員同時順時針自起點出發(fā)，甲每分鐘跑300米，乙每

分鐘跑275米。甲第4次追上乙時距離起點多少米？

例3：甲乙兩人在400米的環(huán)形跑道上，甲以每分鐘300米的速度從起點跑出，1分鐘后，乙以每分

鐘280米的速度從起點通向跑出。請問：甲出發(fā)后多少分鐘第一次追上乙？如果追上后他們的速度保

持不變，甲還需要再經(jīng)過多少分鐘后才能第10次追上乙？

練習

周長為400米的圓形跑道上跑步，有相距100米的AB兩點。甲乙兩人分別從A、B兩點同時相背而

行，速度分別是每秒3米和每秒2米。多少秒后兩人第一次相遇？如果相遇后兩人的速度保持不變，

再過多少秒兩人第10次相遇？

例4：甲乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點A、B開始，同時勻速反向繞此圓形路線運動，當乙

走了100米后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處第二次相遇。求此圓形場地的周長。

練習

如圖，有一個環(huán)形跑道，甲乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，且乙的速度快于甲，第一次相遇

在距離A點100米處的C點，第二次相遇在距離B地200米處的D點。已知A、B長是跑道總長的四

分之一，請問跑道周長為多少米？

例5：小鹿和小山羊在某個環(huán)形跑道上練習跑步，小鹿比小山羊稍快。如果從同一起點出發(fā)背向而行,

1小時后正好第5次相遇；如果從同一起點出發(fā)同向而行，那么經(jīng)過1小時才第一次追上。請問：小

鹿和小山羊跑一圈各需要多少時間？

練習

一個正方形水池，阿呆和阿瓜兩人分別從水池的兩個墻角出發(fā)，阿呆每秒鐘行5米，阿瓜每秒鐘行3

米，問：阿呆第一次見到阿瓜時，阿瓜距離出發(fā)點多少米？

課堂練習：

1、甲、乙兩車同時從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B地64千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以

原速繼續(xù)行駛，并且在到達對方出發(fā)點后，立即沿原路返回，途中兩車在距A地48千米處第二次相

遇，問兩次相遇點相距多少千米？

2、學校操場一圈是400米。小明和小聰同時從操場上同地同向跑步，小明過10分鐘第一次從小聰身

后追上小聰。若二人同時從同一點反向而行，只要2分鐘就相遇，求兩人的速度各是多少

家庭作業(yè)

1、甲乙兩人在600米長的環(huán)形跑道上各自以不變的速度慢跑。如果兩人同時從同地相背而行，4分

鐘后兩人第一次相遇。已知甲跑一周需要6分鐘，那么乙跑一周需要多少時間？

2、甲乙兩人在一個周長為180米的環(huán)形跑道上跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。如果兩人從同

一點同時出發(fā)反向跑步，多少秒后第一次相遇？再經(jīng)過多少秒，兩人第二次相遇？在10分鐘內(nèi)兩人

相遇多少次？

3、有一個圓形跑道，甲乙二人同時從同一點沿同一方向出發(fā)。當甲跑完7圈到達出發(fā)點時恰好第二

次追上乙。如果甲的速度是每秒14米，那么乙每秒跑多少米？

4、有一個周長是80米的圓形水池。甲沿著水池散步，速度是每秒1米；乙沿著水池跑步，速度為每

秒2.2米，并且與甲的方向相反。如果他倆從同一地點同時出發(fā)，那么當乙第八次遇到甲時，還要跑

多少米才能回到出發(fā)點？

5.甲乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端AB開始，同時勻速反向繞此圓形路線運動。當甲走了160

米以后，他們第一次相遇；在乙走過A后20米的D處又第二次相遇。求此圓形場地的周長。

6.兩名運動員在湖周圍環(huán)形道上練長跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，兩人同時同地同向出發(fā),

經(jīng)過45分甲追上乙。如果兩人同時同地反方向出發(fā)，經(jīng)過多少分兩人相遇？

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

甲乙丙三人，甲每分行80米，乙每分行70米，丙每分行60米。如果甲從A地，乙，丙從B地，三

人同時出發(fā)相向而行，途中甲與乙先相遇，后再經(jīng)過10分鐘甲、丙相遇。那么，A,B之間的路程是

多少米？

第十一講整數(shù)裂項

知識導航

有些較長的復雜的數(shù)列求和，單靠硬算是很難計算得到結果的，同時也沒有公式可以直接用來計算結

果，例如計算所以Ix2+2x3+3x4+…+9x10,這時就可以用“裂項”的方法進行求解，裂項的本質(zhì)

是“湊、抵、消”，通過把一項分拆成兩項的差，使得相鄰兩項有共同可以抵消的部分，相加抵消運

算。例如上題，可以如下操作：

1X2=(1X2X3-0X1X2)+3

2x3=(2x3x4-lx2x3)+3

3x4=(3x4x5-2x3x4)+3

8X9=(8X9X10-7X8X9)4-3

9x10=(9x10x11-8x9x10)+3

將上述所有算式相加后提取公除數(shù)，括號內(nèi)前后一加一減相互抵消，最后得到

原式=Ix2+2x3+3x4+—1-9x10=(9x10x11-0x1x2)4-3

所皿x2+2x3+3x4+…+9x10=9x10x11+3=330

例1：計算：Ix2+2x3+3x4+…+19x20

練習

計算：Ix2+2x3+3x4+…+49x50

例2：計算：11x12+12x134-13x144--+99x100

練習：計算：7x8+8x9+9x10+…+49x50

例3：計算：⑴2x4+4*6+6x8+…+28x30

練習

⑴2x4+4x6+6x8+…+22x24

例4：計算：⑴4x7+7x10+10x13+…+40x43

練習

⑴5x10+10x15+15x20+…+50x55

課堂練習：

1、1X3+3X5+5X7H-----F27x29

2、1X3+3X5+5X7H-----F-9xl1

1、計算：Ix2+2x3+3x4+…+10x11

2、計算：2x4+4x6+6x8+…+20x22

3、計算：Ix3+3x5+5x7+…+11x13

4、計算：4x7+7x10+10*13+…+22x25

挑戰(zhàn)自我：★★★★★

1x2x3+2x3x4+3x4x5H----1-18x19x20

第十二講數(shù)的整除

1、整除的性質(zhì)(用a,b,c表示不為0的任意整數(shù))

(1)若c能整除a,又能整除b,則c能整除(a士b)。

⑵若b能整除a,c能整除a,且b、C互質(zhì)，則be能整除a。

⑶若b能整除a,c能整除b,則c能整除a。

2、數(shù)的整除特征：

(1)2、5、3倍數(shù)的特征.

(2)一個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和是9的倍數(shù)，則這個整數(shù)是9的倍數(shù)。

⑶一個整數(shù)的未兩位數(shù)是4或25的倍數(shù)，則這個數(shù)就是4或25的倍數(shù)。

(4)一個整數(shù)的末三位數(shù)是8或125的倍數(shù)，則這個數(shù)能是8或125的倍數(shù)。

(5)一個整數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字與偶數(shù)位上的數(shù)字之差是11的倍數(shù)，則這個數(shù)是11的倍數(shù)。

(6)一個整數(shù)末三位與前幾位的差(如果還大于三位又繼續(xù)進行)，是7、11、13的倍數(shù)，則這

個數(shù)就是7、11、13的倍數(shù)。

(7)因為石嬴、=詼義1001,7X11X13=1001,所以而說是7、11、13的倍數(shù)。

例1：求出下面各題的未知數(shù)所表示的數(shù)字，使得

(1)2581-4,能被2整除，又能被3整除；

(2)3604x,能被3整除，又能被5整除；

(3)278取,能同時被2,3,5整除；

(4)43x8y,能同時被5,9整除；

練習

在下面各題字母填上適當?shù)臄?shù)字，使得

(1)3247x,能同時被2,3整除；

(2)436孫,能同時被2,3,5整除。

例2：如果有一類六位數(shù)569盯z能同時被3,4,5整除，那么這類數(shù)中最小的一個是多少？

練習：在358后面添上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它分別能被3,4,5整除。那么，這樣的六位

數(shù)中最大的一個是多少？

例3：。8919匕能被66整除，這個六位數(shù)是多少？

練習

在724左邊添一個數(shù)字a,右邊添一個數(shù)字b,組成五位數(shù)。724項如果這個五位數(shù)是12的倍數(shù)，那

么的最大值是多少？

例4：一位采購員買了72只同樣的水桶，洗衣服時不慎將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：72只水

桶，共口67.9口元（口內(nèi)的數(shù)字洗爛了），請你幫他算一算，□內(nèi)的數(shù)字是幾？每只水桶到底多少錢？

練習

陳老師一共為學校買了