新高考數(shù)學一輪復習講與練第26講 統(tǒng)計（講）（解析版）

第1講統(tǒng)計本講為高考命題熱點，分值17分，題型以解答題為主，選擇題多出現(xiàn)于高考前六題選擇題中，或多選題前兩個題，填空題的第一二題，相對來說較為簡單，但近幾年概率統(tǒng)計也與數(shù)列，導數(shù)等其他知識點結(jié)合，提高了難度，或者與現(xiàn)實生活結(jié)合，主要考查抽樣，分層抽樣，古典概型，頻率分布直方圖，分布列，獨立性檢驗與回歸方程等內(nèi)容，需要一定的邏輯推理能力與運算求解能力。高頻考點一求線性回歸方程【例1】我國北方廣大農(nóng)村地區(qū)、一些城鎮(zhèn)以及部分大中城市的周邊區(qū)域，還在大量采用分散燃煤和散燒煤取暖，既影響了居民基本生活的改善，也加重了北方地區(qū)冬季的霧霾天氣．推進北方地區(qū)冬季清潔取暖，是重大民生工程、民心工程，關(guān)系北方地區(qū)廣大群眾溫暖過冬，關(guān)系霧霾天能不能減少，是能源生產(chǎn)和消費革命、農(nóng)村生活方式革命的重要內(nèi)容．2017年9月國家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價格扶植新政策，從而使得煤改氣、煤改電用戶大幅度增加．圖1所示的條形圖反映了某省2018年1~7月份煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量．(1)在圖2給定坐標系中作出煤改氣、煤改電用戶數(shù)量y隨月份t變化的散點圖，并用散點圖和相關(guān)系數(shù)說明y與t之間具有線性相關(guān)性；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】（1）作出散點圖如圖所示．由條形圖數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)性相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．（2）由SKIPIF1<0，又由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以y關(guān)于t的回歸方程為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入回歸方程得SKIPIF1<0．所以預(yù)測11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量達到2.02萬戶．【變式訓練】1.(2022·福州市第一學期抽測)隨著我國中醫(yī)學的發(fā)展，藥用昆蟲的使用相應(yīng)愈來愈多．每年春暖以后至寒冬前，昆蟲大量活動與繁殖，易于采集各種藥用昆蟲．已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(單位：個)與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位：℃)有關(guān)，于是科研人員在3月份的31天中隨機挑選了5天進行研究，現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的5組觀測數(shù)據(jù)如下表：日期2日7日15日22日30日溫度x/℃101113128產(chǎn)卵數(shù)y/個2325302616(1)從這5天中任選2天，記這2天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．(2)科研人員確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中任選2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．①若選取的是3月2日與30日這2組的數(shù)據(jù)，請根據(jù)3月7日、15日和22日這3組的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2個，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問①中所得的線性回歸方程是否可靠？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)依題意得，m，n的所有情況有{23,25}，{23,30}，{23,26}，{23,16}，{25,30}，{25,26}，{25,16}，{30,26}，{30,16}，{26,16}，共10個．設(shè)“m，n均不小于25”為事件A，則事件A包含的所有情況有{25,30}，{25,26}，{30,26}，共3個，所以P(A)＝eq\f(3,10)，故事件“m，n均不小于25”的概率為eq\f(3,10).(2)①由已知數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝12，eq\x\to(y)＝27，eq\i\su(i＝1,3,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝5，eq\i\su(i＝1,3,)(xi－eq\x\to(x))2＝2，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,3,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,3,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(5,2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\f(5,2)eq\x\to(x)＝27－eq\f(5,2)×12＝－3.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)x－3.②由①知，y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)x－3.當x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)×10－3＝22，|22－23|<2，當x＝8時，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)×8－3＝17，|17－16|<2.所以①中所得的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(5,2)x－3是可靠的．高頻考點二相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用【例2】(2022·合肥市第二次質(zhì)量檢測)為了了解A地區(qū)足球特色學校的發(fā)展狀況，某調(diào)查機構(gòu)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：年份x20142015201620172018足球特色學校數(shù)y/百個0.300.601.001.401.70(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與x的線性相關(guān)性強弱(已知：0.75≤|r|≤1，則認為y與x線性相關(guān)性很強；0.3≤|r|<0.75，則認為y與x線性相關(guān)性一般；|r|≤0.25，則認為y與x線性相關(guān)性較弱)；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測A地區(qū)2019年足球特色學校的個數(shù)(精確到個)．參考公式及數(shù)據(jù)：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝10，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝1.3，eq\r(13)≈3.6056，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).[解](1)eq\x\to(x)＝2016，eq\x\to(y)＝1，r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(－2×－0.7＋－1×－0.4＋1×0.4＋2×0.7,\r(10)×\r(1.3))＝eq\f(3.6,3.6056)>0.75，∴y與x線性相關(guān)性很強．(2)eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(3.6,10)＝0.36，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝1－0.36×2016＝－724.76，∴y關(guān)于x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36x－724.76.當x＝2019時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.36×2019－724.76＝2.08，即A地區(qū)2019年足球特色學校約有208個．【方法技巧】模型擬合效果的判斷(1)殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．(2)相關(guān)指數(shù)R2越大，模型的擬合效果越好．(3)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關(guān)性越強．【變式訓練】1.(2022·貴陽市第一學期監(jiān)測)互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一調(diào)查機構(gòu)針對該市市場占有率較高的甲、乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡稱外賣甲、外賣乙)的經(jīng)營情況進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：1日2日3日4日5日外賣甲日接單x/百單529811外賣乙日接單y/百單2310515(1)試根據(jù)表格中這五天的日接單量情況，從統(tǒng)計的角度說明這兩家外賣企業(yè)的經(jīng)營狀況；(2)據(jù)統(tǒng)計表明，y與x之間具有線性關(guān)系．①請用相關(guān)系數(shù)r對y與x之間的相關(guān)性強弱進行判斷(若|r|>0.75，則可認為y與x有較強的線性相關(guān)關(guān)系(r值精確到0.001))；②經(jīng)計算求得y與x之間的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.382x－2.674，假定每單外賣業(yè)務(wù)，企業(yè)平均能獲取純利潤3元，試預(yù)測當外賣乙日接單量不低于25百單時，外賣甲所獲取的日純利潤的大致范圍(x值精確到0.01)．相關(guān)公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝66，eq\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)eq\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2)≈77.解：(1)由題可知eq\x\to(x)＝eq\f(5＋2＋9＋8＋11,5)＝7(百單)，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋10＋5＋15,5)＝7(百單)．外賣甲的日接單量的方差seq\o\al(2,甲)＝10，外賣乙的日接單量的方差seq\o\al(2,乙)＝23.6，因為eq\x\to(x)＝eq\x\to(y)，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，即外賣甲平均日接單量與外賣乙相同，且外賣甲日接單量更集中一些，所以外賣甲比外賣乙經(jīng)營狀況更好．(2)①計算可得，相關(guān)系數(shù)r≈eq\f(66,77)≈0.857>0.75，所以可認為y與x之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系．②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，解得x≥20.02，又20.02×100×3＝6006，所以當外賣乙日接單量不低于25百單時，外賣甲所獲取的日純利潤大約不低于6006元.高頻考點三獨立性檢驗【例3】(2022·福州市質(zhì)量檢測)中國房地產(chǎn)業(yè)協(xié)會主辦的中國房價行情網(wǎng)調(diào)查的一份數(shù)據(jù)顯示，2018年7月，大部分一線城市的房租租金同比漲幅都在10%以上．某部門研究成果認為，房租支出超過月收入eq\f(1,3)的租戶“幸福指數(shù)”低，房租支出不超過月收入eq\f(1,3)的租戶“幸福指數(shù)”高．為了了解甲、乙兩小區(qū)租戶的幸福指數(shù)高低，隨機抽取甲、乙兩小區(qū)的租戶各100戶進行調(diào)查．甲小區(qū)租戶的月收入以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15](單位：千元)分組的頻率分布直方圖如圖所示．乙小區(qū)租戶的月收入(單位：千元)的頻數(shù)分布表如下：月收入[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15]戶數(shù)38272492(1)設(shè)甲、乙兩小區(qū)租戶的月收入相互獨立，記M表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元，乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”，把頻率視為概率，求M的概率；(2)利用頻率分布直方圖，求所抽取的甲小區(qū)100戶租戶的月收入的中位數(shù)；(3)若甲、乙兩小區(qū)每戶的月租費分別為2千元、1千元．請根據(jù)條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并說明能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“幸福指數(shù)與租住的小區(qū)”有關(guān).幸福指數(shù)低幸福指數(shù)高總計甲小區(qū)租戶乙小區(qū)租戶總計附：臨界值表P(K2≥k)0.100.0100.001k2.7066.63510.828參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)記A表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元”，記B表示事件“乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”，甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元的頻率為(0.060＋0.160)×3＝0.66，故P(A)的估計值為0.66.乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元的頻率為eq\f(24＋9＋2,100)＝0.35，故P(B)的估計值為0.35.因為甲、乙兩小區(qū)租戶的月收入相互獨立，事件M的概率的估計值為P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.(2)設(shè)甲小區(qū)所抽取的100戶的月收入的中位數(shù)為t，則0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，解得t＝5.(3)設(shè)H0：幸福指數(shù)與租住的小區(qū)無關(guān)，幸福指數(shù)低幸福指數(shù)高總計甲小區(qū)租戶6634100乙小區(qū)租戶3862100總計10496200根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝eq\f(200×66×62－34×382,100×100×104×96)≈15.705>10.828，所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“幸福指數(shù)與租住的小區(qū)”有關(guān)．【變式訓練】1．(2022·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)為推動更多人去閱讀和寫作，聯(lián)合國教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”，其設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人，無論你是年老還是年輕，無論你是貧窮還是富裕，都能享受閱讀的樂趣，都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻的思想大師們，都能保護知識產(chǎn)權(quán)．為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機調(diào)查了200名居民，這200人中通過電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3∶1.將這200人按年齡(單位：歲)分組，統(tǒng)計得到通