醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)直線相關(guān)與回歸分析

直線相關(guān)與回歸LinearCorrelationandregressionAnalysis人的體重往往隨著身高的增加而增加。二者之間是否存在某種關(guān)聯(lián)？如果存在，可否用身高來推測體重的多少？人的肺活量往往隨著胸圍的增加而增加。是否可以建立胸圍和肺活量的數(shù)量關(guān)系？還有：年齡與血壓、藥物劑量與動(dòng)物死亡率、胰島素與血糖水平的關(guān)系等在醫(yī)學(xué)研究中常需要探討兩個(gè)變量之間有無關(guān)系，直線相關(guān)與回歸分析就是研究上述現(xiàn)象之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法。若兩個(gè)變量分不清主與從，相互間的關(guān)系是平行的并呈直線關(guān)系，稱直線相關(guān)兩個(gè)變量之間若是一個(gè)變量依賴另一個(gè)變量的變化而變化，變量間是主從關(guān)系，并且呈直線關(guān)系，稱直線回歸直線相關(guān)分析案例

現(xiàn)有15例糖尿病患者，測得每位患者的胰島素（mU/L）和血糖（mmol/L）水平，如下序號1234567胰島素16131910111825血糖8.411.27.512.813.78.27.889101112131415716102417817915.79.610.68.49.413.610.414.1試問糖尿病患者胰島素水平與其血糖水平之間有無關(guān)系？如何進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析？糖尿病患者胰島素水平與其血糖水平之間是否存在數(shù)量依存關(guān)系，能否建立直線回歸方程？問題當(dāng)兩個(gè)數(shù)值變量之間出現(xiàn)如下情況：當(dāng)一個(gè)變量改變，另一個(gè)也隨之發(fā)生改變，我們稱這種現(xiàn)象為共變，也就是有相關(guān)關(guān)系。若兩個(gè)變量同時(shí)增加或減少，變化趨勢是同向的，則兩變量之間的關(guān)系為正相關(guān)(positivecorrelation)；若一個(gè)變量增加時(shí)，另一個(gè)變量減少，變化趨勢是反向的，則稱為負(fù)相關(guān)(negativecorrelation)。ρ=0ρ=0ρ＝-1ρ＝1完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)零相關(guān)零相關(guān)0<ρ<1-1<ρ<0ρ=0ρ=0零相關(guān)正相關(guān)負(fù)相關(guān)零相關(guān)直線相關(guān)的圖示直線相關(guān)的概念直線相關(guān)（linearcorrelation），又稱簡單相關(guān)，用以描述兩個(gè)呈正態(tài)分布的變量之間的線性共變關(guān)系，常簡稱為相關(guān)。直線相關(guān)系數(shù)的概念用以說明具有直線關(guān)系的兩個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度和相關(guān)方向的指標(biāo)，稱為相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient），又稱為積差相關(guān)系數(shù)（coefficientofproduct-momentcorrelation），Pearson相關(guān)系數(shù)?？傮w相關(guān)系數(shù)用希臘字母ρ表示，而樣本相關(guān)系數(shù)用r表示，取值范圍均為[-1,1]。r=-1-1<r<0r=0直線相關(guān)的圖示與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系0<r<1

r=1數(shù)值大小表示密切程度ρ1或-1，表示兩變量關(guān)系越密切

ρ=1或-1，表示完全相關(guān)ρ0，表示兩變量關(guān)系越不密切

ρ=0，表示無相關(guān)正負(fù)表示方向+，表示正相關(guān)，即y隨x的增加而增加或y隨x的減少而減少-，表示負(fù)相關(guān)，即y隨x的增加而減少或y隨x的減少而增加直線相關(guān)系數(shù)的計(jì)算相關(guān)系數(shù)沒有單位，其值介于【-1，1】之間r=1或-1(X,y)c-1＜r＜1其中y-y>0x-x<0(x,y)(x,y)x-x>0y-y<0y-y>0x-x<0(x,y)(x,y)x-x>0y-y<0假定從總體相關(guān)系數(shù)ρ=0的總體中隨機(jī)抽樣，由于存在抽樣誤差，所得樣本相關(guān)系數(shù)不一定全為零。故此，求得一個(gè)樣本相關(guān)系數(shù)值后，仍需進(jìn)行總體相關(guān)系數(shù)是否為零的假設(shè)檢驗(yàn)。相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)H0：ρ＝0，兩變量間無直線相關(guān)的關(guān)系；H1：ρ≠0。t檢驗(yàn)法H0：ρ＝0，兩變量間無直線相關(guān)的關(guān)系；H1：ρ≠0，兩變量間有直線相關(guān)的關(guān)系；α=0.05ν=15-2=13以自由度為13查t界值表，t0.001/2,13=4.221,t>t0.001/2,13，得P<0.001，按α=0.05的水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為患者胰島素與血糖水平之間存在相關(guān)關(guān)系。查表法求得后r，按γ=n-2，查相關(guān)系數(shù)r界值表，做出統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論。H0、H1、α同上，以r=-0.8777，γ=13，直接查相關(guān)系數(shù)界值表，得r0.01/2,13=0.641，r>r0.01/2,13

，p<0.01，結(jié)論同前。例在腦血管疾病的診斷治療中，腦脊液白細(xì)胞介素-6（IL-6）水平是影響診斷與預(yù)后分析的一項(xiàng)重要指標(biāo)，但腦脊液臨床上有時(shí)又不容易采集到。某醫(yī)生欲了解急性腦血管病病人血清與腦脊液IL-6水平，隨機(jī)抽取了某醫(yī)院確診的10例蛛網(wǎng)膜下腔出血（SAH）患者24小時(shí)內(nèi)血清IL-6（pg/ml）和腦脊液IL-6（pg/ml）數(shù)據(jù)如下，問SAH患者血清IL-6和腦脊液IL-6間是否有直線相關(guān)關(guān)系存在？直線相關(guān)分析步驟：1.繪制散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)有無橢圓形趨勢存在。直線回歸血糖隨胰島素水平的增加而呈下降趨勢。即便具有相同的胰島素水平，其血糖值也不一定相同。因此，雖然它們之間有數(shù)量關(guān)系，但并非確定性的數(shù)量關(guān)系。所謂確定性關(guān)系是指兩變量間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。已知一個(gè)變量的值，另一個(gè)變量的值可以通過這種函數(shù)關(guān)系精確計(jì)算出來。非確定性關(guān)系是指兩變量在宏觀上存在關(guān)系，但并未精確到可以用函數(shù)關(guān)系來表達(dá)。直線回歸的定義宏觀上來講，他們呈直線關(guān)系，但并不能用來描述。所以我們用“hat”表示估計(jì)值，給定x時(shí)y的條件均數(shù)

Y因變量，響應(yīng)變量

(dependentvariable,responsevariable)

X自變量，解釋變量

(independentvariable,explanatoryvariable)

b回歸系數(shù)

(regressioncoefficient,slope)a截距

(intercept)不同斜率時(shí)回歸直線的表現(xiàn)XY直線回歸方程的求解：最小二乘原理63直線回歸方程的求解最小二乘法

（LeastSquareMethod）直線回歸方程的求解b的含義

b的含義：胰島素每增加1mU/L，血糖平均下降0.4154mmol/L。631個(gè)單位B個(gè)單位殘差a的意義a截距(intercept,constant)X=0時(shí)，Y的估計(jì)值16.8525a的單位與Y值相同當(dāng)X可能取0時(shí)，a才有實(shí)際意義。直線回歸方程和回歸系數(shù)的檢驗(yàn)針對回歸方程的檢驗(yàn)：F檢驗(yàn)針對回歸系數(shù)b的檢驗(yàn)：t檢驗(yàn)回歸系數(shù)也有抽樣誤差！雖然b≠0，但由于抽樣誤差引起，總體回歸系數(shù)β=0估計(jì)總體回歸系數(shù)的95%的可信區(qū)間。決定系數(shù)X因變量總變異的分解Y的總變異分解Y的總變異分解

直線回歸方程的F檢驗(yàn)變異來源SSνMSF回歸74.808174.80843.645剩余22.284131.714總變異97.05614直線回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)總體回歸系數(shù)

=0，則回歸關(guān)系不存在。H0：總體回歸系數(shù)為0，

=0；H1：總體回歸系數(shù)不為0，

0；

=0.05。公式

，υ＝n－2t檢驗(yàn)回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差SbSb為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差編號胰島素X血糖Y估計(jì)值殘差1168.410.211-1.81121311.211.456-0.2563197.58.966-1.46641012.812.7020.09951113.712.2861.4146188.29.381-1.1817257.86.4751.3258715.713.9471.753估計(jì)值與殘差編號胰島素X血糖Y估計(jì)值殘差9169.610.211-0.611101010.612.702-2.10211248.46.8901.51012179.49.796-0.39613813.613.5320.068141710.49.7960.60415914.113.1170.983合計(jì)220161.4161.466-0.000估計(jì)值與殘差編號胰島素X血糖Y估計(jì)值殘差平方和1168.410.2113.279721311.211.4560.06553197.58.9662.149241012.812.7020.009851113.712.2861.99946188.29.3811.39487257.86.4751.75568715.713.9473.0730估計(jì)值與殘差估計(jì)值與殘差編號胰島素X血糖Y估計(jì)值

殘差平方和9169.610.2110.3733101010.612.7024.418411248.46.8902.280112179.49.7960.156813813.613.5320.0046141710.49.7960.364815914.113.1170.9663合計(jì)220161.4161.46622.2914殘差平方和(residualsumofsquares).綜合表示點(diǎn)距直線的距離。在所有的直線中，回歸直線的殘差平方和是最小的。(最小二乘)

的意義剩余（殘差）標(biāo)準(zhǔn)差SY|X

SY|X

度量了實(shí)際散點(diǎn)遠(yuǎn)離回歸直線的離散程度，反映了模型的可靠性。越小模型越好。

SY|X為Y的剩余標(biāo)準(zhǔn)差——扣除X的影響后Y的變異程度。

Y的剩余標(biāo)準(zhǔn)差——扣除X的影響后Y（即回歸所能解釋的部分）本身的變異程度直線回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)H0：總體回歸系數(shù)

＝0；H1：總體回歸系數(shù)

≠0；

=0.05

按

=13查t界值表，t0.05/2,13=2.160，t0.01/2,13=3.012，t>t0.01/2,13，得P<0.01。按

=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1。認(rèn)為胰島素和血糖存在直線回歸關(guān)系。

=15-2=13直線回歸中三種假設(shè)檢驗(yàn)間的關(guān)系在直線回歸中，相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，等價(jià)于回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，等價(jià)于方差分析中F值的平方根。tr=tb=6.60總體回歸系數(shù)95%的可信區(qū)間當(dāng)b=-0.2795時(shí)當(dāng)b=-0.5513時(shí)確定系數(shù)或決定系數(shù)Page72Y的總變異可以用回歸來解釋的部分即與X有關(guān)的部分不能用X來解釋的部分即與X無關(guān)的部分（隨機(jī)誤差）份額的大小可以用相關(guān)系數(shù)的平方來衡量（決定系數(shù)）總回SSSSr=2估計(jì)值的意義給定X時(shí)，Y的均數(shù)的估計(jì)值。X=10,=12.7015

即胰島素為10mU/L，平均血糖值為

12.7015mmol/LX=15,=10.626

即胰島素為15mU/L，平均血糖值為

10.626mmol/L當(dāng)時(shí)，Page74與直線回歸有關(guān)的區(qū)間估計(jì)估計(jì)值的可信區(qū)間估計(jì)個(gè)體值Y的容許區(qū)間估計(jì)Page75復(fù)習(xí)可信區(qū)間容許區(qū)間均數(shù)的可信區(qū)間：均數(shù)

界值×標(biāo)準(zhǔn)誤個(gè)體的容許區(qū)間(參考值范圍):

均數(shù)

界值×標(biāo)準(zhǔn)差Page76

的可信區(qū)間估計(jì)

樣本總體Y的總平均給定X時(shí)Y的平均

(Y的條件均數(shù))

根據(jù)

t分布原理：Page77Page78標(biāo)準(zhǔn)誤不僅與誤差有關(guān)，而且與回歸系數(shù)b的誤差有關(guān)Page79X=10時(shí)，求的95%可信區(qū)間=14.667，lXX=433.333，=1.3092當(dāng)X=10時(shí)，=12.702，t0.005/2,13=2.16012.702

2.160

0.440=（11.75，13.65）

即胰島素為10mU/L的糖尿病患者，估計(jì)血糖為12.702mmol/L，95％可信區(qū)間為（11.75，13.65）mmol/L。Page80Y的個(gè)體容許區(qū)間估計(jì)給定X時(shí)Y的估計(jì)值是Y的均數(shù)的一個(gè)估計(jì)。給定X時(shí)Y值的個(gè)體變異區(qū)間是Y值的可能范圍。

Y的100(1-

)%容許限:Page81單個(gè)個(gè)體值的誤差觀察值y的散布的標(biāo)準(zhǔn)差為，又是總體回歸線中yi的估計(jì)值，它的誤差以來估計(jì)。因此，單個(gè)個(gè)體的方差由兩部分組成，即Page82當(dāng)X=10時(shí)

12.702

2.160

1.381=（9.72，15.68）即所有胰島素為10mU/L的糖尿病患者，估計(jì)有95％的個(gè)體血糖值在（9.72，15.68）之間。Page83剩余標(biāo)準(zhǔn)差、條件標(biāo)準(zhǔn)誤、條件標(biāo)準(zhǔn)差抽樣誤差抽樣誤差＋個(gè)體變異Page84估計(jì)值、95%可信區(qū)間和95%個(gè)體區(qū)間7111519236789101112131415

913172125直線相關(guān)和回歸分析的應(yīng)用描述兩個(gè)變量的數(shù)量依存關(guān)系；如果兩變量之間存在直線關(guān)系，可用直線回歸方程來描述兩變量之間的數(shù)量依存關(guān)系。利用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測：將精確測量的自變量x代入回歸方程式，則可算得應(yīng)變量y的估計(jì)值，即預(yù)測值。利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制：利用回歸方程進(jìn)行逆估計(jì)，如要求應(yīng)變量y在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，可以通過控制自變量x的取值來實(shí)現(xiàn)。血糖與胰島素之間存在依存關(guān)系預(yù)測：當(dāng)測得胰島素x=10mU/L時(shí)，則其血糖的估計(jì)值為Page96預(yù)測例：回歸方程為歸，計(jì)算當(dāng)x=12時(shí)，預(yù)測值95%的可信區(qū)間和相應(yīng)個(gè)體值95%的區(qū)間Page97控制控制血糖值（y）在10mmol/L以下，則胰島