第7章 非線性系統(tǒng)的分析

第7章非線性系統(tǒng)的分析7.1非線性系統(tǒng)概述7.2相平面分析法7.3描述函數(shù)分析法

7.1非線性系統(tǒng)概述

7.1.1非線性系統(tǒng)的描述與特點(diǎn)當(dāng)控制系統(tǒng)中包含有一個(gè)或多個(gè)具有非線性特性的環(huán)節(jié)時(shí),該系統(tǒng)被稱為非線性系統(tǒng)。

1.非線性系統(tǒng)的描述描述非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程。對(duì)于輸入為r(t),輸出為c(t)的非線性系統(tǒng),其形式為式中,f(·)和g(·)均為非線性函數(shù)。

描述非線性系統(tǒng)的非線性微分方程是不滿足線性疊加原理的。例如:

第一個(gè)方程中含有輸出量c(t)的平方項(xiàng),第二個(gè)方程中存在輸出量的正弦函數(shù),第三個(gè)方程中含有變量及其導(dǎo)數(shù)的乘積。因此,這三個(gè)方程均為非線性方程,它們代表的系統(tǒng)都是

非線性系統(tǒng)。

在描述非線性系統(tǒng)時(shí),我們也同樣使用結(jié)構(gòu)圖。如果一個(gè)非線性系統(tǒng)的線性部分和非線性環(huán)節(jié)可以分離為如圖7-1所示的結(jié)構(gòu)形式,則稱之為具有基本形式的非線性系統(tǒng)。在

圖7-1中,線性部分仍然利用傳遞函數(shù)G(s)來(lái)表示。圖7-1基本形式的非線性系統(tǒng)

2.系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的,而與系統(tǒng)輸入信號(hào)的大小無(wú)關(guān),與系統(tǒng)的初始狀態(tài)也無(wú)關(guān)。因此,如果系統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)為衰減振蕩,則該系統(tǒng)在相同輸入形式、不同輸入幅值和初始條件下的響應(yīng)均為衰減振蕩形式,只是響應(yīng)曲線的幅值和起始相位有所變化,但不改變它的基本形狀特征。

而非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)除了與非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)外,還與系統(tǒng)的輸入信號(hào)大小和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有密切關(guān)系。因此,同一非線性系統(tǒng)對(duì)于同一輸入信號(hào),可能會(huì)表現(xiàn)為在某一初始條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為單調(diào)衰減,而在另一初始條件下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為振蕩。這是與線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)所不同的。

3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)類似,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性,僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),而與系統(tǒng)輸入信號(hào)的大小和初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)外,還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)及輸入信號(hào)大小有直接關(guān)系。

對(duì)于某個(gè)非線性系統(tǒng),可能在某個(gè)初始條件下穩(wěn)定,而在另一個(gè)初始條件下該非線性系統(tǒng)就不穩(wěn)定;也可能在某個(gè)輸入信號(hào)下穩(wěn)定,而僅將輸入信號(hào)幅值變化一下之后,該非線性系統(tǒng)就不穩(wěn)定。

此外,同一個(gè)非線性系統(tǒng)可能存在多個(gè)平衡點(diǎn)(或稱為奇點(diǎn)),各平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性也可以不同。平衡點(diǎn)就是系統(tǒng)能夠處于“相對(duì)穩(wěn)定”的某些特殊狀態(tài),但與系統(tǒng)的穩(wěn)定性不是一個(gè)概念。

在例7-1中,x0=1和x0=0均為非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。但是平衡狀態(tài)x0=1是不穩(wěn)定的,這是因?yàn)槿绻鹸值稍有偏離,系統(tǒng)就不能恢復(fù)至原平衡狀態(tài),如果稍微偏大就會(huì)發(fā)散出去,如果稍微偏小就會(huì)趨近于零。而對(duì)于另一個(gè)平衡狀態(tài)x0=0,即使在一定范圍的擾動(dòng)下(只要初始狀態(tài)x0<1),系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。

4.系統(tǒng)的自持振蕩(自激振蕩)

對(duì)于線性系統(tǒng)的單位階躍輸入,當(dāng)線性系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),將產(chǎn)生周期性的等幅振蕩。而一旦系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生微小變化,臨界穩(wěn)定狀態(tài)就無(wú)法維持,要么發(fā)散(不穩(wěn)定),要么衰減至某一數(shù)值(穩(wěn)定)。

而在非線性系統(tǒng)中,其響應(yīng)除了穩(wěn)定和不穩(wěn)定這兩種形式外,還存在一種特殊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),就是系統(tǒng)可能發(fā)生自持振蕩(或自激振蕩)。自持振蕩是指在沒(méi)有外界周期信號(hào)的作用下,系統(tǒng)內(nèi)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)。與線性系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定不同,自持振蕩是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng),它是由非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)所確定的一種振蕩狀態(tài),并且還可能產(chǎn)生不止一種振幅和頻率的振蕩。

5.跳躍諧振和多值響應(yīng)

在線性系統(tǒng)中,當(dāng)輸入為正弦信號(hào)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是同頻率的正弦信號(hào),僅僅是幅值和相位與輸入不同。因此,利用正弦輸入信號(hào)可以分析線性系統(tǒng)的頻率特性。

非線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)一般不是正弦信號(hào),但仍是周期信號(hào)。有時(shí)輸出信號(hào)的頻率也表現(xiàn)為輸入頻率的倍頻、分頻等,也可能存在跳躍諧振或多值響應(yīng)。這

些是線性系統(tǒng)的頻率特性所不存在的。

7.1.2典型的非線性特性

1.死區(qū)(不靈敏區(qū))特性

其特點(diǎn)是當(dāng)輸入信號(hào)x在零值附近存在小范圍變化時(shí),系統(tǒng)沒(méi)有輸出。只有當(dāng)輸入信號(hào)x大于某一數(shù)值時(shí),系統(tǒng)才有輸出,且輸出y與輸入x呈線性比例關(guān)系。死區(qū)特性一般

是由測(cè)量元件、放大元件及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不靈敏區(qū)所造成的。

對(duì)于輸入為x,輸出為y的非線性系統(tǒng),死區(qū)特性如圖7-2所示。圖7-2死區(qū)特性

死區(qū)特性的數(shù)學(xué)描述為

由于死區(qū)的存在,降低了系統(tǒng)的靈敏度,增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,因此降低了系統(tǒng)的控制精度。但是,如果干擾信號(hào)落在死區(qū)段內(nèi),系統(tǒng)正好可以對(duì)干擾信號(hào)不響應(yīng),則可以大大提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

2.飽和特性

其特點(diǎn)是當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后,輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)的改變而變化(保持恒定)。最典型的飽和特性就是放大器的飽和輸出。有時(shí)從系統(tǒng)的安全性考慮,常常會(huì)加入各種機(jī)械限幅和限位裝置,這些也屬于飽和特性。

對(duì)于輸入為x,輸出為y的非線性系統(tǒng),飽和特性如圖7-3所示。圖7-3飽和特性

飽和特性的數(shù)學(xué)描述為

因?yàn)樵谳斎胫祒較大時(shí)輸出y并不變化,所以飽和特性將使系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益有所降低,對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利,但也會(huì)降低系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度。

3.間隙特性(回環(huán)特性)

這類特性中最典型的是齒輪傳動(dòng)中的間隙,表現(xiàn)在主動(dòng)齒輪和負(fù)載齒輪之間在嚙合時(shí)存在間隙。當(dāng)主動(dòng)齒輪改變轉(zhuǎn)動(dòng)方向后,只有消除了齒輪之間的間隙,負(fù)載齒輪才能夠開(kāi)始反向轉(zhuǎn)動(dòng)。

其特點(diǎn)是在當(dāng)前輸入下,輸出向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng),若輸入信號(hào)改變方向,則需要輸入信號(hào)變化一段范圍后,輸出才會(huì)反方向運(yùn)行。間隙特性如圖7-4所示。圖7-4間隙特性

從圖中可以得到間隙特性的數(shù)學(xué)描述為

一般情況下,間隙的存在會(huì)使系統(tǒng)輸出的相位滯后,降低系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量,并且使控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變差,甚至使系統(tǒng)振蕩。間隙的存在同樣會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大,使穩(wěn)態(tài)特性變差。

從動(dòng)力學(xué)特性來(lái)看,間隙的作用相當(dāng)于一個(gè)延時(shí)環(huán)節(jié)。從穩(wěn)態(tài)性能來(lái)看,間隙相當(dāng)于引入了一個(gè)死區(qū)特性。

4.繼電器特性

繼電器、接觸器和可控硅等電氣元件的特性通常都表現(xiàn)為繼電器特性。理想繼電器特性如圖7-5(a)所示。理想繼電器特性與上面介紹的幾種非線性特性相結(jié)合,可以產(chǎn)生出死

區(qū)繼電器特性、回環(huán)繼電器特性和死區(qū)加回環(huán)繼電器特性,分別如圖7-5(b)、(c)、(d)所示。圖7-5幾種繼電器特性

(1)理想繼電器特性:

(2)死區(qū)繼電器特性:

(3)回環(huán)繼電器特性:

(4)死區(qū)加回環(huán)繼電器特性:

7.1.3非線性系統(tǒng)的分析方法

1.線性化近似法

如果某些系統(tǒng)的非線性特性不嚴(yán)重,就可以考慮直接進(jìn)行線性化。我們只研究系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的特性時(shí),就可以采用平衡點(diǎn)附近的線性化方法,將非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近小范圍線性化。當(dāng)然,也可以將非線性系統(tǒng)分為幾個(gè)區(qū)域,對(duì)每個(gè)區(qū)域進(jìn)行分段線性化。

2.相平面分析法

相平面分析法簡(jiǎn)稱相平面法,是非線性系統(tǒng)的圖解分析法。其基本思路是:建立一個(gè)相平面,在相平面上根據(jù)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特性,繪制非線性系統(tǒng)的相軌跡。相軌跡就是非線性系統(tǒng)中的變量在不同初始條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡,根據(jù)相軌跡就可以對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。該方法只適用于一階和二階非線性微分方程。

3.描述函數(shù)分析法

描述函數(shù)分析法簡(jiǎn)稱描述函數(shù)法,是線性系統(tǒng)頻率特性分析法在非線性系統(tǒng)上的應(yīng)用推廣。利用描述函數(shù)法可以在頻域內(nèi)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩特性。在使用描

述函數(shù)法時(shí),非線性系統(tǒng)中的線性部分和非線性環(huán)節(jié)都要滿足一定的假設(shè)條件。

4.其他方法

李雅普諾夫法適用于所有的非線性系統(tǒng)。但是,對(duì)大多數(shù)非線性系統(tǒng)而言,尋找李雅普諾夫函數(shù)相當(dāng)困難。該方法將在現(xiàn)代控制理論的課程中講述。

7.2相平面分析法

7.2.1相平面的基本概念

設(shè)二階非線性系統(tǒng)的微分方程為

1.相平面和相軌跡

前面已經(jīng)設(shè)定我們稱以x1(或x)為橫坐標(biāo)、以x2(或)為縱坐標(biāo)構(gòu)成的平面為相平面(注意,縱坐標(biāo)x2是橫坐標(biāo)x1的一階導(dǎo)數(shù)),如圖7-6所示。x1、x2為相變量。由某一初始條件出發(fā)在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)繪出的曲線稱為相平面軌跡,簡(jiǎn)稱相軌跡。不同初始條件下構(gòu)成的相軌跡,稱為相軌跡簇。由相軌跡簇構(gòu)成的圖稱為相平面圖。利用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法,稱為相平面分析法。

圖7-6為某個(gè)非線性系統(tǒng)的相平面圖。圖中,相軌跡上的箭頭表示相變量隨著時(shí)間的增加沿相軌跡運(yùn)動(dòng)的方向。圖7-6某非線性系統(tǒng)的相平面圖

2.相軌跡方程

定義兩個(gè)相變量之后,就可以將一個(gè)二階微分方程改寫成兩個(gè)一階微分方程組。式(7-12)的一般形式為

整理可得

求解式(7-16),可得相軌跡方程為

式(7-17)表示相平面(以x1為橫軸,x2為縱軸)上的一條曲線,即相軌跡。由于相平面的橫、縱坐標(biāo)分別為(x1,x2),因此式(7-16)也表示相軌跡上任意一點(diǎn)的斜率,稱為相軌跡的斜率方程。

3.相軌跡的性質(zhì)

(1)一般情況下,不同初始狀態(tài)下的相軌跡不可相交。這是因?yàn)橛墒?7-16)可得相軌跡上的任意一點(diǎn)(x10,x20)處的斜率為

只要該斜率值唯一,在點(diǎn)(x10,x20)處就不會(huì)有兩條不同的曲線相交,因?yàn)閮蓷l相交曲線的斜率是不同的。

(2)如果式(7-18)的結(jié)果不唯一,會(huì)是什么情況呢?答案只能是在點(diǎn)(x10,x20)處滿足

此時(shí),兩個(gè)相變量x1、x2對(duì)時(shí)間的變化率均為零,可見(jiàn)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。相應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)(x10,x20)稱為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)處相軌跡的斜率滿足

(3)如圖7-7所示,無(wú)論系統(tǒng)的相軌跡形狀如何,在相平面的上半平面,因?yàn)樗詘值必定遞增,相軌跡總是沿著橫軸(x軸)正方向移動(dòng);而在相平面的下半平面,因?yàn)槭?/p>

所以相軌跡總是沿著橫軸負(fù)方向移動(dòng)。因此,相軌跡總的方向是順時(shí)針?lè)较?。而在穿越橫軸時(shí),因?yàn)榭v坐標(biāo),所以相軌跡垂直穿過(guò)橫軸。圖7-7-不同狀態(tài)時(shí)的相軌跡

7.2.2線性系統(tǒng)的相軌跡

在學(xué)習(xí)非線性系統(tǒng)的相平面分析法之前,我們先對(duì)非常熟悉的線性系統(tǒng)做相平面分析。設(shè)二階線性系統(tǒng)的微分方程為

也就是說(shuō),無(wú)論系統(tǒng)特征參數(shù)ωn和ξ是何值,系統(tǒng)的奇點(diǎn)是不變的。此外,式(7-21)的特征方程為

系統(tǒng)的特征根為

對(duì)于不同的阻尼比ξ,二階系統(tǒng)特征根的形式是不同的,而線性系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是由特征根決定的。下面介紹系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)的奇點(diǎn)(0,0)以及相軌跡的關(guān)系。

1.ξ=0(無(wú)阻尼狀態(tài))

當(dāng)ξ=0時(shí),由式(7-25)得到系統(tǒng)特征根為一對(duì)純虛根±jωn,階躍輸入的響應(yīng)曲線為等幅振蕩。將ξ=0代入式(7-23),可得相軌跡方程為

對(duì)式(7-26)分離變量,得到

積分后得到

式中,A為由初始條件決定的積分常數(shù)。

初始條件不同時(shí),式(7-27)表示的相軌跡是一簇同心橢圓,如圖7-8(c)所示。圖7-8(a)為特征根±jωn,圖7-8(b)為對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線。在圖7-8(c)所示相軌跡中,每一個(gè)橢圓對(duì)應(yīng)一個(gè)初始狀態(tài)不同的等幅振蕩,圍繞著原點(diǎn)。此時(shí)原點(diǎn)為平衡點(diǎn)(奇點(diǎn)),這類奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。圖7-8無(wú)阻尼二階線性系統(tǒng)的特征根、階躍響應(yīng)與相軌跡

2.0<ξ<1(欠阻尼狀態(tài))

當(dāng)0<ξ<1時(shí),系統(tǒng)的特征根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根

系統(tǒng)跡呈對(duì)數(shù)螺旋線收斂于平衡點(diǎn)(0,0),這樣的平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。欠阻尼狀態(tài)對(duì)應(yīng)的特征根、階躍響應(yīng)和相軌跡如圖7-9所示。圖7-9欠阻尼二階線性系統(tǒng)的特征根、階躍響應(yīng)與相軌跡

3.ξ>1(過(guò)阻尼狀態(tài))

當(dāng)阻尼比ξ>1時(shí),系統(tǒng)特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根,如圖7-10(a)所示。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖7-10(b)所示,系統(tǒng)穩(wěn)定。不同初始狀態(tài)的相軌跡為趨向于平衡點(diǎn)(0,0)的拋物線,這種平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn),相軌跡如圖7-10(c)所示。圖7-10過(guò)阻尼二階線性系統(tǒng)的特征根、階躍響應(yīng)與相軌跡

4.-1<ξ<0

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是討論系統(tǒng)輸入為零、初始偏差不為零時(shí)的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)-1<ξ<0時(shí),系統(tǒng)的特征根為一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根,如圖7-11(a)所示。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是發(fā)散振蕩的,系統(tǒng)不穩(wěn)定。而在不同初始條件下出發(fā)的相軌跡,從平衡點(diǎn)呈對(duì)數(shù)螺旋線發(fā)散出去,這種奇點(diǎn)(0,0)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn),相軌跡如圖7-11(b)所示。圖7-11阻尼比-1<ξ<0時(shí)二階線性系統(tǒng)的特征根與相軌跡

5.ξ<-1

當(dāng)阻尼比ξ<-1時(shí),系統(tǒng)的特征根為兩個(gè)正實(shí)根,如圖7-12(a)所示。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)曲線是單調(diào)發(fā)散的,系統(tǒng)不穩(wěn)定。不同初始狀態(tài)的相軌跡為由平衡點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散的拋物線,這種奇點(diǎn)(0,0)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn),相軌跡如圖7-12(b)所示。圖7-12阻尼比ξ<-1時(shí)二階線性系統(tǒng)的特征根與相軌跡

6.正反饋系統(tǒng)

當(dāng)系統(tǒng)為正反饋時(shí),特征根為一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根,如圖7-13(a)所示。系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是單調(diào)發(fā)散的,系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的相軌跡是一簇雙曲線,呈鞍形,這種奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn),對(duì)應(yīng)的相軌跡如圖7-13(b)所示。圖7-13正反饋時(shí)二階線性系統(tǒng)的特征根與相軌跡

7.2.3非線性系統(tǒng)的相軌跡

1.解析法

解析法的基本思路是先對(duì)式(7-16)兩邊積分,求相軌跡的解,再利用相軌跡的解繪制相軌跡。因此,解析法一般適用于較為簡(jiǎn)單的微分方程。

例7-3繪制圖7-14所示系統(tǒng)在β=0,β<0,β>0時(shí)輸出c(t)的相軌跡圖。假設(shè)輸入信號(hào)r=0。圖7-14系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解解題思路是先將該系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)和線性部分根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分別列出各自的關(guān)系式,之后再結(jié)合起來(lái)獲得非線性系統(tǒng)的相軌跡方程。

(1)該系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)為理想繼電器特性,即

(2)該系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)為

可以得到

(3)結(jié)合上面的步驟(1)與步驟(2),將式(7-29)代入式(7-28),可得

因?yàn)閞(t)=0,所以得到

從式(7-31)可以看出,相軌跡方程的切換條件為c+βc·=0,稱為相軌跡的開(kāi)關(guān)曲線。

(1)當(dāng)β=0時(shí),開(kāi)關(guān)曲線為c=0,即縱軸c·。相軌跡由位于縱軸兩側(cè)的曲線在開(kāi)關(guān)曲線(縱軸)上進(jìn)行切換,對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng),相軌跡如圖7-15所示。

圖7-15β=0時(shí)的相軌跡

(2)當(dāng)β<0時(shí),開(kāi)關(guān)曲線c+βc·=0位于第一、三象限,相軌跡由兩簇拋物線組成。每當(dāng)在開(kāi)關(guān)曲線處切換時(shí),相軌跡是沿著拋物線發(fā)散的,如圖7-16所示的粗線。圖7-16β<0時(shí)的相軌跡

(3)當(dāng)β>0時(shí),開(kāi)關(guān)曲線c+βc·=0位于第二、四象限,相軌跡仍由兩簇拋物線組成。但每次切換時(shí),相軌跡是沿著拋物線收斂的,如圖7-17所示的粗線。圖7-17-β>0時(shí)的相軌跡

2.等傾線法

等傾線法的基本思路是先確定相軌跡的等傾線(即等斜率線),就得到了相軌跡的切線方向,進(jìn)而從初始條件出發(fā)沿著切線方向逐步繪制相軌跡。

對(duì)于非線性系統(tǒng)

我們已經(jīng)知道相軌跡的斜率方程為

若取斜率為常數(shù)α,則式(7-32)為

即

對(duì)于給定的α值,式(7-34)描述了相平面(x,x·)上的一條曲線。相軌跡與該曲線相交時(shí)總是具有相同的斜率α,所以,式(7-34)稱為等傾線方程。圖7-18為利用等傾線法繪制相軌跡的示意圖。圖7-18利用等傾線法繪制相軌跡

具體步驟如下:

(1)對(duì)于給定的斜率α,通過(guò)式(7-34)求解等傾線方程,在相平面上得到一條等傾線(圖7-18中的等傾線為直線)。給定不同的值α,可在相平面上繪制若干條不同的等傾線。我們可以先繪制一些比較稀疏的等傾線。

(2)從起始點(diǎn)A(所在等傾直線表示相軌跡在該點(diǎn)的切線斜率為α1)出發(fā),作一條斜率為(α1+α2)/2的直線,與對(duì)應(yīng)斜率為α2的等傾線相交于B點(diǎn)。

(3)從B點(diǎn)出發(fā)重復(fù)步驟(2)畫出直線至C點(diǎn),依次類推,得到D、E、F、G點(diǎn)。

(4)用一條光滑曲線連接A、B、C、D、E、F、G等各點(diǎn),最終繪制出從A出發(fā)的相軌跡曲線。

根據(jù)表7-1,取不同的α,分別繪制等傾線。圖7-19為繪制完成的一組等傾線以及一條相軌跡。圖7-19例7-4的一條相軌跡

7.2.4非線性系統(tǒng)的相平面分析

如圖7-20所示,非線性系統(tǒng)一般由非線性環(huán)節(jié)和線性部分組成。例7-3已經(jīng)簡(jiǎn)單說(shuō)明了非線性系統(tǒng)相平面分析的一般步驟。首先,分別由非線性環(huán)節(jié)的特性和線性部分的傳遞函數(shù)求得系統(tǒng)中的各種關(guān)系式;然后,根據(jù)非線性系統(tǒng)的整體特性將整個(gè)相平面劃分成若干區(qū)域,采用解析法、等傾線法等繪制各區(qū)域的相軌跡。不同區(qū)域相軌跡在開(kāi)關(guān)曲線上發(fā)生變化,構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)的相軌跡。圖7-20非線性系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)

例7-5圖7-21所示為帶死區(qū)繼電器特性的非線性系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)在零初始條件下施加階躍信號(hào)r(t)=R·1(t),試分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。圖7-21非線性系統(tǒng)

該非線性系統(tǒng)的相軌跡如圖7-22所示。從系統(tǒng)的相軌跡看,在-e0<e<e0之間存在死區(qū)。還可以看出,在階躍輸入作用下,不同初始狀態(tài)的相軌跡均為收斂的,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但是,由于存在死區(qū),系統(tǒng)將存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖7-22非線性系統(tǒng)相軌跡圖

7.3描述函數(shù)分析法

7.3.1描述函數(shù)的定義描述函數(shù)分析法是將線性系統(tǒng)的頻率分析法(Nyquist穩(wěn)定判據(jù))延伸到非線性系統(tǒng)的一種嘗試,簡(jiǎn)稱描述函數(shù)法。它的基本思路是:當(dāng)系統(tǒng)線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出也可以用正弦函數(shù)來(lái)近似。此時(shí),非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系被稱為描述函數(shù)。利用描述函數(shù),我們就可以借用線性系統(tǒng)的頻率特性分析法來(lái)分析非線性系統(tǒng)。

如圖7-23所示,我們通常將非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分串聯(lián)的結(jié)構(gòu)。圖7-23非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

這里,非線性系統(tǒng)需要滿足如下假設(shè)條件:

①非線性環(huán)節(jié)的輸入x(t)為正弦信號(hào);

②非線性環(huán)節(jié)的特性應(yīng)該是奇對(duì)稱的;

③非線性系統(tǒng)的線性部分必須具有較好的低通濾波特性。

從式(7-43)可以看出,非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)y(t)中含有基波及各種高次諧波。通常,諧波的次數(shù)越高,其對(duì)應(yīng)的傅里葉系數(shù)越小,即相應(yīng)的諧波分量幅值就越小。如果系統(tǒng)的線性部分G(s)具有良好的低通濾波特性,則非線性環(huán)節(jié)的高次諧波分量通過(guò)線性部分后將被衰減到很小,甚至可以忽略不計(jì)。因此,如果前面提出的假設(shè)條件③滿足的話,就可以對(duì)非線性環(huán)節(jié)只考慮一次諧波。

如果前面提出的假設(shè)條件②也滿足的話,那么非線性環(huán)節(jié)就表現(xiàn)為斜對(duì)稱,由式(7-44)可得直流分量A0=0,則式(7-43)改寫為

設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號(hào)x(t)=Asinωt,定義非線性環(huán)節(jié)輸出的一次諧波分量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù),記為N(A,ω),即

7.3.2典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

1.死區(qū)非線性環(huán)節(jié)

當(dāng)正弦信號(hào)x=Asinωt輸入給死區(qū)非線性環(huán)節(jié)時(shí),我們需要求解輸出值y(ωt)。求解過(guò)程可以利用圖7-24表示。

圖7-24死區(qū)特性及輸入/輸出波形

具體步驟如下:

(1)在左上角繪制死區(qū)非線性特性圖y=f(x)。

(2)在其下方繪制輸入信號(hào)x=Asinωt。需要注意的是,由于死區(qū)非線性特性的橫軸是x,而輸入信號(hào)x=Asinωt的縱軸是x,因此輸入信號(hào)圖需要順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°以保證上下兩個(gè)圖的x軸一致。

(3)在死區(qū)非線性特性圖的右側(cè)繪制一個(gè)空的坐標(biāo)系,它是輸出信號(hào)圖。其縱軸是非線性環(huán)節(jié)的輸出量y,橫軸是ωt。

(4)當(dāng)輸入信號(hào)隨著時(shí)間由0逐漸變大時(shí),對(duì)應(yīng)死區(qū)非線性特性,可以逐步繪制出輸出信號(hào)圖。

例如,由死區(qū)非線性特性圖可知,當(dāng)0<x<Δ時(shí),y=0。由輸入信號(hào)圖x=Asinωt可知,當(dāng)0<ωt<ωt1時(shí),x<Δ。所以,在輸出信號(hào)圖中,當(dāng)0<ωt<ωt1時(shí),y=0。以此類推,即可得到輸出信號(hào)圖。

按照以上步驟得到的輸出表達(dá)式為

由圖7-24可以看出輸出波形是奇對(duì)稱的,所以

由式(7-46)可得死區(qū)特性的描述函數(shù)為

2.理想繼電器非線性環(huán)節(jié)

求取理想繼電器特性的輸出方程的過(guò)程如圖7-25所示。當(dāng)輸入為正弦信號(hào)x=Asinωt時(shí),其輸出表達(dá)式為圖7-25理想繼電器特性及輸入/輸出波形

7.3.3描述函數(shù)分析法

如前所述,如果非線性系統(tǒng)中的線性部分具有良好的低通濾波特性,那么非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性可以用描述函數(shù)N(A)來(lái)表示,如圖7-26所示。這樣,非線性系統(tǒng)就可以近似為線性系統(tǒng),也可以利用線性系統(tǒng)的頻率特性分析法來(lái)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、自持振蕩產(chǎn)生的條件、自持振蕩的幅值和頻率以及如何消除自持振蕩。圖7-26非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

判斷線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率特性分析法是Nyquist穩(wěn)定判據(jù),也就是分析開(kāi)環(huán)頻率特性曲線與(-1,j0)點(diǎn)之間的關(guān)系。描述函數(shù)分析法就是將線性系統(tǒng)頻率特性分析法推廣到圖7-26所示的非線性系統(tǒng)。

系統(tǒng)的輸入是正弦信號(hào)r(t)=Asinωt,其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為

系統(tǒng)的特征方程為

即

由此得到非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性Nyquist判據(jù):當(dāng)線性部分G(jω)為最小相位系統(tǒng)時(shí),有:圖7-27-非線性系統(tǒng)的頻率特性穩(wěn)定性分析(描述函數(shù)分析法)

2.自持振蕩

自持振蕩是非線性系統(tǒng)的特性,是指在沒(méi)有外界周期變化輸入信號(hào)的作用下,系統(tǒng)能夠產(chǎn)生具有固定頻率和振幅的穩(wěn)定的等幅振蕩運(yùn)動(dòng)。我們先分析等幅振蕩產(chǎn)生的條件,之

后再分析這種振蕩是否穩(wěn)定。

如果式(7-56)有多組解,則系統(tǒng)存在多個(gè)不同振幅的等幅振蕩。如圖7-28所示,曲G(jω)有兩個(gè)交點(diǎn)P和Q,因此存在兩個(gè)等幅運(yùn)動(dòng)。而圖7-27(c)中,交點(diǎn)只有一個(gè),因此只存在一個(gè)等幅運(yùn)動(dòng)。在交點(diǎn)處G(jω)的頻率ω即為振蕩頻率,交點(diǎn)處的A值即為振蕩幅值。

我們也可以直接利用式(7-54),即

求取ω和A。

等幅振蕩與自持振蕩是不同的,自持振蕩是指穩(wěn)定