2022-2023學(xué)年原創(chuàng)全國(guó)高中數(shù)學(xué)真題模擬訓(xùn)練- 導(dǎo)數(shù)與極限

2022-2023學(xué)年屆全國(guó)名校真題模擬專(zhuān)題訓(xùn)練12導(dǎo)數(shù)與極限

三解答題（第一部分）

L（廣東省廣州執(zhí)信中學(xué)、中山紀(jì)念中學(xué)、深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三校期末

聯(lián)考)設(shè)函數(shù)/(%)=Inx-px+1

(I)求函數(shù)/⑶的極值點(diǎn)；

(n)當(dāng)p>0時(shí)，若對(duì)任意的x>0,恒有八幻《0,求P的取值范

圍；

/TTT\口口.In22In3"Inn~2—n—1..

(HI)證明：—5-+—++—5-<---------(neN,Tn>2).

2232n22(/7+1)

解：(1)?.?/(力=11^-0小+1,「./(力的定義域?yàn)?0,+8),

fXx)=--p=匕在當(dāng)p?0H寸，f(x)>0J(x)在Q”)上無(wú)極值點(diǎn)

XX

當(dāng)P>0時(shí)，令/（X）=（），.?.X」￡（O,”）/（X）、f（x）施的變化情況如

P

下表：

X(0,與(-,+?)

ppp

f\x)+0-

f(x)極大值

從上表可以看出：當(dāng)P>O時(shí)，/*）有唯一的極大值點(diǎn)％

P

（n）當(dāng)P>O時(shí)在X』處取得極大值/d）=Iniz此極大值也是

PPP

最大值，

要使/（X）￡o恒成立，只需fd）=In-?0,??.p3I

PP

??.P的取值范圍為［1，+8)

(m)令p=i,由(n)知,Inx-x+1<0,/.Inx<x-LvA?Gn>2

InA?2<w2-1,

=（"1）一（涯+”+…+記）

+----

2n-n-1

2(〃+1)

???結(jié)論成立

2、（江蘇省啟東中學(xué)2022-2023學(xué)年年高三綜合測(cè)試一）已知

/*）=/+加+仃+3在（—0,0］上是增函數(shù),在［0,2］上是減函數(shù),且

/（x）=0有三個(gè)根以2,以a42訓(xùn)0

（1）求。的值，并求出〃和〃的取值范圍。

（2）求證/⑴22。

（3）求|4-al的取值范圍，并寫(xiě)出當(dāng)R-al取最小值時(shí)的/⑴的

解析式。

解：（1）???/a）在（-8,0］上是增函數(shù),在（0,2］上是減函數(shù)

.?”二0是/(幻=0的根

又f\x)=3x2+2bx+c

"'(0)=0

/.c=0

又:/。)=0的根為/2,夕

???A2)=0

.?.8+4gd=0

Xv/X2)<0

.\12+4Z?<0

/.Z?<-3

又d二一8—4力

:.d>4

(2)?.?/⑴=l+b+d/(2)=0

，d=—8-46且bW-3

.?J⑴=1+匕一8-46

=-l-3b

>2

(3)???/3)=0有三根圓2,夕

f(x)=(x-a)(x-2)(x-P)

二d-g+夕+2).x2-lap

a++2=-b

,|￡一2|2=(。+6)2—4羽

=3+2)2+21

=〃+48+4—16—汕

=b2-^b-U

=(Z?-2)2-16

5L,：b<-3:.\/7-a|>3

當(dāng)且僅當(dāng)b=-3時(shí)取最小值，此時(shí)d=4

/(X)=X3-3X2+4

3、(江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測(cè)試三)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的圖

象在點(diǎn)P(l,0)處的切線與直線3x+y=0平行,

(1)求常數(shù)a、b的值；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0用上的最小值和最大值。(t>0)解：(1)a二

-3,b=2;(2)當(dāng)2<t<3時(shí),f(x)的最大值為f(0)=2;當(dāng)t>3時(shí),

f(x)的最大值為f(t)=t3-3t2+2;當(dāng)x=2時(shí),f(x)的最小值為f(2)=-

2。

5、(江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測(cè)試四)已知/(x)=丁+；/_2/工一4

()為常數(shù)，且6>0)有極大值-|,

(I)求)的值；

(n)求曲線y=/(x)的斜率為2的切線方程.

解：(I)f\x)=3x2+mx-2m2=(x+m)(3x-2m)=0

則x=一m,x=—m

3

由列表得：

/2、22、

X(-00,-w)-m—m(―m,+oo)

333

f\x)4-0一0+

極大極小

f(x)

值值

f(-ni)=-w3+-w3+27n3-4=——,/n=1.

(口)由(I)知/(工)=/一21一4,貝[]:(幻=3/+工-2=2

「?x=1或x=

由/⑴=-|,八一$=一稱,

所以切線方程為：y+|=2(x-l)BP4x-2y-13=0；

或)，+1^=2(x+*[l54x-27y-4=0

4、(安徽省皖南八校2022-2023學(xué)年屆高三第一次聯(lián)考)已知函數(shù)

/(%)=#一1工2+2%+1且A，z是/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，0<^1<1<x2<3,

(1)求。的取值范圍；

2

(2)^|Xj-x2|>m-2Z?/n-2，對(duì)be［-1』恒成立。求實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍；

解：(1)ff(x)=x2-ax+2，由題知：<‘")」"+2<°=3<〃<?；

//(3)=9-3^+2>03

(2)由(1)知：|項(xiàng)一工21=da2-8>1,

2

."2_2"L2Kl對(duì)?！辏?川恒成立，所以：卜+2/71-3~°^>-1</?<1

m2-2/n-3<0

5、(江西省五校2022-2023學(xué)年屆高三開(kāi)學(xué)缺考)已知函數(shù)

3

/(x)=ln(2+3x)--x2.

(I)求在［0,1］上的極值；

(II)若對(duì)任意不等式-lnx|+ln［尸(x)+3x］>。成立，求實(shí)數(shù)3

的取值范圍；

(III)若關(guān)于X的方程/(x)=-2x+b在［0,1］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,

求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

3與3(xi1)(3X1)

解：⑴f\x)=-----3x=---------------

2+3x3x+2

令/?)=o得x==-1(舍去)

：.^)<x<g時(shí),r(%)>oj(x)單調(diào)遞增；

當(dāng);<XV1時(shí)J'(x)<O,/(A)單調(diào)遞減.

.?./(9=In3-3為函物(幻在［0,1］上的極大值

(II)由|a-lnx|+ln"(x)+3x］>0得

33

a>Inx-In-----或avlnx+ln—:——.......①

2+3x2+3x

-^-=10^1

設(shè)h(x)=Inx-In

2+3x3

33x

g(x)=lnx+ln---------=In----------,

2+3x2+3x

依題意知a>/z(x)或。v85)在1e[若上恒成立,

_2+3x3(2+3x)-3x-3_2

>0

~(2+3x)2--x(2+3x)

h\x)=-J,(2+6x)=2+6>0,

22、

2x+3x32x+3x

.?.g(X)與/心)都出上單增，要使不等式①成立，

63

當(dāng)且僅當(dāng)a>/?(』)或a<g('),即a>In-^a<In—.

3635

(III)由f(x)--2x+b=>ln(2+3x)--x24-2x-Z?=0.

2

QQGTC2

:

令0(x)=ln(2+3x)--x2+2x-ZJ,則(p'(x)=一---3x+2=.......-

22+3x2+3x

當(dāng)xw[0,"0）＞0,于是°。）在［0,1『］上遞增；

當(dāng)xe［丁-1］時(shí),°'（x）＜0,于是9（x）在［丁-J］上遞減

/y/y

而。（半＞。（。）,。（學(xué)＞以1）；

.-./?=-2x+卿Mx）=0在［0J］恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于

8(0)=In2-Z?<0

79fl

ln(2+V7)--+--b>0

66

9⑴=ln5+-^-Z?<0

/.ln5+-<b<ln(2+V7)--+—

263

6、（安徽省蚌埠二中2022-2023學(xué)年屆高三8月月考）求下列各式的

的極限值

①lim西正1②lim(

答：①g②5

7、(四川省巴蜀聯(lián)盟2022-2023學(xué)年屆高三年級(jí)第二次聯(lián)考)設(shè)Kx)

="、八+1(3>0)為奇函數(shù)，且|f(X)|min=2及，數(shù)列&｝與｛bn｝

x+c

滿足如下關(guān)系：ai=2,%+尸駕口，"二2二|.

2%+1

(1)求￡(乂)的解析表達(dá)式；

(2)證明：當(dāng)nwN*時(shí)，有bn4(；)〃.

解：(1)由f(x)是奇函數(shù)，得b=c=0,由|f(x)mm|=2收，得a=2,

」——12

?！?1—1=2%=4；-+1

4+1+1a：+11］晨+2凡+1

?.也二。,3=…二環(huán),而Z?i=1,??也二(；/

當(dāng)n=l時(shí)，也二；,命題成立，

當(dāng)n>2時(shí)，=2門(mén)t=(1+1)n-1=1+c,^+c3+…+c：二;>

1+cLkn

'<夕'即bn4（；）〃.

8、（四川省成都市新都一中高2022-2023學(xué)年級(jí)一診適應(yīng)性測(cè)試）

qp

設(shè)=px---2歷*，且〃e）=qe---2（e為自然對(duì)數(shù)的

xe

底數(shù)）

（1）求夕與q的關(guān)系；

（2）若尸（M在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求夕的取值范圍；

qp

解：⑴由題意得/（e）=pe---2/ne=qe---2

11

P（夕-q）（e+一）=0而e+一工0

:?p=q......4分

p

（II）由（I）知二夕x--2/nx

X

p2px2-2x+p

令/7（A）=a2-2x+夕，要使f⑻在其定義域（0,+￥）內(nèi)為單調(diào)函

數(shù)，只需/XM在（0,+￥）內(nèi)滿足：/7（A）>0或/7（A）<0恒成立.

2x

①當(dāng)夕=0時(shí)，，（M=-2x.：x>0，二/XM<0,（M=--

<0,

."（M在（0,+￥）內(nèi)為單調(diào)遞減，故夕=0適合題意.

②當(dāng)夕＞0時(shí)，/XM=夕*2-2x+夕，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線,

11

對(duì)稱軸為X=-￡(0,+￥),p--

PP

1

只需夕—一之1,即合1時(shí)力⑶“，r

p

."(M在(0,+￥)內(nèi)為單調(diào)遞增，

故夕21適合題意.

③當(dāng)夕＜0時(shí)，從冊(cè)=px2-2x+p,其圖象為開(kāi)口向下的拋物線,

1

對(duì)稱軸為X二一1(0,+￥)

P

只需"0)40,即p＜0時(shí)/7(A)＜0在(0,+￥)恒成立.

故夕＜0適合題意...........故分

綜上可得，行1或后0......12分

另解：(II)由(I)知f(吊=px---2/nx

p212

fM=p+—■一=p(l+w).一

%2%%2x

要使f(K在其定義域。+￥)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需/(M在(0,+￥)

內(nèi)滿足：f(A)>0或f(A)<0恒成立..........6分

A12A2A2

由f(A)>0U/?(l+-)>0Up>-Up>(-)max,x>

XX，，

x+~x+一

XX

0

222

..--<----7==1,且X=1時(shí)等號(hào)成立，故(--)max=

1

.?.P>1......9分

人12A2x2x

由/(Mwou夕Q+工)-：woupwup<(--

x>0

2x2x

而:一~>0且x—0時(shí)，——~—0,故p<0.......11

2

%+1x2+1

分

綜上可得，行1或夕40

9、(四川省成都市一診)已知函數(shù)/㈤=Inx,g(x)=4a>0),設(shè)

x

產(chǎn)⑶"3+以力.

(I)求函數(shù)FQ)的單調(diào)區(qū)間；

(n)若以函數(shù))，=尸(幻(工￡(0,3])圖像上任意一點(diǎn)尸(為,)，。)為切點(diǎn)的

切線的斜率”3恒成立，求實(shí)數(shù)。的最小值；

(m)是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù),v=g(含)+m-1的圖像與函數(shù)

),="+號(hào)的圖像恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值

范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

解：(I)r(x)=/(x)+^(x)=lnx+^(x>0),尸(力=：一￡=^^(x>o)

./a>0,由尸(x)>O=xw(a,+oo),/(x)在(a,+co)上單調(diào)遞增。

由?(x)vO=>xw(O,a)一,?尸(x)在(0,。)上單調(diào)遞減。

.?.F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0M),單調(diào)遞增區(qū)間為儂”)。

(H)尸(力=亨(0-?3),

左=尸(%)=/?3)1§^立oa2(—〈片+/

%'I2/max

當(dāng)天=1時(shí)，-;片+/取得最大值;o

?J?-1

??。之],??〃min=-

(III)若y=?(："]?利1=|利|的圖象與

\x+ij22

y=/(l+x2)=ln(x2+l)的圖象恰有四個(gè)不同得交點(diǎn),即

gf+m_g=]n(x2+i)有四個(gè)不同的根亦即加=]n(f+g有四個(gè)

不同的根。

令G(x)=ln(x2+1)_L2+,，

22

3

貝"。)=言yr=2x-x-x-x(x+l)(x-l)

i二;

X+1X+1

當(dāng)X變化時(shí)，G[x)、G(x)的變化情況如下表:

X(-00,-1)(T0)(0,1)(1,+co)

&(冗)的符號(hào)+-+-

G")的單調(diào)//

性

由表格知：G(x)極小值=G(0)=g,G(%)極大值=G6=G(—l)=ln2>0

畫(huà)出草圖和驗(yàn)證G⑵=G(-2)=ln5-2+g<g可知，當(dāng)/〃Ln2卜寸，

y=G(x)與y=相恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)。

當(dāng)/nefiln21時(shí),y=g-^―+〃1=；/+加一；的圖象與

y=/(l+x2)=ln(x2+1)的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)。

10、(四川省樂(lè)山市2022-2023學(xué)年屆第一次調(diào)研考試)已知函數(shù)

/(x)=lnx,g(x)=~ax2-bx,a^Q

①若函數(shù)火x)=/(x)+g(x)在處取得極值-2,試求0"的值；

②若。=2時(shí)，函數(shù)以x)=/(x)+ga)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)。的

取值范圍；

③設(shè)/(X)的圖象a與g(x)的圖象G交于p,Q兩點(diǎn)，過(guò)線段PQ

的中點(diǎn)作平行于y軸的直線，分別與％C?交于M、N兩點(diǎn),試判斷

G在M的切線與c2在N的切線是否平行？

答：①《二2;②〃的范圍是》0或-1<°<0;③略，G在M的切線與c?

S=3

在N的切線不可能平行。

11、(四川省成都市新都一中高2022-2023學(xué)年級(jí)12月月考)設(shè)函數(shù)

/(x)=-cos2x-4rsin^cos-1+4r3+z2-3^+4,xeR,

其中|仁1,將/w的最小值記為帥.

⑴求的表達(dá)式；

⑵對(duì)于區(qū)間［-1,1］中的某個(gè)t,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式帥

4a

4丁二成立？如果存在，求出這樣的a及其對(duì)應(yīng)的t;如果不存

1+a2

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：(1)/(x)=-cos2x-4/sin^cos-^+4r3+r2-3r+4

=sin2x—l-2，sin+4/+r—3/+4=sin2x—2fsinx+產(chǎn)+4尸-3/4-3

=(sinx-r)2+4/3-3t+3.

由(sinx-1)2>0,|t|<l,故當(dāng)sinx=t時(shí)，f(x)有最小值g(t),即

g(t)=4t3-3t+3.

(2)我們有g(shù)'⑴=12產(chǎn)-3=3(2/+l)(2r-l),-l<?<l.

列表如下：

1

(-2-

1111

t(-i，W(”)

-212

5)

g'⑴+0-0+

極大值g（-

1

G(t)/1極小值g（-）/

1111

由此可見(jiàn)，g（t）在區(qū)間（-1,-5）和￡,1）單調(diào)增加，在區(qū)間（-5,5）

1

單調(diào)減小，極小值為g（5）=2,

又/-1）=-4-（-3）+3=2

故成。在［-1,1］上的最小值為2

4d4

注意到：對(duì)任意的實(shí)數(shù)3,^―=—7G[-2,2]

1+/1

a+~

a

4a1

當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)，心=2,對(duì)應(yīng)的—I%,

14a

故當(dāng)t=-1或彳時(shí)，這樣的3存在，且8=1,使得成立

Z￡+3^

1

而當(dāng)3(-1,1］且t巧時(shí)，這樣的3不存在.

12、(安徽省淮南市2022-2023學(xué)年屆高三第一次模擬考試)已知函

數(shù)八M=ln(2+3M-浮..

(1)求f(M在［0,1］上的極值；

(2)若對(duì)任意痣匚,不等式|a--1”U(M+3M>0

63

成立，求實(shí)數(shù)d的取值范圍；

(3港關(guān)于x的方程f(M=-2x+6在［0,1］上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,

求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解：(1)(3--3(x+l)(3x-l)

2+3x3x+2

令廣(X)=。得X=：或1=-1(舍去)

.?.卻WXVg時(shí)J'(x)>0,/(A-)單調(diào)遞增；

當(dāng)gvx41時(shí)，/(幻<0J(x)單調(diào)遞減.

???函數(shù)/(外在［0,1］上有極大值/('=ln3--

66分

(2)由|a-lnx|-ln"，(x)+3x]>0得

33

avInx-In—:——或。>Inx+ln—:——...............①

2+3x2+3x

設(shè)h(x)=Inx-In---=In2'+標(biāo)

2+3x3

33x

g(x)=Inx+ln-----=In------

2+3x2+3x

依題意知a<力（X）或4>ga）在XG［*］上恒成立,

63

2+3x3(2+3x)-3x-3

gfM

3x(2+3x)2

32i6x

"(x)=?—(2+6x)=>0

2x+3x232x+3x2

.?.g(x)與力⑶都在上單增,要使不等式①成立，

63

當(dāng)且僅當(dāng)a<力(工)或a>gd),即a<In色或a>In-..........10分

63363

(3)由f(x)=—2x+b=>ln(2+3x)--x2+2x-b=0.

QQ**7Cl2

令(p(x)=ln(2+3x)——/+2x-b,則(p'(x)=-------3x+2=....-

22+3x2+3x

當(dāng)xE［0,4］時(shí)/（x）>0,于是0（X）在［0,（］上遞增；

E萬(wàn)、

當(dāng)xw附,d（x）<0,于是9（x）在［-yJ］上遞減

.?./（x）=-2x+卿（p（x）=0在［0J］恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于

9(0)=In2-Z?<0

<。(當(dāng)=10(2+療)_\+^^_方>0

(p(X)=ln5+^-Z?<0

所以,心+^―6+^^.

26

13、(安徽省巢湖市2022-2023學(xué)年屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))

設(shè)函數(shù)/(x)=(l+x)2-ln(l+x)2.

(I)求/⑶的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)xedTe-l]時(shí)，設(shè)函數(shù)>，=/(幻圖象上任意一點(diǎn)處的切

e

線的傾斜角為。，求8的取值范圍；

(田)若關(guān)于I的方程/⑴”+…在區(qū)間[0,2]上恰好有兩個(gè)相異

的實(shí)根，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍。

解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)橛?,-l)U(-l,+8)

/3=2[(x+])_7119k2x(x：2)..............2分

(x+1)2x+\

由尸(x)>0得-2vxv-l或r>0,由/(x)<0得xv-減-1vxvO.

所以函數(shù)/a)的遞增區(qū)間是(-2,-1),(0,+8),遞減區(qū)間是(-

%-2),(-1,0)…4分

(II)a〃(x)=/3=2(l+x)-；^-(xHT),則心力=2+->0，故M")為

1+x(1+x)

區(qū)間人."上增函數(shù)，所以3)=小)工2*2],根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何

eee

意義可知

tan^e[—-2^,2e--],0€[0,arctan(2e—2)]0[萬(wàn)一arc【an(2e-2),4)................9

eeee

分

22

(W)方程f(x)=x+x+arBPx-?+l-ln(l+x)=0

iB?(x)=x-?+l-ln(l+x)2,xG［0,2］,貝!Jg'(x)=［———=^—

t1+xx+\

由g'(x)>。得.vv-1或x>l,由g'(x)<0得-1vxvl

???g(x)在［0,1］上遞減，在［1,2］遞

增................................11分

為使&0=丁+…在［0,2］上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，只須式幻=0

在［0,1)和(1,2］上各有一個(gè)實(shí)根，于是有%⑴<。解得2-ln2<a<3-21n3.

g⑵20

14、(北京市朝陽(yáng)區(qū)2022-2023學(xué)年年高三數(shù)學(xué)一模)設(shè)函數(shù)

f(x)=lnx+x2+6U：.

1

(I)若乂=］時(shí)，小)取得極值，求〃的值；

(n)若/⑴在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求〃的取值范圍；

(ni)設(shè)g(x)=/(x)-x2+1,當(dāng)〃=-1時(shí)，證明g(x)￡0在其定義域內(nèi)

恒成立,并證明惇+惇+L+電工v二1(〃納/2).

23?n"2(〃+1)

缶刀.，、

用牛：f,\x/)=-1+c2x+a=-2-x-----+------+--1-,

XX

(I)因?yàn)闀r(shí)，/*)取得極值，所以八；)=。，

即2+1+〃=0,故a=—3.......................................................3分

(n)/⑴的定義域?yàn)?。+8).

方程2f+辦+1=0的判別式△=.2_8,

(1)當(dāng)AKO,即a時(shí)，4-ar+l>0,

f\x)之o在(a+⑹內(nèi)恒成立，此時(shí)/⑴為增函數(shù).

(2)當(dāng)△>(),即。<-2顯或〃>2夜時(shí)，

要使〃幻在定義域(。+8)內(nèi)為增函數(shù)，

只需在(。+00)內(nèi)有2』+ar+12o即可，

設(shè)h(x}=2x2+ar+l,

h(0)=1>0,

由，a得a>0,所以〃>2夜.

-----<0

2x2

由(1)(2)可知，若/⑴在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，〃的取值范圍是

[―2\/2,4-oo).

………9分

(m)證明：g(x)=lnx+ax+1,當(dāng)。=-1時(shí)，g(x)=lnx-x+1,其定

義域是(。+8),

令g4x)=L1=0,得<=1.則g(x)在％=1處取得極大值，也是最大

X

值.

而g⑴二0.所以g(x)￡。在(a+oo)上恒成立因此Inx?x1.

因?yàn)椤{,〃2,所以In/?/].則吧？勺1.1.

n~n~n~

r-r-piln22ln32Ini1、

所以亍+丁+fL+f?(l寸(Z11-+L(1-少

二(〃-D-百十L+少

<(〃-)-(---+----+L+------)

2倉(cāng)電34n(n+1)

.八/I1、2〃?-〃-1

=(n-1)-(-----------)=--------------,

2〃+I25+1)

所以結(jié)論成立.

15、(北京市崇文區(qū)2022-2023學(xué)年年高三統(tǒng)一練習(xí)一)已知定義在

/?上的函數(shù)73=x2(ax-3),其中a為常數(shù).

(I)若是函數(shù)八")的一個(gè)極值點(diǎn)，求8的值；

(II)若函數(shù)/⑴在區(qū)間(-1,0)上是增函數(shù)，求d的取值范圍；

若函數(shù)十)=/(幻+/。］在處取得最大值，求正

(III)0)/￡2,X=0*

數(shù)5的取值范圍.

解：(I)/(x)=ax3-3x2,f\x)=3ax2-6x=3x(ax-2).

丁x=1是/1(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，.,?/⑴=0,二。=2；........................3分

(II)①當(dāng)a=0時(shí),〃%)=-3宇在區(qū)間(-1,0)上是增函數(shù),.-.a=0

符合題意；

92

②當(dāng)a*00寸,/(幻=3ax(x-￡)留'(幻=0得：再=0,超=一；

aa

當(dāng)8>0時(shí)，對(duì)任意xe(T,0),尸(x)>0,「.a>0符合題意；

當(dāng)8<0時(shí)，當(dāng)xWo)時(shí)—<。<0符合題意；

綜上所述，42..................................................8分

(III)a>0,g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,xe[0,2].

g'(x)=3ax2+2(3a—3)x-6=3[ar2+2(a-l)x-2],.......................10分

令g")=o,即”2+2(a-l)x-2=0(*),顯然有A=4〃+4>0.

設(shè)方程(*)的兩個(gè)根為$，w，由(*)式得./=-2<0,不妨設(shè)罰v0<與.

a

當(dāng)0<々<2時(shí)，g區(qū))為極小值，所以g(x)在［0,2］上的最大值只能為

g(0)或g(2)；

當(dāng)當(dāng)之2時(shí)，由于g(x)在［0,2］上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為g(0),

所以在［0,2］上的最大值只能為g(o)或g⑵，

又已知以X)在x=0處取得最大值,所以g(0)Ng⑵,...............12

分

即0220a-24,解得〃］，又因?yàn)椤?gt;0,所以a￡(0,1j.

16、(北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年年高三綜合練習(xí)一)已知函數(shù)

人加卜??”山，在后1處連續(xù)

Inx,x>1

(I)求B的值；

(II)求函數(shù)/⑴的單調(diào)減區(qū)間；

(III)若不等式+c對(duì)一切xwR恒成立，求C的取值范圍.

解：(1)由/⑶祗=1處連續(xù),

可得l-l+a=lnl,故a=0........2分

(H)由⑴得/a)」1-/："

Inx.x>1.

當(dāng)1時(shí)J'(x)=3/-2x,4/Xx)<0,nJ^0<x<—.

當(dāng)x>l時(shí)/")=1，>0.

x

所以函數(shù)7(X)的單調(diào)減區(qū)間為0。)........7分

(III)設(shè)g(x)=f(x)-x=<：一"

\nx-x,x>1.

2

當(dāng)％<1時(shí),g，(x)=3x-2X-19

令g，(x)>0,可得x<>1,即x<-1;

令g\x)<0,可得一g<x<l.

可得(-8,-g)為函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間

當(dāng)了>1吐/(幻=！-1,

X

故當(dāng)x>時(shí),g'(x)〈0.

可得(1,+8)為函數(shù)g(用的單調(diào)減區(qū)間

又函數(shù)g*)在X=1處連續(xù)，

于是函猴(幻的單調(diào)增區(qū)間為-8,-單調(diào)減區(qū)間為-g,+8).

所以函麴(刈的最大值為g(-1)=-工-‘十,二工，

3279327

要使不等處(x)Wx+c對(duì)一珈wR恒成立，

即g(x)<c對(duì)一切xGR恒成立，

又g(x)得,

故C的取值范圍為陛福.

17、(北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年年高三綜合練習(xí)二)已知3為實(shí)

數(shù)，函數(shù)f(x)=a(%2-or+a).

(1)求((0)的值；

(n)若>2,求函數(shù)八工)的單調(diào)區(qū)間.

(1)解：由((X)=ex(x2-ax+a)+ex(2x-a),

可得(。)=，［丁_(々_2)幻，

所以((0)=0.................................................7分

(2)解：當(dāng)a>2時(shí)，外幻>0,可得工<0取>”2.

令廣")<0,可得0cx<〃-2.

可知函數(shù)/⑴的單調(diào)增區(qū)間為(-8,0),(3-2,+8),單調(diào)減區(qū)

間為(0,3-2).

18、(北京市豐臺(tái)區(qū)2022-2023學(xué)年年4月高三統(tǒng)一練習(xí)一)

設(shè)函數(shù)f㈤=0+4一2ln(l+x).

(I)求尸⑴的單調(diào)區(qū)間；

(n)若當(dāng)工工―］時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m

e

的取值范圍；

(m)若關(guān)于x的方程“］)=X2+X+4在區(qū)間［0,2］上恰好有兩個(gè)

相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)3的取值范圍.

解：(I)函數(shù)的定義域?yàn)?-L+

8)................................................1分

「/(x)=2l(x+l)—!-]=2>￥),

x+1x+1

由r(x)>0，得A>0；由f,(x)<0,得

-l<x<0.............................3分

:1(M的遞增區(qū)間是(0,+oo),遞減區(qū)間是(?L

0)....................4分

(n)?.曲/")=至2=0,得x=0,x=-2(舍去)

JV+1

由(I)知f(M在［幻,。1上遞減，在［。，ef上遞增.

e

高三數(shù)學(xué)(理科)答

案第3頁(yè)(共6頁(yè))

又/(Ll)=4+2,f(e-］)=e2-2,且/_2＞二+2?

eee

了.當(dāng).L,"i］時(shí)”(M的最大值為，2.

e

故當(dāng)W＞?-2時(shí)，不等式f(切＜6恒成

立...................9分

(IH)方程/(x)"+x+4,x-a+l-21n(l+x)=0.

lS1?(x)=x-a+l-2In(l+x)/

1+xx+\

由gU)>0,得X>1或X<-1(舍去).由屋(彳)<0,得

一l<xvl?

???［M在QU上遞減在12］上遞增.

為使方程/⑴=在區(qū)間。2］上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，

只須g(x)=0在［0,1］和0,2］上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有d；

g⑵20.

，

,.2-2In2<3-21n3/

「?實(shí)數(shù)d的取值范圍是2-21n2<aK3-21n3.

19、(北京市西城區(qū)2022-2023學(xué)年年4月高三抽樣測(cè)試)已知

函數(shù)/(x)=xlnx.

(I)求Ax)的最小值；

(n)若對(duì)所有都有〃幻之火-1,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(I)解：

/(X)的定義域?yàn)?0，+8),??…1分/(X)的導(dǎo)數(shù)/"(x)=l+lnx.........

3分

令f'(x)>。/解得X/；令八x)<0,解得0c

ee

從而f(X)在(0,j單調(diào)遞減,在(I+8)單調(diào)遞

增........5分

所以，當(dāng)x=l時(shí)，fM取得最小值

e

.......6分

e

(n)解：

解法一：令g(x)=/(x)-(or-l),則

gXx)=f\x)-a=l-a+\nx,............8分

①若Hl,當(dāng)x>l時(shí)，gr(x)=l-a+lnx>l-a>0,

故g⑶在(1,+8)上為增函數(shù)，

所以，x>l時(shí),g(x)>g(l)=\-a>0,即

f(x)>ax-\.............10分

②若4>1,方程，0)=0的根為/=右，

此時(shí)，若xc(L>),則g'(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).

所以，xw(L/0)時(shí),g(x)vg(l)=l-4Vo，即/(x)Vg-l,與題設(shè)

相矛盾.

............12分

綜上，滿足條件的。的取值范圍是

(田，1]?..................13分

解法二：依題意，得在[L+8)上怛成立，

即不等式a<lnx4-i對(duì)于xe[L+QO)怛成

x

立........8分

令^(x)=lnx+-,則

x

?............io分

XXxyX)

當(dāng)x>l時(shí)，因?yàn)?,

故g。)是(1,4-00)上的增函數(shù)，所以g(x)的最小值是

以1)=1,..................12分

從而。的取值范圍是(YO，1].

20、(北京市西城區(qū)2022-2023學(xué)年年5月高三抽樣測(cè)試)已知函

數(shù)——X(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(I)求“X)的最小值；

(n)設(shè)不等式的解集為P1且{W0C42}qP,求實(shí)數(shù)3

的取值范圍；

(m)設(shè).?，證明：或胃〈三。

⑴解：

/(X)的導(dǎo)數(shù)八x)=e'-l.

令/'(x)>0,解得x>0；令/'(x)<0,解得x<0.

從而/(x)在(-8,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)x=0時(shí)，/5)取得最小值1........3分

(II)解：

因?yàn)椴坏仁?(x)>or的解集為P