線性代數(shù)-人民大學(xué)出版社-吳贛昌-第四版-課后習(xí)題答案

線性代數(shù)

（理工類第三版吳贛昌主編）

（中國(guó)人民大學(xué)出版社）

目錄

第一章...........................................................................2

習(xí)題1-1...........................................................................................................................................2

習(xí)題1-2...........................................................................................................................................2

習(xí)題1-3...........................................................................................................................................3

習(xí)題1-4...........................................................................................................................................4

習(xí)題1-5...........................................................................................................................................4

總復(fù)習(xí)題一...................................................................4

第二章...........................................................................6

習(xí)題2-1...........................................................................................................................................6

習(xí)題2-2...........................................................................................................................................7

習(xí)題2-3.........................................................................................................................................10

習(xí)題2-4.........................................................................................................................................12

習(xí)題2-5.........................................................................................................................................14

習(xí)題2-6.........................................................................................................................................15

總習(xí)題二....................................................................16

第三章..........................................................................27

習(xí)題3-1.........................................................................................................................................27

習(xí)題3-2.........................................................................................................................................28

習(xí)題3-3.........................................................................................................................................29

習(xí)題3-4.........................................................................................................................................31

習(xí)題3-5.........................................................................................................................................32

習(xí)題3-6.........................................................................................................................................34

習(xí)題3-7.........................................................................................................................................35

總復(fù)習(xí)題三..................................................................37

第四章.........................................................................42

習(xí)題4-1.........................................................................................................................................42

習(xí)題4-21................................................................................................................................44

習(xí)題4-3.........................................................................................................................................46

習(xí)題4-4.........................................................................................................................................48

習(xí)題4-5.........................................................................................................................................50

總復(fù)習(xí)題四..................................................................51

第五章..........................................................................60

習(xí)題5-1.........................................................................................................................................60

習(xí)題5-2.........................................................................................................................................61

習(xí)題5-3.........................................................................................................................................62

總復(fù)習(xí)題五..................................................................64

第一章

習(xí)題1-1

1.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

2.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

3

31AT

4xO=3x*x_v+4x_vxO+lxOxl

1OXVfCCV/

—*x*xl—3x0x0—1x4xJC

=3x2—x2—4_v=2JV2—4x

=2*<x—2),

31”

萬斤巨Q―XXOXX2日寸04ATOKO.

1Ox

習(xí)題1-2

1

2

由二^交口,ng:彳亍左u—：

(-1)Z41〃產(chǎn)2"2。？〃3。404，

?=>="/P、PNP?PA白勺三至攵.

三二息天口

^3—i=l9-2=3fel9—i-2p3PA3W

13IIII-

AP1324K.1342,白勺/另

O+O+1+O=1O+O+O+2=2>

-------411a23a32a44尋D411423434"42上斤".

3

(1)四刃7V(123456)4-2V(532416)=O-F8=8,

a15423432a44451466^17.TE..

(2)困％~。23456)+7VQ36254)=O+5=5,

^^以〃11〃26〃32—53=65皿.

(3)四刃”(251463)+2036254)=6+5=11,

421a53416442065。34^^7T^,.

4.(1)

(2)

(3)

習(xí)題1-3

1

I34213332ASII342；S1OOO1

兄卒=1

N8O92N9<，9NNSC9N1<>(><>1

iooo|34"

128O9N:I

=]1OOO<34215一28092)

=iG123000-

(2)

(3)

(4)

(5)

2.(1)

(2)

3.(1)

(2)

4.(1)

(2)

x=±1,x=±2.

習(xí)題1?4

1

2

3.(1)

(2)

4

5.(1)

(2)

(3)

(4)

習(xí)題

1.(1)

(2)

2.(1)

(2)

3.(1)

(2)

221~069

--

124T124

----

D=582~08=—30KO,

12:

T&m=?Z==O,

5

>111

角率D=1ju1="—JLIA.

12幺1

齊次空4生力渾土m巨魯麗，貝UQ=O,即zz—"4=0

"=OMSC且=1>

不理L**i￡E,，"=0技工=］日寸，"齊"裝，|生力下呈多且確土

小金梅.

總復(fù)習(xí)題一

1.(1)

(2)

2

角率居］7V(12345)+7V(3Ar42Z)=7V(3>t42Z),

4艮乖彳亍3U式的W叉,k,l只令巳川又1Mt5,

若4=5,，=1,貝U2V(35421)=8;

-4=1,Z=5,貝U7V(31425)=3.

4=1,/=5.

3

旃D中希一行的m曰雯K專只*"i,2o<〃,小Ji只會(huì)巨取2002,

用淳由至彳亍交口,

2,3,???,2002j2=2001,J3=2000,—,J2002

=1,72003=2003,h是jl?jz,…,./2OO3在B會(huì)巨土的卷曲中,

只務(wù)巨田店—^個(gè)2003穌掃歸歹!J.

士工D中m三唳頂X*一頂，AP

z>=(-1)^20022001...212003)2002^2,2001…?2002,1^2003,2003

=(-1)2001+2000+…+2+11-2-3—2002-2003=.2003!

4.(1)

(2)

(3)

(4)

5

6

2000.

千亍+11OO,200,300

3尹200,400,6002聲U2—1TSF-

與^—2另U刀口三《*"1歹!！="*■3于U,*?2歹￡|孑軍美孟衛(wèi)匡］會(huì)攵

ioo,T^-?r-r4c5sr-irr=^,t<p

31OO43143

D=—1200—5=1OO—12—5=1OO-1

1300O13O1

=1OOr一用=2000.

7.(1)

(2)

8

1OOO至u芻什+中

ah—ac——ad—a

■iJH=

a?b2—a2c2一a242—〃2句：1乍我令勺彳亍

a4Z>4一a4e4—■〃4一。4

b-uc-acl—u

=?2—〃2一―a2.d2"2

Z>2(Z>2—?2)c2(cr2—a2)cl2(</2—?2)

111

=(/>—〃)(c—a)(</—a)b+ac+a4+a

〃20+“)〃2(4+〃)

9.(1)

(2)

10

11

12

Z4i+2N42+3N44=1"N4i+242+O?N43+44

36912

248

1203

1203

13

解由題設(shè)才巴”匕彳亍歹！J式按第四彳亍展開,以及用第二彳亍元素

乘以對(duì)應(yīng)第四行^元素的代數(shù)余子式，得

441+/42+2(N43+/44)=-6

3(441+/42)+4(743+A44)=。

由此解得

力41+/42=12,/43+/44=—9.

14.(1)

(2)

第二章

習(xí)題2-1

1

解8策略-?

石頭剪子布

A石頭01-1

策

略剪子-101

J布11

-10,

2

解123456

1「10111、

200111

311100

400011

500101

川

601007

選手按勝多負(fù)少排序?yàn)?23456.

習(xí)題2-2

2.(1)

(2)

(3)

3.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

4

5

解如圖，設(shè)

,y=OP2=

\x2J5,

yi\[cos。-sin夕\

則

、夕

yiJsin(pCOSJ\X2J

fxxcos^-x2sin9?\

Esin(p+X2COS。/

為方便起見，利用極坐標(biāo)表示,設(shè)。,則有

Xi=rcosx2=rsin(p,

y(\rcos0cos0-rsin8sin(p，rcos(6+e)

夕夕+夕、夕)

y2JIrsinsinrcosgcosrsin(g+

8.(1)

(2)

9

10.(1)

(2)

(3)

解AL=(aTp)(aT/3)=aT(/3aT)p=^aTp=3A,

A3=A2-A=32A,……

依此類推，可得力"=3"~,而

(11/21/3、

A=aTp=2(

(11/21/31

故力"=3〃一|212/3.

<33/21>

12

證充分性

AB=BAAB=BTAT

AB=(AB)T

即AB是對(duì)稱矩陣.

必要性

(AB)T=AB-?BTAT=AB

-?BA=AB證畢.

13

解

ail+^22。23+〃23

。33+仇3J

14

a\2"13]

解q殳A=?21a22a23

<"31°32.33>

’—tna\\—ma\2,一〃叫3、

〃

貝！J--mAma2\—W?22—z"23,

“Z.31-ma32-〃Z°33>

—man—fnaX2—ma\^

從而1一，|=：—m?2i—ma^—maz2

-W?31~"Z"32-5"33

=—tn，|A|=—Hl4.

習(xí)題2-3

i.(i)

2、

解A=,1^1=1

25J

ii=5,421=2X(—1),4n=2x(-1),422=1

.(A421)(5-2}

A=u=

(41222J1-21)

.1>-2

故力=----4*=

MlI17

\(2)

(3)

2.(1)

(2)

(3)

3.

(

(x八[\221、(yA

解由題設(shè)X315故

2y2

323J<yj

、(、

SO(2213、-7—49V巧

為315X263-7A

kX3J

i323732—47

當(dāng)=一7看—4*2+9*3

乃=

從而6X[+3x2-7X3.

、3x2x七

y3=i+i-4

4.(1)

(2)

5

解因(4*尸=(|川/7)々=7\力，

Ml

故[(/)T]T=KZ*)T]，=d

r-400A

=-AT=0-2-4

閡I0-6-10J

6

解因?yàn)閨)|=2,所以力可逆?由求逆公式得

\A*\=\\A\A-X\=\A\3\A-1\.

又由力力7=E得I力||力一1|=|0，

即#1=十，

代人|"*|得\A'\=\A\i--^-=\A\2=4.

Ml

7.(D

(2)

習(xí)題2-4

1.(1)

(2)

2

(OAVA<C2、

解將分塊為,其中G為sXn矩陣,

(6O)kC3C4>

C2為SXS失巨陣,。3為〃X〃矩陣,。4為〃xs矩陣.

cvvc\

OX"12EnO\

貝！J

R

UyxSoJcc47oEJ

由此彳導(dǎo)l

AC.=E"—C3=A

(/T存在)

AC4=O—?C4=O

存在)

BCX=O-CX=O(?T

EX

BC2=S-?C2=B

OAY'(O6吟

故

BO)O)

4.(1)

(2)

(3)

5

解

(1)14,24,A3\=2\A},A2,4|=2x(—2)=—4;

()一，

2143—24,34,4I=3|4,A2,4|6|442,41

=-3|4],A2^A3\—6x0

=-3x(-2)

=6.

6

解力7=（用色…MePI-P〃）

⑻）

=色…B〃）

四\PxPl…夕血）

_PlPxP1P1…P\Pn

???*

????.?

PnPl…儲(chǔ)底）

習(xí)題2-5

x

(2)

z

(

\

3>

z

2

3(

?

(2X

J

3\

(l

z

4X

(J

Z

5x

(l

z

4(

?

(2\

7

3

(\

7

4

x

(>

z

0

\

5J

?)Z

C2

)

C3

)

尊4

6

解由于AXA+BXB—AXB—BXA=E,

于是AX(A-B)-BX(A-B)=E,

RP(A-B)X(A-B)=E.

因?yàn)?/p>

(125、

故X=[(4-B)T]2=012.

Io01J

習(xí)題2-6

又力有一個(gè)不等于零的二階子式1-：=9,

2—1

所以r(A)=2.

2

解由題設(shè)條件和矩陣的秩的概念，易見

r(A)<r(Ab)<r(力)+1.

3

解在秩是r的矩陣中，可能存在等于0的r-l階子式，

也可能存在等于0的r階子式.

0000)

0100

例如，A—0010,r(A)=3,

0000

lo00oJ

同時(shí)存在等于0的3階子式和2階子式.

4

解此時(shí)有關(guān)系r(A)>r(B).

設(shè)r(8)=r,且4的某個(gè)r階子式OrwO.矩陣5是由

矩陣N劃去一行得到的，所以在Z中能找到與Q相同的

r階子式瓦，由于

瓦=。-0,

故而r(%)之r(8).

5.(1)

(2)

(3)

6

解對(duì)/作初等行變換，得

ro2-1051)ri10-6n

A->0-212+123->09-3A2-30

1Jlo

10—62-105\)

(110-61)

f02-1051

<09-322-30>

當(dāng)a=3日寸，r(A)=2;當(dāng)義/3時(shí)，/*(/!)=3.

總習(xí)題二

1

ro100)

001

解城市間的航班用矩陣表示為

000

lo01oJ

<000<0010、

0010A31000

0100，0001

U00ojlo10oj

(0101A/oiin

AA20011力+T+八1701

+=100'

010/111107

由于力+42中,存在%=0,即無法由i城市至j城市,例如即

使允許經(jīng)一次中轉(zhuǎn)亦無法由。城市去C城市.而4+/2+/3

中，Pi羊j均有5=1,故至多經(jīng)兩次中轉(zhuǎn)必可由一城市到達(dá)

其他三個(gè)城市中的任一城市.

2

(x+2〃-32P+4A_/OOA

I*7+2.y—x4-4—vJLOO)

rx+2〃-3=0

J7+2y—x=O

2V-F4=O

I_y+4—y=O

x=—5,y=-6,u=49v=—2.

3

證(1)—(2):因?yàn)?/p>

(A±B}1={A±B)(A±B}=Al±AB±BA+B1

故當(dāng)且僅當(dāng)力6=6%時(shí)，

(A+B)2=A1±2AB+B1;

⑴―>(3):因?yàn)?/p>

(A+B)(A-B)=A2-AB+BA+B2,

故當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時(shí),

(A+B)(A-B)=A2-B2.證畢.

4

證設(shè)力是“IX〃矩陣，由可乘,故可設(shè)B是〃xs矩

陣.又因BA°TM,所以〃？=s.那么45是〃z階矩陣,BA

是〃階矩陣.從力，B可交換,即

AB=BAm=n,

即4B是同階矩陣，同理。與力，B也同階.

由結(jié)合律，有

A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A,

所以力與BC可交換.

5

6

7

證若42=%,貝jJ

/2=1(B+￡)(〃+E)=J(〃2+25+E)=!(〃+E)

442

B2+1B+E=2B+2EB2=E;

若B2=E,則

A2=^(B2+2B+E)=^(E+2B+E)

=；(〃+￡)=/!?

8

解直接計(jì)算加，/4,4100是復(fù)雜的，這里我們將力轉(zhuǎn)化

為列向量乘行向量,則可利用結(jié)合律簡(jiǎn)化計(jì)算.

in

因?yàn)锳=2222(111),

13337<3>

<n

令尸=2,0=(111),貝!JA=PQ,且2尸=(111)2=6,

于是A2=PQPQ=P(QP)Q=6PQ=6A,

A4=A2,A2=6A,6A=6,2=6A,

一般地4i°°=PQ.PQ…產(chǎn)Q=P(QP)(Q尸)???(Q尸)Q

=(QP)".PQ=6"A.

9

10

101101、(102、

A2=020020040=2A

101101?<202?

32a2

A=AA=2A9.....

一般地,可得到如下遞推公式：

An=A1An-1=2An~\

故An-2AnX=O.

11

解通過左乘力的逆或右乘C,注意到E與，和￡的可

交換，生，*ABC=E^P

A(BC)=(BC)A=E,

或

(AB)C=C(AB)=E,

可見(B)正確.因乘法不一定能交換，故其余不恒成立.

故應(yīng)選(B).

12

證由42一4—2￡=。A2-A=2E

兩端同時(shí)取行列式：\A2-A\=2,

即\A\\A-E\=2,故|/|0°，

所以A可逆.

而A+2E=A1,

\A+2E\=\A2\=\A\2^0,

故A^IE也可逆.

13

解利用矩陣分塊法，

ro02)

i30

k25oj

而當(dāng)B,。均可逆時(shí)，有

OBOC1

COB-O

-106)

1f0

再利用公式（JU）T=24-1,易見空內(nèi)應(yīng)填04-2

k100}

14

解利用公式/T=義/*計(jì)算.

Ml

11-1

?:\A\=210=3,0,，/T存在.又

1-10

0

4i=(-D=o,“=（T）

0

15

解1乍分塊排:陣(4|E),施，彳亍初7等行變換.

'02-1：100(112：01°：

1121：010—>?02-11：100

1-1-1-1:001J

<—1—1-1:0017

T12：010)/110：0-1-21

1

—>02-1;1o0020:111

1001：011J

<001：011>

Tio0-1-2"(\00：-1/2-3/2-5/2]

—>0101/21/21/2—>0101：1/21/21/2

lo01：01

<001011y1)

16

解由P-AAP=A-A=PAPA尸1

17

解因所給矩陣方程中含有A及其伴隨矩陣A*,故可從

公式AA*=\A\E著手.

用A左乘所給方程兩邊，得

AA*BA=2ABA-8A,

又|力|=-2工0,故力是可逆矩陣，用力t右乘上式兩邊得

\A\B=2AB-8E(2A+2E)B=8E-?(A+E)B=4E.

注意至4A+E=diag(1,-2,1)+diag(l,1,1)=diag(2,-1,2),

是可逆矩陣,且

G4+E)-:diag(；,—l,；),

于是B=4(，+E)i=diag(2,—4,2).

18

解?/A*=\A\A~A=^A~\

/.-2A*\=-A-l

=:/T

19.(1)

(2)

20.(1)

(2)

21.(1)

⑵

22

O)

解按如圖方法將原矩陣分塊A=

42/

(A0丫(0

則不=x

(。^2)I。

A8=A?\\Al=A8A8=1016,

，II/xl/2

(540

05

而A

（。⑷O2’。

ABA+BO

證⑴因

BABA-B

兩邊同時(shí)率行列式有

ABA+

BA~B

（2）由（1）顯然.

24

axa{cifjQff…%%；、

Tra2a{a2a1…a2al

解AA=?TTa

{aa???n)~;;：

、a“a[a〃a；…a“a〃

若44T=E成立，則必須是447的主對(duì)角線上的元素全為1,

其他位置上的元素都為零，即

Tf0,i豐j

%af=L.?，其中人/=1,2,…，〃.

lbt=J

25

fo0i)fl0o）

解注急到P=010與2=ooi均為初等矩陣，

Uooj1010；

"是4作一次行變換（一、三兩彳亍互換），

產(chǎn)2000力為力的一、三兩行作了偶數(shù)次對(duì)換,故

P^°A=A.

類似地，ZQ2001相當(dāng)于力的二、三列作了一次對(duì)換.

（\31\

故應(yīng)填：465.

1798）

26

解由題意及初等矩陣性質(zhì)，有

B=E(ij)A

所以ABl=A(E(ij)A)1

=AA1E\ij)=E\ij)=E(ij).

27

(1)證由于42=%，于是

2A-B-AB=A-B+A-AB=A-B+A2-AB

=(A-B)+A(A-B)=(E+A)(A-B)=E,

故力-笈為可逆矩陣，且(/-b)T=E+4

28

解由題設(shè)條件，令

(\00)P00)

尸=01-22=11o

1001JIo0\)

則

At=PA,B}=BQA\B[=PABQ,

l

AB=PAI,B.IQ'

H00100)(Oil)

012022110-228.

(001003001JI003J

29

解化簡(jiǎn)矩陣方程為

(A-E)X=A2-E.

(oon

由于A—E=016,一E|=-lwO,

1160；

知，一￡可逆.故可用(/-￡)T左乘⑴式兩端,得

X=(A-E)~\A1-E)

=(A-E)\A-E)(A+E)

(ion

—