第3章概率全章總結(jié)提課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

全章總結(jié)提升第3章概率湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊(cè)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升專題一條件概率、乘法公式及全概率公式條件概率、乘法公式及全概率公式是概率問(wèn)題的工具.條件概率的本質(zhì)是在縮小的樣本空間中求隨機(jī)事件的概率,將條件概率公式變形可得概率的乘法公式.事件的相互獨(dú)立性可由條件概率得到,而事件的相互獨(dú)立性是進(jìn)一步研究獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的基礎(chǔ).全概率公式與貝葉斯公式是計(jì)算某些復(fù)雜事件的概率的有利工具.這些公式主要提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【例1】

設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間,它們生產(chǎn)同一種工件,每個(gè)車間的產(chǎn)量占該廠總產(chǎn)量的百分比依次為25%,35%,40%,它們的次品率依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從這批工件中任取一件.(1)求取到次品的概率;(2)已知取到的是次品,求它是甲車間生產(chǎn)的概率.(精確到0.01)解

(1)設(shè)事件B1,B2,B3分別表示取出的工件是甲、乙、丙車間生產(chǎn)的,A表示“取到的是次品”,易知B1,B2,B3兩兩互斥.根據(jù)全概率公式可得故取到次品的概率為0.034

5.故已知取到的是次品,它是甲車間生產(chǎn)的概率為0.36.規(guī)律方法

涉及多個(gè)事件之間的關(guān)系,且事件結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的作用大小有關(guān)的事件常用全概率公式求解,而貝葉斯公式P(A|B)=

的本質(zhì)就是條件概率.變式訓(xùn)練1設(shè)某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器,第一車間的次品率為0.15,第二車間的次品率為0.12,兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù),假設(shè)第一、二車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3.今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品,則該產(chǎn)品合格的概率為(

)A.0.6 B.0.85C.0.868 D.0.88C解析

設(shè)從倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提出的一臺(tái)是合格品為事件B,事件Ai表示提出的一臺(tái)是第i車間生產(chǎn)的,i=1,2,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.所以該產(chǎn)品合格的概率為0.868.專題二二項(xiàng)分布與超幾何分布二項(xiàng)分布是指在相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn),各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立,且每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果的概率模型.兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的一種特殊情況,而超幾何分布是指從含有兩類不同物體中抽取個(gè)體,其中的隨機(jī)變量是某一類物體個(gè)數(shù)多少的一種模型,其重要特征是不放回地抽取.二項(xiàng)分布與超幾何分布模型主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例2】

福州紙傘是歷史悠久的中國(guó)傳統(tǒng)手工藝品,屬于福州三寶之一.紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架,第二步裱傘面,第三步繪花刷油.一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術(shù)要求.已知某工藝師在每個(gè)環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為,只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都合格才認(rèn)為一次成功制作.(1)求該工藝師進(jìn)行3次制作,恰有一件優(yōu)秀作品的概率;(2)若該工藝師制作4次,其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(2)該工藝師制作4次,其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,故X的分布列為

規(guī)律方法

(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí),首先要確定好n和k的值,再準(zhǔn)確利用公式求概率.(2)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是厘清事件與事件之間的關(guān)系,確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率,求得概率.變式訓(xùn)練2高二(1)班在聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲:準(zhǔn)備了10張相同的卡片,其中只在5張卡片上印有“獎(jiǎng)”字.游戲者從10張卡片中任意抽取5張,如果抽到2張或2張以上印有“獎(jiǎng)”字的卡片,就可獲得一件精美小禮品;如果抽到的5張卡片都印有“獎(jiǎng)”字,除精美小禮品外,還可獲贈(zèng)一套叢書.一名同學(xué)準(zhǔn)備試試,那么獲得精美小禮品的概率是多少?能獲贈(zèng)一套叢書的概率又是多少?專題三離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差離散型隨機(jī)變量的概率分布反映了隨機(jī)變量取各個(gè)值的可能性大小,而離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望則反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量的集中與離散程度.求離散型隨機(jī)變量的期望、方差主要是提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例3】

某公司全年圓滿完成預(yù)定的生產(chǎn)任務(wù),為答謝各位員工一年來(lái)的銳意進(jìn)取和辛勤努力,公司決定在聯(lián)歡晚會(huì)后,擬通過(guò)抽獎(jiǎng)的方式對(duì)500位員工進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),規(guī)定:每位員工從一個(gè)裝有4種面值的獎(jiǎng)券的箱子中,一次隨機(jī)抽出2張獎(jiǎng)券,獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券中有1張面值為80元,其余3張均為40元,試比較員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率的大小.(2)公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是6萬(wàn)元,預(yù)定箱子中所裝的4種面值的獎(jiǎng)券有兩種方案:第一方案是2張面值20元和2張面值100元;第二方案是2張面值40元和2張面值80元.為了使員工得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能地符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡,選擇哪一種方案比較好?請(qǐng)說(shuō)明理由.解

(1)用X表示員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額.所以P(X=80)=P(X=120),故員工獲得80元獎(jiǎng)勵(lì)額與獲得120元獎(jiǎng)勵(lì)額的概率相等.(2)第一種方案為(20,20,100,100),設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1,則X1的分布列為第二種方案為(40,40,80,80),設(shè)員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2,則X2的分布列為

又因?yàn)?00E(X1)=500E(X2)=60

000(元),所以兩種方案獎(jiǎng)勵(lì)額的數(shù)學(xué)期望都符合要求,但第二種方案的方差比第一種方案的小,故應(yīng)選擇第二種方案.規(guī)律方法

(1)求解離散型隨機(jī)變量的期望與方差,首先要根據(jù)隨機(jī)變量的取值求出相應(yīng)的概率,列出分布列后利用公式求數(shù)學(xué)期望與方差;若涉及兩變量之間的關(guān)系Y=aX+b,則可以直接利用E(Y)=aE(X)+b,D(Y)=a2D(X).(2)利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差可以解決生活中的決策問(wèn)題,其主要方法就是比較隨機(jī)變量的期望或方差大小.專題四正態(tài)分布正態(tài)分布曲線主要是描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率模型.利用正態(tài)分布模型可以提升直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例4】

某無(wú)人機(jī)配件廠商從其所生產(chǎn)的某種無(wú)人機(jī)配件中隨機(jī)抽取了一部分進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),其某項(xiàng)質(zhì)量測(cè)試指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N(18,4),且X落在區(qū)間[20,22]內(nèi)的無(wú)人機(jī)配件個(gè)數(shù)約為2718,則所抽取的這批無(wú)人機(jī)配件中質(zhì)量指標(biāo)值X不高于14的個(gè)數(shù)大約為(

)(附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.228 B.455

C.27

D.40B解析

因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(18,4),又X落在區(qū)間[20,22]內(nèi)的個(gè)數(shù)約為2

718,故所抽取的這批無(wú)人機(jī)配件中質(zhì)量指標(biāo)值X不高于14的個(gè)數(shù)大約為20

000×0.022

75=455.故選B.規(guī)律方法

由于正態(tài)曲線是軸對(duì)稱圖形,因此求解與正態(tài)分布有關(guān)的概率問(wèn)題要借助正態(tài)曲線對(duì)稱性以及正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值.變式訓(xùn)練3若某市高三某次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)X(單位:分)服從正態(tài)分布N(96,16),則從該市任選1名高三學(xué)生,其這次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)滿足100<X≤108的概率約為(

)參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.1573 B.0.34135C.0.49865 D.0.1359A解析

因?yàn)閿?shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)X(單位:分)服從正態(tài)分布N(96,16),所以μ=96,σ=