八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第一章第08講 模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型-共頂點(diǎn)的等腰三角形(3類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第08講模型構(gòu)建專題：“手拉手”模型——共頂點(diǎn)的等腰三角形(3類(lèi)熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類(lèi)型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】 1【類(lèi)型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】 10【類(lèi)型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】 18【類(lèi)型一共頂點(diǎn)的等邊三角形】例題：（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，、都是等邊三角形，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：(2)連接，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，等邊三角形和等邊三角形，連接，，其中．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；(3)利用備用圖補(bǔ)全圖形，直線，交于點(diǎn)，連接，若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．2．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)課上，張老師帶領(lǐng)學(xué)生們對(duì)課本一道習(xí)題層層深入研究．教材再現(xiàn)：如圖，，都是等邊三角形．求證：．(1)請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；繼續(xù)研究：(2)如圖，在圖的基礎(chǔ)上若與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，求證：平分；(3)在（）的條件下再探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．（2023上·山西·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知是等邊三角形，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在直線右側(cè)作等邊三角形．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，連接，此時(shí)，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，（1）中，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的結(jié)論及證明過(guò)程；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【類(lèi)型二共頂點(diǎn)的等腰直角三角形】例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，點(diǎn)D、E在，上，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？（直接寫(xiě)出答案不證明）(2)如圖2，點(diǎn)D在內(nèi)部，點(diǎn)E在外部，連接，，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______，、所在直線的位置關(guān)系為_(kāi)_______；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2023秋·山東日照·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接CE．（1）在圖1中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BC=CE+CD；（2）在圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論BC=CE+CD是否還成立？若不成立，請(qǐng)猜想BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，不需寫(xiě)證明過(guò)程，直接寫(xiě)出BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系及直線CE與直線BC的位置關(guān)系．

3．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期中）如圖，與為等腰直角三角形，，，，，連接、．(1)如圖，若，，求的度數(shù)；(2)如圖，若、、三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)，且，，求的面積；(3)如圖，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，在上有一點(diǎn)且，連接，請(qǐng)猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．【類(lèi)型三共頂點(diǎn)的一般等腰三角形】例題：（2023秋·廣東·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若和均為等腰三角形，且，當(dāng)和互余時(shí)，稱與互為“底余等腰三角形”，的邊BC上的高AH叫做的“余高”．(1)如圖1，與互為“底余等腰三角形”，若連接，，判斷與是否互為“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如圖1，與互為“底余等腰三角形”，當(dāng)時(shí)，若的“余高”是．①請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出；（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）②求證：．(3)如圖2，當(dāng)時(shí)，與互為“底余等腰三角形”，連接、，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知中，．分別以、為腰在左側(cè)、右側(cè)作等腰三角形．等腰三角形，連接、．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①、的形狀是____________；②求證：．(2)若，①如圖2，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)時(shí)，是否仍然成立？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由．2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）定義：頂角相等且頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形叫做“同源三角形”，我們稱這兩個(gè)頂角為“同源角”．如圖，和為“同源三角形”，，，與為“同源角”．(1)如圖1，和為“同源三角形”，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，若“同源三角形”和上的點(diǎn)，，在同一條直線上，且，則______°．(3)如圖3，和為“同源三角形”，且“同源角”的度數(shù)為90°時(shí)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，試說(shuō)明是等腰直角三角形．3．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）規(guī)定：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的