山西省太原市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬考試試題二文含解析

PAGE19-山西省太原市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬考試試題（二）文（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．已知復(fù)數(shù)z＝，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i2．已知集合A＝{x|x（x﹣1）＝0}，B＝{x||x|＝1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{1}3．藝術(shù)體操競賽共有7位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時(shí)，從7個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評分．5個(gè)有效評分與7個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差4．已知斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完備的“黃金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)列（即a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*））的各項(xiàng)為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，將這些圓弧依次連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．自然界存在許多斐波拉契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．如圖為該螺旋線的一部分，則第七項(xiàng)所對應(yīng)的扇形的弧長為（）A． B． C． D．4π5．在等比數(shù)列{an}中，a1＝，a2a4＝2a3﹣1，則a5＝（）A．2 B．4 C．6 D．86．點(diǎn)P（m，m）（m≠0）是拋物線y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則p＝（）A．1 B．2 C． D．67．已知函數(shù)y＝f（x）部分圖象的大致形態(tài)如圖所示，則y＝f（x）的解析式最可能是（）A．f（x）＝ B．f（x）＝ C．f（x）＝ D．f（x）＝8．已知函數(shù)f（x）＝a2x3﹣x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過點(diǎn)（2，6），則實(shí)數(shù)a＝（）A．±1 B．±2 C． D．±9．已知圓M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝3（a，b∈R）與圓O：x2+y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝，則下列錯(cuò)誤的結(jié)論是（）A．?是定值 B．四邊形OAMB的面積是定值 C．a(chǎn)+b的最小值為﹣ D．a(chǎn)?b的最大值為210．在直角△ABC中，a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，點(diǎn)G是△ABC的重心，若AG⊥BG，則cosC＝（）A． B． C． D．11．已知三棱錐A﹣BCD中，AB＝BD＝DA＝2，BC⊥CD，BC＝CD，則當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）A．48π B．28π C．16π D．20π12．已知直線x﹣2y+n＝0（n≠0）與雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，0），若|PA|＝|PB|，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)，為單位向量，且|+|＝，則|﹣|＝．14．已知sinα+cosα＝，則sin2α＝．15．已知點(diǎn)A（1，0）和B（2，m），點(diǎn)M（x，y）是函數(shù)y＝lnx圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若對于隨意的點(diǎn)M（x，y），不等式≥（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）恒成立，則實(shí)數(shù)m＝．16．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE折起至△PAE，使得平面PAB⊥平面ABC，過P作PG⊥AB，垂足為G，則AG的取值范圍為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，△ABD的面積為．（Ⅰ）求BD的長；（Ⅱ）若∠BCD＝120°，求BC+CD的取值范圍．18．2017年國家發(fā)改委、住建部發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》，規(guī)定46個(gè)城市在2024年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收、利用率要達(dá)35%以上．某市在實(shí)施垃圾分類之前，對人口數(shù)量在1萬左右的社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查．已知該市這樣的社區(qū)有200個(gè)，如圖是某天從中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖．現(xiàn)將垃圾量超過14噸/天的社區(qū)稱為“超標(biāo)”社區(qū)．（Ⅰ）依據(jù)上述資料，估計(jì)當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值（精確到整數(shù)）；（Ⅱ）若以上述樣本的頻率近似代替總體的概率，請估計(jì)這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)．（Ⅲ）市環(huán)保部門確定對樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進(jìn)行調(diào)查，先從這些社區(qū)中按垃圾量用分層抽樣抽取5個(gè)，再從這5個(gè)社區(qū)隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行重點(diǎn)監(jiān)控，求重點(diǎn)監(jiān)控社區(qū)中至少有1個(gè)垃圾量為[16，18]的社區(qū)的概率．19．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：平面BCF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直線BE與平面ABCD所成的角為45°，求三棱錐A﹣CEF的體積．20．已知函數(shù)f（x）＝ax+1（a∈R），g（x）＝sinx+cosx．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，證明：不等式f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在[﹣，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a取值的集合．21．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，直線l：x＝與橢圓C相交于D，E兩個(gè)不同點(diǎn)，直線DA與直線DB的斜率之積為﹣，△ABD的面積為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若點(diǎn)P是直線l：x＝的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不在x軸上），直線AP與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，過P作BQ的垂線，垂足為M，在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得|MN|為定值，若存在，懇求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．作答時(shí)請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．[選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（）＝．（Ⅰ）求曲線C的一般方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)A在曲線C上，且點(diǎn)A到直線l的距離為，求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x+m2|+|2x﹣m|（m＞0）．（Ⅰ）當(dāng)m＝1時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值為，且a+b＝m（a＞0，b＞0），求證：+2≤．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)z＝，則z的共軛復(fù)數(shù)是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i解：復(fù)數(shù)z＝＝所以它的共軛復(fù)數(shù)為：1﹣i故選：A．2．已知集合A＝{x|x（x﹣1）＝0}，B＝{x||x|＝1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{1}解：A＝{x|x（x﹣1）＝0}＝{0，1}，B＝{x||x|＝1}＝{1，﹣1}，則A∩B＝{1}．故選：D．3．藝術(shù)體操競賽共有7位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時(shí)，從7個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評分．5個(gè)有效評分與7個(gè)原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差解：依據(jù)題意，從7個(gè)原始評分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評分．5個(gè)有效評分與7個(gè)原始評分相比，不變的中位數(shù)，故選：A．4．已知斐波那契螺旋線被譽(yù)為自然界最完備的“黃金螺旋線”，它的畫法是：以斐波那契數(shù)列（即a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*））的各項(xiàng)為邊長的正方形拼成長方形，然后在每個(gè)正方形中畫一個(gè)圓心角為90°的圓弧，將這些圓弧依次連起來的弧線就是斐波那契螺旋線．自然界存在許多斐波拉契螺旋線的圖案，例如向日葵、鸚鵡螺等．如圖為該螺旋線的一部分，則第七項(xiàng)所對應(yīng)的扇形的弧長為（）A． B． C． D．4π解：由斐波那契數(shù)的規(guī)律可知，從第三項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)都是前面兩個(gè)數(shù)之和，依據(jù)題意，接下來的一段圓弧所在圓的半徑r＝5+8＝13，對應(yīng)的弧長l＝2π×13×＝，故選：C．5．在等比數(shù)列{an}中，a1＝，a2a4＝2a3﹣1，則a5＝（）A．2 B．4 C．6 D．8解：依據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，有a2a4＝a32，則有a2a4＝a32＝2a3﹣1，解可得a3＝1，又由a1＝，則a1a5＝a32，解可得a5＝4，故選：B．6．點(diǎn)P（m，m）（m≠0）是拋物線y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則p＝（）A．1 B．2 C． D．6解：∵點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3，∴+m＝3，點(diǎn)P（m，m）（m≠0）是拋物線y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn)，可得2m2＝2pm，解得p＝2．故選：B．7．已知函數(shù)y＝f（x）部分圖象的大致形態(tài)如圖所示，則y＝f（x）的解析式最可能是（）A．f（x）＝ B．f（x）＝ C．f（x）＝ D．f（x）＝解：依據(jù)題意，由函數(shù)y＝f（x）的圖象，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（x）為奇函數(shù)，依次分析選項(xiàng)：對于A，f（x）＝，有ex﹣e﹣x≠0，即x≠0，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，且f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，符合題意，對于B，f（x）＝，有ex﹣e﹣x≠0，即x≠0，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，不符合題意，對于C，f（x）＝，ex+e﹣x≠0恒成立，其定義域?yàn)镽，不符合題意，對于D，f（x）＝，ex+e﹣x≠0恒成立，其定義域?yàn)镽，不符合題意，故選：A．8．已知函數(shù)f（x）＝a2x3﹣x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過點(diǎn)（2，6），則實(shí)數(shù)a＝（）A．±1 B．±2 C． D．±解：函數(shù)f（x）＝a2x3﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝3a2x2﹣1，可得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為k＝3a2﹣1，由切線經(jīng)過點(diǎn)（2，6），可得3a2﹣1＝，解得a＝±．故選：D．9．已知圓M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝3（a，b∈R）與圓O：x2+y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝，則下列錯(cuò)誤的結(jié)論是（）A．?是定值 B．四邊形OAMB的面積是定值 C．a(chǎn)+b的最小值為﹣ D．a(chǎn)?b的最大值為2解：圓M的圓心M（a，b），半徑r＝，則△MAB為邊長為的等邊三角形，①：∵＝||?||?cos60°＝＝，∴A正確，②：∵OA＝OB＝1，AB＝，△OAB的高h(yuǎn)＝，∴S△ABO＝＝，∵S△MAB＝×（）2＝，∴S四邊形OAMB＝+＝，∴B正確，③：由②知S四邊形OAMB＝×OM×AB，∴OM＝＝2，即＝2，∴a2+b2＝4，∵2（a2+b2）≥（a+b）2，∴（a+b）2≤8，∴﹣2a+b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號，∴a+b的最小值為﹣2，∴C錯(cuò)誤，④：由③得，∵a2+b2＝4≥2ab，∴ab≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號，∴ab的最大值為2，∴D正確．故選：C．10．在直角△ABC中，a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，點(diǎn)G是△ABC的重心，若AG⊥BG，則cosC＝（）A． B． C． D．解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)BC＝m，BA＝n，且m＞0，n＞0，由G是Rt△ABC的重心，得G（，）；所以＝（，），＝（，﹣），因?yàn)锳G⊥BG，所以?＝﹣＝0，解得m＝n，又＝（m，﹣n），所以cos∠ACB＝＝＝＝．故選：B．11．已知三棱錐A﹣BCD中，AB＝BD＝DA＝2，BC⊥CD，BC＝CD，則當(dāng)三棱錐A﹣BCD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（）A．48π B．28π C．16π D．20π解：∵BC⊥CD，BC＝CD，BD＝2，∴BC＝CD＝，又AB＝AD＝，∴要使三棱錐A﹣BCD的體積最大，則AC⊥平面BCD或平面ABD⊥平面BCD，當(dāng)AC⊥平面BCD時(shí)，三棱錐A﹣BCD的高為，當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，三棱錐A﹣BCD的高為，故當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，三棱錐A﹣BCD的體積最大，如圖，設(shè)△ABD的外心為O，則O到B、C、D的距離相等，即O為三棱錐A﹣BCD的外接球的球心，可得外接球半徑R＝OA＝．∴其外接球的表面積為4π×22＝16π．故選：C．12．已知直線x﹣2y+n＝0（n≠0）與雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，0），若|PA|＝|PB|，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．解：由題意，雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為，聯(lián)立，解得A（，），聯(lián)立，解得B（，），AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為E（，），∵|PA|＝|PB|，∴PE與直線x﹣2y+n＝0垂直，即，整理得2a2＝3b2，又b2＝c2﹣a2，解得e＝＝．故選：C．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)，為單位向量，且|+|＝，則|﹣|＝1．解：∵，，∴，∴，∴．故答案為：1．14．已知sinα+cosα＝，則sin2α＝．解：∵sinα+cosα＝，∴平方可得1+2sinαcosα＝1+sin2α＝，∴sin2α＝，故答案為：．15．已知點(diǎn)A（1，0）和B（2，m），點(diǎn)M（x，y）是函數(shù)y＝lnx圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若對于隨意的點(diǎn)M（x，y），不等式≥（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）恒成立，則實(shí)數(shù)m＝﹣2．解：∵?≥?恒成立，∴2x+my≥2，∵M(jìn)（x，y）在y﹣＝lnx上，∴2x+mlnx﹣2≥0恒成立，設(shè)f（x）＝2x+mlnx﹣2，（x＞0），①當(dāng)m≥0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，∵f（1）＝0，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，不合題意，②當(dāng)m＜0時(shí)，f′（x）＝2+＝，當(dāng)x＞﹣時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜m＜﹣時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）min＝f（﹣）＝﹣2﹣m+mln（﹣）≥0，即﹣1﹣+ln（﹣）≤0，令g（m）＝﹣1﹣+ln（﹣），則g′（m）＝+＝，當(dāng)﹣2＜m＜0時(shí)，g′（m）＞0，當(dāng)m＞﹣2時(shí)，g′（m）＜0，∴g（m）≥g（﹣2）＝0，又∵g（m）≤0，∴g（m）＝0，∴m＝﹣2．故答案為：﹣2．16．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE折起至△PAE，使得平面PAB⊥平面ABC，過P作PG⊥AB，垂足為G，則AG的取值范圍為[，3）．解：設(shè)AG＝x，DE＝y(tǒng)，因?yàn)镋為CD上的動(dòng)點(diǎn)，平面PAB⊥平面ABC，因?yàn)镻G⊥AB，PG?平面PAB，AB為平面PAB與平面ABCE的交線，所以PG⊥平面ABCD，所以PG⊥AG，在△PAG中，PA＝3，AG＝x，所以PG2＝PA2﹣AG2＝9﹣x2，①因?yàn)镋G2＝9+（y﹣x）2，PE＝y(tǒng)，△PGE中，PG2＝PE2﹣EG2＝y(tǒng)2﹣9﹣（y﹣x）2，②聯(lián)立①②可得9﹣x2＝y(tǒng)2﹣9﹣（y﹣x）2，即x＝，因?yàn)?＜y≤4，所以≤x＜3．故AG的范圍是[，3）．故答案為：[，3）．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，△ABD的面積為．（Ⅰ）求BD的長；（Ⅱ）若∠BCD＝120°，求BC+CD的取值范圍．解：（Ⅰ）在△ABD中，△ABD的面積S＝＝AB?AD?sin∠BAD，所以AD＝1+，由正弦定理可得BD2＝AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠BAD＝3，所以BD＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得BD＝，設(shè)∠BDC＝α，（0＜α＜60°），由∠BCD＝120°，利用正弦定理可得＝＝＝2，所以BC+CD＝2[sinα+sin（60°﹣α）]＝2sin（α+60°），因?yàn)?＜α＜60°，所以＜sin（α+60°）≤1，所以＜BC+CD≤2，所以BC+CD的取值范圍為（，2]．18．2017年國家發(fā)改委、住建部發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》，規(guī)定46個(gè)城市在2024年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收、利用率要達(dá)35%以上．某市在實(shí)施垃圾分類之前，對人口數(shù)量在1萬左右的社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查．已知該市這樣的社區(qū)有200個(gè)，如圖是某天從中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖．現(xiàn)將垃圾量超過14噸/天的社區(qū)稱為“超標(biāo)”社區(qū)．（Ⅰ）依據(jù)上述資料，估計(jì)當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值（精確到整數(shù)）；（Ⅱ）若以上述樣本的頻率近似代替總體的概率，請估計(jì)這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)．（Ⅲ）市環(huán)保部門確定對樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進(jìn)行調(diào)查，先從這些社區(qū)中按垃圾量用分層抽樣抽取5個(gè)，再從這5個(gè)社區(qū)隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行重點(diǎn)監(jiān)控，求重點(diǎn)監(jiān)控社區(qū)中至少有1個(gè)垃圾量為[16，18]的社區(qū)的概率．解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為：[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18）的頻率分別為0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，∴估計(jì)當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值為：＝5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08＝11.04≈11．（Ⅱ）由（Ⅰ）得該樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的頻率為0.12+0.08＝0.2，∴這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的概率為0.2，∴這200個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為200×0.2＝40．（Ⅲ）由題意得樣本中“超標(biāo)”社區(qū)共有50×（0.12+0.08）＝10個(gè)，其中垃圾量為[14，16）的社區(qū)有50×0.12＝6個(gè)，垃圾量為[16，18）的社區(qū)有50×0.08＝4個(gè)，按垃圾量用分層抽樣抽取的5個(gè)社區(qū)中，垃圾量為[14，16）的社區(qū)有3個(gè)，分別記為a，b，c，按垃圾量為[16，18）的社區(qū)有2個(gè)，分別記為d，e，從中選取2個(gè)基本領(lǐng)件為：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10個(gè)，其中所求事務(wù)“至少有1個(gè)垃圾量為[16，18]的社區(qū)”為：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共7個(gè)，∴重點(diǎn)監(jiān)控社區(qū)中至少有1個(gè)垃圾量為[16，18]的社區(qū)的概率為：P＝＝0.7．19．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，CE＝DE，EF∥DB，DB＝2EF，平面CDE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：平面BCF⊥平面ABCD；（Ⅱ）若直線BE與平面ABCD所成的角為45°，求三棱錐A﹣CEF的體積．解：（Ⅰ）證明：設(shè)點(diǎn)G、H分別是CD，CB的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)H，GH，則GH∥DB，且DB＝2GH，因?yàn)镋F∥DB，且DB＝2EF，所以EF∥GH，且EF＝GH，所以EFGH是平行四邊形，可得FH∥EG，因?yàn)镃E＝DE，所以EG⊥CD，因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，所以FH⊥平面ABCD，因?yàn)镕H?平面BCF，所以平面BCF⊥平面ABCD；（Ⅱ）連接BG，由（Ⅰ）可得EG⊥平面ABCD，因?yàn)橹本€BE與平面ABCD所成角為45°，所以∠EBG＝45°，所以BG＝EG，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，可得OEFB是平行四邊形，所以O(shè)E∥BF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，所以三角形ABD和三角形BCD都是邊長為2的等邊三角形，所以BG＝，所以VA﹣CEF＝VF﹣ACE＝VB﹣ACE＝VE﹣ABC＝S△ABC?EG＝S△BCD?EG＝××4×＝1．20．已知函數(shù)f（x）＝ax+1（a∈R），g（x）＝sinx+cosx．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，證明：不等式f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在[﹣，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a取值的集合．【解答】（Ⅰ）證明：當(dāng)a＝1時(shí)，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x+1﹣sinx﹣cosx，x∈R，則h′（x）＝1﹣cosx+sinx，當(dāng)0≤x＜時(shí)，h′（x）＝1﹣cosx+sinx＞0，所以h（x）在[0，）上單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）＝0，所以f（x）≥g（x），當(dāng)x≥時(shí)，h（x）＝x+1﹣sin（x+）≥+1﹣＞0，所以f（x）≥g（x）．綜上所述，當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立．（Ⅱ）令t（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax+1﹣sinx﹣cosx，x≥﹣，則t′（x）＝a﹣cosx+sinx，（1）當(dāng)x≥0時(shí)，由題意得t（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，因?yàn)閠（0）＝0，所以t′（0）＝a﹣1≥0，所以a≥1，當(dāng)a≥1時(shí)，由（Ⅰ）得t（x）＝ax+1﹣sinx﹣cosx≥x+1﹣sinx﹣cosx≥0，所以當(dāng)t≥0在[0，+∞）上恒成立時(shí)a≥1；（2）當(dāng)﹣≤x＜0時(shí)，由題意得t（x）≥0在[﹣，0）上恒成立，因?yàn)閠（0）＝0，所以t′（0）＝a﹣1≤0，所以a≤1，當(dāng)a≤1時(shí)，t（x）＝ax+1﹣sinx﹣cosx≥x+1﹣sinx﹣cosx，由（Ⅰ）得h′（x）＝1﹣cosx+sinx＝1+sin（x﹣）＜0，所以h（x）在[﹣，0）上單調(diào)遞減，所以h（x）≥h（0）＝0，所以t（x）≥0，所以當(dāng)t（x）≥0在[﹣，0）上恒成立時(shí)a≤1．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值集合為{1}．21．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，直線l：x＝與