2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法教案 新人教A版選修4-5

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講證明不等式的基本方法2.3反證法與放縮法教案新人教A版選修4-5主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)——證明不等式的基本方法

2.教學(xué)年級和班級：高中二年級一班

3.授課時間：2024年10月10日

4.教學(xué)時數(shù)：1課時（45分鐘）核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生掌握反證法和放縮法這兩種證明不等式的基本方法。通過學(xué)習，學(xué)生應(yīng)能夠：

1.理解反證法的含義和基本步驟，能夠運用反證法證明簡單的不等式。

2.掌握放縮法的原理和應(yīng)用，能夠靈活運用放縮法證明不等式。

3.提升數(shù)學(xué)語言表達和論證能力，能夠清晰、準確地寫出證明過程。

4.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力，能夠?qū)⑺鶎W(xué)方法應(yīng)用于解決實際問題。學(xué)習者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：在學(xué)習本節(jié)課之前，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)、常見的不等式證明方法（如直接證明、綜合法等）。此外，學(xué)生應(yīng)具備一定的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)思維。

2.學(xué)生的學(xué)習興趣、能力和學(xué)習風格：根據(jù)對學(xué)生的了解，大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)證明類課程感興趣，尤其是那些喜歡思考和解決問題的學(xué)生。學(xué)生在數(shù)學(xué)思維、邏輯推理方面有一定基礎(chǔ)，但程度不同。部分學(xué)生可能對反證法和放縮法證明不等式感到陌生，需要老師在教學(xué)中給予更多的關(guān)注和引導(dǎo)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習反證法和放縮法時，學(xué)生可能對這兩種方法的證明步驟和應(yīng)用場景理解不深，導(dǎo)致證明過程中出現(xiàn)邏輯錯誤或不清晰的表述。另外，部分學(xué)生可能對如何將方法應(yīng)用于解決實際問題感到困惑。

為解決這些困難和挑戰(zhàn)，老師在教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解反證法和放縮法的本質(zhì)，通過例題講解、分組討論等方式，讓學(xué)生在實踐中掌握這兩種證明方法。同時，老師應(yīng)鼓勵學(xué)生積極參與課堂，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)表達能力和問題解決能力。學(xué)具準備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、黑板、粉筆、教案及教學(xué)課件。

2.課程平臺：無需使用課程平臺。

3.信息化資源：無需使用信息化資源。

4.教學(xué)手段：講解法、示例教學(xué)法、分組討論法、練習法。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發(fā)布預(yù)習任務(wù)：通過班級微信群，發(fā)布預(yù)習資料（包括PPT、視頻等），明確預(yù)習目標和要求。

-設(shè)計預(yù)習問題：圍繞“反證法與放縮法”課題，設(shè)計一系列具有啟發(fā)性和探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習進度：利用微信群功能，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習進度，確保預(yù)習效果。

學(xué)生活動：

-自主閱讀預(yù)習資料：學(xué)生按照預(yù)習要求，自主閱讀預(yù)習資料，理解反證法和放縮法的基本概念。

-思考預(yù)習問題：學(xué)生針對預(yù)習問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預(yù)習成果：學(xué)生將預(yù)習成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問題等）提交至微信群或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習能力。

-信息技術(shù)手段：利用微信群、在線平臺等，實現(xiàn)預(yù)習資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解本節(jié)課的主題，為課堂學(xué)習做好準備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導(dǎo)入新課：通過一個有趣的數(shù)學(xué)故事，引出反證法和放縮法的重要性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。

-講解知識點：詳細講解反證法和放縮法的原理、步驟和應(yīng)用，結(jié)合實例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生在討論中掌握反證法和放縮法的應(yīng)用。

-解答疑問：針對學(xué)生在學(xué)習中產(chǎn)生的疑問，進行及時解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-聽講并思考：學(xué)生認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：學(xué)生積極參與小組討論，體驗反證法和放縮法的應(yīng)用。

-提問與討論：學(xué)生針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學(xué)生理解反證法和放縮法的知識點。

-實踐活動法：設(shè)計小組討論等活動，讓學(xué)生在實踐中掌握反證法和放縮法。

-合作學(xué)習法：通過小組討論等活動，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解反證法和放縮法的知識點，掌握相關(guān)技能。

-通過實踐活動，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

-布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習效果。

-提供拓展資源：提供與反證法和放縮法相關(guān)的拓展資源（如數(shù)學(xué)論文、視頻等），供學(xué)生進一步學(xué)習。

-反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動：

-完成作業(yè)：學(xué)生認真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習效果。

-拓展學(xué)習：學(xué)生利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學(xué)習和思考。

-反思總結(jié)：學(xué)生對自己的學(xué)習過程和成果進行反思和總結(jié)，提出改進建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對自己的學(xué)習過程和成果進行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的反證法和放縮法的知識點和技能。

-通過拓展學(xué)習，拓寬學(xué)生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。知識點梳理1.反證法

反證法是一種證明不等式或命題的方法，其基本步驟如下：

（1）假設(shè)命題的否定成立，即假設(shè)所要證明的不等式不成立。

（2）根據(jù)假設(shè)，推導(dǎo)出一系列與已知事實或公理相矛盾的結(jié)論。

（3）由于推導(dǎo)出的結(jié)論與已知事實或公理相矛盾，因此假設(shè)不成立，從而所要證明的不等式成立。

反證法在證明一些復(fù)雜的不等式時非常有用，特別是在直接證明困難的情況下。

2.放縮法

放縮法是一種通過放大或縮小不等式中的項，從而證明不等式成立的方法。放縮法的基本步驟如下：

（1）找到不等式中的關(guān)鍵項，即需要放大或縮小的項。

（2）選擇適當?shù)姆糯蠡蚩s小因子，使得放大或縮小后的項更容易處理。

（3）根據(jù)放大或縮小后的不等式，應(yīng)用已知的不等式或性質(zhì)，證明放大或縮小后的不等式成立。

（4）由于放大或縮小前的項與放大或縮小后的項存在一定的關(guān)系，因此可以通過放大或縮小前的項的不等式，推導(dǎo)出放大或縮小后的項的不等式，從而證明原不等式成立。

放縮法在證明一些含有根號、對數(shù)等難以直接處理的不等式時非常有用。

3.不等式的基本性質(zhì)

在進行不等式的證明時，以下基本性質(zhì)是非常重要的：

（1）不等式的傳遞性：如果a<b且b<c，那么a<c。

（2）不等式的可加性：如果a<b且c<d，那么a+c<b+d。

（3）不等式的可乘性：如果a<b且c>0，那么ac<bc。

（4）不等式的可除性：如果a<b且c>0，那么a/c<b/c。

這些基本性質(zhì)在不等式的證明中經(jīng)常被使用，可以幫助我們簡化證明過程。

4.常見的不等式證明方法

除了反證法和放縮法之外，還有其他常見的不等式證明方法，包括：

（1）直接證明：通過直接分析不等式的兩邊，找出它們之間的關(guān)系，從而證明不等式成立。

（2）綜合法：通過對不等式的兩邊進行加減乘除等運算，結(jié)合已知的性質(zhì)和結(jié)論，推導(dǎo)出不等式成立。

（3）比較法：通過比較不等式兩邊的大小關(guān)系，找出它們之間的關(guān)系，從而證明不等式成立。

這些方法在證明不等式時都有其獨特的應(yīng)用場景，可以根據(jù)不等式的具體形式和條件選擇合適的方法進行證明。教學(xué)反思與改進今天上的這節(jié)高中數(shù)學(xué)課，我主要講授了反證法和放縮法這兩種證明不等式的基本方法。在教學(xué)過程中，我盡量用生動的例子和實際問題來引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握這些概念，但課后反思，我覺得還有不少地方可以改進。

首先，我注意到在講解反證法時，部分學(xué)生對于從假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)出矛盾結(jié)論這一步驟有些模糊，可能在課后需要更多的練習來鞏固這個概念。我計劃在下次課上花一些時間復(fù)習這個部分，并通過一些練習題來幫助學(xué)生更好地理解反證法的應(yīng)用。

其次，放縮法的講解過程中，我發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在選擇放大或縮小的因子時感到困惑，不知道如何確定合適的數(shù)值。針對這個問題，我考慮在下次課前準備一些具體的案例，讓學(xué)生提前思考和嘗試，以便在課堂上能夠更好地理解和掌握放縮法的選擇和應(yīng)用。

此外，課堂上的互動環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生比較內(nèi)向，不太愿意主動提問或參與討論。為了鼓勵更多的學(xué)生參與到課堂活動中來，我計劃嘗試一些新的教學(xué)方法，比如小組合作學(xué)習，讓學(xué)生在小組內(nèi)進行討論和分享，這樣既能提高他們的團隊合作能力，也能激發(fā)他們的學(xué)習興趣。

最后，我意識到在教學(xué)過程中，我可能過于注重知識的傳授，而忽略了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。為了改變這一點，我將在未來的教學(xué)中更加注重學(xué)生的主體地位，鼓勵學(xué)生提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進行思考和探索，從而提高他們的數(shù)學(xué)思維能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系1.反證法的定義：反證法是一種通過假設(shè)命題的否定成立，從而證明原命題成立的方法。

2.反證法的步驟：

a.假設(shè)命題的否定成立。

b.推導(dǎo)出一系列與已知事實或公理相矛盾的結(jié)論。

c.由于推導(dǎo)出的結(jié)論與已知事實或公理相矛盾，因此原命題成立。

3.反證法的應(yīng)用：反證法在證明一些復(fù)雜的不等式時非常有用，特別是在直接證明困難的情況下。

二、放縮法

1.放縮法的定義：放縮法是一種通過放大或縮小不等式中的項，從而證明不等式成立的方法。

2.放縮法的步驟：

a.找到不等式中的關(guān)鍵項，即需要放大或縮小的項。

b.選擇適當?shù)姆糯蠡蚩s小因子，使得放大或縮小后的項更容易處理。

c.根據(jù)放大或縮小后的不等式，應(yīng)用已知的不等式或性質(zhì)，證明放大或縮小后的不等式成立。

d.通過放大或縮小前的項的不等式，推導(dǎo)出放大或縮小后的項的不等式，從而證明原不等式成立。

3.放縮法的應(yīng)用：放縮法在證明一些含有根號、對數(shù)等難以直接處理的不等式時非常有用。

三、不等式的基本性質(zhì)

1.不等式的傳遞性：如果a<b且b<c，那么a<c。

2.不等式的可加性：如果a<b且c<d，那么a+c<b+d。

3.不等式的可乘性：如果a<b且c>0，那么ac<bc。

4.不等式的可除性：如果a<b且c>0，那么a/c<b/c。

板書設(shè)計：

1.反證法的定義、步驟和應(yīng)用。

2.放縮法的定義、步驟和應(yīng)用。

3.不等式的基本性質(zhì)。重點題型整理1.反證法證明不等式

例題1：證明不等式\(2x+3>1\)。

解答：

假設(shè)\(2x+3\leq1\)，

則\(2x\leq-2\)，

即\(x\leq-1\)。

但這與\(x>0\)（題目中隱含的條件）矛盾，

因此原不等式\(2x+3>1\)成立。

例題2：證明不等式\(\sqrt{x}>2\)。

解答：

假設(shè)\(\sqrt{x}\leq2\)，

則\(x\leq4\)，

但這與\(x>0\)（題目中隱含的條件）矛盾，

因此原不等式\(\sqrt{x}>2\)成立。

2.放縮法證明不等式

例題3：證明不等式\(x^2>8\)。

解答：

令\(x^2=8\)，則\(x=\pm2\)，

但\(x>0\)，因此\(x=2\)，

所以\(x^2>8\)成立。

例題4：證明不等式\(x^2+2x-3>0\)。

解答：

令\(x^2+