2025屆河北省保定市博野縣高考一模（期末）數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆河北省保定市博野縣高考一模（期末）數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入的值為2，則輸出的值為A． B． C． D．2．若實(shí)數(shù)滿足的約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．如圖所示的莖葉圖為高三某班名學(xué)生的化學(xué)考試成績，算法框圖中輸入的，，，，為莖葉圖中的學(xué)生成績，則輸出的，分別是（）A．， B．，C．， D．，5．已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C． D．6．在直角坐標(biāo)系中，已知A（1，0），B（4，0），若直線x+my﹣1=0上存在點(diǎn)P，使得|PA|=2|PB|，則正實(shí)數(shù)m的最小值是()A． B．3 C． D．7．已知函數(shù)，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．9．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列中，，且當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．則此數(shù)列的前項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．12．閱讀下側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應(yīng)填的數(shù)字為A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，與函數(shù)的圖象重合，則_____．14．已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，，則__________．15．的角所對(duì)的邊分別為，且，，若，則的值為__________.16．某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級(jí)為12人，則抽取的樣本容量為________人.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.19．（12分）一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立．對(duì)每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種．（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．20．（12分）如圖1，與是處在同-個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)全等的直角三角形，，，連接是邊上一點(diǎn)，過作，交于點(diǎn)，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體（1）求證：（2）設(shè)若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；（2）求證：（，且）.22．（10分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值，當(dāng)時(shí)，不滿足條件，跳出循環(huán)，輸出的值．【詳解】解：初始值，，程序運(yùn)行過程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出的值為其中①②①—②得．故選：．本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到，的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．B【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實(shí)數(shù)滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標(biāo)函數(shù)化為，則將平移，平移后結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)截距最小，；當(dāng)經(jīng)過時(shí)，截距最大值，，所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為，故選：B.本題考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

試題分析：由程序框圖可知，框圖統(tǒng)計(jì)的是成績不小于80和成績不小于60且小于80的人數(shù)，由莖葉圖可知，成績不小于80的有12個(gè)，成績不小于60且小于80的有26個(gè)，故，．考點(diǎn)：程序框圖、莖葉圖．5．A【解析】

畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解，得到答案．【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域，如圖所示，由目標(biāo)函數(shù)，化為直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直線在y軸上的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選A．本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．D【解析】

設(shè)點(diǎn)，由，得關(guān)于的方程.由題意，該方程有解，則，求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍，即求正實(shí)數(shù)m的最小值.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn).，即，整理得，則，解得或..故選：.本題考查直線與方程，考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，屬于中檔題.7．C【解析】試題分析：由題意知，當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)是成立，所以函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因?yàn)椋沟?，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)的綜合問題．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，試題思維量大，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵．8．D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.9．A【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉(zhuǎn)化為，再與一起代入解析式，利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，，，.故選：A.本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.10．C【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，也不合題意.當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題．11．A【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)的和，進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】考點(diǎn)：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運(yùn)行過程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示：Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i＜5時(shí)退出，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求得變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式求得滿足的方程,結(jié)合題中的范圍即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象的平移變換公式可得,函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到的函數(shù)解析式為,因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象重合,所以,即,因?yàn)?所以.故答案為:本題考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.14．【解析】由題意可得，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，設(shè)長方體的長寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑.15．【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉(zhuǎn)化為與邊有關(guān)的等式，結(jié)合可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)?，所?由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因?yàn)?，解得或（舍?故答案為：.本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，注意結(jié)合求解目標(biāo)對(duì)所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)抽取的樣本為，則由題意得，解得.故答案為：本題考查了分層抽樣的知識(shí)，算出抽樣比是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）．【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，可得出，由此能證明平面；（2）由，得平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，就是到平面的距離，也就是點(diǎn)到平面的距離，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，、分別為、的中點(diǎn)，則且，、均垂直于平面，且，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面；（2）由，平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，平面，平面，，，，平面，即就是到平面的距離，也就是點(diǎn)到平面的距離，設(shè)，則到平面的距離，，因此，直線與平面所成角的正弦值為．本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．18．（1）；（2）是，定點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】

（1）根據(jù)相切得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，聯(lián)立方程得到，，計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的方程可化為，得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，因?yàn)椋?，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，把直線的方程代入橢圓方程化簡得到，所以，，所以，，因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故以為直徑的圓的方程為，又因?yàn)?，，所以圓的方程可化為，令，則有，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為或.本題考查了橢圓方程，圓過定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19．（1）當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為；（2）見解析.【解析】

（1）將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù)，考查函數(shù)隨n的變化情況，即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大．（2）n＝1時(shí)，X的所有可能的取值為0，1，2，3，1．分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求期望即可．【詳解】（1）對(duì)一個(gè)坑而言，要補(bǔ)播種的概率，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.欲使最大，只需，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大，最大概率為.（2）由已知，的可能取值為0，1，2，3，1.，所以的分布列為01231的數(shù)學(xué)期望.本題考查了古典概型的概率求法，離散型隨機(jī)變量的概率分布，二項(xiàng)分布，主要考查簡單的計(jì)算，屬于中檔題．20．（1）證明見解析（2）（3）【解析】

根據(jù)折疊圖形，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)平面，得到.（2）根據(jù)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)，可知，，表示相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求得平面與平面的法向量，代入求解.設(shè)所求幾何體的體積為，設(shè)為高，則，表示梯形BEFD和ABD的面積由，再利用導(dǎo)數(shù)求最值.