2023年新高考數(shù)學(xué)臨考題號押題第6題-立體幾何(新高考)(解析版)

押新高考卷6題

立體幾何

押題探究

考點3年考題考情分析

2022年新高考I卷第8題立體幾何會以單選題、多選題、填空題、解答題4類題型進

2022年新高考II卷第7題行考查，單選題難度一般或較難，縱觀近幾年的新高考試題，

2021年新高考I卷第3題分別考查棱錐的體積問題，圓錐的母線長問題，球體的內(nèi)切

立體幾何

2021年新高考H卷第5題外接及表面積體積問題，棱臺的體積問題?？梢灶A(yù)測2023年

2020年新高考I卷第16題新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以表面積體積問題、球體等問題展開

2020年新高考II卷第13題命題.

解題秘籍

I.立體幾何基礎(chǔ)公式

(1)所有椎體體積公式：V=-sh

3

(2)所有柱體體積公式：V=sh

4

(3)球體體積公式：V=-7iR3

3

(4)球體表面積公式：S=4兀R?

(5)圓柱：%=s/z,s表=s底+s側(cè)=2"2+2加力

(6)圓錐：廠=表=s底+§側(cè)=+勿7

2.長方體(正方體、正四棱柱)的體對角線的公式

(1)已知長寬高求體對角線：I2=a2+b2-\-c2

y2,?2.j2

(2)已知共點三面對角線求體對角線：Z2=123

2

3.棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為如a,外接球的半徑為如a.

124

4.歐拉定理（歐拉公式）

/-￡=2（簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F）.

（1）E=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地，若每個面的邊數(shù)為〃的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系:

k1L

E=—nF；

2

（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為加，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：E=~mV.

2

真題回顧

1.（2022?新高考I卷高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為1,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，

且3W/3百，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

■811「27811「27641…

A.18,—B.-C.—D.r［i1o8,27］

_4JL44JL43_

【答案】C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為〃，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四

棱錐體積的取值范圍.

【詳解】二?球的體積為36%，所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a,高為力，

則/2=2/+/，32=2a2+（3-/z）2,

所以6〃=尸，2a~=I2—h2

所以正四棱錐的體積產(chǎn)一±*二=（［/4一￡

335366八36

1(/5’24-/2]

所以廠=4/3--

八6

當(dāng)3W/V2c時，，>0,當(dāng)2a</436時，r<0,

所以當(dāng)/=2指時，正四棱錐的體積/取最大值，最大值為三,

又/=3時，曠二，/=3百時，X=日，

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2一7,

所以該正四棱錐體積的取值范圍是.

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以廠一〃2）〃=；（i2-gx（12-2?+〃+〃=當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)場=4取到

）,

當(dāng)八河得a弋，則曦.少一除胃弓

當(dāng)/=36時，球心在正四棱錐高線上，此時人5+3=5，

鼻=孚”=畢，正四棱錐體積匕=*〃=；（嗎2冬?<?，故該正四棱錐體積的取值范圍是日片］.

22337224343

2.（2022?新高考D卷高考真題）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3g和46，其頂點都在

同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.1287rC.144兀D.192兀

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小4,再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑

之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑小馬，所以24=二邑,2々=江-,即6=3,々=4,設(shè)球心

1sin6002sin60"

到上下底面的距離分別為4,4，球的半徑為尺，所以&=，甯-9,d2=，露-16,故|4-囚=1或4+W=1，

即二？-VF叫=1或曲工+質(zhì)二面=1，解得尺2=25符合題意，所以球的表面積為

5=4兀尺2=ioo兀.

故選：A.

3.（2021?新高考I卷高考真題）已知圓錐的底面半徑為百，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線

長為（）

A.2B.272C.4D.4-72

【答案】B

【分析】設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則乃/=2乃x后，解得/=2板.

故選：B.

4.（2021?新高考II卷高考真題）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+12石B.280C.—D.空也

33

【答案】D

【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，

因為該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,

所以該棱臺的局〃=J22--行)=C，

下底面面積4=16,上底面面積邑=4,

所以該棱臺的體積憶=；MS1+S2+7^)=gx^x(16+4+M)=g^.

故選：D.

5.(2020?新高考I卷高考真題)已知直四棱柱ABCD-/向。。/的棱長均為2,NBAD=60。.以，為球心，

V5為半徑的球面與側(cè)面BCCiBi的交線長為.

【答案】包兀.

2

【分析】根據(jù)已知條件易得印=6,D}E1側(cè)面B￡CB,可得側(cè)面BgCB與球面的交線上的點到E的距

離為夜，可得側(cè)面AGCB與球面的交線是扇形MG的弧;再根據(jù)弧長公式可求得結(jié)果.

【詳解】如圖:

取3￡的中點為￡,B片的中點為尸，C0的中點為G,

因為/2/。=60。，直四棱柱材CD-44G。的棱長均為2,所以△D0C為等邊三角形，所以

D]EJLAG，

又四棱柱為直四棱柱，所以8月，平面4gG2,所以B及，BC，

因為2片n=瓦，所以DtE1側(cè)面B&CB,

設(shè)尸為側(cè)面AGCB與球面的交線上的點，則

因為球的半徑為VLD[E=。,所以|即|=而萬曰5所=后與=拒，

所以側(cè)面瓦GC8與球面的交線上的點到E的距離為正，

因為|EF|=|EG|=&,所以側(cè)面用GCB與球面的交線是扇形MG的弧怒，

T[TT

因為/月跖=/。]￡6=1，所以ZF￡G=5，

所以根據(jù)弧長公式可得元=工'近=五%.

22

故答案為：立^兀.

2

【點睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問題，

考查了扇形中的弧長公式，屬于中檔題.

6.（2020?新高考H卷高考真題）已知正方體48CD-42/GD的棱長為2,M、N分別為BBj、的中點,

則三棱錐A-NMDi的體積為

【答案】|

因為正方體ABC￡M/3/aD/的棱長為2,M、N分別為AB/、48的中點

所以YA-NMDX——D「AMN==§

故答案為：g

【點睛】在求解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當(dāng)成頂點好計算一些.

押題沖關(guān)

1.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知某圓錐的高為2亞cm，體積為空cm',則該圓錐的側(cè)面積為（）

3712

A.—cmB.371cm2C.671cm2D.127rcm2

2

【答案】B

【分析】由圓錐的體積和高，得到底面半徑，勾股定理得母線長,由圓錐的側(cè)面積公式計算結(jié)果.

【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為尸，/,由貯乂2/=空得i

3

所以/=J12+（2行了=3，從而該圓錐的側(cè)面積S=?！?37r.

故選：B

2.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模）如圖，將一個圓柱2"（〃eN*）等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底

等高的幾何體，〃越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面

【答案】A

【分析】新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，列出方程求解即可.

【詳解】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，

設(shè)圓柱的底面半徑為廠，高為"，貝!]2泌=10,

所以圓柱的側(cè)面積為2兀7%=10兀.

故選：A.

3.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考二模）如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設(shè)圓錐部分的高為0.5米,

圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為（）

A.工立方米B.2兀立方米C.空立方米D.三立方米

362

【答案】C

【分析】由題知底面圓的半徑，=1,圓柱高4=2,圓錐高色=；，代入圓柱，圓錐體積公式計算，再相加

即可.

【詳解】由題知底面圓的半徑r=l,圓柱高4=2,圓錐高飽=；.

圓柱的體積匕=nr-\=2兀.

圓錐的體積匕=；萬用2=2

所以該組合體體積廠=匕+匕1=3干萬（立方米）.

6

故選：C

4.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）己知正四面體尸-N5C的棱長為1,點。為底面/5C的中心，球。與該正四面體

的其余三個面都有且只有一個公共點，且公共點非該正四面體的頂點，則球。的半徑為（）

A.如「V2

V/?---------D

129-T

【答案】B

【分析】由題可知球。與該正四面體的其余三個面都相切，然后利用VP_ABC=vo_PABC+vo_PBC+vo_PAC,即得.

(2V3?V6

【詳解】因為正四面體尸-Z5C的棱長為1,則正四面體尸-4BC的高為力=.1-—x—

I32J~T

由題可知球O與該正四面體的其余三個面都相切，設(shè)球O的半徑為r,

則—P-ABC=—O-PAB+%-PBC+'o-PAC'

所以二V3V61V31V31V3

—x----=—x—r+—x—r+—x—r，

343343434

所以尸A/6

故選：B

5.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）如圖所示，正三棱錐P-/3C,底面邊長為2,點尸到平面N8C距離為2,

點M在平面K4c內(nèi)，且點M到平面的距離是點尸到平面45。距離的過點〃作一個平面，使其

平行于直線總和/C則這個平面與三棱錐表面交線的總長為（）

p

12+16百

9

24+8g

~9

【答案】B

【分析】過點尸作底面/3C的垂線于點。，過3作/C的垂線于H.過點“作平面平行2P和AC交三棱錐

尸-/3C與平面。?2。3。4.求出各邊邊長，及可求出.

【詳解】因為三棱錐尸-/BC為正三棱錐，所有三角形N8C為等邊三角形并且邊長為2,即

AB=AC=BC=2.

又因為尸-NBC為正三棱錐，因此過點P作底面43C的垂線于點。，則點。為三角形/3C的中心.

過8作NC的垂線于〃由三角形48c為等邊三角形，因止匕/H=C7/==二22—12=曰OH=：BH=與

在直角三角形//0中，AO=^AH-+OH2=

22

又因為尸0=2,在直角三角形49尸中，AP=^AO+OP=4f+2?=迪，故AP=BP=CP=處.

t3J33

因為三棱錐尸-四。為正三棱錐，因此A/PCQ/PBQBPC均為等腰三角形.

7

又M到平面N3C距離為點P到平面Z3C距離的（，因此〃為由的三等分點（靠近P）,

過點M作0Q///C交尸C于Q,交尸/于。2.過點Q作QQJBP交BC子必,過點2作&Q//4C交

于03,連接。3。4.

所以2Q〃NC//以Q,則0、Q、。3、。4四點共面.

因為QlQJ/BP，204U面。?20304，3PU面002004

所以3P〃面。102030.

所以面。?2004即為過點M且平行于直線PB和AC的平面.

利用三角形相似可得：0。2=22二"=匕。2。3=2Q=2第=座.這個平面與三棱錐表面交線的總長

3339

為四+。22+。30+四=2＞＜孚+2＞＜（=12+”

故選：B

6.（2023?浙江臺州?統(tǒng)考二模）己知菱形"CD的邊長為3,對角線8。長為5,將△/灰）沿著對角線翻

折至△42。，使得線段/'C長為3,則異面直線42與所成角的余弦值為（）

A.-B.—C.-D.-

4499

【答案】D

【分析】由題知/C=/D=CO=3,CB=CD=3,BD=5,所先計算出瓦.函，7晨麗，再利用公式

/不＜B-CD

costAB,CD]=算出兩向量的夾角的余弦值，從而得出異面直線43與⑺所成角的余弦值.

因為/C=/D=C￡>=3.

所以2就.函=（就+①『_］《2_而202_才。2—函2=_9.

因為08=0）=3,20=5.

所以2cB,CD=CB+CD-（CB-CD）2=CB+CD-DB=9+9-25=-7.

所以布.無二（元+函a=7Ea+而立=-2-Z=-8.

\/22

ABCD-88

即

~ZB\-\CD\3X39

所以異面直線45與CD所成角的余弦值為|.

故選：D

7.（2023?江蘇南通?海安高級中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有久升的水,

若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則憶的取值范圍是（）

]_2

C.D.

2?3

【答案】A

【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐從而可得出

答案.

【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形,

則如圖，水最少的臨界情況為，水面為面4瓦）,

水最多的臨界情況為多面體/8CD442,水面為3GA，

因為"^巖xlxlxlj

=l--x-xlxlxl=-

326

故選：A.

8.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在直三棱柱NBC-4月Ci中，CC、=BC=2AC,5C，/C,點尸在線段BQ

上運動，E,尸分別為4G中點，則下列說法正確的是()

A.4P〃平面用￡尸B.當(dāng)P為中點時，/尸與3C成角最大

C.當(dāng)尸為中點時，/P與4cl成角最小D.存在點P,使得/尸，37

【答案】C

【分析】舉特例否定選項A；求得/P與2c成角最大時尸點位置判斷選項B；求得ZP與4G成角最小時產(chǎn)

點位置判斷選項C；求得AP13/時P點位置判斷選項D.

【詳解】由題意得，5C,/C,cq兩兩垂直，不妨令CC\=BC=2AC=2

以C為原點，分別以3C,/C,cq所在直線為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4(0』,0),3(2,0,0),C(0,0,0),￡(0,1,1),尸(0,；,2),4(0,1,2),4(2,0,2),G(0,0,2)

P(f,0,2-f),0<?<2

選項A：當(dāng)點尸與點8重合時，由/叢5也為梯形N25也的兩個腰，

可得AB,BXE相交，則直線AP平面B、EF位置關(guān)系為相交.判斷錯誤；

選項B：設(shè)/尸與8c成角為0,,

由后就=(一2,0,0),可得

cos0=|cos&硝==12"=

I'/I\AI\-\BC\29+1+(27)2

JT

當(dāng)/=0時，即P，G兩點重合時，cos6=0,/尸與8c成角為判斷錯誤；

選項C：設(shè)/P與4。成角為a,由萬石=(0,-1,0),可得

又二￡(0g,cosa在10,5單調(diào)遞減，

則當(dāng)％=1即尸為中點時，AP與4a成角最小.判斷正確；

—?——?1

選項D：/尸=&—1,2T)避尸二(—2；,0),

―?——?111

由/尸出尸=(力-1,2-￡).(一2,5,0)=-2%—j=。解得力=-](舍)，

則不存在點。，使得/尸，57.判斷錯誤.

z

Biq

c

x

故選：c

——■1——?

9.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四面體/-BCD,=點N為線段8c的中點，則直

線九W與平面BCD所成角的正切值是（）

2714口3V14s/u

CD.

77,77

【答案】C

【分析】作出圖形，找出直線兒W與平面BCD所成角的平面角，在三角形內(nèi)即可求解.

【詳解】如圖，過點A向底面作垂線，垂足為O,連接AN,ON,OC,MN,

過點〃■作MGLOC于G,連接NG,

A

2

由題意可知：MG///O且MG=§N。，

因為NO_L平面BCD,所以MG_L平面BCD,

則NMNG即為直線MV與平面BCD所成角的平面角，

設(shè)正四面體的棱長為2,則=ON工6=2,

33

所以AOAAV-ON?=辿,貝IJMG=2%O=觀，

339

在△；團（中，由余弦定理可得：MN=YINC2+MC2-2NC-MCcos60°=—,

3

在RMAWG中，NG=yjMN2-MG2=1332Vn

~9~Z7~~9~

476

、meMGo4A/M

所1以tan/MNG----=—,——-----

GNy/2l7

9

所以直線MV與平面BCD所成角的正切值是誣，

7

故選：C.

10.（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-48co中，底面48CD為矩形，AB=2,APN。是正三

角形，平面平面48cD,且七峋m，則尸C與平面所成角的正切值為（）

r-ABHJ3

A.2B.vC.V3D.—

22

【答案】B

【分析】連接P。，O為4D的中點，結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理證明尸0工平面ABCD,根據(jù)錐體體積公式求PD,

再由面面垂直性質(zhì)定理證明CD，平面尸4D，根據(jù)線面角的定義證明尸C與平面口。所成角的平面角為

ZCPD,解三角形求其正切值.

【詳解】取4D的中點O,連接尸。，

由已知AP4D為等邊三角形，所以尸OL4D,

又平面平面48cD,平面尸N。c平面A3CD=/。，

尸Ou平面尸4D,

所以尸平面48cD,

設(shè)尸D=x,則尸。=注》，AD=x,又4B=2,

2

所以矩形ABCD的面積SABCD=2x,

2

所以四棱錐尸一4BCD的體積匕—BCD=；xSABCDxPO=^x2xx^-x=^-x，

所以立，二應(yīng)1,所以、=4,

33

所以PD=4,

因為平面平面研CD,CDLAD,

平面P4Dc平面48co=4D,CDu平面48c0,

所以CD_L平面尸又PAu平面尸

所以CDLPD,

所以△COP為直角三角形，斜邊為PC,

因為CD_L平面尸/O,

所以PC與平面P4D所成角的平面角為/CPD,

在RtZkCD尸中，CD=AB=2,PD=4,

所以tan/C尸。=二CD一=一1，

PD2

PC與平面PAD所成角的正切值為7.

故選：B.

11.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在直三棱柱/3C-&B|G中，―3c為等腰直角三角形，若三棱柱

/5C-44G的體積為32,則該三棱柱外接球表面積的最小值為（）

A.12兀B.24兀C.48兀D.96兀

【答案】C

【分析】設(shè)為等腰直角三角形的直角邊為。，三棱柱/3C-4月G的高為〃，根據(jù)三棱柱NBC-4AG

2

的體積得力.〃=64,根據(jù)直三棱柱外接球半徑的求法可求出笈=吆32+土h，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到火2的

h4

最小值，即可得到該三棱柱外接球表面積的最小值

【詳解】設(shè)為等腰直角三角形的直角邊為。，三棱柱Z8C-4月C的高為人

164

則囁BCTQIG=邑。，=7/"'=32，所以/-/2=64，則/=不，

2n

&4BC外接圓的半徑為r=—\Ja2+a2=a，

22

所以棱柱外接球的半徑為爐=戶+（可」/+乂」.如+戈=必+眩,

⑵242〃4〃4

人32h~r-j.i.32h—64+〃

令了=—+—,則/=--7+―=------弓—=0,貝U/z=4,

?h4h222h2

了=手+￡在（0,4）上單調(diào)遞減，在（4,+⑹上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)力=4時,Jmin=y+j=12,

則該三棱柱外接球表面積最小值為S=4就2=4兀.12=48兀.

故選：C.

12.（2023?山東聊城?統(tǒng)考二模）某正四棱臺形狀的模型，其上下底面的面積分別為2cm叱8cm2,若該模

型的體積為14cn?,則該模型的外接球的表面積為（）

57r

A.20ncm2B.1071cm2C.57rcm2D.—cm*

2

【答案】A

【分析】由棱臺體積得到棱臺的高，并作出輔助線，找到球心位置，利用半徑相等列出方程，求出外接球

半徑和表面積.

【詳解】設(shè)正四棱臺形狀的高為〃cm,

故g（2+8+V^i）”=14,解得〃=3cm,

取正方形EFG8的中心為正方形"CD的中心為N,則跖V=6=3cm,

故該模型的外接球的球心在MV上，設(shè)為點。，連接ME,NA,OE,OA,

設(shè)上底面正方形的邊長為acm,bcm,則/=2萬=8,解得。=行加，b=2?cm，

故EM=1cm,AC4=2cm,設(shè)ON=ycm,則A/C?=（3—y）cm,

由勾股定理得EO?=。疝+E"=（37『+i,次=。解+32=/+4,

故（3-#2+1=必+4,解得y=l,

故外接球半徑為近2+4=7^m,該模型的外接球的表面積為4元?=20兀cm.

故選：A

13.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點P在棱長為。的正方體故CD-4月的外接球O的球面上,

當(dāng)過4,C,P三點的平面截球。的截面面積最大時，此平面截正方體表面的截線長度之和工為（）

A.（2+20）。B.（2+273）?

C.（2+A/^）“D.（2+V^）。

【答案】A

【分析】由球的截面性質(zhì)結(jié)合條件確定截面的位置，由此確定平面押CD,再求正方體被該平面截得

的截線的長度.

【詳解】設(shè)底面正方形"CD的中心為。一

當(dāng)過4C,尸三點的平面截球。的截面面積最大時，

截面圓為大圓，截面過球心。，

故點尸，o,a三點共線，

因為。。1_L平面/BCD,

所以，平面4BCD,

此平面截正方體的截面即為正方體的面/CQ4,

所以￡=（2+2&）a.

故選：A.

14.（2023?湖北?荊門校聯(lián)考二模）在三棱錐尸。中，PALAB,尸/=&,AB=2BC=2,

二面角P-AB-C的大小為下.若三棱錐P-48C的所有頂點都在球。的球面上，則當(dāng)三棱錐尸-43C的

4

體積最大時，球。的體積為（）

A百R/7r8c無N7A/14

A.-TtB.V6TIC.----D.----n

233

【答案】D

【分析】作二面角尸-48-C的平面角，確定三棱錐的高，根據(jù)條件證明48/5C,建立坐標(biāo)系，

根據(jù)條件確定球心位置，求出球的半徑，由此可得球。的體積.

【詳解】設(shè)點尸在平面N8C內(nèi)的射影為〃，連接/〃，

3兀

考慮到二面角P-AB-C的大小為了，則點H與點C在直線的兩側(cè).

4

因為平面4BC,N3u平面

所以P//_L4B,又PN_L4B,PAp\PH=P,PH,PHu平面PAH,

所以431平面/W,/〃匚平面取“，

所以為二面角尸-AB-C的平面角的補角，

所以=又PA=e，

所以PH=4H=1,從而三棱錐夕-4SC的IWJ為1.

又一3C的面積S=!四?8CsinN4SC,

2

所以當(dāng)/315C時，n43C的面積最大，最大值為1,

所以當(dāng)時，三棱錐P-48C的體積最大，

因此點C和點尸在圖中兩全等長方體構(gòu)成的大長方體的體對角線的頂點上.

以/為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系”砂z.

因為球。的球心。與&43C的外接圓的圓心的連線垂直平面48C,

小3C為/C為斜邊的直角三角形，所以其外接圓的圓心為/C的中點，

所以球。的球心O在底面A8C內(nèi)的射影為線段/C的中點，

于是設(shè)。Lz].又40,0,0）,P（-l,0,l）,

由|CU|=|OP|,得+12+Z?=卜切2+（7）2+（1_z）2,

解得Z=j,則球o的半徑O/=巫，

22

447r

所以球。的體積r=-7iT?3=—x

33

【點睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的

位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，求出球心的位置，再求球的半徑.

15.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》卷五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂

直于底面的四棱錐”，現(xiàn)有陽馬尸—（如圖），尸/，平面/8。。,加=1,/5=2,/。=3,點￡,尸分別

在4B,BC上,當(dāng)空間四邊形PEFD的周長最小時，三棱錐尸-4。歹外接球的表面積為（）

A.9兀B.llnC.12TID.16K

【答案】B

【分析】把/RPB剪開，使得APNB與矩形"CD在同一個平面內(nèi).延長DC到“，使得CM=DC,則四點

P,E,F,"在同一條直線上時，PE+EF+FD取得最小值，即空間四邊形尸EFD的周長取得最小值.可得

IAF

。尸=彳尸。=2,??.3/=1.，點E為45的中點.設(shè)△如?的外心為O「外接圓的半徑為八則2r二一^,

2sin45

利用勾股定理進而得出結(jié)論.

【詳解】如圖所示，把剪開，使得AP/8與矩形"CD在同一個平面內(nèi).

延長。C到使得CW=DC,則四點尸，E,F,M■在同一條直線上時，PE+EF+FD取得最小值，即空

間四邊形PEFD的周長取得最小值.可得3=；尸。=2,二8/=1.點E為4g的中點.

如圖所示，設(shè)△在1）的外心為J,外接圓的半徑為A易得NFDN=45。，

貝!]2r=AF-=M.

sin45°

設(shè)三棱錐尸尸外接球的半徑為幾球心為。，連接OQ,則。&=；尸/=；,

則R2=下二三棱錐人”世外接球的表面積=4成=1E.

故選：B.

16.（2023?湖南益陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)

是由8個等邊三角形組成的正八面體，如圖，某金剛石的表面積為186，現(xiàn)將它雕刻成一個球形裝飾物，

則可雕刻成的最大球體積是（）

C.6兀D.展兀

【答案】D

【分析】先利用條件求出正多形的邊長，再將求最大球的體積轉(zhuǎn)化成求金剛石的內(nèi)切球體積，進而轉(zhuǎn)化成

求截面瓦WF〃內(nèi)切圓的半徑，從而求出結(jié)果.

【詳解】如圖，設(shè)底面N3CD中心為。，BC,中點分別為M,連接OH,EO,EH,MF,HF,

EM,

設(shè)金剛石的邊長為。，則由題知，8xl?2sin60o=2V3a2=18>/3,所以。=3,

在等邊A￡3C中，BC邊上的高EH=dEC?-CH?=

在RtAEOH中,

由題可知，最大球即為金剛石的內(nèi)切球，由對稱性易知球心在。點，與面EBC的切點在線段即上,

球的半徑即為截面EAW內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為外，

由等面積法可知：逑解得「=逅，所以內(nèi)切球的半徑為夫=逅

22222

則內(nèi)切球體積為曠=3成3=gir（當(dāng)）3=血兀.

故選：D.

17.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模）設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為匕、匕和匕，則（）

A.匕＜匕＜匕B.匕＜匕〈匕C.匕＜匕＜%D.%＜%（匕

【答案】B

【分析】設(shè)正方體棱長為。，正四面體棱長為6,球的半徑為尺，面積為S.表示出3個幾何體的表面積，得

出0,6,夫，進而求出體積的平方，比較體積的平方大小，然后得出答案.

【詳解】設(shè)正方體棱長為。，正四面體棱長為6,球的半徑為A,面積為S.

正方體表面積為5=6/,所以/=；,

6

所以，展=（叫:（叫3=［；

B

如圖，正四面體尸-4BC,。為ZC的中點，。為入48。的中心，則尸O是尸一4BC底面4BC上的高.

則3D_L/C,AD=\b,所以BD74B2-AD2=也5,

22

所以S/BC=-xACxBD=-xbx—b=—b2,

“BC2224

所以，正四面體尸-4BC的表面積為S=4S“BC，所以62=乎5.

又。為的中心，所以BO=、D=@b.

33

又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知尸O_LBO,

所以尸O=yJPB2-BO2=—b,

3

2C、2\3

1=%;

所以，片=~xS-Be義P。二——X

343'J72723)

球的表面積為5=4兀及2,所以R,2_S

4兀

所以，匕2=仁成3

333

因為,$3>J-5>—5>—1^S

36K144216216有

所以,匕2>葉>片，

所以，v2<vx<v3.

故選：B.

18.（2023?浙江杭州?統(tǒng)考一模）空間中四個點A、B、C、〃?滿足4B=3C=/C=3,CM=2日且直

JT

線CM與平面N8C所成的角為則三棱錐4-M3C的外接球體積最大為（）

A.3671B.48兀C.327371D.48月兀

【答案】C

【分析】先求AABC的外接圓的半徑，過“作跖V_L平面/3C于N,可得CN=E，可得當(dāng)。，C,N在

一直線上時，三棱錐z-W3C的外接球體積最大，求解即可.

【詳解】設(shè)。是三角形/3C的外接圓的圓心，因為/3=8C=/C=3,所以“3C是正三角形，

則三棱錐A-MBC的外接球的球心H在過O且與平面ABC垂直的直線0H上,

由題意可得CO=二-G,過M作跖V，平面4BC于N,

sin60°2

,??直線CN與平面48C所成的角為g,CM=26，CN=43,

故N的軌跡是以C為圓心，6為半徑的圓,

當(dāng)球心H到CN的距離最大時，三棱錐4-MBC的外接球體積最大,

所以N在0C延長線上時，三棱錐N-MBC的外接球體積最大,

設(shè)CN的中點為G,連接G",則CG=6，GH1CG,

又co=5OHLOC,

所以RtAHOC之RtHGC,ZHCO=AHCG=60°,

HC=20c=26,

■■■三棱錐A-MBC的外接球體積最大為K=|TIX//C3=326元.

故選：C.

19.（2023?浙江?統(tǒng)考二模）已知等腰直角“3C的斜邊=分別為上的動點，將A/W沿

"N折起，使點A到達點H的位置，且平面平面BCWV.若點均在球。的球面上，則

球。表面積的最小值為（