高考數學一輪復習題型講解+訓練：正(余)弦定理的應用（原卷版+解析）

2023高考一輪復習講與練

專題25正（余）弦定理的應用

正（余）弦定理的應用

求

求求

角

邊面

積

練布考照方向

1.（2023?新高考n卷T18）記士ABC的三個內角分別為A,B,C,其對邊分別為b,c,分別以〃，b,

為邊長的三個正三角形的面積依次為H，$2,S3,已知H-S2+S3=等,sinB=；

（1）求cABC的面積；（2）若sinAsinC=S^，求從

3

2.（2023?全國乙（文）T17）記,ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A—=sinBsin(C—A).

（1）若A=25,求C；（2）證明：2/=〃+c2

3.（2023?全國乙（理）T17）記.ABC的內角的對邊分別為a/,c,已知

sinCsin(A—B)=sinBsin(C—A).

(1)證明：2/=Z?2+c2;

25

(2)若。=5,cosA二不■,求/ABC的周長.

4.(2023?北京卷T16)在ABC中，sin2C=A/3sinC

(1)求NC；

（2）若Z?=6,且，ABC的面積為66，求AABC的周長.

3

5.（2023?浙江卷T18）在，ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4。=&c,COsC=《.

(1)求sinA的值;

（2）若Z?=ll,求一ABC的面積.

6.（2023?浙江卷T11）我國南宋著名數學家秦九韶，發(fā)現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為

“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數學的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是

412”其中a,b,。是三角形的三邊，S是三角形的面積.設某三角形的三邊

a=y/2,b=^/3,c=2,則該三角形的面積S=.

7.（2023年高考全國甲卷理科）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單

位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現有4B.C

三點，且A.B.C在同一水平面上的投影A',3',C'滿足NA，C8=45°,ZA;B'C'=60°.由C點測

得B點的仰角為15。，班'與CC'的差為100；由B點測得A點的仰角為45。，則兒c兩點到水平面

AB'C的高度差A4'—CC'約為（6〃1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

8.（2023?天津高考）在△ABC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinA:sinB：sinC=2：I：^2,

b=-^2.

⑴求a的值；

（2）求cosC的值；

⑶求sin（2C一襲）的值.

9、（2023?新高考II卷）在△ABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,b=a+\,c=a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

（2）是否存在正整數a,使得△A8C為鈍角三角形？若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

10.（2023?全國乙卷）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為小，8=60。，a2+c2=3ac,

貝I」b=.

11.（2023?浙江高考）在△ABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中點，AM=2小,貝！JAC=,

cosNM4C=.

12.（2023年高考數學課標HI卷理科）在△ABC中,cosC=—,AC=4,BC=3,貝cosB二

D.-

3

13.（2023年高考數學課標全國I卷理科）AA5c的內角A,民C的對邊分別為a,b,c.設

（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

⑴求A；（2）若0a+人=2c,求sinC.

14.（2023年高考數學課標HI卷（理））△?15c的內角的對邊分別為c,若△ABC的面積為

15.(2023年高考數學課標H卷(理))在△ABC中，cos-=—,BC=1,AC=5,則()

25'，

A.4A/2B.730C.A/29D.2小

JT1

16.(2023高考數學課標III卷理科)在△ABC中，3=—,BC邊上的高等于—3C,則cosA=()

43

3M屈3M

A.-----B.----C.--V-i-o-D.--------------

10101010

17.(2023高考數學課標2理科)鈍角三角形ABC的面積是,，AB=1,BC=JI,則AC=()

18.（2023年高考全國乙卷理科）記.A5c的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為g,3=60。，

a2+c2=3ac，貝Ub—?

19.（2023年高考數學課標全國II卷理科）XABC的內角A,5,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,

TT

B=~,則△ABC的面積為

3

20、【2019年高考浙江卷】在中，ZABC=90°,A5=4,6c=3,點。在線段AC上，

若ZBDC=45°,則BD=,cosZABD=.

21.【2019年高考天津卷理數】在△ABC中，內角A,3,C所對的邊分別為。，"C.已知A+c=2?,

3csin5=4。sinC.

（1）求cosB的值；（2）求sin[25+《）的值.

22.（2023年高考數學新課標I卷理科）ZkABC的內角A,瓦C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為

a2

3sinA

（1）求sinBsinC；⑵若6cos6cosc'=1,a=3,求△ABC的周長.

23.（2023年高考數學課標III卷理科）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

sinA+石cosA-Q,a-2^7,b=2.

（1）求c；（2）設。為BC邊上一點，且ADLAC,求△ABD的面積.

24.（2023高考數學課標I卷）AABC的內角A,5c的對邊分別為a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

⑴求C；（11）若。=嶼，AABC的面積為±8,求AABC的周長.

2

45

25.（2023高考數學課標H卷理科）AABC的內角ASC的對邊分別為〃也c,若cosA=}cosC=—,

a=l,貝!）/?=.

神典的備離考

類型一、正（余）弦定理的基本應用

基礎知識：

1.余、正弦定理的內容及其變形

在△/a'中，若角4B,C所對的邊分別是a,b,c,〃為的外接圓半徑，則

內容變形

〃2=+/-2/7CCOS_A;b^+c^-a2〃+。2—反

余弦cosA—2bc'cosB-2ac；

b2=c2+a2—2cacos_B；

定理/+?—g2

/=次+/—2abcos_CcosC~2ab

(l)〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

正弦a____b_____c___(2)a:b:c=sinA:sinB:sinC；

sinAsinBsinC

定理〃+/7+ca

I'sinA+sin8+sinCsinA

2、主要結論：

⑴在aABC中，A+B+C=n.變形:^^若一爭

rr9jr

(2)在aABC中，內角A,B,C成等差數列08=亨A+C^—.B.

(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(4)有關三角形內角的三角函數關系式：sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；

,A+BCA+BC

tan(A+B)=—tanC;sin-3-=cos,;cos--=si”.

(5)大邊對大角，大角對大邊，如a>b=A>BosinA>sin

(6)在斜4ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA?tanB,tanC.

(7)三角形射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

基本題型：

L(求角的大小)在，ABC中，內角A5C的對邊分別是若〃=Ac，sinC=23sinB，

則4=.

2.(求角的函數值)在，ABC中，角A，B,C的對邊。，b,c滿足a+c=2〃，且A—C=90。，則

cosB=()

A.正B.BC.-D.0

444

3、(求三角形的邊長)已知a,b,c分別為銳角△ABC三個內角A,B,C的對邊，若sinA=乎,

sinB>sinC,a=3,SAABC=2?則6的值為()

A.2或3B.2C.3D.6

2「

4、(求三角形的高)在AABC中，C=30°,cosA=——,AC=V15-2,則AC邊上的高為()

3

A.立B.2C.75D.

22

5、(多選題)已知在.ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,則下列四個論斷中正確的是

()

,什sinAcosB.n

A.若——=----,則n3n=一；

ab4

8.'若3=￡,b=2,a=5則滿足條件的三角形共有兩個;

4

C.若a,b,c成等差數列，sinA,sinB,sinC成等比數列，則ABC為正三角形;

3

D.若a=5,c=2,ABC的面積S"c=4,貝UcosBug.

基本方法：

利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三

邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.

利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是己知兩

邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進

行判斷).

類型二、求三角形的面積

基礎知識：

1.三角形常用面積公式

(1)5=呼也(總表示邊a上的高)；

.111

(z2)S=-absinC=_acsinB=_bcsinA；

(3)S=-1r(a+b+c)(r為內切圓半徑).

基本題型：

bsinC

1.已知a",c分別為ABC內角A，3,C的對邊，---+------------=1，AB.AC=4,則ABC

a+csinA+sinB

的面積為()

A.73B.2C.2A/3D.4G

2.在A4BC中，面積S=6—0—。了，貝人皿4=()

1581313

A.—B.—C.—D.—

17171517

3.zxABC的內角A，B,C的對邊分別為a,b,c,已知人sinC+csinB=4QsinBsinC,b2+c2-a1=

則^ABC的面積為.

4.已知a/,c分別為AABC三個內角A民C的對邊，acosC+y/3asinC-b-c=0

⑴求A(2)若〃=2,AABC的面積為有，求仇c.

bcos5+]

5、在①廠G'A)②2〃sinA=atanB,③(a—c)sinA+csin(A+JB)=ZJsin6這三個條件中任選

一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.

已知A3C的內角A，B,。所對的邊分別是。，b,c,若.

(I)求角B；

(2)若a+c=4,求..ABC周長的最小值，并求出此時,ABC的面積.

基本方法：

與三角形面積有關問題的解題策略

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結合求出三角形的其他量.

類型三、判斷三角形的形狀

基本題型：

Ab+「

1.在AA5C中，NA,DB,/C的對邊分別為。，b,c,cos2—=----,則AA6C的形狀一定是()

22c

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

2.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a,b,c成等差數列，設AABC的面積為S,

若accosB=￥^S,則△ABC的形狀為()

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

3、(多選題)在AABC中，若sinC+sin(8—A)=sin2A,則A4BC的形狀()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.銳角三角形

4.已知，ABC中，三內角A,5c滿足2B=A+C,三邊a,"c滿足〃=ac，貝48。是()

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

5.對于AABC,有如下四個命題：

①若sin2A=sin25,則/ABC為等腰三角形；

②若sinB=cosA,則/ABC是直角三角形；

③若sii?A+sin?5<sin?C，則/ABC是鈍角三角形；

a_b_c

④若一A=—B=—C,則/ABC是等邊三角形.其中正確的命題序號是

cos—cos—cos—

222

6.在AABC中，角A，B,C所對的邊分別是a,b,c,且2N=A+C

(1)若a=l,b=6，求sinC；

(2)若2Z?=a+c,試判斷AA5C的形狀.

基本方法：

1.判定三角形形狀的途徑：(D化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；(2)化角為邊，通過代數

變形找出邊之間的關系，正（余）弦定理是轉化的橋梁.

2.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注

意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數值的限制.

新翌例破?？?/p>

1.（多選題）在AABC中，〃=5后，c=10,A=3O°,則角B的值可以是（）

A.105°B.15°C.45°D.135°

2.設A45c的內角ASC所對邊的長分別為。乃,。，若b+c=2〃,3sinA=5sin5,則角。二（）

712"

A.—B.—

33

3〃5兀

C.—D.——

46

3.在AABC中，若sinA:sin8sinC=3:4:6,貝！JcosC=()

11111313

A.——B.------C.—D.------

24242424

4.（多選）△ABC的內角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,已知〃=3,b=2,sin5=sin2A,貝lj（）

A.sinB=^B.cosA=-g

C.c=3D.SAABC=2\/2

5.如果AA]3]G的三個內角的余弦值分別等于A432G的三個內角的正弦值，則

A.A4B1G和AA232c2都是銳角三角形B.AAHiG和A4與G都是鈍角三角形

c.A4耳G是鈍角三角形，A432G是銳角三角形D.AA與G是銳角三角形，AA232G是鈍角三角形

6.在AABC中，角A氏C所對的邊分別為〃也。，S表示AABC的面積，若。855+灰254=血11。,

S=-(b2+c2-a2),則5等于()

4

A.90°B.60°

C.45°D.30°

7.設AA5c的內角AB,。所對的邊分別為〃，b,c,且3〃cosC=4cs/A,已知AABC的面積等于

10,萬=4,則〃的值為（）

232826n25

A.—B.——C.—D.——

3333

Ab+「

8.在AA5C中，角A5c的對邊分別是"c,cos2-=-則AABC的形狀為

22c

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形D.正三角形

9.已知a,4c為.ABC的三個內角A,5c的對邊，向量機=（cosA,cosB）,〃=（a,J5c-0）,若根〃”，

則內角A的大小為（）

71r%一兀c2萬

A.-B.—C.—D.—

6343

10.（多選）在△A5C中，角A,B,。的對邊分別是。，b,c,若〃=E,層+/一，=〃慶也。，

6zcosB+bsinA=c,則下列結論正確的是（）

A.tanC'='2

C.b=y/2D.ZXABC的面積為6

11.在AA5C中，已知"tanBu/tanA，則該AA5C的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰或直角三角形

2s

12.在A6c中，內角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,S為&A6c的面積，sin（A+C）=^~r

b-c

且23=A+C,則C的大小為（）

13.在AABC中，角A5,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足Z?cosA+asin3=0.b+c=2+J5,

AA3C的面積為1,則邊。=()

A.亞C.10D.而.

14.在AABC中，內角A，B,C所對的邊分別為a,b,若°=岳，cosB=&cosC，a=5

則^NABC=-----

15.在△ABC中，a,dc分別為角A,3,C的對邊，已知2A=B+C,b=l,面積S=百，則。=.

16.在AA5C中，ZA=60°,b=l,50獷=，§,則---———------的值等于________.

sinA-2sinB+sinC

17.在Z\A3C中，角A,B,C所對應的邊分別是。，瓦c,向量加=（。一。，b+c）fn={b-c,a）,且加n.

（1）求&（2）若力cos[A+f]=之①^,求a

18.在AABC中，內角ASC所對的邊分別為。也c,已知Z?+c=2acos5.

(1)證明：A=26；(2)若A4BC的面積S=土，求角A的大小.

4

19.在/XABC中，角A，B,C的對邊分別為“，b,c,已知(5a—4c)cos3=46cosC.

7T

(1)求cosB的值；(2)若。=一，b-6,求sinA的值

4

nC—b~\~d

、已知在△ABC中，三邊a,b,c分別對應三個內角A,B,C,且—=-]—,

20c+b-ab

(1)求角C的大?。?/p>

(2)當AABC外接圓半徑R=1時，求AABC面積的最大值，并判斷此時AABC的形狀.

2023高考一輪復習講與練

專題25正(余)弦定理的應用

求

面

積

Sl-S2+S3=y-,sinB=1.

(1)求A5C的面積；(2)若sinAsinC=XZ，求瓦

3

答案：(1)也(2)1

82

【解析】

分析：(1)先表示出SI,S2，S3,再由$2+$3=4求得+02—匕2=2,結合余弦

定理及平方關系求得〃C,再由面積公式求解即可；

72

(2)由正弦定理得—)=—竺一，即可求解.

sin~3sinAsinC

【小問1詳解】

2222

由題意得=-.a--=—a,S2=—b,S3=—c，則

12242434

V<273,2^732_6

S[-S)+=—ci----bH-----c=—，

34442

22_12

即々2+/—匕2=2,由余弦定理得cosB=a,整理得accos6=1,則cos5>0,

lac

又sin3=L

3

則cos八卜[=半,。。=熹=手，則S…*in5邛;

【小問2詳解】

,還

ba/acac49

由正弦定理得:______________貝”-----=-----?-----=---------=----=——

sin3sinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC&4

3

nlb3

則----=T

sinB222

(文)T17)記.ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinCsin(A—=sinJBsin(C—A).

(1)若A=25,求C；(2)證明：2a2=/+02

5兀

答案：(1)9;(2)證明見解析.

8

【解析】

分析：(1)根據題意可得，sinC=sin(C-A),再結合三角形內角和定理即可解出；

(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得

sinC(sinAcosB-cosAsin=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再根據正弦定理，余

弦定理化簡即可證出.

【小問工詳解】

由A=25，sinCsin(A-3)=sini3sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),

而0＜3＜］，所以sin5￡(0,1),即有sinC=sin(C—A)＞0,而

。＜C＜兀,。＜C—A＜兀，顯然CwC—A,所以，C+C—A=兀，而A=25,A+B+C=TI,

5兀

所以C二一.

8

【小問2詳解】

由sinCsin(A_5)=sin5sin(C—A)可得，

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=becosA-abcosC,然后根據余弦定理可知,

+。2_人2)一；伊+。2_/)=；僅2+。2-+—(?),化簡得二/+,

故原等式成立.

3.(2023?全國乙(理)T17)記「ABC的內角ASC的對邊分別為。也J已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

（1）證明：2a2=〃+C2；

（2）若a=5,cosA=—,求4ABe的周長.

31

答案：（1）見解析（2）14

分析：（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可

得證；

（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出be,從而可求得匕+c,即可得解.

【小問1詳解】

證明：因為sinCsin（A—5）=sin3sin（C—A）,

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sin3sinAcosC,

在2er+c2-b2c,b2+c2-a2,a2+b2-c2

所以ac------------2bc---------------=-ab---------------，

2ac2bc2ab

?2—止，2+；一02,

即所以2/=/+。2

【小問2詳解】因為a=5,cosA=一，由（1）得。2+。2=50，

31

由余弦定理可得+,2—2反cosA，貝U50—^c=25,所以bc=①，

312

故（/?+c）2=從+°2+2機?=50+31=81,所以Z?+c=9,所以ABC的周長為

a+Z?+c=14.

4.（2023?北京卷T16）在-ABC中，Sin2C=V3smC

（1）求NC；

（2）若6=6,且二ABC的面積為63，求一ABC的周長.

答案：（1）—（2）6+6A/3

6

【解析】

分析：（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得cos。的值，結合角C的取值范圍可求得角C

的值；

（2）利用三角形的面積公式可求得。的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得,ABC的

周長.

【小問1詳解】因為Ce（O,?），貝!]sinC>0,由已知可得百sinC=2sinCeosC，

可得cosC=，3,因此，C=~.

26

【小問2詳解】由三角形的面積公式可得SaBc=ga沙sinC=|a=6/，解得

由余弦定理可得c?=a2+"—2"cosC=48+36—2x40x6x9=12，:(=2上，

所以，ABC的周長為〃+5+c=66+6.

5.(2023?浙江卷T18)在〈ABC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c.已知

3

4a=舊c,cosC=-.

(1)求sinA的值；

(2)若b=ll,求，ABC的面積.

答案：(1)—；(2)22.

5

【解析】

分析：(1)先由平方關系求出sinC,再根據正弦定理即可解出；

272_2

(2)根據余弦定理的推論cosC="'以及4a=J？c可解出。，即可由三角形面

2ab

積公式S='absinC求出面積.

2

【小問1詳解】

34r-

由于cosC=《，0＜。＜兀，則sinC二因為4〃=&c，

由正弦定理知4sinA=JSsinC，則sinA=^^sinC=.

【小問2詳解】

因為4a=&c，由余弦定理，得「a2+b2-c2a+121-ya3,

lab22ala5

4

即/+6a—55=0，解得a=5,而sinC=g,Z?=ll,

114

所以ABC的面積S=—absinC=—x5xllx—=22.

225

6.(2023?浙江卷TU)我國南宋著名數學家秦九韶，發(fā)現了從三角形三邊求面積的公式，他

把這種方法稱為“三斜求積”,它填補了我國傳統(tǒng)數學的一個空白.如果把這個方法寫成公式,

J(c--h2Y1

就是S=c2a2—上*_L，其中a",c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設

VL12〃

某三角形的三邊a=應/=J5,c=2，則該三角形的面積S=

4

分析：根據題中所給的公式代值解出.

1(2_i_2_A2V

【詳解】因為S=，—c2a2—￡_,所以

VL12〃

V23

S—4x2-2

m~7~

7.（2023年高考全國甲卷理科）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯合公布珠穆朗瑪峰最新

高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角

高程測量法的一個示意圖，現有48.C三點，且4B.C在同一水平面上的投影A',B',C

滿足NA'C5'=45°,ZAB'C'=6Q°.由C點測得B點的仰角為15°,班'與CC的

差為100；由B點測得A點的仰角為45。，則4C兩點到水平面的高度差

A4'—CC'約為（6^1.732）（）

A.346B.373C.446D.473

答案：B

解析：

A

ZK

/Pkl\8

。Li---------jlfi,

過。作過B作5DLAA'，

故A4CO=A4（陰-加=A4班'+100=AD+100,

由題，易知ZkAC出為等腰直角三角形，所以4。=功.

所以A4'—CC'=05+100=45'+100.因為4CH=15°,所以

CH=C'B'=100

tan15°

A'ByC'B’100100

在一45'。中，由正弦定理得:

sin45°sin75°tanl50cosl5°sin15°

壬J6-J2

而sin150=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=-----------

3

所以=”=W括+D53’所以'一℃”"W0”373.

8.(2023?天津高考)在△ABC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinA：sin8：sin

C=2：1：隹b=p

⑴求。的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C—§的值.

【解析】(l)VsinA：sinB：sinC=2：1：巾,由正弦定理可得a：：:c=2：1：啦,

；b=①；.c=2,a=2@

22-2

(2)由,于,弦,定.理ey可p付cosC=a+Z2?abc=2義8+2啟2-43

(3)VcosC=*sinC=yj1-cos2C=^,/.sin2C=2sinCeos。=2乂乎乂(=邛^,

9

cos2C=2cos2。-1=2X

1616

9、(2023?新高考II卷)在△ABC中，角A,B,C所對的邊長分別為〃，b,c,b=a+1,c=

Q+2.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

(2)是否存在正整數a,使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出。的值；若不存在，

說明理由.

【解析】⑴由2sinC=3sinA及正弦定理可得2c=3。，

結合b=q+l,c=a+2,解得a=4,b=5,c=6.

..,一人、、由p片+/一。216+25—361?.

在△ABC中，由平弦定理仔cosC=5—7—77；=d,所以sinC=

AQ.D4Uo

7l-COS2c

Sz\A5C=k》sinC=；X4X5X3市」5巾

8-4,

(2)設存在正整數a滿足條件，由已知c>6>a,所以NC為鈍角，

/+戶一02

所以cosC=---2^---<00/+/72V，今〃2+(4+1)2<(〃+2)2=(〃+])(〃—3)<0,

因為“為正整數，所以4=1,2.

當4=1時，0=2,c=3,不能構成三角形，舍去.

當a=2時，0=3,c=4,滿足條件.

綜上，當〃=2時，ZVIBC為鈍角三角形.

10.(2023?全國乙卷)記△A3C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為小，5=60。,

a2+c2=3ac,貝!Jb=.

答案：2也

解析：由題意，得SzviBc=Jzcsin5=小，即?坐=小，解得ac=4.由余弦定理，

得b2=a2+c2—2?ccosB=3ac~2ac^=8,解得0=2w（負值已舍去）.

11.（2023?浙江高考）在△A3C中，ZB=60°,AB=2,M是3C的中點，AM=2事,則AC

=,cosZA/AC=.

2^39

答案：271313

解析：在AABM中，由余弦定理，得AM2=AB2+BM2—2BM-A8COSB,即（25）2=22+90

-2BM-2cos60°,則圓心一2的0—8=0,解得BM=4（負值已舍去）.又點M是BC的中點，

所以BC=2BM=8.在△ABC中，由余弦定理，得AC2=Ag2+Bc2—2AHBCcos8=22+8?一

2X2X8Xcos60°=52,所以47=2行（負值已舍去）.

_2

12.（2023年高考數學課標III卷理科）在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,則cosB=

3

（）

1112

A.-B.-C.—D.一

9323

答案：A

2

解析：???在AABC中，cosC=j,AC=4,BC=3

2

根據余弦定理：AB2AC2+BC2-2AC-BCcosC,AB2=42+32-2x4x3xj