線性代數(shù)各章知識點及脈絡(luò)圖(含例題)-預(yù)習(xí)

一、行列式

知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖

-1-

行列式是線性代數(shù)中的重要工具，在求解線性方程組、求逆矩陣、判斷向量組的線性相關(guān)性、求矩陣

的特征值、判斷二次型的正定性等方面都要用到.本章的重點是應(yīng)用行列式的性質(zhì)和展開定理計算行

列式.行列式的計算除了利用性質(zhì)及展開定理外，還有三角化法、升階法、遞推法和數(shù)學(xué)歸納法等，

計算方法多，技巧性強，這是難點所在.要掌握好這些方法，首先必須具體分析所求行列式元素分布

的規(guī)律，針對其特點采取適當(dāng)?shù)姆椒ǎ黄浯问且⒁饪偨Y(jié)、積累經(jīng)驗，不斷提高運算能力.

行列式的性質(zhì)

522

【例】：已知531,252,234都是9的倍數(shù)，利用行列式的性質(zhì)（而不是展開），證明353也是

124

9的倍數(shù)。

52

解答：33

126

【例】：如果除最后一行外，從每一行減去后面的一行,而從最后一行減去原先的第一行，問行列式

值如何變化？

a、'a-a、

解答：設(shè)原行列式為det人J,則新的行列式為12

a-a

[aJdet5

a-a

n-l

(a一a

detB0

特殊行列式

1、（主）對角行列式、上（下）三角行列式

a\aaaa

11iiiiii

a\ciaaa

222222ii=na

/=!

\aa

iiii

2、（次）

aa

InIn

a

2,n-l=(_1斤口a

ii

i=l

a

nl

3、分塊三角行列式

14O*A*怖=(—11*"囿x|B|

形式簡記為:訓(xùn)X網(wǎng),

*BB*

-2-

4、范德蒙德行列式

11111XX2Xn-1

111

xxXX1XX2%n-1

n-1n222

于(x,X,,x)=X2X2X2x2

12n12n-1n

1XX2%n-1

n-1n-1n-1

X?-1X?-1X?-1Xn-11XX2Xn-1

J.,2、n-1nn**?n

%)=nQ-x

12nij

x)=nG-%)-nQ-x):-x)

于(X,x,nc-x)nc

12nnjn-1j32j

n-l>j>ln-2>j>l2>J>11>J>1

-(^x-x)(x-x)(x-x)(x-x)

nn-1nn-2n2n1

(x-x)(x-x)G-x)(x-%)

n-1n-2n-1n-3*1n-12n-11

(x-x)(x-X)

(I;)」

21

認(rèn)識范德蒙德行列式

可以將n階范德蒙德行列式看成式關(guān)于n個變量%,,x的函數(shù)，即。=/(%,%,,x)o此

12nn12n

種類型行列式具有如下三個特點：

Q從列的角度看：第j列元素從上到下依次為同一個變量x.的零次賽、1次賽、…、n—1次賽，

j=1,2,,n；

。從行的月度看：第i行元素是從左往右依次為『2，吃的i-1次賽，"1,2,,〃

)=nQ-x)是關(guān)于變量工,

Q從結(jié)果看：/(x,x,,%,X的-1)次齊次函數(shù)；而

'12nj12"2

n>i>j>i

且該齊次函數(shù)可以分解為個一次因式Q-%)之積，其中“即腳標(biāo)大者與腳

2-J

誣小者之差。(說明：i可以取值為1,2,,n,例當(dāng)i取值為4時，j只可以取值為3、2、1,即區(qū)間

j—1,1］中的每一個整數(shù))

當(dāng)給定具體的范德蒙德行列式時，可能變量采用不同的名稱，或者是已經(jīng)賦予具體的值。

參見“范德蒙德行列式專輯”

認(rèn)識余子式(Minor)和代數(shù)余子式(AlgebraicMinor),及其之間的關(guān)系

det(a)的(仃)元a的余子式M和代數(shù)余子式4,僅與位置G")有關(guān)，a的取值如何并不影響

VVVVij

其余子式M和代數(shù)余子式4的取值。A=(-1)+/M,代數(shù)余子式即為帶符號的余子式。

Vijijij

利用教材P21例13深入理解余子式和代數(shù)余子式及其關(guān)系。

【例】：已知4階行列式D中，第一行元素分別為1,2,0,-4；第三■行的4個元素的余子式分別為：

M=6,M^x,M=19,M=2。求x的值。

31323334

解答：ciA+〃A+6?AciA—0所以有M—2M+4-M—0

1131123213331434313234

6—2%+4x2=0,所以x=7。

【例】：

-3-

1、設(shè)行列式detA的元素為a,行列式

ij

ajj+xai2+x…

an+工an十x???M+z

detD

a.i+N。心+工…Q"+X

試證：detD=detA+xSA其中A為。在detA中的代數(shù)余子式。

ijijV

"=1

證明：把det0升階得到

=detA+XEJA+-\-XEJA=detA+A

/、IJnjij

(j=k7=1t,j=l

2、設(shè)A=l),A是Q在detA中的代數(shù)余子式，求證

ijijij

0

1

1

1

-4-

aa…a1aa…a1

a-??a1I”12l,n-lIniil,n-2

l,n-laa…a1aa…a1

a??a12n222,n-\2n212,n-2

212,n-l++…++0

aa???a1aa???a1

a?-?a1n-l.nn-1,2n-l,n-ln-l.nn-1,1n-l,n-2

nln.n-inaa…a1aa???a1

n,n—\Jin、/nln,n-2

=(A+A)+??--n

+A+??+A）工1）比4+A+-??4-V-l>-i\4+A+-??+A

In2nnnii21n\l,n-l2,n-ln,n-l

計算技巧:

①利用特殊行列式計算，利用公式\AB\=x?回求行列式值

【例】：計算行列式

。1十仇…m+6“

。2十仇a?+兒…生+4

（1）D,=

??????

a“十，ia?+b2???a*+b?

令。=|C|=>C=AB>

n'1

(a10…OY11...ir

2

a100b???bb

212n—1n

C=\\\\00…00

10...0;;

"10…0人00…007

2

fo>3

:D=|A|X|5|=<a+b,n=l

nZ11

)6-b),n=2

G,一a

1212

Q加邊法專輯

加邊法的應(yīng)用：通過升階獲得一些特殊的元素值，從而消去某些元素，使得行列式形式更加簡單且特

殊，從而實現(xiàn)計算的簡化。

此種方法其實是反向利用Laplace展開定理，看似復(fù)雜化，其實階數(shù)的增加反倒可以將行列式簡單化，

更易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。同時應(yīng)當(dāng)注意加邊的類型及加邊后行列式值不能改變。

【例】:

1+6711

1

11+a,?

Q.2■■■其中a0,z=1,2,???,?!.

工1

111+(Z

解答：…

""1…1||；111

1+Q11

1

11+二…1鱉011+a1

2

111+a

〃n+l

-5-

11111+X-111

a

-1a00Ii

r—ric++c0a00

1i-10a01ajj+1i1+

i=2,,n200a0

-100a

〃n+l000a

nn+1

1+a+ba+ba+b

ii121n

a+b1+a+ba+b

o21222n

a+ba+b1+〃+b

n1n2nn

-b

12n

01+Q+Z?a+/?a+Z?

11121n

解答：A加達(dá)0a+/71+a+ba+b

21222n

0a+ba+/?1+6+b

n1n2nnn+1

1—b-b-b10000

12n■■

I1+aaa01—b-b-b

r+riii…ii2n

i1Ia1+aa一%11+〃aa

i=2,,n+l22?一2加邊ii..i

—:-Q1a1+〃a

2?2.2..In

I〃a1+Q

nnnn+1-Q1aa1+〃

nnnnn+2

1011…1]

01—b-b—bI

12...nl

c+c-tz1100

jii…

j=3,,n+2--Q10.?...:

2…

：：：???.0

-a10011

nn+2

1-n…i11

JLab1+Zb-b-b-I

iii12

c+ac=1i=l

1J-2j001…

j=3,,〃+2

001

00…1

。爪型行列

式專輯.

爪型行列式形如:

-6-

a0bibi公

J0]00

。=c20。20(a；=^0,i=1,2,,,??!).

J00

方法：將D的第i+1列乘以——（z=1,2,,〃）都加到第1列，得

a

“。一公￡…b“

0即00

D=IIa.

000

000

有些行列式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兓梢曰癁樾辛惺剑俨捎蒙鲜龇椒ㄓ嬎恪?/p>

上例中n稱為爪型（或箭型）行列式，其它的爪型行列式還有：.

171|,均可仿上例求出其值.

axxX

i

xaXX

2

【例】：D=XXaX化為爪型行列式的方法:

n3

XXXa

n

axx

i

x-aa-x00

i2

x-a0a-X0

,ni3

x-a00a-x

in

a1上

一02

=II（工-可）T0

，二】

0-1

=FI(x-a)a(-1>T=FI(a-x)1+Xx

—1—+y*、

i,x-ax-a.a-x)

、ii=2i7i=lVi=li7

Q先采用加邊法

-7-

1XXXx\1XXXX

0aXXX—1ci—x000

0xaX\1ri—r1-10a-x00

D=2???2

n0XXax\\i=2.,n+l-100a-x0

*??3***3

???

0XXXa-1000a-x

nnn+l

X-*,

i+?XXXX

i=l(QiJ

0a-x000

C+-4-Ci

1aJj00a-x00=HG-%)i+X±

J=2,,n+l2i

000a-x0i=lI2。J

3?*

…

0000a-x

nn+l

加邊法與爪型行列式結(jié)合可以計算如下行列式值:

d范德蒙德行列式專輯

1111

abed

77,此4階行列式并非范德蒙德行列式，并非4個元素的零次至3次幕構(gòu)成。

。2b2C2d2

。4/?4046?4

解法一：采用降階法，即利用行列式展開定理，逐步展開行列式。

11111000

abcdc-cab-ac-ad-ci

21

a2Z?2C2d2c-cQ2Z?2一。2C2-a?d2一。2

31

c-c

Q4Z?4C4心〃4Z74-6Z4C4-6/46?4一。4

-8-

或者

11111111

r-ar

abd210b-ac-ad—a

。2r-a2rZ?2一。2C2一。2

b2d2310d2-a2

。4r-a^rZ74-Q4C4一。46?4一。4

Z?4d4410

b-ac-ad—a

按第1行展開b2一。2C2一。212—。2

Z?4一。4C4-Q4汗4一〃4

111

=(/?-Q)(0-Q)(d-Q)

b~\~aC+Qd+a

(匕+〃)62+必)(C+〃)Q+Q2)Q+Q)C?2+Q2,

i00

C2~Ci(b-a)(c-a)(d-a)

b~\~ac-bd-bx=(c-b)Cz2+拉+c2+ac+bc+ab)、

(6+〃)62+〃2)

c-cy=(d-b)*+b2+d2+ad+bd+ab)

Xy

c-bd-b

=(b-Q)(c-Q)("-Q)

%y

=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)11

a2+/?2+。2+ac+bc+abQ2+Z?2+J2+ad+bd+ab

=(z?-〃)(c-“)(d-”)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d)

解法二：利用范德蒙德行列式。但是首先對原行列式增加一行一列，使之成為5階范德蒙德行列式

于(a,b,c,d,x)

11111

abdx

(

fQ,b,c,d,i)=Q2Z?2d2X2,其中(4,5)元素心的余子式即是所求。。

4

。3/73C3d3X3

Q4Z?4C46?4X4

按第5列展開/(a,b,c,d,%)=A+xA+X2A+XSA+XM(1),即。=-A

1525354555445

根據(jù)范德蒙德行列式得

f(a,b,c,d,x)=(x-〃Xx-b)(x—c)(x—d)/(〃,b,c,d)(2)

其中

(x-a)^x-/7)(%-c)(x-)=%4-(<a+b+c+d^x3+(ab+ac+bc+ad+bd+cd^)x2

-(abc+abd+acd+bed)x+abed

⑴式與⑵式是X的4次多項式/Q,b,c,d,%)的兩種表示方式，比較兩者九3的系數(shù)，于是得到X3的

系數(shù)為A=—(〃+Z?+c+d)/(〃/,c,d)

45

所以。=-A=(o+b+c+d)/(a,b,c,d)

445

-9-

D=(〃+b+c+d)(d-〃)(d-b)(<d-c)(c-a)Q-b)(b-a)

4

【例】:計算行列式

anan-ibabn-ibn

1i1ii1

anan-ibdnbn-lbn

D222222=?

n+1

anan-ibabn-\bn

n+1n+ln+1n+\n+1n+1

解從第i行中提出公因式姆（=1,2」“，”+1）,就可得到“+1階范德

豪行列式的轉(zhuǎn)置形式

bb2

aa)

1iy

/

bb}2b,2bb}

一=H??JCb-ab)

=ITnn

Danaaaiaajiij

n+1i2272i=l1<j<i<n+lViJ1<j<i<n+l

i=l

bb2b,2

aaa

n+1n+1n+1

【例】:計算

111

x+1X+1X+1

i2n

DX2+XX2+XX2+x

n1122nn

X"T+X"-2X"-1+Xn-2Xn-1+Xn-2

22

解答:將第1行的一1倍加到第2任，再將第2行的一1倍加到第3行，…，最后將第n-1行的一1

倍加到第n行，于是原行列式變換為

111

XXX

12■■n一

X2x)

Dr—rfr—r,,r—rX2X2n

n)1al12-*nj

n>i>j>l

???

Xn-\Xn-1Xn-1

12n

【例】：計算

XXX

——1—

x-1x-1x-1

12n

XXX

D=12n

nX2X2X2

12n

Xn-lXn-1Xn-1

12n

X

解答：依次對每一行提出因子一）=1,2,，幾

X-1

j

-10-

111

X-1x-1x-1

[〃[%12n

D10，守C，，守CX2-XX2-XX2-x

n2X-11122nn

j=ij

Xn-l-Xn-2Xn-l-Xn-2Xn-l-Xn-2

1122

111

XXX

X12n

X2

r+rfr+r,,r+rFIX2X2=H工nQ—%)

x-112nX-1ij

j=ijj=ljn>i>j>l

Xn-1Xn-1Xn-1

12n

【例】：設(shè)〃〉b〉c>0,用范德蒙德行列式證明…

aQ2be

D=bb?ac<0

3

c。2ab

解答：給定行列式并非范德蒙德行列式，因此需要對其進(jìn)行變換化為范德蒙德行列式。

a〃2。2+ab-\-bc-\-caaQ2ab+be+ca

Dc+(〃+Z?+c)cbb2Z?2-\-ab+bc+cahb?ab+bc+ca

3_3_]

C2+ab+bc+caab+be+ca

aQ211aQ2

=(ab+be+ca)bb?1-c,c-c(ab+bc+ca)1bb2

22_L

C211C2

=(ab+be+ca)(c-a)(c-b)(b-a)

{ab+bc+ca)>0

a>b>c>0,:.

(,c-a)(.c-b)(Jb-a)<0

a〃2be

D二bZ?2ac<0

3

cC2ab

傘三角形行列式

利用性質(zhì)將行列式化為三角形行列式進(jìn)行計算。注意通?；癁橐韵聨最惾切涡辛惺?

a00aaa

iiii12In

aa0aa

Q2122222n=aaa

01122nn

aaa00a

n\nlnnnn

（下三角形）（上三角形）

-11-

00aaaa

Iniil,n-lIn

Q:aaaa0

2,n-l2n212,n-laaaa

0In2,n—ln-1,2nl

aaaa00

n,n—\nnnl

爪形行列式最終將行列式化為三角形巨列式計算。

G）遞推法

變換行列式為同類型得較低階行列式來表示，從而建立起遞推關(guān)系0

【例】：計算行列式

100P1按第一行展fp100

0：

A=：?."0A+(-1>P..二：o

n+1n1

001B001

n

aaa0aaa

1**3nn+11-2一nn

0

=A—ocP=n-a3-a3-ap=，ap。

n110n-ln-12211ii

i=l

【例】：計算三對角線行列式（即行列式的非零元素都在對角線上，以及與對角線“平行”的上、下

兩條斜線上）

a+pap

1a+pap

D=1

n

aP

1a+P

解答：將。按第1列展開得，建立遞推公式

n

ap:

a+Pap

=(a+P)D1

n-l

,ap

1a+p

n-\

a+pap

=(a+P)D-ap=(a+P)D-鄧。

n-lapn-ln-l

1a+P

n-2

即得：D=(a+P)D-aPD,整理得￡>—a。=0(￡>-aD)

nn-ln-2nn-ln-ln-2

遞推得到：D-aD=P(D—aD)=巾(0-aD)==p?-2(D-aD)

nn-ln-ln-2n-2n-321

a+paP

D=a+P,D==a2+a[3+02

21a+P

-12-

所以：D-aD=P"，即得到遞推公式。=P?+aD

nn-\n/n-1、

并依此公式遞推：D=+aD=+a\P?i+aD)=+aP?-i4-asD

nn-1n-2n—2

==P”+aP"-i++a小"T++a?-iP+a?

G)數(shù)學(xué)史納法：

教材習(xí)題一5(5)

X-1000

0X-100

D==Xn+aXn-\+aXn-2++。X+。

n12n-1n

000x-1

aaaax+a

nn-1n-221

用數(shù)學(xué)歸納法證明:

1、當(dāng)n=1時,D=x+a

ii

x-1

2、當(dāng)n=2時,D==+ax+a

2ax+ai2

21

(1)

3、假設(shè)對于n—1階行列式命題成立，即。=Xn-l+aXn-2+aXn-3++ax+a

n-112n—2n—1

那么按第一列展開

X:-1000

bX-i0bi

D二

n

0;00X-i

a：aaax+a

n：n-1n-2???2i

D-ciA+aA=xO*+(-1ci(-1)n-i-xD+a(2)

n1111nlnln-1nn-1n

將⑴式帶入⑵式，即可得D-Xn+aXn-\+aXn-2++Qx+a

n12