山東省煙臺市2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺市2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，且，則m的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1〖答案〗B〖解析〗因為，所以或，解得，或或，當時，，又集合中不能有相同的元素，所以.故選：B.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，命題“”的否定為“”.故選：A.3.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，取，則，此時，故A錯誤；對于B，取，則，此時，故B錯誤；對于C，取，則，此時，故C錯誤；對于D，∵，且，∴，且，則，即，故D正確.故選：D.4.某地民用燃氣執(zhí)行“階梯氣價”，按照用氣量收費，具體計費方法如下表所示．若某戶居民去年繳納的燃氣費為868元，則該戶居民去年的用氣量為（）每戶每年用氣量單價不超過的部分超過但不超過的部分超過的部分A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗該戶居民去年的用氣量為，繳納的燃氣費為元，當時，，令，解得，不合題意；當時，，令，解得，符合題意；當時，，令，解得，不合題意，綜上，.故選：C.5.在同一坐標系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故A錯誤；對于B，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，相符，故B正確；對于C，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故C錯誤；對于D，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故D錯誤.故選：B.6.若函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則恒成立，即恒成立，因為，所以，解得.故選：A.7.若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得在上單調(diào)遞減，當時，的開口向上，對稱軸，當時，，得，所以得：，解得：，故D項正確.故選：D.8.已知是定義在上奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則的解集是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗是定義在上的奇函數(shù)，則，又在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，，，所以，當時，；當時，，可化為，可得或，即或，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的有（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗AC〖解析〗與的定義域，對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故A正確；由解得，則的定義域為，由解得或，則的定義域為或，則與的定義域不同，不是同一函數(shù)，故B錯誤；與的定義域，對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故C正確；的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.10.給定集合，定義且，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗∵，∴，∴，當且僅當時取等號，則，故A正確；∵，，由新定義可知，，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD.11.已知，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為6C.的最大值為0 D.的最小值為〖答案〗AC〖解析〗對于A：，當且僅當時取到等號，A正確；對于B：，當且僅當時取到等號，B錯誤；對于C：，所以，所以，因為，所以，當且僅當取到等號，C正確；對于D：，由函數(shù)性質(zhì)易知在單調(diào)遞增，所以，所以，故D錯誤.故選：AC.12.德國數(shù)學家康托爾是集合論的創(chuàng)立者，為現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展作出了重要貢獻．某數(shù)學小組類比拓撲學中的康托爾三等分集，定義了區(qū)間上的函數(shù)，且滿足：①任意，；②；③，則（）A.在上單調(diào)遞增 B.的圖象關(guān)于點對稱C.當時， D.當時，〖答案〗BCD〖解析〗由②得，即，得，而，得，∴，故A錯誤；由③可知，，即，則的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；由②得，則，由③得，即，由，得，故C正確；由，得，則，∵任意，，∴當時，，即，∴，即，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為______．〖答案〗1〖解析〗因為為奇函數(shù)，所以，得，得，得.故〖答案〗為：1.14.若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗不等式的解集記為，不等式，解得或，解集記為或，若“”是“”的充分不必要條件，則，所以.故〖答案〗：.15.已知命題，為真命題，則實數(shù)的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗由題意得：當時，，不符題意；當時，的對稱軸為，所以，只需，解得：，當時，顯然滿足題意，綜上，的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.設(shè)，，用表示，中較小者，記為，則______；若方程恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)c的取值范圍為______.〖答案〗2〖解析〗，，則；由，解得，由，解得或，則，作出圖象，如圖，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，此時方程恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)c的取值范圍為.故〖答案〗為：2.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，，所以.（2）因為，，所以，解得：.故的取值范圍為：.18.已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，．（1）求在上的〖解析〗式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減．解：（1）因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，當時，．當時，，又為奇函數(shù)，所以，即．綜上，，，（2）任取，且，，因為，且所以，，且，所以，即，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．19.某工廠擬建造一個深為2.5米的長方體無蓋貯水池，如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為100元，總造價不超過3萬元，怎樣設(shè)計水池，才能使其容積最大?最大容積是多少?解：設(shè)池底長為x米，寬為y米，則水池的容積為，由題意得，因為，當且僅當時取“＝”，所以，即，解得，即．所以，當，即池底的長和寬均為10米時，其容積最大．此時，最大容積為立方米.20.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求的〖解析〗式；（2）若存在，使得，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）設(shè)的〖解析〗式為，則，解得，因此．（2）因為，所以．令，則，且．令，，因為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．因為存在，使得，所以．所以．又因為，所以的取值范圍為.21.已知函數(shù)滿足：，．令．（1）求值，并證明為偶函數(shù)；（2）當時，．(i)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；(ii)若，求不等式的解集．解：（1）因為，所以定義域為，因為，令，則，所以．令，則，所以．令，則，所以，，所以為偶函數(shù).（2）(i)因為，兩邊同除以得，即．任取，且，則，，因為當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．(ii)因為，所以，所以原不等式可化為．又為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，解得或，所以原不等式的解集為或．22.已知函數(shù)，，（1）解關(guān)于x的不等式；（2）從①，②]這兩個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線處，并給出問題的解答．問題：是否存在正數(shù)t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）由，則，即，①當時，不等式的解集為；②當時，不等式解集為；③當時，不等式的解集為，綜上，當時不等式的解集為，時不等式的解集為，時不等式的解集為.（2）因為是開口向下的二次函數(shù)，若選擇條件①：此時的解集為，所以，，且，由，，得，解得