2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 投影與視圖的核心知識點精講（講義）（解析版）

投影與視圖的核心知識點精講

復(fù)藐叫

1.掌握平行投影和中心投影的區(qū)別和性質(zhì)；

2.根據(jù)簡單幾何體或簡單組合幾何體判斷其三視圖；

3.掌握立體圖形的展開與折疊。

考點L投影

1.投影：在光線的照射下，空間中的物體落在平面內(nèi)的影子能夠反映出該物體的形狀和大小

,這種現(xiàn)象叫做投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面.

2.平行投影、中心投影、正投影

（1）中心投影：在點光源下形成的物體的投影叫做中心投影，點光源叫做投影中心.

【注意】燈光下的影子為中心投影，影子在物體背對光的一側(cè).等高的物體垂直于地面放置時

,在燈光下，離點光源近的物體的影子短，離點光源遠(yuǎn)的物體的影子長.

（2）平行投影：投射線相互平行的投影稱為平行投影.

【注意】陽光下的影子為平行投影，在平行投影下，同一時刻兩物體的影子在同一方向上，并

且物高與影長成正比.

考點2:視圖

1.視圖：由于可以用視線代替投影線，所以物體的正投影通常也稱為物體的視圖.

2.三視圖：1）主視圖：從正面看得到的視圖叫做主視圖.2）左視圖：從左面看得到的視圖

叫做左視圖.

3）俯視圖：從上面看得到的視圖叫做俯視圖.

【注意】在三種視圖中，主視圖反映物體的長和高，左視圖反映了物體的寬和高，俯視圖反映

了物體的長和寬.

3.三視圖的畫法

1）畫三視圖要注意三要素：主視圖與俯視圖長度相等；主視圖與左視圖高度相等；左視圖與

俯視圖寬度相等.簡記為“主俯長對正，主左高平齊，左俯寬相等”.

2）注意實線與虛線的區(qū)別：能看到的線用實線，看不到的線用虛線.

（典例引領(lǐng)

【題型1:平行投影與中心投影】

【典例11（2021?紹興）如圖，樹4B在路燈。的照射下形成投影AC,已知路燈高尸。=5處樹影AC=3m,

樹48與路燈。的水平距離AP=4.5wi,則樹的高度A2長是（）

C.旦機(jī)D

2-夢

【答案】A

【解答】,：AB//OP,

：./\CAB^/\CPO,

???A-B=A一C,

P0PC

?AB一3

"V=3+4.5

；.AB=2(m),

故選：A.

【變式1-1］（2021?南京）如圖，正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這

條對角線所確定的平面垂直于紙板.在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是（）

【答案】D

【解答】解：根據(jù)正方形紙板的一條對角線垂直于地面，紙板上方的燈（看作一個點）與這條對角線所

確定的平面垂直于紙板，燈在紙板上方，

上面兩條邊離點光源近，在同一投影面上的影子就長于下方離點光源遠(yuǎn)的兩條邊，

...上方投影比下方投影要長，

故選：D.

【變式1-2］（2020?貴陽）下列四幅圖中，能表示兩棵樹在同一時刻太陽光下的影子的圖是（）

【答案】C

【解答】解：A、兩棵小樹的影子的方向相反，不可能為同一時刻陽光下影子，所以A選項錯誤;

8、兩棵小樹的影子的方向相反，不可能為同一時刻陽光下影子，所以8選項錯誤；

C、在同一時刻陽光下，樹高與影子成正比，所以C選項正確.

。、圖中樹高與影子成反比，而在同一時刻陽光下，樹高與影子成正比，所以。選項錯誤；

故選：C.

【答案】c

【解答】解：從上面看，是一個矩形，矩形的兩邊與矩形內(nèi)部的圓相切.

故選：C.

A

q加時檢測

【變式2-1］（2023?沈陽）如圖是由5個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（）

【答案】A

【解答】解：此幾何體的主視圖從左往右分3歹!］，小正方形的個數(shù)分別是1,2,1.

故選：A.

【變式2-2］（2023?棗莊）樺卯是古代中國建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是我國工藝文化精神的

傳承，凸出部分叫樟，凹進(jìn)部分叫卯.如圖是某個部件“卯”的實物圖，它的主視圖是（）

pUT

_______V

/

主視方向

A.I_UH____Ui_llB.I_IdH____l_HJ_

F~~日

C.____________D.I____I

【答案】C

【解答】解：如圖所示的幾何體的主視圖如下：

故選：C.

【變式2-3］（2023?青島）一個正方體截去四分之一，得到如圖所示的幾何體，其左視圖是（）

【答案】D

【解答】解：4、選項不符合三種視圖，不符合題意;

8、選項是主視圖，不符合題意；

C、選項是右視圖，不符合題意；

。、選項是左視圖，符合題意；

故選：D.

【變式2-4］（2023?金華）某物體如圖所示，其俯視圖是（）

/主視方向

【答案】B

【解答】解：該物體的俯視圖是：B.

故選：B.

【題型3：由三視圖還原幾何體】

【典例3】（2023?淮安）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（

俯視圖

A.12TtB.15TTC.18TtD.24TT

【答案】B

【解答】解：由三視圖可知此幾何體為圓錐，

主視圖

?.?d=6,。=4,

圓錐的母線長為“2+4”2=5,

.,.圓錐的側(cè)面積為：Ax6itX5=1511,

2

故選：B.

即時檢測

【典例3-1】（2023?河北）如圖1,一個2X2的平臺上已經(jīng)放了一個棱長為1的正方體，要得到一個幾何體,

其主視圖和左視圖如圖2,平臺上至少還需再放這樣的正方體（）

正面

圖1圖2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解答】解：平臺上至少還需再放這樣的正方體2個，

故選：B.

【變式3-2］（2023?呼和浩特）如圖是某幾何體的三視圖，則這個幾何體是（）

【答案】C

【解答】解：根據(jù)主視圖可知，這個組合體是上、下兩個部分組成且上下兩個部分的高度相當(dāng)，上面是

長方形，可能是圓柱體或長方體，

由左視圖可知，上下兩個部分的寬度相等，且高度相當(dāng)，

由俯視圖可知，上面是圓柱體，下面是長方體，

綜上所述，這個組合體上面是圓柱體，下面是長方體，且寬度相等，高度相當(dāng),

所以選項C中的組合體符合題意，

故選：C.

【變式3-3］（2023?湖北）如圖是一個立體圖形的三視圖，該立體圖形是（）

【解答】解：根據(jù)三視圖的知識，正視圖和左視圖都為一個三角形，而俯視圖為一個圓，故可得出這個

圖形為一個圓錐.

故選：D.

好題沖關(guān)、

'基礎(chǔ)過關(guān)

一.選擇題（共8小題）

1.7用3個同樣的小正方體擺出的幾何體，從正面看到的形狀圖如圖所示,則這個幾何體可能是（）

從正面看

J

A.________VB.________1/

一乙_/（17c

/

C.________D._____________________________________1/

【答案】A

【解答】解：A.從正面看到，底層是兩個小正方形，上層的右邊是一個小正方形，故本選項符合題意;

B.從正面看到，是一行兩個相鄰的小正方形，故本選項不符合題意；

C.從正面看到，底層是兩個小正方形，上層的左邊是一個小正方形，故本選項不符合題意;

D.從正面看到，是一行兩個相鄰的小正方形，故本選項不符合題意.

故選：A.

2.下列四個幾何體中，從正面看和從上面看都是圓的是（）

【答案】D

【解答】解：A、圓柱的主視圖是矩形、俯視圖是圓，不符合題意；

8、圓臺主視圖是等腰梯形，俯視圖是圓環(huán)，不符合題意；

C、圓錐主視圖是等腰三角形，俯視圖是圓和圓中間一點，不符合題意；

D.球的主視圖、俯視圖都是圓，符合題意.

故選：D.

3.從正面、左面、上面觀察某個立體圖形，得到如圖所示的平面圖形，那么這個立體圖形是（）

從

從

正

左

面

亶

看

從上面看

【答案】C

【解答】解：???主視圖和左視圖都是長方形,

，此幾何體為柱體，

;俯視圖是一個三角形，

...此幾何體為三棱柱.

故選：C.

4.日皆是我國古代利用日影測定時刻的一種計時儀器，它由“辱面”和“辱針”組成.當(dāng)太陽光照在日暑

上時，辱針的影子就會投向唇面.隨著時間的推移，號針的影子在唇面上慢慢地移動，以此來顯示時刻.則

辱針在號面上形成的投影是（）

A.中心投影

B.平行投影

C.既是平行投影又是中心投影

D.不能確定

【答案】B

【解答】解：辱針在唇面上形成的投影是平行投影.

故選：B.

5.下列四幅圖形中，表示兩棵小樹在同一時刻同一地點陽光下的影子的圖形可能是（）

【答案】A

【解答】解：兩棵小樹在同一時刻同一地點陽光下的影子的方向應(yīng)該一致，樹高與影長的比相等，所以

A選項滿足條件.

故選：A.

6.如圖，在一間黑屋子的地面A處有一盞探照燈，當(dāng)人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況

A.變大B.變小C.不變D.不能確定

【答案】B

【解答】解：如圖所示：當(dāng)人從燈向墻運動時，他在墻上的影子的大小變化情況是變小.

7.如圖是小紅在一天中四個時刻看到的一棵樹的影子的圖，請你將它們按時間先后順序進(jìn)行排列（）

4*0000

①②③④

A.①②③④B.①③④②C.②①④③D.④②①③

【答案】。

【解答】解：西為④，西北為②，東北為①，東為③，

故其按時間的先后順序為：④②①③.

故選：D.

8.如圖，陽光從教室的窗戶射入室內(nèi)，窗戶框在地面上的影長?！?1.8處窗戶下檐到地面的距離

=lm,EC=L2m,那么窗戶的高A8為（）

A.1.5mB.1.6mC.1.86mD.2.16m

【答案】A

【解答】,：BE//AD,

:.ABCEsAACD,

?CB_CE即BC=EC

"CA"CDAB+BC-EC+DE

且BC=1,DE=1.8,EC=1.2

；1=1.2

"AB+11.2+1.8

1.242=1.8,

.'.AB—1.5m.

故選：A.

二.填空題（共1小題）

9.一天下午，小紅先參加了校運動會女子200優(yōu)比賽，然后又參加了女子400m比賽，攝影師在同位置拍

攝了她參加這兩場比賽的照片,如圖所示，則小紅參加200機(jī)比賽的照片是圖2（填“圖1”或“圖

2”)

圖1圖2

【答案】圖2.

【解答】解：圖1中的人的影子比較長，所以圖1中反映的時間比圖2中反映的時間要晚,

所以小紅參加200m比賽的照片為圖2.

故答案為圖2.

三.解答題（共1小題）

10.如圖，是由若干個完全相同的小正方體組成的一個幾何體.從正面、左面、上面觀察該幾何體，在方

格圖中畫出你所看到的幾何體的形狀圖.（用陰影表示）

從左而看從上面看

【答案】見解答.

【解答】解：如圖所示.

從正面看從左而看從上面看

正而

?罐力想升

選擇題（共7小題）

1.如圖是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中a的值為（)

D.a

【答案】D

【解答】解：正六棱柱的底面如圖所示，過點A作于

由題意得，2AH+BD=4,

VZBAC=120°,AC=AB,

ZCAH=ZBAH=60a,

：.ZABH=30°,

：.AB=2AH,

：.4AH=4,

：.AH=l,

：.BH=yf3AH=43>

：.a的值為E，

故選：D.

2.如圖所示的是由兩個長方體組成的幾何體，這兩個長方體的底面都是正方形，則該幾何體的俯視圖是

【答案】C

【解答】解：該幾何體的俯視圖是I

故選：C.

3.如圖所示是一個由若干個相同的正方體組成的幾何體的主視圖和左視圖，則組成這個幾何體的小正方體

A.5個B.6個C.11個D.13個

【答案】A

【解答】解：底層正方體最少的個數(shù)應(yīng)是3個，第二層正方體最少的個數(shù)應(yīng)該是2個，因此這個幾何體

最少有5個小正方體組成，

故選：A.

4.如圖，是圓桌正上方的燈泡。發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖.已知桌面

的直徑為1.6%，桌面距離地面1處若燈泡。距離地面3%，則地面上陰影部分的面積為（）

A.0.6411"，B.2.56m/C.1AAmrrD.5.76TO/I2

【答案】C

【解答】解：如圖設(shè)C,。分別是桌面和其地面影子的圓心，CB//AD,

：.MOBSMOND

ACB=0C；而。。=3,CD=1,?

?0D&

；.OC=O￡)-CD=3-1=2,BC=Ax1,6=0.8,

???0.8—_—2J

AD3

：.AD=1.2,

SQD=TTX1.22=1.44itw2,

即地面上陰影部分的面積為L44M2

故選：C.

5.如圖，上下底面為全等的正六邊形禮盒，其主視圖與左視圖均由矩形構(gòu)成，主視圖中大矩形邊長如圖所

示，左視圖中包含兩全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長度至少為（）

主視圖左視圖

A.320cmB.395.2cmC.297.9cmD.480cm

【答案】c

【解答】解：根據(jù)題意，作出實際圖形的上底，

如圖：AC,CO是上底面的兩邊.

A

則AC=40+2=20(cm),ZACD=120°,

作于點8,

那么AB=ACXsin60°=loV3(cm),

所以AO=2AB=20?(cm),

膠帶的長至少=20^X6+15X6^297.8(cm).

所以至少需要297.9cm的膠帶

故選：C.

6.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）

【解答】解：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形可判斷出該幾何體是柱體,

根據(jù)俯視圖是兩個矩形可判斷出該幾何體為正面

故選：D.

7.一個物體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是全等的等邊三角形，俯視圖是圓，根據(jù)圖中所示數(shù)

據(jù)，可求這個物體的表面積為（）

江「

Cl）

A.9nB.6nC.3TTD.（3+A/^）TT

【答案】A

【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是一個圓錐，其軸截面是一個高為3的正三角形.

...正三角形的邊長=一=273-

sin60

圓錐的底面圓半徑是F，母線長是2我，

底面周長為2?TT

側(cè)面積為工X2FTTX2?=6TT,

2

?底面積為nJ=3n,

這個物體的表面積是9n.

故選：A.

二.填空題（共3小題）

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點光源位于尸（4,4）處,木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為（0,2）,（6,2）.則

木桿在x軸上的影長CD為12.

斗

P八

/、

，_________\__B__X

----/---------、--

C0D?X

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：過尸作PELx軸于E,交A3于如圖,

COEDx

；P(4,4),A(0,2),B(6,2).

:.PM=2,PE=4,AB=6,

'SAB//CD,

.ABPM

C6DPE-

-

CD2

4

故答案為：12.

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點P(3,2)是一個點光源.木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為(2,1),(5,1).則

木桿48在x軸上的投影長為6.

八y

-P

-A?-------------?B

_____??IIIA

Ox

【答案】6.

【解答】解：如圖，延長B4PB交x軸分別于點M、點8',過點P作尸軸，交于點垂足

為M

:,點A(2,1),點B(5,1),

；.AB=|2-5|=3,AB〃x軸，

：.PN±AB,

又；點尸(3,2),

：.PN=2,PM=MN=1,

「AB〃龍軸，

:.XPABs叢觀B',

?AB=PM=1

AA,B'=2AB=6,

即AB在x軸上的影長為6,

故答案為：6.

p

10.航拍器拍出的照片會給我們視覺上帶來震撼的體驗，越來越受追捧.如圖，航拍器在空中拍攝地面的

區(qū)域是一個圓，且拍攝視角a固定：

（1）現(xiàn)某型號航拍器飛行高度為36m,測得可拍攝區(qū)域半徑為48m.若要使拍攝區(qū)域面積為現(xiàn)在的2倍，

則該航拍器還要升高（36亞-36）m；

（2）航拍器由遙控器控制，與（1）中同型號的航拍器最遠(yuǎn)飛行距離為距遙控器2000m,則該航拍器可

拍攝區(qū)域的最大半徑為典&m.（忽略遙控器所在高度）

—3—

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）由題意：tan_2==9=4,

2363

???拍攝區(qū)域面積為現(xiàn)在的2倍，

可拍攝區(qū)域半徑為48a處設(shè)航拍器飛行高度為hm,

則有tanW=48我=居,

2h3

；.〃=36&,

該航拍器還要升高（36A/5-36）m,

故答案為（36&-36）.

（2）如圖，由題意航拍器在以。為圓心，2000根為半徑的圓上運動.

航拍器可拍攝區(qū)域的最大直徑為EE',此時PEJ_OP,PE'LOP',

則有空=3,

0E5

/-<9￡=W000,（m）.

3

故答案為四儂.

3

三.解答題（共1小題）

11.李明在參觀某工廠車床工作間時發(fā)現(xiàn)了一個工件，通過觀察并畫出了此工件的三視圖，借助直尺測量

了部分長度.如圖所示，該工件的體積是多少？

【答案】17ircm3.

【解答】解：根據(jù)三視圖可知該幾何體是兩個圓柱體疊加在一起,

底面直徑分別是2cm和4cm,

高分別是4cm和1cm,

工體積為:4irX22+7iXl2Xl=17n（cm3）.

答：該工件的體積是17nc/.

葉百題感知

1.（2023?大慶）一個長方體被截去一部分后，得到的幾何體如圖水平放置，其俯視圖是（）

【答案】A

【解答】解：從上面看，是一個矩形.

故選：A.

2.（2023?廣州）一個幾何體的三視圖如圖所示，則它表示的幾何體可能是（

//i—一―,一一?

A.L_____ZB.</C.<->D.V.___>

【答案】D

【解答】解：由主視圖和左視圖可以得到該幾何體是圓柱和小圓錐的復(fù)合體，由俯視圖可以得到小圓錐

的底面和圓柱的底面完全重合.

故選：D.

3.（2023?陜西）陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個

“老碗”（圖①）的形狀示意圖.一窟是的一部分，。是源的中點，連接。。，與弦AB交于點C,連

接OA,OB.已知AB=24c機(jī)，碗深CZ）=8c機(jī)，則。。的半徑。4為（）

【答案】A

【解答】解：.窟是O。的一部分，。是窟的中點，AB^24cm,

：.OD.LAB,AC=BC=^AB=12cm.

2

設(shè)O。的半徑04為Rem,則OC=0￡)-CO=(R-8)cm.

在Rtz\OAC中，VZOCA=90°,

：.OA2=AC2+OC2,

.*./?2=122+(R-8)2,

；.R=13,

即。。的半徑為Bcm.

故選：A.

4.（2023?牡丹江）由若干個完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則搭成該幾何

體所用的小正方體的個數(shù)最多是（）

主視圖左視圖

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解答】解：根據(jù)主視圖和左視圖可得：

這個幾何體有2層，3歹U，最底層最多有3X2=6個正方體，第二層有1個正方體,

則搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最多是6+1=7個；

故選：B.

5.（2023?貴州）如圖所示的幾何體，從正面看，得到的平面圖形是（）

【答案】A

【解答】解：從正面看到的平面圖形為等腰梯形.

故選：A.

6.（2023?自貢）如圖中六棱柱的左視圖是（）

【答案】A

【解答】解：由題可得，六棱柱的左視圖是兩個相鄰的長相等的長方形，如圖:

故選:A.

7.（2021?畢節(jié)市）學(xué)習(xí)投影后，小華利用燈光下自己的影子長度來測量一路燈的高度.如圖，身高1.7機(jī)

的小明從路燈燈泡A的正下方點8處，沿著平直的道路走8機(jī)到達(dá)點。處，測得影子。E長是2優(yōu)，則路

燈燈泡A離地面的高度AB為8.5m.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：CDLBE,

J.AB//CD,