2024年初升高數(shù)學(xué)銜接講義-數(shù)與式的運(yùn)算練習(xí)（學(xué)生版+解析）

專題01數(shù)與式的運(yùn)算

"敢徐述

初中階段“從分?jǐn)?shù)到分式”，通過觀察、分析、類比，找出分式的本質(zhì)特征，及它們與分?jǐn)?shù)的相同點(diǎn)和不同

點(diǎn)，進(jìn)而歸納得出分式的概念及運(yùn)算性質(zhì)，我們已經(jīng)運(yùn)用的這些思想方法是高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的法寶.

二次根式是在學(xué)習(xí)了平方根、立方根等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是對(duì)“實(shí)數(shù)”、“整式”等內(nèi)容的延伸和補(bǔ)充，

對(duì)數(shù)與式的認(rèn)識(shí)更加完善.二次根式的化簡(jiǎn)對(duì)勾股定理的應(yīng)用是很好的補(bǔ)充；二次根式的概念、性質(zhì)、化簡(jiǎn)

與運(yùn)算是高中學(xué)習(xí)解三角形、一元二次方程、數(shù)列和二次函數(shù)的基礎(chǔ).二次根式是初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與式的最

后一章，是式的變形的終結(jié)章.

當(dāng)兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，可用“夾逼”的方法推出，兩個(gè)被開方數(shù)同時(shí)為零.

本專題內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如類比的思想（指數(shù)幕運(yùn)算律的推廣）、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)

塞逼近無理數(shù)指數(shù)基），掌握運(yùn)算性質(zhì)，能夠區(qū)別值與（布）”的異同.

通過與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)募的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)累的性質(zhì)，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)累和根

式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì).

薛程要求

《初中課程要求》1、認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)及相關(guān)概念，如有理數(shù)、無理數(shù)；了解了實(shí)數(shù)具有

順序性，知道字母表示數(shù)的基本代數(shù)思想

2、初中會(huì)比較簡(jiǎn)單實(shí)數(shù)的大小，初步接觸作差法

3、理解了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,

掌握了不超過三步的數(shù)的混合運(yùn)算

4、掌握了平方根、立方根運(yùn)算；了解了有理式和無理式的概念；了

解了整數(shù)指數(shù)塞的含義

《高中課程要求》1、高中必修一中常用數(shù)集都用了符號(hào)表示，同時(shí)為數(shù)系的擴(kuò)充打

基礎(chǔ)，會(huì)運(yùn)算字母代表數(shù)的式子

2、掌握用作差法、作商法來比較實(shí)數(shù)大小，體會(huì)變形過程中的技

巧

3、在高中會(huì)常常用到立方和、立方差、三數(shù)和的平方的公式，兩

數(shù)和、差的立方公式.高中有很多混合運(yùn)算都超過三步

4、必須掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性質(zhì)根式的大小比

較，會(huì)把整數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算及其性質(zhì)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

知擁幡講

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是

零.即：

a,a>0,

\a\=<0,Q=0,

-a,a<0.

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：卜-q表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的距離.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式（。+份（。-匕）=。2-4；

（2）完全平方公式（。±匕）2=a2±2ab+b2.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式（。+匕）（。~-ab+b~）—/；

（2）立方差公式（Q—份（〃+。匕+/）=。3一夕；

（3）三數(shù)和平方公式（。+匕+c）~=礦+匕~+c~+2（ab+be+uc）；

（4）兩數(shù)守口立方公式（。+33=/+3。％+3。/+夕.

（5）兩數(shù)差立方公式（。一匕）3=。3—3。%+3。廿一3.

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：二次根式

一般地，形如G（a?0）的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子

________桓

稱為無理式.例如3a+Ja?+/?+2/?,a2+b2等是無理式，而+-^-x+l,x2+y/2xy+y2,

JU等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化

因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩

個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如，5與，5,3G與,&+?與&-石，-3也與

2G+3也,等等.一般地，.心與/?,。4+久方與一%[,。4+匕與一匕互為

有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子

有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程

在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

4ay/b=4ab(a>0,b>^；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有

理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同

類二次根式.

2.二次根式后的意義

11[-a,a<0.

高中必備知識(shí)點(diǎn)4：分式

1.分式的意義

AAA

形如?的式子，若5中含有字母，且BwO,則稱?為分式.當(dāng)研0時(shí)，分式色■具有下列性質(zhì):

BBB

AAxM

~B~B^M'

AA^M

萬一B+M?

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像一人，—5一這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

y

算例周折

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:絕對(duì)值

【典型例題】

閱讀下列材料:

我們知道忖的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即國=|x-0],也就是說，忖表示在數(shù)軸

上數(shù)X與數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；這個(gè)結(jié)論可以推廣為|匹-々|表示在數(shù)軸上數(shù)再與數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間

的距離；

例1解方程|X|=2.因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程|X|=2的解為X=±2.

例2解不等式|x-1|>2.在數(shù)軸上找出|x-1|=2的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2

的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一1或3,所以方程|x—1|=2的解為x=—1或x=3,因此不等式|x—1|>2的解集為

-1或X>3.

例3解方程|x—1|+|x+2|=5.由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和一2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離

之和等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的X的值.因?yàn)樵跀?shù)軸上1和一2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為3（如圖），滿足方程的X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

在1的右邊或一2的左邊.若X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊，可得％=2；若X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一2的左邊，可得x=-3,

因此方程Ix—1|+|x+2|=5的解是x=2或x=-3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

⑴方程Ix+21=3的解為；

（2）解不等式：了一2|<6；

⑶解不等式：|X—3|+|X+4|29；

⑷解方程：|x-2|+|x+2|+|x-5|=15.

0

【變式訓(xùn)練】

實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示：化簡(jiǎn)-勿-g-可.

-------------11-----?

ao-b

【能力提升】

已知方程組『+y=己+2的解心y的值的符號(hào)相同.

14%—y=1U—OCL

⑴求a的取值范圍；

(2)化簡(jiǎn):\2.CL+2|-21a—31.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式

【典型例題】

⑴計(jì)算：1―g]+2016°+(—2)3+(—2)2

(2)化簡(jiǎn)：(a+2b)(a-2b)-(a-2b丫

【變式訓(xùn)練】

計(jì)算：

(l)(^-3.14)°+(-4)2-(1r2

(2)(X-3)2-(X+2)(X-2)

【能力提升】

已知10x=a,5*=b,求：

⑴50*的值;

(2)2、的值;

(3)20*的值.(結(jié)果用含°、b的代數(shù)式表示)

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：二次根式

【典型例題】

計(jì)算下面各題.——

(2)V4x+2>j2x—y/8x—4y[x

2

【變式訓(xùn)練】

小穎計(jì)算JF+-+,時(shí)，想起分配律，于是她按分配律完成了下列計(jì)算:

解：原式=++

=715x73+715x75

=3小+56?

她的解法正確嗎？若不正確，請(qǐng)給出正確的解答過程.

【能力提升】

先化簡(jiǎn)，再求值：（生?-2）+匕學(xué)，其中a=^+VLb=72-73.

a+ba-ba+b

高中必備知識(shí)點(diǎn)4：分式

【典型例題】

先化簡(jiǎn)，再求值(Y3+]-土Y+2)+2:1*2+x,其中X滿足X2+X-1=O.

xx-1x-2x+1

【變式訓(xùn)練】

4x2-4xy+y2

化簡(jiǎn):-r(4x2—y2)

2x-y

【能力提升】

已知：―,則丈M的值等于多少？

對(duì)點(diǎn)幡稱

1.下列運(yùn)算正確的是（）

A.上

B.V3+V7=V10

孫一/％―y

C.3x3-5x3=-2D.8xMx=2x3

2.下列計(jì)算結(jié)果正確的是（)

C.（一孫）”（一移）3=r2y2D.3x2y-5xy2=-2xy

x

3.若式子——有意義，則下列說法正確的是（）

X+1

A.x>—1且％W0B.x>—1C.XW—1D.x。0

4.計(jì)算*——2—的結(jié)果是（）

ci—1a—1

a1

A.3B.0C.D.

〃一1〃一1

5.若|a|=4,\b\=2,且的絕對(duì)值與相反數(shù)相等，則4—5的值是（）

A.-2B.-6C.一2或—6D.2或6

a_|_bb-|—cQ_|_c

6.設(shè)有理數(shù)a、b、c滿足〃>b>c（〃c<。），且同〈網(wǎng)〈同，則％-三一%|九-三一|+|九+三一的最小

值是（）

a-c+Z7+2c-2a+b+c2a+b—c

A.--------B⑴n

22.2.2

abcctbc

7.如果。，b,<:是非零有理數(shù)，那么對(duì)十^T一同+癡d的所有可能的值為（

A.—4,—2,0,2,4B.-4,-2,2,4

C.0D.-4,0,4

8.如圖是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：

T72第1行

2J5R第2行

歷2五3JioJu24第3行

JBTH/is4J173J27192J5第4行

根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且n“）行從左向右數(shù)第（n-3）個(gè)數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（）.

9.與6）最接近的整數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

2設(shè)a為歷十一g的小數(shù)部分’b為屈方—忻國的小數(shù)部分’則)的值為(

)

A.痛+0-1B.V6-V2+Ic.V6-V2-1D.V6+V2+1

#11oEI八*2。+3ab-2b

右廠廠3,則分式二“r

2__7

12.若分式rXrX/的值為零,則X的值為

x—2

13.已知整數(shù)。滿足1＜。？3,則分式(1—工］-/：的值為______

Ia)a--4

14.計(jì)算(26-JIT的結(jié)果等于.

15.計(jì)算(0-1)2+返=一

16.化簡(jiǎn)：3a2b2

9ab

17.化簡(jiǎn)"6-何的結(jié)果為.

18.若有理數(shù)x,y,z滿足(|x+l|+|x-2|)(|y-l|+|y-3|)(|z-3|+|z+3|)—36,則x+2y+3z的最小值是

19.已知|x+2|+|l_x|=9_J(y_5)2_J(l+y>,則x+y的最小值為

20.已知式子|x+l|+|x-2|+|y+3|+|y-4|-10,則x+y的最小值是.

21.⑴計(jì)算:(—2)。+/—21n-(-2)3；

(x2)1

(2)先化簡(jiǎn)，再求值：--+--，其中x=-l.

(x+2x-2)x-4

22.計(jì)算：6(6-1)+2-詢.

23.已知a,b,c滿足|4+3|+的=T+(c—5)2=0,請(qǐng)回答下列問題:

⑴直接寫出。，b,c的值.a=,b=,c=.并在數(shù)軸上表示.

(2)a,b,c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向

左運(yùn)動(dòng)；

①運(yùn)動(dòng)1.5秒后，4C兩點(diǎn)相距幾個(gè)單位長(zhǎng)度.

②幾秒后，4C兩點(diǎn)之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度.

24.同學(xué)們都知道，14-(-2)|表示4與-2的差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為4與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)

的兩點(diǎn)之間的距離：?jiǎn)柪韡x-3|也可理解為x與3兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之問的距離，試探索：

(1)|4-(-2)|=.

⑵找出所有符合條件的整數(shù)x,使|x-4|+|x+2|=6成立，并說明理由

⑶由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)x,|x-3|+|尤-6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，

說明理由.

25.⑴已知三一5%一百=0,求代數(shù)式2尤2_10X-君的值;

x2+6%+9x

(2)化簡(jiǎn):

%2-9x-3

2

26.先化簡(jiǎn)，再求值：([XT2+_FJX+—xF，其中“6

27.如圖，甲、乙兩張卡片上均有一個(gè)系數(shù)為整數(shù)的多項(xiàng)式，其中乙中二次項(xiàng)系數(shù)因?yàn)楸晃廴究床磺宄?

,4：4。+65：I+2tz—3

甲乙

⑴嘉嘉認(rèn)為污染的數(shù)為—3,計(jì)算"A+3"的結(jié)果；

⑵若a=3+石，淇淇認(rèn)為存在一個(gè)整數(shù)，可以使得"A-5"的結(jié)果是整數(shù)，請(qǐng)你求出滿足題意的被污染的

這個(gè)數(shù).

2022

28.⑴計(jì)算：-1+1-31+73-tan30°-^/8-(2021-^-)°+

(2)先化簡(jiǎn)再求值：---x+1k-------,其中犬=血一2.

[x+1)x+1

(4、a-2

29.己知片+2。—1=0，求代數(shù)式a--十—=的值.

IaJa

30.計(jì)算:

(4)(_1)2°19+(〃_3.14)°—

專題01數(shù)與式的運(yùn)算

與曼徐述

初中階段“從分?jǐn)?shù)到分式”，通過觀察、分析、類比，找出分式的本質(zhì)特征，及它們與分?jǐn)?shù)的相同點(diǎn)和不同

點(diǎn)，進(jìn)而歸納得出分式的概念及運(yùn)算性質(zhì)，我們已經(jīng)運(yùn)用的這些思想方法是高中繼續(xù)學(xué)習(xí)的法寶.

二次根式是在學(xué)習(xí)了平方根、立方根等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是對(duì)“實(shí)數(shù)”、“整式”等內(nèi)容的延伸和補(bǔ)充，

對(duì)數(shù)與式的認(rèn)識(shí)更加完善.二次根式的化簡(jiǎn)對(duì)勾股定理的應(yīng)用是很好的補(bǔ)充；二次根式的概念、性質(zhì)、化簡(jiǎn)

與運(yùn)算是高中學(xué)習(xí)解三角形、一元二次方程、數(shù)列和二次函數(shù)的基礎(chǔ).二次根式是初中階段學(xué)習(xí)數(shù)與式的最

后一章，是式的變形的終結(jié)章.

當(dāng)兩個(gè)二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，可用“夾逼”的方法推出，兩個(gè)被開方數(shù)同時(shí)為零.

本專題內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如類比的思想（指數(shù)幕運(yùn)算律的推廣）、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)

事逼近無理數(shù)指數(shù)幕），掌握運(yùn)算性質(zhì)，能夠區(qū)別"與（布）”的異同.

通過與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)幕的性質(zhì)，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)塞和根

式之間的互化，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的運(yùn)算性質(zhì).

錦程要索

《初中課程要求》1、認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)及相關(guān)概念，如有理數(shù)、無理數(shù)；了解了實(shí)數(shù)具有

順序性，知道字母表示數(shù)的基本代數(shù)思想

2、初中會(huì)比較簡(jiǎn)單實(shí)數(shù)的大小，初步接觸作差法

3、理解了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,

掌握了不超過三步的數(shù)的混合運(yùn)算

4、掌握了平方根、立方根運(yùn)算；了解了有理式和無理式的概念；了

解了整數(shù)指數(shù)基的含義

《高中課程要求》1、高中必修一中常用數(shù)集都用了符號(hào)表示，同時(shí)為數(shù)系的擴(kuò)充打

基礎(chǔ)，會(huì)運(yùn)算字母代表數(shù)的式子

2、掌握用作差法、作商法來比較實(shí)數(shù)大小，體會(huì)變形過程中的技

巧

3、在高中會(huì)常常用到立方和、立方差、三數(shù)和的平方的公式，兩

數(shù)和、差的立方公式.高中有很多混合運(yùn)算都超過三步

4、必須掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性質(zhì)根式的大小比

較，會(huì)把整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算及其性質(zhì)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

知擁幡講

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是

零.即：

a,a>0,

\a\=<0,Q=0,

-a,a<0.

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：卜-q表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的距離.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式（。+份（。-匕）=。2-4；

（2）完全平方公式（?！镭埃?=a2±2ab+b2.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式（。+匕）（。~-ab+b~）—/；

（2）立方差公式（Q—份（〃+。匕+/）=。3一夕；

（3）三數(shù)和平方公式（。+匕+c）~=礦+匕~+c~+2（ab+be+uc）；

（4）兩數(shù)守口立方公式（。+33=/+3。％+3。/+夕.

（5）兩數(shù)差立方公式（。一匕）3=。3—3。%+3。廿一3.

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：二次根式

一般地，形如G（a?0）的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子

________桓

稱為無理式.例如3a+Ja?+/?+2/?,a2+b2等是無理式，而+-^-x+l,x2+y/2xy+y2,

JU等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化

因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩

個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如，5與，5,3G與,&+?與&-石，-3也與

2G+3也,等等.一般地，.心與/?,。4+久方與一%[,。4+匕與一匕互為

有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子

有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程

在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

4ay/b=4ab(a>0,b>^；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有

理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同

類二次根式.

2.二次根式后的意義

11[-a,a<0.

高中必備知識(shí)點(diǎn)4：分式

1.分式的意義

AAA

形如?的式子，若5中含有字母，且BwO,則稱?為分式.當(dāng)研0時(shí)，分式色■具有下列性質(zhì):

BBB

AAxM

~B~B^M'

AA^M

萬一B+M?

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像一人，—5一這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

y

算例周折

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:絕對(duì)值

【典型例題】

閱讀下列材料:

我們知道忖的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即國=|x-0],也就是說，忖表示在數(shù)軸

上數(shù)X與數(shù)0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；這個(gè)結(jié)論可以推廣為|匹-々|表示在數(shù)軸上數(shù)再與數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間

的距離；

例1解方程|X|=2.因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程|X|=2的解為X=±2.

例2解不等式|x-1|>2.在數(shù)軸上找出|x-1|=2的解(如圖)，因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2

的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一1或3,所以方程|x—1|=2的解為x=—1或x=3,因此不等式|x—1|>2的解集為

-1或X>3.

例3解方程|x—1|+|x+2|=5.由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到1和一2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離

之和等于5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的X的值.因?yàn)樵跀?shù)軸上1和一2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為3(如圖)，滿足方程的X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

在1的右邊或一2的左邊.若X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在1的右邊，可得％=2；若X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一2的左邊，可得x=-3,

因此方程Ix—1|+|x+2|=5的解是x=2或x=-3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

⑴方程Ix+21=3的解為；

(2)解不等式：了一2|<6；

⑶解不等式：|X—3|+|X+4|29；

⑷解方程：|x-2|+|x+2|+|x-5|=15.

o

答案：(1)X=1或X=—5；(2)—4<x<8；⑶應(yīng)4或X4—5；⑷x=——或工=一.

33

解析：

⑴由已知可得x+2=3或x+2=-3

解得X=1或x=—5.

(2)在數(shù)軸上找出|X-2|=6的解...?在數(shù)軸上到2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一4或8,

方程I%—2|=6的解為x=—4或x=8,.?.不等式|x-2\<6的解集為一4Vx<8.

⑶在數(shù)軸上找出|x—31+1%+41=9的解.

由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到3和一4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于15的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值.

?.?在數(shù)軸上3和一4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為7,.?.滿足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在3的右邊或一4的左邊.

若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在3的右邊，可得x=4；若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一4的左邊，可得x=-5,

二方程IX—3|+|X+4|=9的解是x=4或x=—5,

.,?不等式|X-3|+|X+4|29的解集為X24或X4—5.

⑷在數(shù)軸上找出|X-2|+|X+2|+|X-5|=15的解.

由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程就是求在數(shù)軸上到2和一2和5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和等于9的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的X的

值.

?.,在數(shù)軸上-2和5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離為7,.?.滿足方程的x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在-2的左邊或5的右邊.

若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在5的右邊，可得x=型；若x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一2的左邊，可得x=-3，

33

方程Ix-2|+|x+2|+|x-5|=15的解是尤=_竺或/.

33

【變式訓(xùn)練】

實(shí)數(shù)a、6在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示：化簡(jiǎn)+|a--g-a|.

----------1----1---?

aob

答案:a-2b

解析：

解：由數(shù)軸知：a<0,b>0,|a|>|b|,

所以b-a>0,a-b<0

原式二|a|-(b-aHb-a)

=-a-b+a-b+a

=a-2b

【能力提升】

已知方程組匕；二京+憶的解心y的值的符號(hào)相同.

14%—V—J.U—OCI

⑴求a的取值范圍；

⑵化簡(jiǎn)：|2a+2]-2|a—31.

答案:⑴-1<。<3；⑵4a—4.

解析：

fx+y=5+a①

(4%—y=10—6a②，

①+②得：5x=15-5a,即x=3-o,

代入①得：片2+2o,

根據(jù)題意得：xy=(3-a)(2+2a)>0,

解得

(2)V-l<a<3,

*,?當(dāng)-1<0<3時(shí)，|2Q+2|-2|Q—3|=2a+2—2(3—a)=2a+2—6+2a=4a—4.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式

【典型例題】

(1)計(jì)算：(―g]+2016°+(—2)3+(—2)2

(2)化簡(jiǎn)：(a+2b)(a—2b)—(a—2b產(chǎn)

答案：(1)3

(2)4ab-8b2

解析：

解：(1)原式=4+l+(-8)+4

=5-2

=3

(2)JM^=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)

=a2-4b2-a2+4ab-4b2

=4ab-8b2

【變式訓(xùn)練】

計(jì)算：

(1)(%-3.14)°+(—4)2—(§)-2

(2)(X-3)2-(X+2)(X-2)

答案:(1)8(2)-6x+13

解析：

⑴原式=1+16-9=8；

(2)原式=X2-6X+9?(X2?4)

=x2-6x+9-x2+4

=-6x+13.

【能力提升】

已知Wx=a,5x=b,求：

⑴5。的值;

(2)2,的值;

(3)20、的值.(結(jié)果用含。、b的代數(shù)式表示)

2

答案:(l)ab;(2)g⑶

bb

解析：

解：(l)50x=10xx5x=ab；

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：二次根式

【典型例題】

計(jì)算下面各題.—6，萬;

(2)J4x+2,2x———4-yfx

答案:⑴-6A/5;(2)岳-2?

解析:

(1)(76-2715)x73-6j1

=30-675-372

=_6小;

(2)V4x+2^/2X--A/8X-46

=2Vx+2^2%-A/2X-4-Jx

—-2Vx-

【變式訓(xùn)練】

小穎計(jì)算厲十時(shí)，想起分配律，于是她按分配律完成了下列計(jì)算:

解:原式=V15+而"+

=J15x\f3+J15xy/5

=3A/5+5A/3.

她的解法正確嗎？若不正確，請(qǐng)給出正確的解答過程.

答案:不正確，見解析

解析：

解：不正確，正確解答過程為：

原式二至+與I

715

15

y/5-^-yf3

^15^/5-1573

2

【能力提升】

先化簡(jiǎn)，再求值：（空心--H匕型，其中a=^+JLb=&-&.

a+ba-ba+b

答案:0逅±1.

a-b3

解析：

&2a—bba—2b

解：(---一r)。--

a+ba-ba+b

(2a-b)(a-b)-b(a+b)a+b

(a+b)(a-b)a-2b

2a2-3ab+b?-ab-b2]

a-ba-2b

2a(a-2b)1

a-ba-2b

2a

a-b'

當(dāng)a母+5b=&-也時(shí)，

用比—2(0+司_2(血+⑸_76+3

原式一(拒+省卜(0-百)-273一二

高中必備知識(shí)點(diǎn)4：分式

【典型例題】

Y+]1*+22J+x

先化簡(jiǎn)，再求值（士一二）.??；,，其中X滿足x2+x-l=0.

xx-1x-2x+l

,.1—X

答A案:—J-/I-

X

解析：

々刀e—-2%—1（犬—1）1—x

解：原式——~=

x（x-l）x（2x+l）x

%2+x-l=O,

?.X2=l-X,

二?原式=1.

【變式訓(xùn)練】

4x2-4xy+y2

化簡(jiǎn):--r(4x2—y2)

2x-y

…41

答案:十

解析:

4x2-4xy+y2

--r(4x2—y2)

2x-y

(2x-1

X

2x-y(2x+y)(2x-y)

1

2x+y'

【能力提升】

已知：--y=2,則的值等于多少?

ab2a-2b+lab

答案:---.

3

解析:

解：-----=2、

ab

/.a-b=-2ab,

.—2ab—2ab4

則----------=——

-4ab+7ab3

對(duì)點(diǎn)幡秣

1.下列運(yùn)算正確的是（）

xyX

A.B.拒+幣=M

xy-y2x-y

C.3x3-5x3=-2D.8x3-r4x=2x3

答案:A

孫xy_x

解：A,正確.

孫-Vy(x-y)x-y

B,6+幣=#，+幣,不正確.

C,3x3-5x3=_2x3,不正確.

D,8X3+4X=2X2,不正確.

故選：A.

2.下列計(jì)算結(jié)果正確的是()

321

A.------+-------=-------B.(x2)3=x5

%—22—%%—2

c(-xy)5-(-xy)3=-x2y2D.3x2y-5xy2=-2xy

答案:A

321

?[---+-----=------,

x—22—xx—2

?,?選項(xiàng)4計(jì)算正確；

V（X2）3=X6,

.??選項(xiàng)B計(jì)算錯(cuò)誤；

?；（一孫）5”一川羊二公產(chǎn)，

.??選項(xiàng)C計(jì)算錯(cuò)誤；

???3/%—5孫2不是同類項(xiàng)，無法計(jì)算,

.??選項(xiàng)。計(jì)算錯(cuò)誤；

故選A

Y

3.若式子一;有意義，則下列說法正確的是（）

X+1

A.%>—1且xwOB.x>-\C.xw—1D.xwO

答案:C

解：由題意可知:

x+1wO

??xw—1

故選：c

4.計(jì)算上、-一二的結(jié)果是（）

a—1a—1

a1

A.3B.0C.-------D.-------

6Z—1d~l

答案:A

解：心——L

Cl—16Z—1

3a—3

a—1

3（"1）

〃一1

=3.

故選人

5.若|。|=4,傳1=2,且的絕對(duì)值與相反數(shù)相等，則Q—。的值是（）

A.-2B.-6C.—2或—6D.2或6

答案:C

解：?.?|。|=4,傳|=2,

;?。=±4,Z?=±2,

Va+b的絕對(duì)值與相反數(shù)相等，

a+b<0,

:?〃=-4,/?=±2,

a—Z?=T—2=—6或a—Z?=T+2=—2,

故選：c.

6.設(shè)有理數(shù)a、b、c滿足a>匕>c（ac<0）,且同<陶<同，則”《一卜|六；一卜|%+^一的最小

值是（）

〃一ca+b+2c2a+Z?+c2a+b—c

A.--------B.--------------C.--------------D.---------------

2222

答案:C

解：:acvO,

Aa,c異號(hào)，

?；a>b>c,

，a〉0,c<0,

又：上<同<同，

?-—a<—b<c<Q<—c<b<a,

「??a+bI/?+CiIa+c士一+bb+c〃+c_如,

又*%一一~—}十%—-z—十%~1—~一表示至U----,----，-------二點(diǎn)的距禺的和,

2112112222

、“4b+c

當(dāng)次在一^時(shí)距離最小,

2

a+b\Ib+c\Ia+ca+b〃+。、一山皿一口門2々+人+。

即x~一二一十%——I—十九"1—z—取小，取小值是----與-------之間的距禺，即---------.

2112112222

故選：C.

cibcubc

7.如果a,b,c是非零有理數(shù)，那么同+忸+同+國的所有可能的值為（）.

A.一4,-2,0,2,4B.-4,-2,2,4

C.0D.-4,0,4

答案:D

①a、b、c均是正數(shù)，原式=1+1+1+1=4；

②a、b、c均是負(fù)數(shù)，原式=_1_1_1_1=_4；

③a、b、c中有一個(gè)正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，原式=1一1一1+1=0；

④a、b、c中有兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，原式=1+1-1一1=0；

故選D.

8.如圖是一個(gè)按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：

1戊第ifi

Q2Jsn第2行

J72G3JIoJu2G第3行

JBJUJis4后3j2ji92a第4行

根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且*4）行從左向右數(shù)第（n-3）個(gè)數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示乂

答案:C

由圖中規(guī)律知，前(n-1)行的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為2+4+6+...+2(n-l)=n(n-l),

???第n(n是整數(shù)，且n24)行從左向右數(shù)第(n-3)個(gè)數(shù)的被開方數(shù)是：n(n-l)+n-3=n2-3,

第n(n是整數(shù)，且nM)行從左向右數(shù)第(n-3)個(gè)數(shù)是：7n2-3

故選：C.

9.與石(如-6)最接近的整數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

答案:B

解：原式=&?-3，

V49<54<64,

二7<瘋<8，

V7.52=56.25,

7<^/54<7.5，

最接近7,

/.國—3最接近7-3即4,

故選：B.

10.設(shè)a為13+石—^3—石的小數(shù)部分,b為16+36-56-36的小數(shù)部分,則|-：的值為(

)

A.V6+V2-IB.&一丘+1C.V6-V2-ID.R+6+1

答案:B

亞+1A/5-I

收41

亞

Aa的小數(shù)部分為J5-1，

,6+36-46-

12-673

6+33-73

忘V2

=A/6

；.b的小數(shù)部分為卡-2,

---=—-----；i—=V6+2-\/2-1=A/6-\/2+1,

baV6-2V2-1

故選：B.

,,11cm_u2a+3ab-2b

11.若一一-=3,則分/k式———

aba-lab-b

答案:|

解：!―g=3兩邊都乘。匕，得:

ab

b-a-3ab?

2a+3ab-2b

a-lab-b

2（〃-b）+3〃Z?

a-b-2ab

2（〃-Z?）+3〃Z?

②

a-b-2ab

-6ab+3ab_-3ab_3

將①代入②得:

—3ab—lab—Sab5

3

故答案為：—

X—x—2

12.若分式X%的值為零,則X的值為

%—2

答案:-1

解：?.?分式』2的值為零,

%—2

???X2_%—2=0且%—2。0,

解方程得，石=—1,蒞=2；

解不等式得，X/2,

x=—1

故答案為：-1.

13.已知整數(shù)。滿足1<。？3,則分式1—2的值為

Ia)4Z--4

答案：g

Iu)ci—4

a-2a

a(〃+2)(Q-2)

1

~7+2f

由題意awO且Q2-4W。,

所以awO且aw2且aw—2,

又??,整數(shù)。滿足l<a?3,

a=3,

當(dāng)a=3時(shí)，原式二一--=—,

3+25

故答案為：—.

14.計(jì)算(2石—?了的結(jié)果等于.

答案：14-4布

解：(2代-同

=(2百)2—2X20X直+(0)2

=12-4A/6+2

=14-476.

故答案為：14—4.

15.計(jì)算(0-1)2+指=_.

答案：3

解：原式=2+1—2拒+28

=3.

故答案為：3.

16.化簡(jiǎn)：3a2b2J——=________

V9ab

答案:-abd-ab

解：要使該二次根式有意義，則有二L〉o

9ab

2222

ab<Q:.3a2廿二L=3a2/?2f—ab3ab/--3ab/——/--

-~~——-；--------丁7—ab--------7—ab=—ab7-cib

V9ab9a2b~\3ab\-3ab

故答案為：-ab《-ab.

17.化簡(jiǎn)?-而的結(jié)果為.

答案:君-1

解：原式=，6_2行

=｛（后_2百+而2

=?書-1）2

=75-1.

故答案為：V5-1.

18.若有理數(shù)x,y,z滿足(|x+l|+|x-2|)(|y-l|+|y-3|)(|z-3|+|z+3|)=36,則x+2y+3z的最小值是

答案：-8

解：當(dāng)xV-1時(shí),|x+l|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-2x+l>3,

當(dāng)-l<x<2時(shí),|x+l|+|x-2|=x+l-(x-2)=3,

當(dāng)x>2時(shí)，|x+l|+|x-2|=x+l+x-2=2x-1>3,

所以可知|x+l|+|x-2|23,

同理可得：

|y-l|+|y-3|>2,

\z-3|+|z+3|>6,

所以(|x+l|+|x-2|)(|y-l|+|y-3|)(|z-3|+|z+3|)>3x2x6=36,

所以|x+l|+|x-2|=3,

|y-i|+|y-3|=2,

\z-3|+|z+3|=6,

所以-l<x<2,

l<y<3,

-3<z<3,

；.x+2y+3z的最大值為：2+2x3+3x3=17,

x+2y+3z的最小值為：-l+2xl+3x(-3)=-8.

故答案為：-8.

19.已知|x+2|+|l_x|=9_J(y—5)2—"(l+yp,則x+y的最小值為

答案：-3.

'|x+2|+|l-x|=9-^(y-5)2-7(l+y)2-

x+2|+|x—1|+|y+l|+|y—5|=9,

|x+2|+|x-i|可理解為在數(shù)軸上，數(shù)％的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到一2和1兩點(diǎn)的距離之和；ly+i|+ly-5|可理解為

在數(shù)軸上，數(shù)y的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到-1和5兩點(diǎn)的距離之和，

???當(dāng)一2領(lǐng)k1,|x+2|+|x—1|的最小值為3；

當(dāng)-啜65時(shí),|y+l|+|y-5|的最小值為6,

\》的范圍為一2領(lǐng)k1,丁的范圍為-琛65,

當(dāng)x=-2,y=—1時(shí)，x+y的值最小，最小值為一3.

故答案為：-3.

20.已知式子|x+l|+|x-2|+|y+3|+|y-4|=10,則x+y的最小值是

答案:T

解：A|x+l|+|.r-2|+|y+3|+|y-4|=10,

.'.-l<x<2,-3<y<4,

x+y的最小值為7,

故答案為：-4.

21.⑴計(jì)算：(―2)°+|6—2]—[g]—(—2)3；

⑵先化簡(jiǎn)’再求值：Ur二1

其中x=—1.

X--4-

答案：(1)9-6;⑵龍2+4；5

解：(1)原式=1+2—6-2+8

=9-6

⑵原式—+￡](—

=x(x-2)+2(%+2)

=%?+4.

當(dāng)x=—1時(shí)