2024-2025學年高中數(shù)學第二章變化率與導數(shù)章末檢測課后作業(yè)含解析北師大版選修2-2

PAGE其次章改變率與導數(shù)章末檢測時間：90分鐘滿分：100分第Ⅰ卷(選擇題，共40分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的)1．已知函數(shù)y＝x2＋1的圖像上一點(1,2)及鄰近一點(1＋Δx,2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2解析：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1＋Δx2＋1－12＋1,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝Δx＋2.答案：C2．若f′(x0)＝－3，則eq\f(fx0＋h－fx0－3h,h)等于()A．－3 B．－6C．－9 D．－12解析：eq\f(fx0＋h－fx0－3h,h)＝4eq\f(fx0＋h－fx0－3h,4h)＝4f′(x0)＝－12.答案：D3．已知函數(shù)f(x)＝13－8x＋eq\r(2)x2，且f′(x0)＝4，則x0的值為()A．0 B．3C．3eq\r(2) D．6eq\r(2)解析：f′(x)＝2eq\r(2)x－8，由f′(x0)＝4，得2eq\r(2)x0－8＝4，解得x0＝3eq\r(2).答案：C4．拋物線y＝eq\f(1,4)x2在點P(2,1)處的切線方程為()A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0解析：∵y′＝eq\f(1,2)x，∴k＝1，由點斜式得切線方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案：A5．在曲線y＝x2上切線傾斜角為eq\f(π,4)的點是()A．(0,0) B．(2,4)C．(eq\f(1,4)，eq\f(1,16)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))解析：y′＝2x，∴k＝taneq\f(π,4)＝1＝2x0，∴x0＝eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4).答案：D6．拋物線y＝x2＋bx＋c在點(1,2)處的切線與其平行直線bx＋y＋c＝0間的距離是()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\r(2)解析：由拋物線過點(1,2)，得b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，即2＋b＝－b，∴b＝－1，c＝2.故所求切線方程為y＝x＋1，因此d＝eq\f(|1＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).答案：C7．f(x)＝3－x，則f′(0)等于()A．1 B．log3eC．ln3 D．－ln3解析：f′(x)＝－3－xln3，∴f′(0)＝－ln3.答案：D8．曲線y＝eq\f(1,3)x3＋x在點(1，eq\f(4,3))處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：f′(1)＝2，切線方程為y－eq\f(4,3)＝2(x－1)，即y＝2x－eq\f(2,3).令x＝0，y＝－eq\f(2,3)，令y＝0，x＝eq\f(1,3)，∴面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).答案：A9．已知函數(shù)f(x)在x＝1處的導數(shù)為3，則函數(shù)f(x)的解析式可能是()A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝x－1解析：B中f′(x)＝2，C中f(x)＝2x2－4x＋2，f′(x)＝4x－4，f′(1)＝0，D中f′(x)＝1，∴B，C，D錯誤．答案：A10．已知y＝eq\f(x4,2＋ex)，那么y′等于()A.eq\f(4x3－ex,2＋ex2)B.eq\f(4x32＋ex＋x4ex,2＋ex2)C.eq\f(4x32＋ex－x4ex,2＋ex2)D.eq\f(4x3＋ex,2＋ex2)解析：y′＝(eq\f(x4,2＋ex))′＝eq\f(4x32＋ex－x4ex,2＋ex2).答案：C第Ⅱ卷(非選擇題，共60分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)11．函數(shù)y＝2x在x＝eq\f(1,2)處的導數(shù)為________．解析：y′＝2xln2，∴y′|x＝eq\f(1,2)＝eq\r(2)ln2.答案：eq\r(2)ln212．設函數(shù)f′(x)＝2x3＋ax2＋x，f′(1)＝9，則a＝________.解析：f′(1)＝2＋a＋1＝9，則a＝6.答案：613．物體運動的方程是s＝－eq\f(1,3)t3＋2t2－5，則物體在t＝3時的瞬時速度為________．解析：s′＝－t2＋4t，當t＝3時，s′＝3.答案：314．已知0<x<eq\f(1,4)，f(x)＝x2，g(x)＝eq\r(x)，則f′(x)與g′(x)的大小關系是________．解析：由題意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝eq\f(1,2\r(x)).由0<x<eq\f(1,4)，知0<f′(x)<eq\f(1,2)，g′(x)>1，故f′(x)<g′(x)．答案：f′(x)<g′(x)三、解答題(本大題共4小題，共44分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(10分)設質點做直線運動，已知路程s是時間t的函數(shù)，s＝3t2＋2t＋1.(1)求從t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求當Δt＝1，Δt＝0.1與Δt＝0.01時的平均速度；(2)求當t＝2時的瞬時速度．解析：(1)因為Δs＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－(3×22＋2×2＋1)＝14Δt＋3(Δt)2，所以從t＝2到t＝2＋Δt的平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝14＋3Δt.當Δt＝1時，eq\o(v,\s\up6(－))＝17；當Δt＝0.1時，eq\o(v,\s\up6(－))＝14.3；當Δt＝0.01時，eq\o(v,\s\up6(－))＝14.03.(2)當t＝2時的瞬時速度為v＝eq\f(Δs,Δt)＝(14＋3Δt)＝14.16．(10分)利用導數(shù)公式求下列各函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))；(2)y＝eq\r(3－x)；(3)y＝ln(lnx)．解析：(1)∵y＝eq\f(1,1－\r(x))＋eq\f(1,1＋\r(x))＝eq\f(2,1－x)＝2(1－x)－1，∴y′＝[2(1－x)－1]′＝eq\f(2,1－x2).(2)設u＝3－x，則y＝eq\r(3－x)可分解為y＝ueq\f(1,2)，u＝3－x.∴y′＝y(tǒng)′u·u′x＝(ueq\f(1,2))′(3－x)′＝eq\f(1,2)u－eq\f(1,2)(－1)＝－eq\f(1,2\r(3－x)).(3)y′＝eq\f(1,lnx)(lnx)′＝eq\f(1,xlnx).17．(12分)偶函數(shù)f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的圖像過點P(0,1)且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，求函數(shù)f(x)的解析式．解析：因為函數(shù)f(x)的圖像過點P(0,1)，所以e＝1.又因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以有f(－x)＝f(x)，故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋1＝ax4－bx3＋cx2－dx＋1，所以b＝0且d＝0.所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.因為函數(shù)f(x)在x＝1處的切線方程為y＝x－2，所以可求得切點的坐標為(1，－1)，所以a＋c＋1＝－1.①f′(1)＝4a＋2c由①②得a＝eq\f(5,2)，c＝－eq\f(9,2)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\f(5,2)x4－eq\f(9,2)x2＋1.18．(12分)設函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求出此定值．解析：(1)f′(x)＝a－eq\f(1,x＋b2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,2＋b2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因為a，b∈Z，故f(x)＝x＋eq\f(1,x－1).(2)證明：在曲線上任取一點(x0，x0＋eq\f(1,x0－1))．由f′(x0)＝1－eq\f(1,x0－12)知，過此點的切線方程為y－eq\f(x\o\al(2,0)－x0＋1,x0－1)＝[1－eq\f(1,x0－12)](x－x0)．令x＝1得y＝eq\f(