新疆巴音郭楞蒙古自治州博湖縣高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)開學(xué)測(cè)試考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，由此求得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因?yàn)?，所以虛部?.故選：D．2.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，.向量，.若，則角的大小為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】根據(jù)，得，由余弦定理可求.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，因?yàn)?，所以，即，由余弦定理可?因?yàn)椋?，故選：B.3.某中學(xué)全體學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A.直方圖中x的值為0.035B.在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生數(shù)為30人C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?3分D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為95分【答案】D【解析】【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)學(xué)生的成績(jī)都在50分到100分之間的頻率和為1，可得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生數(shù)為100.015400=60人，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?50.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為分.故D正確.故選：D.4.已知直線平面，直線平面，則（）A.若與垂直，則與一定垂直B.若與所成的角為30°，則與所成的角也為30°C.是的充分不必要條件D.若與相交，則為一定是異面直線【答案】C【解析】【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A選項(xiàng)；利用線面角的定義可判斷B選項(xiàng)；利用線面平行的判定定理和性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)已知條件直接判斷與的位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)與垂直時(shí)，由線面垂直判定定理可得與不一定垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由線面角的定義可知，與所成的角是直線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角，若與所成的角為，則與所成的角滿足，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，，則，即，若，因?yàn)?，則與平行或異面，即.所以，是的充分不必要條件，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若與相交，則與相交或異面，D錯(cuò).故選：C.5.集合A=，，從A，B中各取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于5的概率是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)古典概型公式解之即可.【詳解】從A，B中各取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和可能為，，共有6個(gè)可能的結(jié)果，其中兩數(shù)之和等于5的有2個(gè)，

則從A，B中各取一個(gè)數(shù)，這兩數(shù)之和等于5的概率是故選：B6.如圖，已知長(zhǎng)方體的底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，且，，則四棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷出四棱錐的外接球球心位置并計(jì)算出球的半徑，從而求得外接球的體積.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，設(shè)，依題意，四邊形是正方形，所以，是的中點(diǎn)，所以.，由于分別是的中點(diǎn)，所以，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，所以平面，由于平面，所以，所以，所以是四棱錐的外接球球心，且外接球的半徑為，所以外接球的體積為.故選：A7.如圖所示，平行四邊形中，，點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.8.在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理和面積公式得到，結(jié)合同角的三角函數(shù)基本關(guān)系時(shí)可得，故可求的取值范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求的取值范圍.【詳解】在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡(jiǎn)得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，即的取值范圍是．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)各自的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定沒有出現(xiàn)6點(diǎn)的描述是（）A.中位數(shù)為3，眾數(shù)為5 B.中位數(shù)為3，極差為3C.中位數(shù)為1，平均數(shù)為2 D.平均數(shù)為3，方差為2【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對(duì)選項(xiàng)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，由于中位數(shù)為3，眾數(shù)為5，所以這5個(gè)數(shù)從小到大排列后，第3個(gè)數(shù)是3，則第4和5個(gè)為5，所以這5個(gè)數(shù)中一定沒有出現(xiàn)6，所以A正確，對(duì)于B，由于中位數(shù)為3，極差為3，所以這5個(gè)數(shù)可以是3，3，3，4，6，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于中位數(shù)為1，平均數(shù)為2，所以這5個(gè)數(shù)可以是1，1，1，1，6，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由平均數(shù)為3，方差為2，可得，，若有一個(gè)數(shù)為6，取，則，，所以，所以這4個(gè)數(shù)可以是4，3，3，3或2，3，3，3，與矛盾，所以，所以這5個(gè)數(shù)一定沒有出現(xiàn)6點(diǎn)，所以D正確，故選：AD10.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A.設(shè)為非零向量，若，則B.設(shè)為非零向量，若，則的夾角為銳角C.設(shè)為非零向量，則D.若點(diǎn)為的重心，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)，平方后可得，可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的意義結(jié)合向量的夾角含義判斷B；根據(jù)數(shù)量積的意義判斷C；根據(jù)三角形重心性質(zhì)結(jié)合向量的線性運(yùn)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A，為非零向量，若，則，即，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故，則的夾角為銳角或零角，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為非零向量，則表示與共線的向量，表示與共線的向量，而不一定共線，故不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖設(shè)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則，即即，D正確，故選：AD11.如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，，M為BC的中點(diǎn)，將△ABM沿直線AM翻折到△AB1M的位置，連接B1C和B1D，N為B1D的中點(diǎn)，在翻折過程中，則下列結(jié)論中正確的是（）A始終有AM⊥B1CB.線段CN的長(zhǎng)為定值C.直線AB1和CN所成的角始終為D.當(dāng)三棱錐B1﹣AMD的體積最大時(shí)，其外接球的表面積是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直、平行四邊形、線線角、外接球等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于四邊形是菱形，，所以三角形是等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以，則在折疊的過程中，，由于平面，所以平面，由于平面，所以，A選項(xiàng)正確.設(shè)是的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，所以，由于，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，在直角三角形中，為定值，，所以三角形是等邊三角形，所以，也即直線AB1和CN所成的角始終為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.三角形的面積不變，所以當(dāng)平面平面時(shí)，到平面的距離最大，由于平面平面且交線為，平面，，所以平面，由于平面，所以.同理可證得平面，由于平面，所以，所以三棱錐B1﹣AMD的體積最大時(shí)，其外接球的球心為，，所以外接球的半徑為，表面積為，D項(xiàng)正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為________．【答案】1【解析】【分析】設(shè)，由條件可得，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可求得最小值.【詳解】設(shè)，由可得，軌跡是以原點(diǎn)為圓心以2為半徑的圓，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)到的距離，則最小值為，故答案為：113.若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】由隨機(jī)事件互斥,發(fā)生的概率均不等0,且,由此能求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】隨機(jī)事件互斥,發(fā)生的概率均不等于0,且,，即，解得:.故答案為：.14.如圖，三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)之比為，記三棱錐體積為，三棱臺(tái)的體積為，則______．【答案】【解析】【分析】利用相似關(guān)系確定上下底面面積的比值，將棱錐轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，結(jié)合體積公式求得兩個(gè)幾何體的體積，即可求解.【詳解】由三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)之比為，可得上、下底面的面積比為，設(shè)棱臺(tái)的高為，則點(diǎn)到的距離也為，上底面面積為，則下底面面積為，則.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)向量，，．（1）求向量；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算求解即可；（2）由向量垂直的條件即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，，則；【小問2詳解】因?yàn)椋?，則，解得．16.某班20位女同學(xué)平均分為甲、乙兩組，她們的美學(xué)鑒賞課考試成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑杭捉M：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80乙組：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85（1）試分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的極差和方差；（2）試根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果，判斷哪一組的成績(jī)較穩(wěn)定？【答案】（1）甲組數(shù)據(jù)的極差為30（分），方差為104；乙組數(shù)據(jù)的極差為30（分），方差為75.25（2）乙組的成績(jī)較穩(wěn)定．【解析】【分析】（1）根據(jù)公式直接求極差、平均數(shù)、方差即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可得答案．【小問1詳解】甲組最高分為95分，最低分為65分，極差為，平均數(shù)為，方差為，乙組最高分為95分，最低分為65分，極差為，平均數(shù)為，方差為；【小問2詳解】由于甲乙兩組極差相同，但乙組的方差小于甲組的方差，因此乙組的成績(jī)較穩(wěn)定．17.如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，P，Q分別是，，，的中點(diǎn)．求證：（1）平面；（2）平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，即可證明；（2）方法一，根據(jù)線面平行的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，利用構(gòu)造平行四邊形，證明線線平行；方法二，利用面面平行的性質(zhì)定理，構(gòu)造面面平行，即可證明線面平行.【小問1詳解】如圖，連接，．因?yàn)樗倪呅问钦叫危沂堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以．又平面，平面，所以平面．小問2詳解】方法一取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，則有且．又且，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．方法二取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)是，的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，且，，平面，所以平面平面．又平面，所以平面．18.某快餐店統(tǒng)計(jì)了近100天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)，將前50天的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖．組別分組頻數(shù)頻率第1組[20，30）40.08第2組[30，40）a

第3組[40，50）20b第4組[50，60）

0.32第5組[60，70）40.08合計(jì)

501.00（1）求a，b，c的值，并估計(jì)該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的方差為104，在后50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為51，方差為100，估計(jì)這家快餐店這100天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差．【答案】（1）a＝6，，，47．（2）平均數(shù)49，方差為106【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率與頻數(shù)的關(guān)系即可求解，由平均數(shù)的計(jì)算個(gè)數(shù)即可求解，（2）由整體平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.小問1詳解】由表可知第4組的頻數(shù)為，所以，，第2組的頻率為，，前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為．【小問2詳解】設(shè)前50天接待的顧客人數(shù)分別為，，…，，后50天接待的顧客人數(shù)分別為，，…，，則由（1）知，前50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)，方差，后50天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)，方差，故這100天內(nèi)每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為，方差為19.在中，角的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求角的大小；（2）若的面積為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理直接求解即可；（2）由三角形的面積公式可得，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由余弦定理得，因?yàn)锽∈0,π【小問2詳解】由（1）可知，因?yàn)榈拿娣e為，即，所以，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.20.甲和乙進(jìn)行多輪答題比賽，每輪由甲和乙各回答一個(gè)問題，已知甲每輪答對(duì)的概率為，乙每輪答對(duì)的概率為.在每輪比賽中，甲和乙答對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.（1）求兩人在兩輪比賽中都答對(duì)的概率；（2）求兩人在兩輪比賽中至少答對(duì)3道題的概率；（3）求兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對(duì)題目的個(gè)數(shù)相等且至少為2的概率.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；（2）兩人分別答兩次，總共四次中至少答對(duì)3道題，分五種情況計(jì)算可得答案；（3）分甲和乙均答對(duì)兩個(gè)題目、均答對(duì)三個(gè)題目?jī)煞N情況計(jì)算即可.小問