直線與圓、圓與圓的位置關系-2025年高考數(shù)學一輪復習（解析版）

第4課時直線與圓、圓與圓的位置關系

［考試要求］i.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關

系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.

［鏈接教材?夯基固本】落實主干?激活技能

€>梳理?必備知識

1.直線Ax+By+C=Q與圓(%—a)2+(y—6)2=產(chǎn)&>0)的位置關系的判斷

位置關系相交相切相離

公共點個數(shù)2個1個0個

幾何法：設圓心到直線的距離人!華;d<rd=rd>r

判

件將注rhfAx+By+C=0,

定代數(shù)法：由，。，

1(%—a)2+(y—b)2=r2

方J>0/三0J<0

消元得到一元二次方程

法

根的判別式/

2.圓與圓的位置關系

若兩圓的半徑分別為小，〃2,兩圓的圓心距為力則兩圓的位置關系的判斷方法

如下：

外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖(@?

形歲@

量的關系d=r\+n尸1一VdVri+〃2d=\r\~r2\"〈卜1一可

［常用結(jié)論］

1.圓的切線方程的常用結(jié)論

(1)過圓12+產(chǎn)=”上一點尸(祝，次)的圓的切線方程為xox+yoy=r2.

(2)過圓(x—a)2+(y—6)2=/2上一點、P(xo,次)的圓的切線方程為(次一q)a一q)±(”o

~~bMy—b)=?.

(3)過圓/+/=產(chǎn)外一點M(M),次)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為

xox+y()y=r2.

(4)過圓：(X—Q)2+(y—6)2=戶夕|--■點M(xo,次)作圓的兩條切線，則兩切點所在

直線方程為(xo—a)(x~47)+(yo—b)(y-1))=產(chǎn).

2.圓與圓的位置關系的常用結(jié)論

(1)兩圓相交時公共弦所在直線的方程

設圓Ci：X2+V2+Z)IX+2TIV+FI=0,①

圓。2：X2+j>2+Z)2x+￡，2j+772=0,②

若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①一②所得，即(01—

。2)%+(E1一瓦)》+(尸1—/2)=0.

(2)兩個圓系方程

①過直線Nx+5y+C=0與圓》2+y2+￡)丫+砂+b=0交點的圓系方程為7+產(chǎn)

+Z)x+gv+/+7(4c+旦v+C)=0(7GR).

②過圓C1：/+儼+￡)武+￡1^+￡=0和圓。2：X2+72+￡)2x+￡，2j+F2=0交點的

：

圓系方程：》2+,2+。述+￡1了+乃+4》2+了2+￡)2%+￡27+尸2)=0(4工一1)(該圓系

不含圓。2,解題時，注意檢驗圓G是否滿足題意，以防漏解).

O激活,基本技能

一、易錯易混辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.()

(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，那么兩圓相交.()

(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直

線方程.()

(4)過圓O：/+產(chǎn)=戶外t點尸(xo,加)作圓的兩條切線,切點分別為Z,B,則O,

P,A,5四點共圓且直線48的方程是xp+yoy：凡()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

二、教材經(jīng)典衍生

1.(人教A版選擇性必修第一冊P93練習「改編)直線歹=x+l與圓/+廿=1的

位置關系為()

A.相切B.相交但直線不過圓心

C.直線過圓心D.相離

B［圓心為(0,0),至U直線y=x+l,即x—y+l=0的距離"=凳=今而

但是圓心不在直線y=x+l上，所以直線與圓相交，但直線不過圓心.］

2.(人教A版選擇性必修第一冊P96例5改編)圓x2+y2—2y=o與圓x2+y2—4=

0的位置關系是()

A.相交B.內(nèi)切C.外切D.內(nèi)含

B［兩圓方程可化為/+8—1)2=1,。+儼=4.兩圓圓心分別為01(0,1),02(0,

0),半徑分別為71=1,「2=2.因為|01。2|=1=/2—7］，所以兩圓內(nèi)切.］

3.(人教A版選擇性必修第一冊P98習題2.5T9改編)若圓x2+/=4與圓/+產(chǎn)

+2辦+4即一9=0相交，且公共弦長為2夜，則。=.

磬［圓/+產(chǎn)=4與圓/+儼+2^+4即一9=0的方程相減即為公共弦所在直

線方程：2ax+4ay—5=0,

22

圓x+y=4的圓心(0,0)到公共弦距離4a2'=舟'則公共弦長度為2/

=2A/4-d2,解得4=耳與

4.(人教A版選擇性必修第一冊P92例2改編)過點2(3,5)作圓。：x2+y2~2x

—4y+l=0的切線，則切線的方程為.

5x—12y+45=0或x—3=0［化圓x2+v2-2x-4j+1=0為標準方程得(x—

+。-2)2=4,其圓心。為(1,2),半徑為2,

因為|。4|='(3—1尸+(5—2)2=舊＞2,所以點幺(3,5)在圓外.顯然，當切

線斜率不存在時，直線與圓相切，即切線方程為x—3=0；當切線斜率存在時，

可設所求切線方程為y—5=Mx—3),即日一y+5-3左=0.又圓心為(1,2),半

徑『2,而圓心到切線的距離公舄=2,即13—2用=2而I,所以仁*

此時直線方程為5x-12v+45=0.

故所求切線方程為5x—12y+45=0或》-3=0.］

［典例精研?核心考點］重難解惑?直擊高考

考點一直線與圓的位置關系

［典例1］(1)直線/：機x—,v+l—機=0與圓C：f+o—1)2=5的位置關系是

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

(2)圓(x—3>+。-3)2=9上到直線3x+4j-ll=0的距離等于1的點的個數(shù)為

()

A.1B.2

C.3D.4

(1)A(2)C[(1)法一(代數(shù)法)：

.(mx—y+1—m=0,

由〈r

I%2+(y-1)2=5,

消去y,整理得(1+m2)x2—2m2x+m2—5=0,

因為/=16切2+200,所以直線/與圓相交.

法二(幾何法)：因為圓心(0,1)到直線/的距離(Z，所以直線/與圓

Vm2+1

相交.

法三(點與圓的位置關系法)：直線/:機X—y+1—7〃=0過定點(1,1),因為點(1,

1)在圓c：f+g-1尸=5的內(nèi)部，所以直線/與圓c相交.

(2)如圖所示，因為圓心(3,3)到直線3x+4y—11=0的距離為空手型=2,又因

為圓的半徑為3,所以直線與圓相交，故圓上到直線的距離為1的點有3個.]

名師點評

1.判斷直線與圓的位置關系的常用方法

(1)幾何法：利用d與r的關系.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

2.圓上的點到直線的距離為定值的點的個數(shù)問題

該類問題常借助于圖形轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解.設圓的半徑為「，圓心到直

線的距離為d.

如圖①，若圓上恰有一點到直線的距離為/,則需滿足d=「+/.

如圖②，若圓上恰有三點到直線的距離為人則需滿足"=「一人

圖①圖②

由圖①②可知，若圓上恰有兩個點到直線的距離為/,則需滿足r—

若圓上恰有四點到直線的距離為t,則需滿足/.

[跟進訓練]

1.(1)(多選)(2021?新高考n卷)已知直線/：ox+如一戶=0與圓C：x2-\-y2=r1,

點/(a,b),則下列說法正確的是()

A.若點N在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點Z在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點Z在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點N在直線/上，則直線/與圓C相切

⑵(2022?新高考n卷)設點z(—2,3),8(0,a),若直線48關于y=a對稱的直

線與圓(x+3)2+(y+2)2=l有公共點，則a的取值范圍是.

(l)ABD(2)[|,|][(1)\,點一在圓C上,."2+)=2,圓心C(0,0)到直線/

的距離，直線/與圓C相切，A正確；

Va2+^2

?.?點Z在圓。內(nèi)，：.a2+b2<r2,圓心C(0,0)到直線/的距離二

直線/與圓C相離，B正確;

?.?點Z在圓C外，：.a2+b2>r2,圓心C(0,0)到直線/的距離d="=<r,<,.

直線/與圓C相交，C錯誤;

?點Z在直線/上，a~+b2=r2,圓心C(0,0)到直線/的距離d=;=r

Va2+/j2

??.直線/與圓C相切，D正確.

故選ABD.

(2)因為左所以直線45關于y=a的對稱直線為(3—a)x—2y+2a=0,所

以13(廠3)+4+yy1,整理可得6a2—Ua+3W0,解得工

V4+(3-a)z32

【教師備選資源】

1.已知點M(a,6)在圓。：N+y2=l外，則直線辦+勿=1與圓。的位置關系

是()

A.相切B.相交

C.相離D.不確定

B[因為M(a,瓦)在圓。：9+產(chǎn)=1夕卜，

所以而圓心。到直線方+勿=1的距離

,\a,0+b?0-1|1

Va2+b27a2+b2，

所以直線與圓相交.]

2.若圓》2+儼=/。>0)上恒有4個點到直線/：X—〉—2=0的距離為1,則實數(shù)

r的取值范圍是()

A.(V2+1,+8)B.(V2-1,V2+1)

C.(0,V2-1)D.(0,V2+1)

A[計算得圓心到直線/的距離為專=/>1,如圖，直線/:x一歹一2=0與圓

相交，/1,/2與/平行，且與直線/的距離為1,故可以看出，圓的半徑應該大于

圓心到直線/2的距離魚+L]

考點二圓與圓的位置關系

[典例2](1)(2024?山東淄博模擬)“心手是“圓G：》2+產(chǎn)4與圓C2：(%

—a)2+(y+a)2=l有公切線”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)(多選)(2023,遼寧撫順二模)已知圓Ci：x2+y2=9與圓C2：(%—3)2+(y—4)2

=16,下列說法正確的是()

A.Ci與G的公切線恰有4條

B.Ci與C2相交弦的方程為3x+4y—9=0

C.G與C2相交弦的弦長為當

D.若尸,。分別是圓Q,D上的動點,則|PQ|max=12

⑶(2024,福建寧德模擬)已知圓C：(X-3)2+(y—4)2=1和兩點/(一加，0),B(m,

0)(加〉0).若圓。上存在點尸,使得N4PB=90。,則實數(shù)加的取值范圍為.

⑴A(2)BD(3)[4,6][(1)圓C：、2+^=4的圓心G(O,0),半徑片=2,圓

。2：(X—Q)2+S+Q)2=1的圓心G(q,—a),半徑/2=1,

若兩圓有公切線，則Q?村門—「21，即Ja2+(_a)2》l,解得aW一號或a瀉,

所以“。老”是“圓G：》2+產(chǎn)4與圓。2：(x-a)2+(v+t/)2=l有公切線”的

充分不必栗條件.

故選A.

(2)由已知得圓Ci的圓心Ci(0,0),半徑片=3,圓。2的圓心。2(3,4),半徑必

=4,

|CiC|=J(3—0)2+(4-0/=5,n-r\<d<r\+n,故兩圓相交，所以C與

G的公切線恰有2條，G與G相交弦的方程為3x+4j-9=0,G到相交弦的距

離為最

故相交弦的弦長為2小—(J=g.若P,0分別是圓Cl,C2上的動點，則|P0|max

=|。1。2|+片+廠2=12.故選8口.

(3)VZAPB=90°,.,.點P的軌跡是以48為直徑的圓O,半徑為m,故點P是

圓。與圓。的交點，圓C:(x-3)2+(y-4)2=l的圓心為(3,4),半徑尸=1,

=V32+42=5,因此兩圓相切或相交，

艮百冽—1|WA/32+4?W加+1,解得4WMW6.]

名師點評1.判斷兩圓位置關系的方法

常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對值的關系，一般不用代數(shù)

法.

2.兩圓公共弦長的求法

先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d,弦長的一半g半

徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解，且/=2"二不

[跟進訓練]

2.(1)圓/+(J—2)2=4與圓N+2機工+產(chǎn)+優(yōu)2-1=。至少有三條公切線，則機

的取值范圍是()

A.(-co,-V5]

B.(V5,+oo)

C.(-V5,V5)

D.(-8,-Vs]U+8)

(2)已知點4(0,2),0(0,0),若圓C：(x—a)2+(y—a+2)2=l上存在點”,使

MA-M0=3,則圓心C的橫坐標a的取值范圍為.

(3)(2022?新高考I卷)寫出與圓3+產(chǎn)=1和@—3)2+8—4)2=16都相切的一條

直線的方程.

(1)D(2)[0,3](3)產(chǎn)一江+：或、=示一||或x=—1(從這三條公切線中任選

一條作答即可)[(1)由圓/+。一2)2=4,可得圓心坐標為(0,2),半徑為2.

由圓好+2制工+了2+優(yōu)2—1=0得(X+7〃)2+J?2=1,則圓心坐標為(一機，0),半徑為

1.

因為兩圓至少有三條公切線，

所以兩圓外切或相離，所以STI2+4三3,

解得機W一花或能三匾.故選D.

(2)設M(x,j),因為Z(0,2),<9(0,0),

所以西5=(—x,2—y),MO=(—x,—y).

因為麻?M0=3,

所以(一x)(—x)+(2-y)(-y)=3,

化簡得f+g—1)2=4,

所以點〃的軌跡是以(0,1)為圓心，2為半徑的圓.

因為M在C:(x—a)2+(y—a+2)2=l上,

所以兩圓必須相交或相切.

所以］-°)2+-2)-1)2<3,

解得0WaW3.

所以圓心C的橫坐標a的取值范圍為［0,3］.

(3)圓/+y=1的圓心為。(0,0),半徑為1,圓(x—3)2+8—4)2=16的圓心01

為(3,4),半徑為4,

兩圓圓心距為八32+42=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切.如圖，當切線為/

時，因為/co。］=1,所以左/=一；，設方程為y=一3+/(7>0),。到/的距離1=

1344

^^=1,解得，=。，所以/的方程為v=—

94',44

J1+i6

當切線為加時，設直線方程為日+y+2=0,其中2>0,k<0,

由題意向;

(k=-^,

解得!”24所以機的方程為y=2-x-fj.

|一乙32424

當切線為"時，易知切線方程為X=-1.］

考點三圓的切線、弦長問題

考向1切線問題

［典例3］已知點P(&+L2-/)，點M(3,1),圓C：(X—l)2+(y—2)2=4.求：

(1)過點P的圓C的切線方程；

(2)過點〃的圓C的切線方程，并求出切線長.

［解］由題意得圓心C(l,2),半徑r=2.

(1)V(V2+1-l)2+(2-V2-2)2=4,

...點尸在圓C,L.

r,2-V2-2,

又環(huán)°=百匚T=—1，

切線的斜率左=一二-=1.

kpc

...過點尸的圓C的切線方程是＞一(2-V2)=X-(V2+1),即x-j+l-2V2=

0.

⑵：(3—1)2+(1-2)2=5>4,

.?.點〃在圓C外部.

當過點〃的直線斜率不存在時，直線方程為x=3,

即x—3=0.

又點C(l,2)到直線x—3=0的距離d=3~1=2=r,

即此時滿足題意，所以直線x=3是圓C的切線.

當切線的斜率存在時，設切線方程為y—1=左(》一3),

即kx—y+\—3k=Q,

則圓心C到切線的距離d=匕言用=尸=2,解得k=~.

Vfc2+14

切線方程為y—1=|(x—3),

即3x—4j—5=0.

綜上可得，過點河的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4j-5=0.

V\MC\=J(3—1)2+(1-2)2=V5,

...過點Af的圓C的切線長為J|MC|2-/='5-4=1.

考向2弦長問題

[典例4](1)設圓/+產(chǎn)―2x—2y—2=0的圓心為C,直線/過(0,3),且與圓C

交于Z,8兩點，若|48|=2四，則直線/的方程為()

A.3x+4y—12=0或4x—3y+9=0

B.3x+4y—12=0或x=0

C.4%—3?+9=0或x=0

D.3x—4y+12=0或4x+3y+9=0

(2)已知直線/：加x+y+3加-V5=0與圓12+y2=]2交于B兩點，過B分

別作/的垂線與X軸交于c,。兩點.若|4B|=2g,則|CD|=.

(1)B(2)4[(1)當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,聯(lián)立方程得

.=0，^^x=0^弋/久=0，

*+y2—2%—2y—2=0,(y=1—V3(y=1+V3,

/.\AB\=243,符合題意.

當直線/的斜率存在時，設直線/的方程為3；=丘+3,?.?圓萬2+/一2%一2y—2=

0,即(X—1)2+。一1)2=4,其圓心為C(l,1),圓的半徑r=2,圓心C(l,1)到

直線＞=丘+3的距離d=陽=猊，惇)2=己

...當￥+3=4,解得上=—3.?.直線/的方程為？=—&+3,即3x+4y—12=

/c'+l44

0.

綜上，直線/的方程為3x+4j-12=0或x=0.故選B.

⑵由直線/:m+.y+3m一百=0知其過定點(―3,V3),圓心。到直線/的距離

為公整型

美尹/+(⑹2=12,解得機=一季又直線/的斜率為一掰=?

所以直線/的傾斜角a=：

6

畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CELAD,則N￡)CE=E.在Rt^CQE

6

中，可得QD尸幽=2gx嚏=4.]

cosaV3

名師點評求圓的切線、弦長時需注意的問題

(1)過圓上一點有且只有一條切線，過圓外一點，一定有兩條切線，特別注意斜

率不存在的情況.

(2)對于已知弦長求直線方程的問題，若弦是直徑有且只有一條，否則一定有兩

條；兩種情況常因漏掉直線斜率不存在的情形致誤.

[跟進訓練]

3.(1)由直線y=x+l上的動點尸向圓C：(x—3)2+儼=1引切線，則切線長的最

小值為()

A.1B.2V2

C.V7D.3

(2)(2021?北京高考)已知圓C：x2+y2=4,直線/：y=kx+m,若當上的值發(fā)生

變化時，直線被圓C所截的弦長的最小值為2,則他的取值為()

A.±2B.±V2

C.±V3D.±3

⑴C(2)C［(1)如圖，切線長1PM=J|PC|2—1,顯然當|PC|為C到直線y=x

+1的距離即號=2魚時，|PM|的最小值為近，故選C.

(2)因為直線/截得圓C弦長的最小值為2,所以圓心C(0,0)到直線/的最大距

離tZmax=j22-Qx2)2=V3,由題意知直線I的方程為kx~y+m=Q,圓心C(0,

0)到直線I的距離d=-^==,當k=Q時，d取得最大值，為附=舊，解得m=±V3.

故選C.］

考點四與圓有關的綜合問題

［典例5］已知圓。：x2+y2=2,直線/：y=kx-2.

(1)若直線/與圓。交于不同的兩點48,當NZ05為銳角時，求左的取值范圍;

(2)若左=：,尸是直線/上的動點，過尸作圓。的兩條切線尸C,PD,切點為C,

D,探究：直線是否過定點.

［解］(1)設48的坐標分別為(XI,-),(X2,”),

將直線/:2代入，+產(chǎn)=2,

整理得(1+左2)N—4日+2=0,

?I_4/c_2

??%1+%2-i+12，-1+12,

/=(一4左)2—8(1+/)>0,即左2>1,

當NAOB為銳角時，

OA?OB=x\X2~\~y\yi=xiX2+(Axi—2)(kx?-2)

=(1+^)x1x2—2k(x\+x2)+40,解得RV3,又k2>1,—V5VkV—1

1Irt

或

故上的取值范圍為(一四，-l)u(l,V3),

(2)由題意知。，P,C,。四點共圓且在以。尸為直徑的圓上.設尸(t,|t-2),

以0P為直徑的圓的方程為x(x—r)+v(y-|t+2)=0,

x2—Zx+v2-Qt—2)y=0.

又C,。在圓。：/+產(chǎn)=2上，

兩圓作差得/CD：rx+Qt-2)J-2=O,

即(％+￡)/_2了_2=0,

1

%+7=0,x=-,

由2得

2v+2=0.尸一1,

直線CD過定點G，-1).

名師點評立足直線與圓的位置關系，將幾何問題代數(shù)化是求解本類題目的關

鍵.同時，在坐標運算中，借助圓的幾何性質(zhì)，可以大大提高運算速度.

［跟進訓練］

4.已知直線/：4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與/相切，圓心。在x軸上且

在直線/的右上方.

⑴求圓C的方程；

(2)過點M(l,0)的直線與圓C交于Z,8兩點(Z在x軸上方)，問在x軸正半軸

上是否存在定點N,使得x軸平分NNNB?若存在，請求出點N的坐標；若不存

在，請說明理由.

［解］⑴設圓心C(a,0)(a>-|),則嗯碼=2=。=0或。=—5(舍)，所以圓C

的方程為x2+v2=4.

(2)當直線軸時，x軸平分NZNB.

當直線N5的斜率存在時，設直線Z5的方程為y=k(x—l),N9,0),A(xi,yi),

8(X2,J2),

%2+丫2=4

''得(左2+1)%2—2左2%+左2—4=0,

(y=k(x-1),

d、，I2/k2—4

所以陽+垃=豆五，%1%2=豆、

若X軸平分NZNB,則kAN=-kBN^—+且=00蛆口+蛆己=0=2%兇一。

%]-t%2—t%]一t%2-t

+1)(XI+X2)+2/=0今替了一筆詈+2/=00/=4.所以當點N為(4,0)時，能

使得ZANM=ZBNM總成立.

綜上，存在定點N(4,0)滿足題意.

課時分層作業(yè)(五十三)直線與圓、圓與圓

的位置關系

[A組在基礎中考查學科功底]

一、單項選擇題

1.(2024?河北張家口模擬)已知點?(xo,/)為圓C：N+廿=2上的動點,則直

線/：xox—yop=2與圓。的位置關系為()

A.相交B.相離

C.相切D.相切或相交

C［由題意可得焉+*=2,于是圓心C到直線/的距離d=—r^=^=~r==V2=r,

J/42+?yo2v2

所以直線和圓相切.

故選C.]

2.(2023?吉林延邊州二模)經(jīng)過P(2,3)向圓/+產(chǎn)=4作切線，切線方程為()

A.5x—12j+26=0

B.13x-12j+10=0

C.5x—12y+26=0或x=2

D.13x—12y+10=0或x=2

C［當切線的斜率不存在時，直線x=2是圓的切線.

當切線斜率存在時，設切線方程為＞一3=左(》一2),

由(0,0)到切線距離為d=^^=2,得T，

此時切線方程為j—3=^(x—2),

即5x-12y+26=0.故選C.]

3.(2024,廣東梅州模擬)若直線/：mx-\-ny+m=0將圓C：(%—2)2+j2=4分成

弧長之比為2：1的兩部分，則直線的斜率為()

A.工B.丹

2

D.金

c44

D[令直線/與圓C交于點Z,B,依題意，ZACB=12Q°,ZABC=30°,而圓

C的圓心C(2,0),半徑尸=2,

因此點C到直線/的距離d=rsin30。=1,于是d=^-=1,整理得〃=包日m,

Vm2+n2

所以直線/的斜率左=一；=好.故選D.]

4.若曲線＞=74-N與直線胃=碓—2)+4有兩個交點,則實數(shù)上的取值范圍

是()

A.(p1]B.+oo)

C.(1,+8)D.(1,3]

A[根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示.

由題意可得，曲線了=斤，的圖象為以(0,0)為圓心，2為半徑的半圓，直線

/恒過2(2,4),當直線/與半圓相切時，圓心到直線/的距離d=r,即耳等=2,

解得左=：;當直線/過8點時，直線/的斜率左=—^==1,則直線/與半圓有

42—(—2)

兩個不同的交點時，實數(shù)左的取值范圍為(；，1].故選A.]

5.右一條光線從點Z(—2,—3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y—2)2=1相

切，則反射光線所在直線的斜率為()

5332

或

A-----或--

3523

B,或

54D..43

C或

------

434

-

D［點(一2,5—3)關于y軸的對稱點為(2,-3),由題意知，反射光線所在的直

線一定過點(2,-3).設反射光線所在直線的斜率為k,則反射光線所在直線的

方程為y+3=k(x-2),即kx—y—2k—3=0.由反射光線與圓相切，得匕迎

=1,解得左=一［或左=—|.故選D.］

6.(2023?新高考I卷)過點(0,—2)與圓好十儼―以一1=0相切的兩條直線的夾

角為a,則sina=()

A.1B.四

4

u.V—10nu.—遙

44

B［如圖，由》2+72一以一1=0得(》-2)2+產(chǎn)=5,所以圓心坐標為(2,0),半徑

r=V5,所以圓心到點(0,—2)的距離為J(2—0)2+(0+2>=2五,由于圓心與

點(0,—2)的連線平分角a,所以5出§=力=粵=空所以cos5=*，所以

sina=2sin^cos|=2x平x乎=平.故選B.］

7.(2023?山東濟寧二模)在平面直角坐標系中，過點P(3,0)作圓O：(x—l)2+(y—

2舊)2=4的兩條切線，切點分別為4B,則直線Z8的方程為()

A.x—V3y+3=0B.x+V^y+3=0

C.V3x—v+3=0D.V5x+y+3=0

A［圓O:(x—l)2+(y-2b)2=4的圓心為0(1,2呵,半徑為2,

以尸(3,0),0(1,28)為直徑，則尸O的中點坐標為N(2,V3),\P0\=

J(3-l)2+(0-2V3)2=4,

所以以N為圓心，P0為直徑的圓的方程為(x-2)2+(y—g)2=4,

因為過點尸(3,0)作圓。：(x—1)2+。一2百)2=4的兩條切線，切點分別為2,

B,所以48是兩圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得公共弦48的方程為x—四

+3=0.故選A.]

8.(2024?山東師范大學附中校考模擬預測)在平面直角坐標系。孫中，點2(0,

3),直線/：y=2x—4.設圓C的半徑為1,圓心在/上.若圓C上存在點

使K4|=2怨0|,則圓心C的橫坐標。的取值范圍為()

A.[若)B.(鳴eg罔D.得

D[因為圓心C的橫坐標為a,則圓心。的坐標為(a,2a—4),則圓。的方程為

(x-a)2+(y-2a+4)2=l,設M(x,y),^\MA\=2\MO\,

可得JN+(y—30=2j/+y2,整理得》2+0；+1)2=4,則圓(x—qy+o—Za

+4)2=1與圓x2+(v+1)2=4有公共點，則2—1WJ(0-a)2+(—1—2a+4>W2

+1,

即1W5/—12a+9W9,解得OWaW3.故選D.]

二、多項選擇題

9.(2023?廣東肇慶二模)已知圓C：(x—1)2+。-2)2=25,直線/：(2m+l)x+(m

+l)j—7m—4=0,則()

A.直線/過定點(3,1)

B.直線/與圓。可能相離

C.圓C被了軸截得的弦長為4e

D.圓。被直線/截得的弦長最短時，直線/的方程為x+2y—5=0

2%+v—7—0(x=3

'得｛'即/恒

(x+y—4=0,ly=1,

過定點(3,1),A正確；點(3,1)與圓心(1,2)的距離d=花<5,故直線/與圓C

恒相交，B錯誤；令x=0,則(0—1)2+0—2)2=25,可得y=2±2乃，故圓C被

y軸截得的弦長為4e，C正確；要使直線/被圓C截得弦長最短，只需點(3,1)

與圓心(1,2)連線垂直于直線/,所以直線/的斜率為一生龍=2,可得機=—二

m+14

故直線I為2x-j-5=0,D錯誤.故選AC.]

10.(2021?新高考I卷)已知點尸在圓(x—5)2+。-5>=16上，點Z(4,0),8(0,

2),則()

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點尸到直線Z5的距離大于2

C.當N0氏4最小時，|08|=3四

D.當NP"最大時，|08|=32

ACD[設圓(x—5)2+。一5)2=16的圓心為M(5,5),由題易知直線Z8的方程為

7+^=1,即x+2y—4=0,則圓心/到直線Z3的距離d=空竿型=皆>4,

42V5V5

所以直線45與圓河相離，所以點尸到直線AB的距離的最大值為4+d=4+*

V5

,4+^<5+喀=10,A正確.

V575

易知點尸到直線48的距離的最小值為d—4=]—4,黃一4V1整一4=1,B不

正確.

過點5作圓M的兩條切線，切點分別為N,Q,如圖所示，連接"B,MN,MQ,

則當ZPBA最小時，點尸與N重合，\PB\=y/\MB\2-\MN\2=752+(5-2)2-42

=3/，當NPBZ最大時，點P與Q重合，|PB|=3a,C,D都正確.故選ACD.

]

X

三、填空題

I.(2023?新高考n卷)已知直線X—即+1=0與。C：(X—1/+產(chǎn)=4交于2,

8兩點，寫出滿足“△Z5C面積為的機的一個值：.

2(2,-2,"中任意一個均可)[設直線x—玫y+l=0為直線/,由條件

2

知。C的圓心C(l,0),半徑R=2,C到直線/的距離4=,\AB\=2y/R2-d2

=214-(二聲4由SA4BC=N,得2義聲/義廠」=￡,整理得2機2—5附

+2=0,解得機=±2或7〃=g故答案可以為21

12.(2024?南京師大附中模擬)已知圓。1"2+廿+2?+層—4=ogcR)與圓Cz：

d十儼一2勿一1+62=OSGR)只有一條公切線，則a+b的最小值為.

-V2[圓Ci：x2+V+2ax+a2—4=0的圓心Ci(—a,0),半徑門=2,圓G：

d+廿―2勿—1+〃=0的圓心。2(0,b),半徑「2=1,由兩個圓只有一條公切線

可得兩個圓內(nèi)切，圓心距|。1。2尸，。2+匕2=2—1=1,

所以可得屋+〃=1,設。=(\)50{,Z)=sina,aGR,

所以a+b=/sin(a+；)?[—a,V2],當且僅當a+；=一]+2E,左?Z時，

即0￡=—乎+2E,左?Z時，a+6的最小值為一企.]

4

13.已知點尸為直線/：x—,v+l=0上的動點，若在圓C：(x—2)2+8-1)2=1

上存在兩點M,N,使得N〃PN=60。，則點尸的橫坐標的取值范圍為.

[0,2][圓C:(x—2)2+(y—1)2=1的圓心為C(2,1),半徑尸=1,當PM,PN

與圓C相切且N〃PN=60。時，\PC\=2r=2,

以C(2,1)為圓心，半徑為2的圓的標準方程為(x—2)2+。-1)2=4,

x-

-7v+1=0

71消去y并化簡，得2x=0,

((x-2)2+(y-l)2=4

解得x=0或x=2,所以點尸的橫坐標的取值范圍為[0,2].]

14.已知。C：x2~i-y2—2x—2y—2=0,直線/：x+2y+2=0,Af為直線/上的動

點，過點M作0c的切線跖4,MB,切點為aB,當四邊形M4C8的面積取最

小值時，直線Z8的方程為.

x+2y+l=0[OC:/