2025屆山西省懷仁市重點中學(xué)高三下學(xué)期第十五周綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆山西省懷仁市重點中學(xué)高三下學(xué)期第十五周綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．2．若點是角的終邊上一點，則（）A． B． C． D．3．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．84．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A． B． C． D．5．幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1，2，3，……，這個數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫階幻方．定義為階幻方對角線上所有數(shù)的和，如，則（）A．55 B．500 C．505 D．50506．已知直線過雙曲線C：的左焦點F，且與雙曲線C在第二象限交于點A，若（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．7．若雙曲線的焦距為，則的一個焦點到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．8．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列各項之和為（）A．56383 B．57171 C．59189 D．612429．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則（）A．12 B．11 C．6 D．310．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意，，都有，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為（）A． B．6 C． D．12．復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列滿足，則，_____.若存在n∈N*使得成立，則實數(shù)λ的最小值為______14．已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，若，則____.15．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是__________.16．在中，若，則的范圍為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．（12分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù)；（2）為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系？（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費用（百萬元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬臺）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎勵制度：以（單位：萬臺）表示日銷售，當(dāng)時，不設(shè)獎；當(dāng)時，每位員工每日獎勵200元；當(dāng)時，每位員工每日獎勵300元；當(dāng)時，每位員工每日獎勵400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬臺）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請你估計每位員工該月（按30天計算）獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若曲線在點處的切線方程為，求，；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，（1）若，求不等式的解集；（2）證明：對任意的，恒有.22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，證明，在恒成立；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項.點睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．2．A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則，故選A.本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式，準(zhǔn)確化簡、計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．4．B【解析】

設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式，即可得解；【詳解】解：設(shè)∵，∴，解得.故選：B本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得，即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，所以階幻方對角線上數(shù)的和就等于每行（或每列）的數(shù)的和，又階幻方有行（或列），因此，，于是．故選：C本題考查了數(shù)陣問題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.6．B【解析】

直線的傾斜角為，易得．設(shè)雙曲線C的右焦點為E，可得中，，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B．7．B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的焦距為，故可得，解得，不妨取；又焦點，其中一條漸近線為，由點到直線的距離公式即可求的.故選：B.本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.8．C【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23，公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列則令，解得.故該數(shù)列各項之和為.故選：C.本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。9．B【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點個數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個或三個（時有三個，時有兩個），所以關(guān)于的方程只能有一個根（若有兩個根，則關(guān)于的方程有四個或五個根），由，可得的值分別為，則故選B．本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于?？碱}型.10．A【解析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱且在上為減函數(shù)，則不等式等價于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因為對任意，，都有，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得：.即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.11．D【解析】

用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，得到時退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.12．C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查學(xué)生的基本運算能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項公式，將不等式分離常數(shù)，利用商比較法求得的最小值，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】當(dāng)時兩式相減得所以當(dāng)時，滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得，設(shè)，所以，即，所以單調(diào)遞增，的最小項，即有的最小值為.故答案為：(1).(2).本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，考查不等式成立的存在性問題的求解策略，屬于中檔題.14．【解析】

由，，成等差數(shù)列，代入可得的值.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，成等差數(shù)列，可得：，代入，可得：，故答案為：.本題主要考查等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，相對不難.15．【解析】

令，所求問題的最大值為,只需求出即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.【詳解】作出可行域，如圖令，則，顯然當(dāng)直線經(jīng)過時，最大，且，故的最大值為.故答案為：.本題考查線性規(guī)劃中非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎(chǔ)題.16．【解析】

借助正切的和角公式可求得，即則通過降冪擴(kuò)角公式和輔助角公式可化簡,由，借助正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得所求.【詳解】，所以，.因為，所以，所以.故答案為:.本題考查了三角函數(shù)的化簡,重點考查學(xué)生的計算能力,難度一般.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式、一元二次方程的解法等知識點的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項公式，進(jìn)而利用錯位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理能力與運算能力，屬于中檔試題．18．（1）（2）能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系（3）詳見解析【解析】

（1）由題意可計算后三組的頻數(shù)的總數(shù)，由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù)，可得視力在5.0以上的頻率，可得全年級視力在5.0以上的的人數(shù)；（2）由題中數(shù)據(jù)計算的值，對照臨界值表可得答案；（3）由題意可計算出這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人，可得X可取0，1，2，分別計算出其概率，列出分布列，可得其數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，因為后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，共有（人）所以后三組頻數(shù)依次為24，21，18，所以視力在5.0以上的頻率為0.18，故全年級視力在5.0以上的的人數(shù)約為人（2），因此能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系.（3）調(diào)查的100名學(xué)生中不近視的共有24人，從中抽取8人，抽樣比為，這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人，X可取0，1，2，，X的分布列X012PX的數(shù)學(xué)期望.本題主要考查頻率分布直方圖，獨立性檢測及離散型隨機(jī)變量的期望與方差等相關(guān)知識，考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)與處理數(shù)據(jù)的能力，屬于中檔題.19．（Ⅰ）（Ⅱ）7839.3元【解析】

（Ⅰ）由題意計算x、y的平均值,進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;（Ⅱ）由題意計算平均數(shù)μ，得出z~N(μ,)，求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，計算獎金總數(shù)是多少.【詳解】（Ⅰ）因為，，因為，所以，所以；（Ⅱ）因為，所以，故即，日銷量的概率為，日銷量的概率為，日銷量的概率為，所以獎金總數(shù)大約為：（元）.本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態(tài)分布計算概率，進(jìn)而估計總體情況，屬于中檔題.20．（1）；（2）【解析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，運用可求得的值，再由在直線上，可求得的值；(2)由已知可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，討論和0的大小關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】（1）由題得，因為在點與相切所以，∴（2）由得，令，只需，設(shè)（），當(dāng)時，，在時為增函數(shù)，所以，舍；當(dāng)時，開口向上，對稱軸為，，所以在時為增函數(shù)，所以，舍；當(dāng)時，二次函數(shù)開口向下，且，所以在時有一個零點，在時，在時，①當(dāng)即時，在小于零，所以在時為減函數(shù)，所以，符合題意；②當(dāng)即時，在大于零，所以在時為增函數(shù)，所以，舍.綜上所述：實數(shù)的取值