高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

g-H-

第一T任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

1基礎(chǔ)卻織妥打牢強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

1.任意角

(1)角的分類：

①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為亞魚、魚魚、零角.

②按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(2)終邊相同的角：

終邊與角。相同的角可寫成。+4?360。(AGZ).

(3)弧度制：

①1弧度的角：把長度等于半徑指的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，I。/是以角。作

為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，r為半徑.

③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制.比值一與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).

④弧度與角度的換算：360°=2“弧度；180°=3弧度.

⑤弧長公式：/=I。I乙扇形面積公式：==a\r.

2.任意角的三角函數(shù)

(1)任意角的三角函數(shù)定義：

設(shè)a是一個(gè)任意角，角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)戶(x,力，那么角a的正弦、余弦、正切分別是：

sina=￡,cosa=x,tana它們都是以角為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)

值的函數(shù).

(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

3.三角函數(shù)線

設(shè)角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)尸，過戶作冏/垂直于

X軸于〃由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(cos.a,sina),即戶(cosa,sina),其中cosa=

典,sina=迎,單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)4單位圓在4點(diǎn)的切線與。的終邊或其反向延長線相交

于點(diǎn)T,則tana=型我們把有向線段OM、MP、〃叫做a的余弦線、正弦線、正切線.

4(1,0)A(1,0)A(1,0)

3加o「1、、、「\1JXJ1A

?\o?X.MITV）J工

三角函數(shù)線

有向線段”為正弦有向線段邀為余弦有向線段迎為正切

線線線

［小題能否全取］

1.-870°的終邊在第幾象限（）

A.—B.二

C.三D.四

解析：選C,s-870°二-2X360°-150°.-150°是第三象限角.

2.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（十，-1）,則角。的最小正值是（）

2n11兀

A.B.「

36

5n3兀

c-~6~D?丁

T1

a-一--

解析：選B???sin-2--2且a的終邊在第四象限,

11

a=-Ji.

o

3.（教材習(xí)題改編）若sina〈0且tana>0,貝（］。是（）

A.第一象限角B,第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：選C由sina〈0,知a在第三、第四象限或a終邊在y軸的負(fù)半軸上，由tan。>0,知a

在第一或第三象限，因此。在第三象限.

2Ji

4.若點(diǎn)P在丁角的終邊上，且戶的坐標(biāo)為（-1,y）,則y等于.

解析：因tan-=-5=-y,:.y=在

答案:.

5.弧長為3H,圓心角為135°的扇形半徑為一，面積為_.______.

3

解析：弧長圓心角a=-JT,

13Ji1

由弧長公式/=a?—=--=4,面積S=5“=6n.

答案：46五

1.對(duì)任意角的理解

(1)“小于90°的角”不等同于“銳角”“0。~90°的.角”不等同于“第一象限的角”.其實(shí)銳

角的集合是{a|0°<。<90°},第一象限角的集合為{。|A?360。〈。〈人360°+90°,AEZ}.

(2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

2.三角函數(shù)定義的理解

三角函數(shù)的定義中，當(dāng)尸(x,力是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sina=y,cosa=x,tana=：，但若

,.VXV

不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為T,則sina=7,cosa=~,tana=-.

后高頻考點(diǎn)要通關(guān)

抓考點(diǎn)I學(xué)技法I得拔高分I掌握程度

，…角的集合表示及象限角的判定

典題導(dǎo)入

［例1］已知角。=45°,

⑴在-720。~0°范圍內(nèi)找出所有與角a終邊相同的角￡；

⑵設(shè)集合〃=卜)=9X180。+45°,kEL,

=］X1800+45°,AEz1,判斷兩集合的關(guān)系.

［自主解答］(1)所有與角。有相同終邊的角可表示為：

￡=45°+AX36O0(AEZ),

則令-720°W45°+"*360°<0°,

76545

得-765°WAX360°<-45°,解得-左衣-寶

從而k--2或k=-1,代入得B=—675°或￡=-315

(2)因?yàn)椤?{x|x=(2"+l)X45°,"EZ}表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；

而集合"={x|x=(4+1)X45°,ACZ}表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：

MN.

由題悟法

1.利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的

集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)左賦值來求得所需角.

2.已知角。的終邊位置，確定形如口土。等形式的角終邊的方法：先表示角?的范圍，再

寫出Aa、口土a等形式的角范圍，然后就4的可能取值討論所求角的終邊位置.

以題試法

1.(1)給出下列四個(gè)命題：

3兀4兀

①一丁是第二象限角；(2丁是第三象限角：③-M。。是第四角限角；@-315°是第一象限角.其

qo

中正確的命題有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

(2)如果角a是第二象限角，則m-a角的終邊在第象限.

34兀it4兀

解析：⑴-丁是第三象限角，故①錯(cuò)誤..=”+彳,從而M是第三象限角正確.-4000=-360°

T：UUO

-40°,從而③正確.-315°=-360°+45°,從而④正確.

JI

(2)由已知萬+2A”<it+24冗(AEZ),

ji

貝一兀一2A?！匆籥-(AEZ),

JI

即一兀+2A?！匆??！匆?^"+24兀(AEZ),

JI

故2A兀<兀-a<—(AEZ),

所以兀-。是第一象限角.

答案：⑴C(2)-

三角函數(shù)的定義

典題導(dǎo)入

[例2]⑴已知角。的終邊上有一點(diǎn)尸(2/+1)(力0),則tan。的最小值為()

A.1B.2

1

2-D.V2

(2兀2兀、

(2)(?大慶模擬)已知角。的終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(sinq-,cos11［則角。的最小正值為()

5兀2兀

A干B?亍

5兀11兀

C?亍D,-e-

t2+1i

［自主解答］(1)根據(jù)已知條件得tan。=T=2+122,當(dāng)且僅當(dāng)t=l時(shí)，tana取得最小值

2TI\［3JI

(2)由題意知點(diǎn)戶在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cos。=$也丁=%，故。=24"-/(AC

3zo

11JI

Z),所以a的最小正值為丁.

［答案］(DB(2)D

由題悟法

定義法求三角函數(shù)值的兩種情況

(1)已知角。終邊上一點(diǎn)戶的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)戶到原點(diǎn)的距離z然后利用三角函數(shù)的定義求解.

(2)已知角。的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后

利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角。的三角函數(shù)值.

以題試法

2.(1)(-東莞調(diào)研)已知角。的終邊與單位圓的交點(diǎn)(，當(dāng)，則tana=()

A./B.+y［3

*D.g

4

(2)(濰坊質(zhì)檢)已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)〃見-3),且cos。=-三則勿等于()

?o

1111

A-一彳B.7

C.-4D.4

3

解析：⑴選B由I.網(wǎng)2=夕+工=1,

得X=±E，tana=±木.

4

⑵選c由題盡可知，cosa=--——-=

yj/m1+95,

又派0,解得力二一4.

扇形的弧長及面積公式

3

典題導(dǎo)入

［例3］(1)已知扇形周長為10,面積是4,求扇形的圓心角.

(2)已知扇形周長為40,當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？

［自主解答］(1)設(shè)圓心角是°,半徑是乙

2r+。二10r=4,

則彳12（舍）,

-0?=4

22,

故扇形圓心角為

(2)設(shè)圓心角是九半徑是，

11

2-2--2r)=r(20-r)

=-(r-10)*12+100^100,

當(dāng)且僅當(dāng)r=10時(shí)，ix=100.

所以當(dāng)r=10,夕=2時(shí)，扇形面積最大.

>>>一題多變

若本例⑴中條件變?yōu)椋簣A弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是.

解析：設(shè)圓半徑為R,則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長為2兄

二正方形邊長為4/二圓心角的弧度數(shù)是華=4.

答案：事

由題悟法

1?在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷.

2.記住下列公式：①②S=5；③S=ga".其中7?是扇形的半徑，/是弧長，a(0<a<2n)

為圓心角，s是扇形面積

以題試法

3.若扇形的面積為定值，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，該扇形的周長取到最小值？

解：設(shè)扇形的圓心角為a,半徑為々弧長為，，根據(jù)已知條件權(quán)力=S扇，則扇形的周長為：J+2A=

號(hào)+2后4店，當(dāng)且僅當(dāng)年=2々即#=保時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)7=2倨，?=-=2,

因此當(dāng)扇形的圓心角為2弧度時(shí)，扇形的周長取到最小值.

卻|解題）111軍委聲裝GAOXIAO抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

金級(jí)全員必做題

1,將表的分針撥快L0分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)是（）

JIJI

A.-B.—

3b

JIJI

r——D——

36

解析：選C將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)角.

故A、B不正確，又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過的角為圓周的看

1兀

即為-gX2=-y.

2.已知扇形的周長是6cm,面積是2cm2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）

A.1或4B.1

C.4D.8

1+2r=6,

解析：選A設(shè)扇形的半徑和弧長分別為r,1,則易得1,

2^=2,

f[=4[1=2,

解得J1或J2,故扇形的圓心角的弧度數(shù)是4或L

JI

3.已知角a和角的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且=-〒，則sina=（）

￡J￡

A..坐

11

c

-2-D.2-

解析：選D因?yàn)榻莂和角￡的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以。+S=2ks+5(AGZ),又￡二

51

兀

兀

所

以4a

-3-6--2

ooe

4.設(shè)夕是第三象限角，且COS另=-cos—,則于是()

乙乙乙

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

eo00

解析：選B???。是第三象限角，..?萬為第二或第四象限角.又:cosy-cos—,「?cos-<0,

0

知萬為第二象限角.

5.(-宜春模擬)給出下列各函數(shù)值：①sin(-l000°)；②cos(-2200°)；③tan(-10)；④

7n

sirrj^-cos兀

-----方L，其中符號(hào)為負(fù)的是()

tan--~

A.①B.②

C.③D.④

解析：選Csin(-l000°)=sin80°>0；cos(-2200°)

=cos(-40°)=cos40°>0；tan(-10)=tan(3n-10)<0；

,7Ji,7Ji

sin^-cos7sln

-lo7n17n一“

sin-^y>0,tan—<0,二原式>0.

17n二17T

tan~--tan~--

yy

6.已知sin"cos”1,則角J的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選B由已知得(sinS-cos,)°>1,1-2sin夕cos。>1,sin。cos,<0,且sin”cos9,

因此sin"0>cos9,所以角。的終邊在第二象限.

7在直角坐標(biāo)系中，。是原點(diǎn),加線,1),將點(diǎn)力繞。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到8點(diǎn)，則6點(diǎn)坐標(biāo)為一

解析：依題意知的=如=2,乙/公=30°,48翁=120°,

設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為(X,7),所以x=2cos120°=-1,y=2sin.120°=小,即庾T,m).

答案：(-1,.)

/3兀3吟

8.若￡的終邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)《cos丁，sinT)，則sinB=,tanB=.

3兀3兀

解析：因?yàn)椤甑慕K邊所在直線經(jīng)過點(diǎn)cos—,sin—,所以￡的終邊所在直線為y=-x,則￡

在第二或第四象限.

f,tan

所以sin￡

答案：乎

9.如圖，角。的終邊與單位圓（圓心在原點(diǎn)，半徑為1）交于第二象限的點(diǎn)

/cosa,I),則

cosQ-sinQ-

3

解析：由題圖知sina又點(diǎn)幺在第二象限，故cosa=cosa

o

7

sina=--

5

答案：J

10.—t'扇形》8的面積是1cm2,它的周長是4cm,求圓心角的弧度數(shù)和弦長AS

解：設(shè)圓的半徑為rcm,

弧長為1cm,

’1

/=1,1,

則彳解得T

l+2r=4,

「?圓心'角a=2=2.

如圖，過。作于〃則乙/如=1弧度.

.'.AH=1,sin1=sin1(cm),

■■AB-2sin1(cm).

11.如圖所示，46是單位圓。上的點(diǎn)，且8在第二象限，。是圓34與x軸正半軸

--

55

的交點(diǎn)，/點(diǎn)的坐標(biāo)為3￡,△/如為正三角形.

5,5

⑴求sin乙如；

⑵求cos乙COB.

4

解：（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可知sin4如

0

（2）如為正三角形，:.乙408=60°

43

XsinZ6YZ4=",cosACOA-~

oo

/.cosZCOB=cos(ZCCM+60°)

=cosZCKMcos60°-sin/。如sin60°

_3#14A/33-4A/3

=5*2-5*2=—10—°

12.⑴設(shè)90°<a<180°,角。的終邊上一點(diǎn)為尸(x,小),且cos。二中x,求sin。與tana

的值；

(2)已知角。的終邊上有一點(diǎn)尸(x,-l)(xW0),且tan°二一x,求sin。，cos。.

解：(1)'：r=ylx+5,/.cosa=、)一,

vylx+5

從而4X一產(chǎn)？

解得王二?；騒二土木.

*/90°<^<180°,

/.X0,因此x二一十.

故r=26sina=今=率，

乖V15

tanQ--^—f==.

-V33

(2)?.?夕的終邊過點(diǎn)(x,-1),

tan0=--

x

又tan°=一x、x=1,x-+1.

當(dāng)x=l時(shí)，sin9=-2'cos9=2；

當(dāng)x=-l時(shí)，sin9=-21cos。=一堂.

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.(2.013?聊城模擬)三角形/a'是銳角三角形，若角。終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(sin/-cos8,cos

.,sin9cos9tan9，-―/、

月一sin°，則?sin9+cos&+tan■的值正()

A.1B,-1

C.3D.4

解析：選B因?yàn)槿切瘟?c是銳角三角形，所以/+戌90°,即心90°-B,則sin"〉sin(90°-

sin。cos。tan。

S)-cosBsin/-cos&0,同理cossinCKO,所以點(diǎn)尸在第四象限,

.|sin9||cos9|+|tan9|

-1+1-]=-].

2.(-山東高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x行中，一單位圓的圓

在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)尸的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)

心位于(2,1)時(shí)，。尸的坐標(biāo)為

一2

解析：設(shè)4(2,0),6(2,1),由題意知劣弧尸2長為2,乙ABP=%=2.

JI

設(shè)P(x、力，貝1Jx=2—IXcos22-sin2,y=1

1Xsin(2--

1-cos2,

「?OP的坐標(biāo)為(2-sin2,1-cos2).

答案：(2-sin2,1-cos2)

tan-3

3?⑴確定cos8?tan5的符號(hào)，

(2)已知oE(0,兀)，且sina+cosa=m(01),試判斷式子sina-c.osa的符號(hào).

解：(1):,-3,5,8分別是第三、第四、第二象限角,

tan(-3)>0,tan5<0,cos8<0,二原式大于0.

JI

⑵若