人教中學七年級下冊數(shù)學期末解答題綜合復習題及答案

人教中學七年級下冊數(shù)學期末解答題綜合復習題及答案

一、解答題

1.（1）小麗計劃在母親節(jié)那天送份禮物媽媽，特設計一個表面積為12dm2的正方體紙

盒，則這個正方體的棱長是.

（2）為了增加小區(qū)的綠化面積，幸福公園準備修建一個面積121兀蘇的草坪，草坪周圍用

籬笆圍繞.現(xiàn)從對稱美的角度考慮有甲，乙兩種方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建

成圓形的.如果從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，你會選擇哪種方案？請說明理由；

（3）在（2）的方案中，審批時發(fā)現(xiàn)修如此大的草坪，目的是親近自然，若按上方案就沒

達到目的，因此建議用如圖的設計方案：正方形里修三條小路，三條小路的寬度是一樣，

這樣草坪的實際面積就減少了21兀4，請你根據(jù)此方案求出各小路的寬度（兀取整數(shù)）.

2.如圖是一塊正方形紙片.

（1）如圖L若正方形紙片的面積為ldm2,則此正方形的對角線AC的長為dm.

（2）若一圓的面積與這個正方形的面積都是271cm2,設圓的周長為C圓，正方形的周長為

C正，則C圓C正（填"="或或">"號）

（3）如圖2,若正方形的面積為16cm2,李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積

為12cm2的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2,他能裁出嗎？請說明理由？

3.觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1,

（1）圖中陰影部分的面積是多少？邊長是多少？

（2）估計邊長的值在哪兩個整數(shù)之間.

4.小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁處一塊面積為300cm2的長

方形紙片.

⑴請幫小麗設計一種可行的裁剪方案；

（2）若使長方形的長寬之比為3:2,小麗能用這塊紙片裁處符合要求的紙片嗎？若能，請幫小麗

設計一種裁剪方案，若不能，請簡要說明理由.

5.工人師傅準備從一塊面積為25平方分米的正方形工料上裁剪出一塊18平方分米的長方

形的工件.

(1)求正方形工料的邊長；

(2)若要求裁下來的長方形的長寬的比為3:2,問這塊正方形工料是否合格？(參考數(shù)

據(jù)：忘=1.414,73=1.732,75=2.236)

二、解答題

6.如圖，直線HD〃GE,點A在直線“。上，點C在直線GE上，點B在直線H。、GE之

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若NBCG=40。，求N48C的度數(shù)；

(2)如圖2,AF平分NHAB,BC平分NFCG,NBCG=20。,比較NB,NF的大小；

(3)如圖3,點P是線段AB上一點，PN平分NAPC,CN平分NPCE,探究NMAP和NN

的數(shù)量關系，并說明理由.

7.如圖1,點A在直線MN上，點8在直線57上，點C在MN,ST之間，且滿足

ZMAC+ZACB+ZSBC=360°.

(1)證明：MN//ST；

(2)如圖2,若NACB=60。，AD//CB,點E在線段2C上，連接AE,且

NDAE=2NCBT,試判斷NC4E與NOW的數(shù)量關系，并說明理由；

1QQO

(3)如圖3,若NAC8=*("為大于等于2的整數(shù))，點E在線段2c上，連接AE,

圖1圖2圖3

8.綜合與實踐課上，同學們以“一個直角三角形和兩條平行線”為背景開展數(shù)學活動，如

圖，已知兩直線”涉，且。//上ABC是直角三角形，ZBC4=90°,操作發(fā)現(xiàn)：

B

圖1圖2圖3

(1)如圖L若/1=48。，求N2的度數(shù)；

(2)如圖2,若44=30。,4的度數(shù)不確定，同學們把直線“向上平移，并把N2的位置改

變，發(fā)現(xiàn)N2-4=120。，請說明理由.

(3)如圖3,若NA=30。，AC平分/3AM,此時發(fā)現(xiàn)N1與N2又存在新的數(shù)量關系，請

寫出/I與N2的數(shù)量關系并說明理由.

9.已知AB〃CD,定點、E,P分別在直線AB,CD上，在平行線AB,CD之間有一動點

B

D

備用圖1

EB

D

D

備用圖3

備用圖2

(1)如圖1所示時，試問Z4EP,NEPF,/PFC滿足怎樣的數(shù)量關系?并說明理由.

(2)除了(1)的結論外，試問/4￡P,/EPF,/PfC還可能滿足怎樣的數(shù)量關系?請畫

圖并證明

(3)當N￡P尸滿足0。</￡?/<180。，且。E,。歹分別平分NPEB和/尸F(xiàn)D,

①若NEPF=60°,則NEQF=°.

②猜想NEPF與NEQ尸的數(shù)量關系.(直接寫出結論)

10.直線ABUCD,點P為平面內(nèi)一點，連接AP,CP.

(1)如圖①，點P在直線AB,C。之間，當NBAP=60。，NOCP=20。時，求N4PC的度

數(shù)；

(2)如圖②，點P在直線AB,CD之間，NBAP與NOCP的角平分線相交于K,寫出

NAKC與NAPC之間的數(shù)量關系，并說明理由；

29

(3)如圖③，點P在直線C。下方，當NBAK=[NBAP,NOCK=：NOCP時，寫出

NAKC與NAPC之間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖①

三、解答題

11.為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈.如圖1所示，燈A射線從

AM開始順時針旋轉至AV便立即回轉，燈5射線從族開始順時針旋轉至BQ便立即回

轉，兩燈不停交又照射巡視.若燈A轉動的速度是每秒2度，燈8轉動的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即尸。//跖V,且Na4M:SW=3:2.

圖1

(1)填空：Z.BAN=

(2)若燈8射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉

動幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖2,若兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C

作NACD交尸。于點。，且ZACD=126。，則在轉動過程中，請?zhí)骄?AC與N3CD的數(shù)量

關系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關系；若改變，請說明理由.

12.(1)學習了平行線以后，香橙同學想出了過一點畫一條直線的平行線的新方法，她是

通過折紙做的，過程如(圖1).

圖1

圖2圖3

①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b,使直線b經(jīng)過點P,且要求保留

折紙痕跡，畫出所用到的直線，指明結果.無需寫畫法：

②在（1）中的步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點P的直線a的一線.

（2）已知，如圖3,AB//CD,8E平分/ABC,CF平分/BCD.求證：BE//CF（寫出每

步的依據(jù)）.

13.己知點A,B,。在一條直線上，以點。為端點在直線AB的同一側作射線OC,

OD,0E使NBOC=NEOD=60.

圖①圖②備用圖

（1）如圖①，若0D平分N3OC,求NAOE的度數(shù)；

（2）如圖②，將/EOD繞點。按逆時針方向轉動到某個位置時，使得如所在射線把

/BOC分成兩個角.

①若NCOD:ZBOD=1:2,求NAOE的度數(shù)；

②若NCOD:/3O￡>=1："（"為正整數(shù)），直接用含。的代數(shù)式表示ZAOE.

14.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看

江水及兩岸河堤的情況，如圖，燈A射線自A"順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線

自取順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視，若燈A轉動的速度是

秒，燈B轉動的速度是萬秒，且a、b滿足卜-4耳+（“+人-5）2=0.假定這一帶長江兩岸

河堤是平行的，即且/BAN=60°

oB

OBDP

圖1圖2

(1)求a、b的值；

(2)若燈B射線先轉動45秒，燈A射線才開始轉動，當燈B射線第一次到達BQ時運動

停止，問八燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？

(3)如圖，兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作

8，人。交尸。于點。，則在轉動過程中，Zfi4c與/BCD的數(shù)量關系是否發(fā)生變化?若不

變，請求出其數(shù)量關系；若改變，請求出其取值范圍.

15.已知,ABC,DE//AB交AC于點E,DF//AC交AB于點F.

(1)如圖1,若點D在邊BC上，

①補全圖形；

②求證：ZA=ZEDF.

(2)點G是線段AC上的一點，連接FG,DG.

①若點G是線段AE的中點，請你在圖2中補全圖形，判斷NAFG,ZEDG,"GF之間

的數(shù)量關系，并證明；

②若點G是線段EC上的一點，請你直接寫出N/WG,ZEDG,NOG尸之間的數(shù)量關系.

四、解答題

16.如圖1,CE平分/ACD,AE平分/BAC,ZEAC+ZACE=90

(1)請判斷A3與C。的位置關系并說明理由；

(2)如圖2,當ZE=90且AB與CD的位置關系保持不變，移動直角頂點E,使

NMCE=NECD,當直角頂點E點移動時，問N&a與NMCD否存在確定的數(shù)量關系？并

說明理由.

(3)如圖3,尸為線段AC上一定點，點。為直線上一動點且A2與CD的位置關系保持

不變，①當點。在射線CO上運動時(點C除外)，NCPQ+NCQP與/BAC有何數(shù)量關

系？猜想結論并說明理由.②當點。在射線CD的反向延長線上運動時(點C除外)，

NCPQ+NCQP與/BAC有何數(shù)量關系？直接寫出猜想結論，不需說明理由.

17.如圖，在[ABC中，NABC與ZACB的角平分線交于。點.

⑴若NA=40。，貝i]/3OC=___°；

(2)若ZA=〃。，則NBOC=°；

(3)若/4=〃。，NABC與ZACB的角平分線交于。點，NABO的平分線與NACO的平分

線交于點。I，,/O刈6^0的平分線與/。2。16位的平分線交于點。刈7,則/。2。17=

18.如圖，直圾PQ3MN,一副直角三角板AABC,AZ)EF中，

ZACB=ZEDF=90°,/ABC=ZBAC=45°,ZDFE=30°,ZDEF=60°.

(1)若ADEF如圖1擺放，當即平分/PEF時，證明：FD平分ZEFM.

圖1

(2)若AABC,ADEF如圖2擺放時，則NPDE=

D

Q

圖2

（3）若圖2中AABC固定，將AD跖沿著AC方向平移，邊。尸與直線尸。相交于點G,

作ZFGQ和NGE4的角平分線GH、EW相交于點H（如圖3）,求/GHF的度數(shù).

D

圖3

（4）若圖2中ADEF的周長35an,AF=5c%,現(xiàn)將AABC固定，將ADEF沿著C4方向平

移至點F與A重合，平移后的得到ADES,點、D、E的對應點分別是。、E',請直接寫

出四邊形DE4D'的周長.

（5）若圖2中ADEF固定，（如圖4）將AABC繞點A順時針旋轉，1分鐘轉半圈，旋轉

至AC與直線⑷V首次重合的過程中，當線段BC與ADEF的一條邊平行時，請直接寫出旋

轉的時間.

圖4

19.已知MN//GH,在RtABC中，ZACB=9Q°,ZBAC=30°,點A在MN上，邊BC在

G”上，在RtADEF中,ZD尸E=90。,邊￡）石在直線A3上，NEDF=45。；

（1）如圖L求/5AN的度數(shù)；

（2）如圖2,將用△￡>￡尸沿射線54的方向平移，當點尸在"上時，求Z4FE度數(shù)；

（3）將Rf△。砂在直線上平移，當以A、D、尸為頂點的三角形是直角三角形時，直

接寫出NE4N度數(shù).

20.已知，如圖1,直線bUi,垂足為A,點B在A點下方，點C在射線AM上，點B、C

不與點A重合，點D在直線11上，點A的右側，過D作點E在直線b上，點D的

下方.

（1）L與b的位置關系是;

（2）如圖1,若CE平分NBCD,且NBCD=70。，貝！UCED=°,ZADC=°；

（3）如圖2,若CD_LBD于D,作NBCD的角平分線，交BD于F,交AD于G.試說明：

ZDGF=NDFG；

（4）如圖3,若NDBE=NDEB,點C在射線AM上運動，NBDC的角平分線交EB的延長

線于點N,在點C的運動過程中，探索NN:NBCD的值是否變化，若變化，請說明理由；

若不變化，請直接寫出比值.

【參考答案】

一、解答題

1.（1）dm；（2）從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）根據(jù)此方案

求出小路的寬度為

【分析】

（1）先求得正方體的一個面的面積，然后依據(jù)算術平方根的定義求解即可；

（2）根據(jù)正方形的周

解析：（1）垃dm；（2）從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）根據(jù)

此方案求出小路的寬度為后w

【分析】

（1）先求得正方體的一個面的面積，然后依據(jù)算術平方根的定義求解即可；

（2）根據(jù)正方形的周長公式以及圓形的周長公式即可求出答案；

（3）根據(jù)圖形的平移求解.

【詳解】

解：（1）?；正方體有6個面且每個面都相等，

???正方體的一個面的面積=2dm2.

，正方形的棱長=0dm；

故答案為：Edm；

（2）甲方案：設正方形的邊長為xm,則x2=121〃

x=11

,正方形的周長為：4x=44后m

乙方案：設圓的半徑rm為，則萬戶==121萬

/.r=ll

二圓的周長為：2G'=22萬m

446-22萬=226（2-歷

4〉%

.2）無

???2-6>0

???正方形的周長比圓的周長大

故從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；

（3）依題意可進行如圖所示的平移，設小路的寬度為ym,則

llV/r-y=10

y=8

萬取整數(shù)

'''y=6

答：根據(jù)此方案求出小路的寬度為Gm；

【點睛】

本題主要考查的是算術平方根的定義，熟練掌握正方形的性質以及平移的性質是解題的關

鍵；

2.（1）；（2）<；（3）不能；理由見解析.

【分析】

（1）由正方形面積，易求得正方形邊長，再由勾股定理求對角線長；

（2）由圓面積公式，和正方形面積可求周長，比較兩數(shù)大小可以采用比商法；

（3）采

解析：（1）72;（2）＜；（3）不能；理由見解析.

【分析】

（1）由正方形面積，易求得正方形邊長，再由勾股定理求對角線長；

（2）由圓面積公式，和正方形面積可求周長，比較兩數(shù)大小可以采用比商法；

（3）采用方程思想求出長方形的長邊，與正方形邊長比較大小即可.

【詳解】

解：（1）由已知AB2=1,則=

由勾股定理，AC=y/i；

故答案為：^2.

（2）由圓面積公式，可得圓半徑為75,周長為2乃0,正方形周長為

鼻=莘=#=*＜1；即C圓＜八；

C正4后2a

故答案為：＜

（3）不能；

由已知設長方形長和寬為3xcm和2xcm

，長方形面積為：2x?3x=12

解得x=5/2

???長方形長邊為3應＞4

,他不能裁出.

【點睛】

本題主要考查了算術平方根在正方形、圓、長方形面積中的應用，靈活的進行算術平方根

的計算與無理數(shù)大小比較是解題的關鍵.

3.（1）圖中陰影部分的面積17,邊長是；（2）邊長的值在4與5之間

【分析】

（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個

直角三角形的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可

解析：（［）圖中陰影部分的面積17,邊長是后；（2）邊長的值在4與5之間

【分析】

（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個直角三角形

的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可以得到陰影正方形的邊長；

（2）根據(jù)巫在，可以估算出邊長的值在哪兩個整數(shù)之間.

【詳解】

114

（1）由圖可知，圖中陰影正方形的面積是：5x5廠’4=17

則陰影正方形的邊長為：717

答：圖中陰影部分的面積17,邊長是a7

（2）瓦＜/

所以4＜＞/17＜5

???邊長的值在4與5之間；

【點睛】

本題主要考查了無理數(shù)的估算及算術平方根的定義，解題主要利用了勾股定理和正方形的

面積求解，有一定的綜合性，解題關鍵是無理數(shù)的估算.

4.（1）可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段

作為寬即可裁出符合要求的長方形；（2）不能，理由見解析.

【解析】

（1）解：設面積為400cm2的正方形紙片的邊長為acm

解析：（1）可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即

可裁出符合要求的長方形；（2）不能，理由見解析.

【解析】

（1）解：設面積為400cm2的正方形紙片的邊長為。cm

a2=400

又；a>0

a=20

又；要裁出的長方形面積為300cm2

若以原正方形紙片的邊長為長方形的長，

則長方形的寬為：300+20=15（cm）

???可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即可裁出符

合要求的長方形

（2）?.?長方形紙片的長寬之比為3：2

設長方形紙片的長為3xcm,則寬為2xcm

6x2=300

x2=50

又x>0

,x=5五

???長方形紙片的長為15夜

又（15可=450>202

即：1572>20

二小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片

5.（1）正方形工料的邊長是5分米；

（2）這塊正方形工料不合格，理由見解析.

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的面積公式求出的值即可；

（2）設長方形的長寬分別為3x分米、2x分米，得出方程3

解析：（1）正方形工料的邊長是5分米；

（2）這塊正方形工料不合格，理由見解析.

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的面積公式求出后的值即可；

（2）設長方形的長寬分別為3x分米、2x分米，得出方程3x?2x=18,求出x=6,再求出

長方形的長和寬和5比較即可得出答案.

試題解析：（1）?..正方形的面積是25平方分米，

???正方形工料的邊長是5分米；

（2）設長方形的長寬分別為3x分米、2x分米，

則3x?2x=18,

x2=3,

xi=6，X2=-A/3（舍去）,

3x=3V3>5,2x=2百<5,

即這塊正方形工料不合格.

二、解答題

6.（1）ZABC=100°；（2）ZABOZAFC；（3）ZN=90°-ZHAP；理由見

解析.

【分析】

（1）過點B作BMHD,則HDGEBM,根據(jù)平行線的性質求得NABM與

NCBM,便可求得最后

解析：（1）N4BC=100。；（2）AABC>AAFC；（3）ZA/=90°-HAP^理由見解

析.

【分析】

（1）過點B作BM//HD,則HD//GE//BM,根據(jù)平行線的性質求得NABM與NCBM,便可

求得最后結果；

（2）過B作BPHHDHGE,過F作FQHHDHGE,由平行線的性質得，/ABC=

NHAB+NBCG,ZAFC=ZHAF+ZFCG,由角平分線的性質和已知角的度數(shù)分別求得

ZHAF,ZFCG,最后便可求得結果；

（3）過P作PKHHDIIGE,先由平行線的性質證明NABC=NHAB+NBCG,ZAFC=

NHAF+NFCG,再根據(jù)角平分線求得NNPC與NPCN,由后由三角形內(nèi)角和定理便可求得結

果.

【詳解】

解：（1）過點B作貝?。軭O〃GE〃B/W,如圖1,

G

圖1

ZABM=1800-ZDAB,ZCBM=NBCG,

,/ZDAB=120°fNBCG=40°,

/.ZABM=60°,ZCBM=40°,

/.ZABC=^ABM+^CBM=100°；

(2)過B作BP〃HD〃GE,過F作FQ〃HDIIGE,如圖2,

圖2

/.ZABP=NHAB,ZCBP=NBCG,ZAFQ=NHAF,ZCFQ=NFCG,

：.ZABC=AHAB+NBCG,ZAFC=AHAF+NFCG,

,/Z048=120°,

/.ZHAB=1800-ZDAB=60°f

,「AF平分NHAB,BC平分NFCG,NBCG=20°,

/.ZHAF=30°,ZFCG=40°,

/.ZABC=60°+20°=80°fZAFC=300+40°=70°,

/.ZABC>ZAFC；

(3)過P作PKIIHDIIGE,如圖3,

圖3

/.ZAPK=NHAP,ZCPK=NPCG,

：.ZAPC=AHAP+NPCG,

*/PN平分NAPC,

/.ZNPC=1ZHAP+g/PCG,

,/ZPCE=1800-ZPCG,CN平分NPCE,

/.ZPC/V=90°-yZPCG,

/ZN+NNPC+NPC/V=180°,

/.ZN=180°-HAP-g/PCG-90°+^-ZPCG=90°-^-ZHAP,

2222

即：ZA/=90°-yZHAP.

【點睛】

本題考查了角平分線的定義，平行線性質和判定：兩直線平行，同位角相等；兩直線平

行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，

注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用，理清各角度之間的關系是解題的關鍵，也是本

題的難點.

7.（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1

【分析】

（1）連接AB,根據(jù)已知證明NMAB+NSBA=180。，即可得證；

（2）作CFIIST,設NCBT=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根據(jù)

解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1

【分析】

（1）連接AB,根據(jù)已知證明NMAB+NSR4=180。，即可得證；

（2）作CBIST,設NCB7=a,表示出NCAN,ZACF,ZBCF,根據(jù)ADIIBC,得到

ZDAC=120Q,求出NCAE即可得到結論；

（3）作CFWST,設NCBT=6,得到NCBT=ZBCF=6,分別表示出NCAN和NCAE,即可得到

比值.

【詳解】

解：（1）如圖，連接AB,

ZMAC+ZACB+ZSBC=360°,

ZACB+ZABC+ABAC=180°,

:.ZMAB+ZSBA=18O°,

.'.MN//ST

(2)ZCAE=2ZCAN,

理由：作CF〃ST,貝I]MN//CF//ST,如圖,

設NCBT=e,則NZME=2a.

ZBCF=ZCBT=a,ZCAN=ZACF=60°-a,

AD//BC,ZDAC=1800-ZACB=120°,

NCAE=1200-ZDAE=120°-2a=2(60°-a)=2ZCAN.

即ZCAE=2ZCAN.

(3)作CF〃ST,貝1]肱\7/。尸〃57,如圖，設NCBT=B,則=

M

CF//ST,

:.ZCBT=ZBCF=fi,

ZACF=ACAN=^-P=^-^,

nn

ZG4E=180°-ZM4E-ZG4?/=180o-n9--+^=—（180°-M/?）,

>nn

Yl—11

ZCAE:ZCAN=——:-=n-l,

nn

故答案為〃-1.

【點睛】

本題主要考查平行線的性質和判定，解題關鍵是角度的靈活轉換，構建數(shù)量關系式.

8.（1）42°；（2）見解析；（3）N1=N2,理由見解析

【分析】

（1）由平角定義求出N3=42。，再由平行線的性質即可得出答案；

（2）過點B作BDIIa.由平行線的性質得N2+NABD=180°

解析：（1）42。；（2）見解析；（3）N1=N2,理由見解析

【分析】

（1）由平角定義求出N3=42。，再由平行線的性質即可得出答案；

（2）過點B作BOIIa.由平行線的性質得N2+NABD=180。，Z1=ZDBC,貝此ABD=NABC-

ZDBC=60°-Z1,進而得出結論；

（3）過點C作CPUa,由角平分線定義得NC4M=N8AC=30。，ZBAM=2/LBAC=60°,由平

行線的性質得N1=ZB4M=60。，ZPC4=NCAM=30a,Z2=ZBCP=60°,即可得出結論.

【詳解】

解：（1）,「N1=48°,ZBCA=90°,

：.Z3=180°-ZBCA-A1=180°-90°-48°=42°,

■/allb,

：.Z2=Z3=42°；

（2）理由如下：

過點B作BOUa.如圖2所示：

圖2

則N2+ZABD=180°,

-：allb,

：.b\\BD,

：,Z1=ZDBC,

：.ZABD=NABC-NDBC=60°-Z1,

/.Z2+60°-Z1=180°,

Z2-Z1=120°；

(3)Z1=Z2,理由如下：

過點C作CPUa,如圖3所示：

圖3

AC平分NBAM

：.ZCAM=4BAC=30°,ZBAM=2NBAC=60°,

又：aIIb,

：.CPWb,Z1=ZBAM=60°,

：.ZPCA=NCAM=30°,

：.ZBCP=ZBCA-NPC/\=90--30°=60°,

又：CPUa,

Z2=ZBCP=60°,

Z1=Z2.

【點睛】

本題是三角形綜合題目，考查了平移的性質、直角三角形的性質、平行線的判定與性質、

角平分線定義、平角的定義等知識；本題綜合性強，熟練掌握平移的性質和平行線的性質

是解題的關鍵.

9.(1)ZAEP+ZPFC=ZEPF；(2)NAEP+ZEPF+ZPFC=360°；(3)①150°

或30；②NEPF+2ZEQF=360°或NEPF=2ZEQF

【分析】

(1)由于點是平行線，之間

解析：(1)NAEP+ZPFC=NEPF；(2)ZAEP+ZEPF+ZPfC=360°；(3)①150°或30；

②NEPF+2NEQF=360°或NEPF=2NEQF

【分析】

(1)由于點尸是平行線AB,8之間有一動點，因此需要對點尸的位置進行分類討論:

如圖1,當尸點在￡口的左側時，ZAEP,ZEPF,/PPC滿足數(shù)量關系為：

ZEPF=ZAEP+/PFC；

(2)當尸點在EF的右側時，ZAEP,Z.EPF,/PbC滿足數(shù)量關系為：

ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；

(3)①若當尸點在E尸的左側時，ZEQF=ZBEQ+ZQFD=150°;當尸點在所的右側時,

可求得ZBEQ+ZQFD=30°；

②結合①可得々WgOO-ZNBEQ+lgOO-ZNDFQnBGOO-ZCNBEQ+NPFD),由

NEQF=ZBEQ+ZDFQ,得出ZEPF+2.ZEQF=360°；可得EPF=ZBEP+ZPFD,由

ZBEQ+ZDFQ=ZEQF,得出NEPF=2ZEQF.

【詳解】

解：(1)如圖1,過點尸作尸G〃AB,

PG//AB,

:.ZEPG=ZAEP,

AB!/CD,

:.PG//CD,

:.ZFPG=ZPFC,

ZAEP+ZPFC=ZEPF；

（2）如圖2,當尸點在EF的右側時，ZAEP,ZEPF,/PFC滿足數(shù)量關系為:

ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；

過點尸作PG〃AB,

PG!/AB,

:.ZEPG+ZAEP=1SO°,

AB//CD,

:.PGHCD,

:.ZFPG+ZPFC=18OP,

ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°；

(3)①如圖3,若當P點在所的左側時,

圖3

ZEPF=60。,

ZPEB+NPFD=360°-60°=300°,

EQ,尸。分別平分/FEB和NPFD,

ZBEQ=|ZPEB,ZQFD=|NPFD,

ZEQF=ZBEQ+ZQFD=1(ZPEB+ZPFD)=1x300°=150°；

如圖4,當尸點在阱的右側時，

ZPEB+ZPFD=60°,

ZBEQ+ZQFD=1(ZPEB+ZPFD)=1x60°=30°；

故答案為：150?；?0；

②由①可知：NEQF=ZBEQ+ZQFD=1(NPEB+ZPFD)=1(360°-ZEPF),

ZEPF+2ZEQF=360°；

ZEQF=ZBEQ+ZQFD=1(NPEB+ZPFD)=|NEPF,

ZEPF=2ZEQF.

綜合以上可得ZEPF與NEQF的數(shù)量關系為：ZEPF+2ZEQF=360°或ZEPF=2NEQF.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，平行公理和及推論等知識點，作輔助線后能求出各個角的

度數(shù)，是解此題的關鍵.

10.(1)80°；(2)NAKC=NAPC,理由見解析；(3)NAKC=NAPC,理由

見解析

【分析】

(1)先過P作PEIIAB,根據(jù)平行線的性質即可得到NAPE=NBAP,ZCPE=

NDCP,再根據(jù)N

解析：(1)80°；(2)NAKC=gzAPC,理由見解析；(3)NAKC=：ZAPC,理由見解

23

析

【分析】

(1)先過P作PEWAB,根據(jù)平行線的性質即可得到NAPE=ZBAP,ZCPE=ZDCP,再根

據(jù)NAPC=NAPE+NCPE=NBAP+NDCP進行計算即可；

(2)過K作KEIMB,根據(jù)KEIIABUCD,可得ZAKE=NBAK,NCKE=NDCK,進而得到

ZAKC=ZAKE+NCKE=ZBAK+NDCK,同理可得，ZAPC=NBAP+ZDCP,再根據(jù)角平分線

的定義，得出NBAK+NOCK=；NBAP+^NOCP=；QBAP+NDCP)=；N4PC,進而得

到NAKC^yZAPC；

(3)過K作KEIIAB,KEWABWCD,可得NBAK=NAKE,NDCK=NCKE,進而得到

ZAKC=NBAK-ZDCK,同理可得，ZAPC=NBAP-ZDCP,再根據(jù)已知得出NBAK-

2222

ZDCK=-NBAP--ZDCP=-ZAPC,進而得到NBAK-ZDCK=-ZAPC.

3333

【詳解】

(1)如圖1,過P作PEIIAB,

ABWCD,

：.PEWABWCD,

：.ZAPE=NBAP,ZCPE=NDCP,

：.ZAPC=AAPE+NCPE=ZBAP+A0cp=60°+20°=80°；

(2)ZAKC=gZAPC.

理由：如圖2,過K作KEWAB,

■：ABWCD,

：.KEWABWCD,

：.ZAKE=4BAK,ZCKE=NDCK,

：.ZAKC=4AKE+NCKE=4BAK+NDCK,

過P作PFIIAB,

同理可得，ZAPC=NBAP+ADCP,

ZBAP與NDCP的角平分線相交于點K,

:.NBAK+NDCK=g/BAP+；NDCP=；QBAP+NDCP)=；NAPC,

/.ZAKC=ZAPC；

2

(3)NAKC=-NAPC

3

理由：如圖3,過K作KEWAB,

「ABWCD,

/.KEIIABIICD,

：.ZBAK=NAKE,ZDCK=NCKE,

：.ZAKC=4AKE-NCKE=NBAK-ZDCK,

過P作PFWAB,

同理可得，ZAPC=ZBAP-ZDCP,

22

,/ZBAK=-ZBAP,ZDCK=-ZDCP,

33

2222

ZBAK-ZDCK=-ZBAP--ZDCP=-QBAP-NDCP)=-ZAPC

3333f

2

ZAKC=-AAPC.

3

本題考查了平行線的性質和角平分線的定義，解題的關鍵是作出平行線構造內(nèi)錯角相等計

算.

三、解答題

11.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不變，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根據(jù)NBAM+ZBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

數(shù)；

(2)設A燈轉動t秒，

解析：(1)72。；(2)30秒或110秒；(3)不變，NBAC=2NBC。

【分析】

(1)根據(jù)NB4W+NBAN=180。，ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度數(shù)；

(2)設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當0<t<90時，根

據(jù)2t=1?(30+t),可得t=30；當90cte150時，根據(jù)1?(30+t)+(2t-180)=180,可得

t=110；

(3)設燈A射線轉動時間為t秒，根據(jù)NBAC=2t-108。，ZBCD=126°-ZBCA=t-54°,即可得

出NBAC：NBCD=2：1,據(jù)此可得N8AC和NBC。關系不會變化.

【詳解】

解：(1).:NBAM+NBAN=180°,ZBAM：ZBAN=3：2,

2

/.ZBAN=180°x-=72°,

故答案為：72；

(2)設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行,

①當0VtV90時，如圖1,

?/PQIIMN,

/.ZPBD=NBDA,

?/ACWBD,

/.ZCAMSBDA,

/.ZCAM=NPBD

：.2t=l*(30+t),

解得f=30；

②當90VY150時，如圖2,

,/PQIIMN,

：.ZPBD+NBDA=180°f

,/ACWBD,

/.ZCAN=NBDA

：.ZPBD+NCAN=180°

/.1?(30+t)+(2t-180)=180,

解得t=110,

綜上所述，當上30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行;

(3)NBAC和N8C。關系不會變化.

理由：設燈4射線轉動時間為1秒，

,/ZCAN=1800-2tf

ZBAC=72°-（1800-2t）=2t-108°,

又ZABC=108Q-t,

：.ZBC/\=1800-ZABC-NBAC=180a-t,而NACD=126°,

：.ZeCD=126°-ZBCA=126°-（180°-t）=t-54°,

:.NBAC：ZBCD=2：1,

即NBAC=2NBCD,

ZBAC和NBCD關系不會變化.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質以及角的和差關系的運用，解決問題的關鍵是運用分類思想

進行求解，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

12.（1）①見解析；②垂；（2）見解析

【分析】

（1）①過點折紙，使痕跡垂直直線，然后過點折紙使痕跡與前面的痕跡垂

直，從而得到直線；

②步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點的直線的垂線.

（2）先根據(jù)

解析：（1）①見解析；②垂；（2）見解析

【分析】

（1）①過尸點折紙，使痕跡垂直直線”，然后過P點折紙使痕跡與前面的痕跡垂直，從而

得到直線6；

②步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點尸的直線。的垂線.

（2）先根據(jù)平行線的性質得到/ABC=/BCD,再利用角平分線的定義得到，2=/3,

然后根據(jù)平行線的判定得到結論.

【詳解】

（1）解：①如圖2所示：

圖2

②在（1）中的步驟（b）中，折紙實際上是在尋找過點尸的直線”的垂線.

故答案為垂；

（2）證明：BE平分/ABC,CF平分/BCD（已知），

二/1=/2,Z3=Z3（角平分線的定義），

AB//CD（已知）,

:.ZABC=ZBCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

/.2Z2=2Z3（等量代換），

,-.Z2=Z3（等式性質），

；.BE//CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【點睛】

本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合

了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結

合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行線的性質與

判定.

13.（1）；（2）①；②.

【分析】

（1）依據(jù)角平分線的定義可求得，再依據(jù)角的和差依次可求得和，根據(jù)鄰補角

的性質可求得結論；

（2）①根據(jù)角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根據(jù)比例關系可得，最

解析：（1）ZAOE=90。；（2）①ZAOE=80。；②NAOE=（120-駟）。.

n+1

【分析】

（1）依據(jù)角平分線的定義可求得NCOD=30。，再依據(jù)角的和差依次可求得NEOC和

NBOE,根據(jù)鄰補角的性質可求得結論；

（2）①根據(jù)角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根據(jù)比例關系可得最后依

據(jù)角的和差和鄰補角的性質可求得結論；

②根據(jù)角相等和角的和差可得NEOC=NBOD,再根據(jù)比例關系可得NBQD,最后依據(jù)角的

和差和鄰補角的性質可求得結論.

【詳解】

解：（1）.?0。平分ZBOC=NEOD=GO°,

ZCOD=-ZBOC=30°,

2

ZEOC=Z.EOD-Z.COD=30°,

Z.BOE=ZEOC+NBOC=90°,

ZAOE=180°-Z.BOE=90°；

（2）①,二Z.BOC=Z.EOD,

：.ZEOC+ZCOD=ZBOD+ZCOD,

/.ZEOC=ZBOD,

Z.BOC=60°,ZCOD:NBOD=1:2,

ZBOZ）=60°x-=40°,

3

/EOC=NBOD=40°,

ZBOE=ZEOC+ZBOC=100°,

ZAOE=180°-ZBOE=80°；

②NBOC=NEOD,

ZEOC+ZCOD=ZBOD+ZCOD,

ZEOC=ZBOD,

/ZBOC=6Q°,ZCOD:ZBOD=l:nf

ABOD=60°x,

n+1n+1

：.ZEOC=ZBOD=(-^-)°,

n+1

NBOE=ZEOC+ZBOC=(里電+60)°,

n+1

ZAOE=180°-ZBOE=(120--^)°.

n+1

【點睛】

本題考查鄰補角的計算，角的和差，角平分線的有關計算.能正確識圖，利用角的和差求

得相應角的度數(shù)是解題關鍵.

14.(1),；(2)15秒或63秒；(3)不發(fā)生變化，

【分析】

(1)利用非負數(shù)的性質解決問題即可.

(2)分三種情形，利用平行線的性質構建方程即可解決問題.

(3)由參數(shù)表示，即可判斷.

【詳解】

解析：(1)a=4,b=l；(2)15秒或63秒；(3)不發(fā)生變化，3NBAC=4NBCD

【分析】

(1)利用非負數(shù)的性質解決問題即可.

(2)分三種情形，利用平行線的性質構建方程即可解決問題.

(3)由參數(shù)t表示ZZMC,NBCD即可判斷.

【詳解】

解：⑴卜-蝴+(4+6-5)2=0,

(a-4b=0

"[a+b-5=0,

。=4,b=l；

(2)設A燈轉動/秒，兩燈的光束互相平行，

①當0</<45時，

4,=(45+r)xl,

解得r=15；

②當45Vt<90時，

4f-180=180-(z+45),

解得f=63；

③當90<f<135時,

4r-360=r+45,

解得f=135,(不合題意)

綜上所述，當t=15秒或63秒時，兩燈的光束互相平行；

(3)設A燈轉動時間為/秒，

-ZCAN=180°-4t,

ABAC=60°-(1800-4f)=4z-120°,

又:PQ//MN,

ZBCA=ZCBD+ZCAN=f+180°-4f=180°-3f,

而ZACD=90°,

NBCD=90°-NBCA=90°-(180°-3f)=3t-90°,

:.ZBAC:ZBCD=4:3,

即3ZBAC=4ZBCD.

【點睛】

本題考查平行線的性質和判定，非負數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用

參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

15.(1)①見解析；②；見解析(2)①NAFG+NEDG=NDGF；②NAFG-

ZEDG=ZDGF

【分析】

(1)①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)DEIIAB,DFIIAC,可得

NEDF+ZAFD=180°,Z

解析：(1)①見解析；②；見解析(2)①NAFG+NEDG=NDGF；②NAFG-

ZEDG=NDGF

【分析】

(1)①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)。日MB,DFIIAC,可得NEOF+NAFD=180。，

ZA+NAFD=180°,進而得出NEDF=4A;

(2)①過G作G川IAB,依據(jù)平行線的性質，即可得到

ZAFG+NEDG=NFGH+ZDGH=ZDGF；②過G作GHIIAB,依據(jù)平行線的性質，即可得到

ZAFG-NEOG=NFGH-NDGH=ZDGF.

【詳解】

解：(1)①如圖，

卻

②DEWAB,DFWAC,

:.NEDF+NAFD=180°,ZZ\+ZAFD=180°,

ZEDF=NA；

(2)①NAFG+NEDG=NDGF.

如圖2所示，過G作GHIIAB,

■，->4811DE,

：.GHWDE,

：.ZAFG=NFGH,