冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及例題講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

一、幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)叫做塞函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)

二、幕函數(shù)的圖像三、然函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)tz>0時(shí)，塞函數(shù)y=x0在(0,+oo)上

是，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像是向下凸的；

當(dāng)時(shí)，圖像是向上凸的，

恒過點(diǎn);

當(dāng)。<0時(shí)，嘉函數(shù)y=x0在(0,+co)上

是.

恒過點(diǎn).

解析式y(tǒng)=xy=x2y=x3y=y=x~21

y=x2

圖像

類型一：褰函數(shù)的定義

1.函數(shù)1)/口-3為累函數(shù)(。為常數(shù))，且在(0,+00)上是減函數(shù)，則。=

2.易函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-2,-則滿足了(勸=27的x的值是

8

類型二：然函數(shù)的性質(zhì)

3.(1)(多選)設(shè)ae{-Ll,g,31,則使函數(shù)y=/為奇函數(shù)且定義域?yàn)镠的所有a的值為()

A.-1B.1C.0.5D.3

(2)(多選)若籍函數(shù)/(%)=(租？+小一在?+8)上單調(diào)遞增，貝!J()

A.m=3B./(—I)=1C.m=-4D./(—I)=-1

232

4.設(shè)a=j,c=U'則的大小關(guān)系是

5.已知函數(shù)/（x）=x2,給出下列命題：其中，所有正確命題的序號(hào)是.

①若X＞1則/＞（X）＞1;

②若0＜西＜々，則/（＞2）-/（石）〉々一七；

③若o＜%＜%，則々/a）＜西/（々）；

④若0＜%＜々，則/（西）；/區(qū)）＜/產(chǎn)產(chǎn)］

6.已知函數(shù)/（x）=%2,且/（2x-l）＜f（3x）,則x的取值范圍是.

7.下列命題中正確的是（）

A.當(dāng)々=0時(shí)，函數(shù)y=x"的圖象是一條直線

B.募函數(shù)的圖象都經(jīng)過（0,0）,（1,1）兩點(diǎn)

C.募函數(shù)的＞=/圖象不可能在第四象限內(nèi)

D.若募函數(shù)＞=x為奇函數(shù)，則在定義域內(nèi)是增函數(shù)

補(bǔ)充練習(xí)：

一、單選題：在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（）

A.y—In%B.y—exC.y—x3D.y=-

2.已知募函數(shù)/（%）的圖象過點(diǎn)（2,/2）,則/（8）=（

A.2B.2V_2C.2<3D.4

3.已知募函數(shù)/(%)的圖象過點(diǎn)(2,?),則函數(shù)y=/(/+2%)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(—00,—2)B.(—co,—1)C.(0,+oo)D.(1,+oo)

4.設(shè)a=log?%b=(|)3,c=(|)2,貝ij()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

5.已知函數(shù)人（%）=a*,七（%）=%%/3（%）=log。％（其中a>0且aA1）,在同一坐標(biāo)系中畫出其中兩個(gè)

函數(shù)在第一象限內(nèi)的大致圖像，其中正確的是（）

二、多選題：在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

6.已知點(diǎn)2(尤1，%),3(%2，、2)(0<久1<%2)，若已函數(shù)f(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9,3),則()

A.%1+/(久1)<%2+/(%2)B.久1一/(久1)<%2-/(%2)

C.<%27(%2)D.%27(久1)<%"(%2)

7.下列有關(guān)命題的說法正確的是()

A.“菱形都是軸對(duì)稱圖形”是全稱量詞命題

B.命題“任意一個(gè)募函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點(diǎn)”是真命題

C.命題“三％ER,x2—4x+3<0"是真命題

D.若p是q的充分不必要條件，q是r的充要條件，則r是p的必要不充分條件

8.已知嘉函數(shù)/(久)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),貝女)

A.函數(shù)/(%)為增函數(shù)

B.當(dāng)％>4時(shí)，/(%)>64

C.函數(shù)/(%)為偶函數(shù)

D.V"如"久"”>/(用

三、填空題：

9.寫出一個(gè)募函數(shù)/(%)的解析式，使之同時(shí)具有以下三個(gè)性質(zhì)：①/(%)定義域?yàn)閧為|久00};②/(久)是偶

函數(shù)；③當(dāng)%>1時(shí)，0</(%)<1.則函數(shù)/(%)的解析式為.

10.黑函數(shù)/(%)滿足下列性質(zhì):(。對(duì)定義域中任意的%,有/(%)=/(—%);(2)對(duì)(0,+8)中任意的的,

久2(久1^久2)，都有(%2-久1)(/(%2)-/(久1))<0，請(qǐng)寫出滿足這兩個(gè)性質(zhì)的一個(gè)募函數(shù)的表達(dá)式

/(%)=?

四'解答題：本題共2小題，共24分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

11.已知募函數(shù)/(%)=(m2+m—l)xm+1(meZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(1)求TH的值及函數(shù)/(%)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=/(%)-4%+5,求。(%)在區(qū)間［1,4］上的值域.

12.已知函數(shù)/(%)=-(a-2)x2+(Z?-8)x+c—l(x6R).

(1)如果函數(shù)/(%)為募函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a、b、c的值；

(2)如果a>0、b>0,且函數(shù)/(%)在區(qū)間倬,3］上單調(diào)遞減，試求ab的最大值.

補(bǔ)充練習(xí)答案

1.【答案】C

【解答】

解：4函數(shù)y=Inx的定義域?yàn)?0,+8),值域?yàn)镽；

B.函數(shù)y=/的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8)；

C.函數(shù)y=/的定義域?yàn)镽,值域?yàn)檎?/p>

D.函數(shù)y=:的定義域?yàn)閧K|X豐0},值域?yàn)閧y|y豐0},

故選：C.

2.【答案】B

【解答】

解：設(shè)幕函數(shù)/(%)=xa,

由于函數(shù)/O)的圖象過點(diǎn)(2,

___11

所以/攵=2%則a=了所以/(x)=X2,

則/⑻=出=2c.

故選：B.

3.【答案】A

【解答】

解：由題可設(shè)f(x)=xa,因?yàn)閒(X)的圖象過點(diǎn)(2,好)

1

--

所以2。=(，解得a=X2

故/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

11

則函數(shù)y=/(x2+2%)=(x2+2%)-2=

Vxz+2x

由％2+2%>0,解得％<一2或久>0,

則函數(shù)y=/+2%在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)丁=/(7+2%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,-2).

故選：A.

4.【答案】D

【解答】

解：1y=log2%是增函數(shù)，

1

???a=log2z<log2l=0,

x1

?是減函數(shù)，y=在(0,+8)上是增函數(shù)，

1

/1\31111

b={2)>(7>(V=C>°

a<c<b

故選：D.

5.【答案】C

【解答】解：對(duì)于4,其中指數(shù)函數(shù)圖象遞增，其底數(shù)應(yīng)大于1,而募函數(shù)的指數(shù)應(yīng)小于0,故A不對(duì)；

對(duì)于B,其中指數(shù)函數(shù)圖象遞增，其底數(shù)應(yīng)大于1,而對(duì)數(shù)函數(shù)圖象遞減，其底數(shù)小于1,故8不對(duì)；

對(duì)于C,其中基函數(shù)的圖象遞增，遞增的越來越快，基函數(shù)的指數(shù)大于1,而對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)也大于1,故C對(duì)；

對(duì)于D,其中暴函數(shù)的圖象遞增，遞增的越來越快，指數(shù)函數(shù)的圖象遞減，故事函數(shù)的指數(shù)應(yīng)大于1,而指數(shù)函數(shù)的底數(shù)

小于1,矛盾，故。不對(duì).

故選C.

6.【答案】AC

【解答】

解：力選項(xiàng)，設(shè)/1(%)=xa,將點(diǎn)(9,3)代入可得9a=3,

11

解得a=5，貝"(刀)=久2,

因?yàn)?(久)和函數(shù)y="在(0,+8)上都單調(diào)遞增，

1

所以函數(shù)y=%+他在(0,+8)上單調(diào)遞增，/+/(%i)V牝+/(%2)，故A正確；

8選項(xiàng)，函數(shù)y=汽一，V=一在(0,3)上單調(diào)遞減，在弓,+8)上單調(diào)遞增，

故%1-7(%1)與%2-/(%2)的大小不確定，故B錯(cuò)誤；

3

C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)y=x/(x)=在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以久<%27(%2)，故C正確；

O選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)y=與=在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以62>?2,則不/(的)>//(%2)，故。錯(cuò)誤.

X1x2

故選：AC

7.【答案】ACD

【解答】

解：對(duì)于力中，“菱形都是軸對(duì)稱圖形”即“所有菱形都是軸對(duì)稱圖形”，含全稱量詞“所有”，則“菱形都是軸對(duì)稱

圖形”是全稱量詞命題，故A正確；

對(duì)于B中，由暴函數(shù)y=：的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，所以2錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，當(dāng)x=2時(shí)，可得/-4x+3=-1<0,所以C正確;

對(duì)于。中，由p是q的充分不必要條件，即p今q,q冷p,

又由q是r的充要條件，即qor,

所以r是p的必要不充分條件，所以D正確.

故選：ACD.

8.【答案】CD

【解答】

解：設(shè)幕函數(shù)的解析式為/(無(wú))=xa{aeR),

因?yàn)楸┖瘮?shù)/(%)的圖象過點(diǎn)(2,4),可得2a=4,

解得a=2,

即f(x)=x2,

所以函數(shù)"X)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/'(一X)=(一%)?=X2=/(%),

所以函數(shù)/(無(wú))為偶函數(shù)，故c正確；

〃久)在[0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減，所以A錯(cuò)誤；

當(dāng)x》4時(shí),

可得久2:42=16,所以8錯(cuò)誤；

當(dāng)VX1十七時(shí)，

f01)+f(X2)_/(叼+%

=/2_(巧+

22

X]+%2—2%]%2

二4

=to)!>0,

4

所以以半絲>f(也產(chǎn))，所以。正確.

故選：CD.

9.【答案】f(x)=x-2(答案不唯一)

【解答】

解：取函數(shù)/'(久)=久-2,定義域?yàn)閧刈％40},

且/1(-X)=x-2=f(x),故f(x)是偶函數(shù),

當(dāng)x>1時(shí)，滿足0</(x)<1,

故/(X)=X-2滿足條件，

故函數(shù)f(x)的解析式可以為/(久)=X-2

10.【答案】h2(答案不唯一)

【解答】

解：對(duì)于基函數(shù)/(X)=xa,

因?yàn)閷?duì)定義域中任意的X,有/(久)=〃-久)，

故/'(X)是偶函數(shù)，故a可取偶數(shù)；

xX

又對(duì)(0,+8)中任意的與，x2(l*2)'都有(%2-％1)(7(X2)＜。，

則/1(%)在(0,+8)遞減,故a＜0,

綜上，可取a=-2,即/(久)=%-2

11.【答案】解：⑴因?yàn)?(X)=(/+771-1)久m+l(7M€Z)為幕函數(shù)，

所以根2+m—1=1,

解得m—1或m=-2,

當(dāng)TH=1時(shí),/(X)=X2,

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，符合題意；

當(dāng)?71=-2時(shí)，/(X)=X-1,

函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意；

綜上可得?n=l,/(x)=%2；

(2)因?yàn)間(x)=/(x)—4x+5,xG［1,4］＞

所以g(久)=x2-4x+5=(x-2)2+1,

所以g(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，

在［2,4］上單調(diào)遞增，

又g(2)=1.g(l)=2,