2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：弦中點(diǎn)與第三定義（點(diǎn)差法）

專題10圓錐曲線——弦中點(diǎn)與第三定義（點(diǎn)差法）

■93：XTXftiWW

橢圓垂徑定理：已知A,B是橢圓工+

2點(diǎn)，且弦不平行》軸，M為線段

a1

AB中點(diǎn)，則有人.”一1

乃+

證明（點(diǎn)差法）：設(shè)4（%，乂），5（12，%），則MX]+x2y2

22

"+為乃,,22

kJ—必一方2

,^AB-，K/B-KOM_22

Xj

再+%2—X2

VA,B在橢圓上，代入A,B坐標(biāo)得

2222

工+『o工+止=1②

/b2/b2

22222

西-x必一打2b2

兩式相減得:2」+-=0,整理得

12221

ab$-x2a

..._按一

■2-i

??KAB'KOM=—一2~e

a

【思考】

①橢圓焦點(diǎn)在y軸上時，結(jié)論是否仍然成立？；②在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？

x+x

設(shè)4(%,乂)，B(x,y),則xx2

2222

22

仍有心^花'配

y一%k-kJ—乃

^AB^OM22

xx-x2再一天

22

Xy_

L=1上，代入A,B坐標(biāo)得

a2

4=i

①②

a

.22222

Xy—X,一%a

,2,Ji-y2整理得K

22222

bax1-x2b

a2

b2

可以看到，這一等式建立了二次曲線弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系式.也就是說，已知弦的中點(diǎn)，可

求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中點(diǎn)坐標(biāo).同時也不難得出這樣的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)題目問題涉及到弦的斜率與

弦的中點(diǎn)時，就可以考慮“點(diǎn)差法諸如求中點(diǎn)弦的方程，弦中點(diǎn)的軌跡，垂直平分線等等，這些都是較

為常見題型.

那么點(diǎn)差法是不是只能解決同時與中點(diǎn)和斜率有關(guān)的問題呢？其實(shí)不然.其實(shí)點(diǎn)差法的內(nèi)核還

是“設(shè)而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線上兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)和差之間的聯(lián)系，這其實(shí)也

是第三定義的體現(xiàn).

第三定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)4(-a,0),43,0)的斜率乘積等于常數(shù)e?-1的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或

雙曲線(不含兩個頂點(diǎn)).其中兩定點(diǎn)分別為橢圓或雙曲線的頂點(diǎn).當(dāng)常數(shù)大于一1小于0時為橢圓，此

時/-1=——-；當(dāng)常數(shù)大于0時為雙曲線，此時e~—1=).

aa

【第三定義推廣工平面內(nèi)與兩個關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)A(jn,n),B(-m,-n)的斜率乘積等于常數(shù)

b2

/9—I的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線.當(dāng)常數(shù)大于一1小于0時為橢圓，此時71=—_當(dāng)常數(shù)大

于0時為雙曲線，此時/一1=不

22

【證明】48是橢圓=+4=l(a>b>0)上的一組對稱點(diǎn)，尸為橢圓上任意點(diǎn)，則有

b~

證明(點(diǎn)差法)：設(shè)。(國,乂)，A(x2,y2),B(-x2,-y2),

VP,A在橢圓上，代入坐標(biāo)得

22222272

兩式相減得：—+—=0,整理得好多=-"

法二：通過橢圓的垂徑定理轉(zhuǎn)換中點(diǎn)弦和第三定義本質(zhì)上是一樣的

b2

k.k—k.k

rvrvrv=e'-1

PA、PBOMPBa2

【思考1】在雙曲線中是否有類似的性質(zhì)？

設(shè)。（x，y）,/（X2，”），B（—%，—”），

22

__y^=i①

a2b2

22

"b2

2_22_22_2/2

兩式相減得：'二工」二」整理得"，一匕，=二

abX1一％Q

??kPA-kPB—kPB-k（

Q

商考真題?回顧

2022年全國甲卷（理）T10——第三定義

22

1,橢圓C:\+==l（a>6>0）的左頂點(diǎn)為/,點(diǎn)尸，0均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若直線/P,4。的斜

ab

率之積為!，則。的離心率為（）

4

A.—B.—C.7D.-

2223

【答案】A

2122

【分析】設(shè)尸（項,“），則。（一再,,），根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得—2=再根據(jù)1+4=1,將必

；

-X+a4ab

用占表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

【詳解】［方法一］:設(shè)而不求

設(shè)尸（再，姓）,則。（一再,必）

則由心得：如血°=七.七

22

一再+CL4

22

由下｝=1，得必2

“（。~一婷）/1

所以―/一_1,即勺

----2=~a4

—X]+Q4

所以橢圓C的離心率0=￡=、1^=@,故選A.

a\a22

［方法二］:第三定義

設(shè)右端點(diǎn)為B,連接PB,由橢圓的對稱性知：kPB=-kAQ

故kAP?kAQ=kPA-(-kpB)=,

由橢圓第三定義得：kPA-kPB=

a

44

所以橢圓。的離心率e=￡=Jl-《=e,故選A.

a\a22

2023全國乙卷?理11?文12

2.設(shè)，，8為雙曲線/-1=1上兩點(diǎn)，下列四個點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得七/左=9,對于A、B、D:通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個數(shù)，逐項分析判斷；對

于C:結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)/（王,/）,25,%）,則AB的中點(diǎn)”［網(wǎng)，必,

可得3g4七=一

xx-x2石+%2玉+X2

一2一

2

1

%-1

9一

-o

因?yàn)?3在雙曲線上，貝卜2

1

292-1

所以％?左=",々=9.

X]-x2

對于選項A:可得k=l,kAB=9,則48:歹=9x—8,

y=9x-8

聯(lián)立方程Vv2,消去歹得72f—2X72X+73=0,

X2—=1I

9

此時A=（—2X72）2-4X72X73=-288<0,

所以直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯誤；

995

對于選項B:可得上=_2,后科=_萬，則=_QX_Q

95

片——x—

22

聯(lián)立方程《2,消去y得45M+2x45x+6l=0,

X2-匕=1

9

此時A=(2x45)2-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯誤；

對于選項C:可得左=3,您8=3,貝"48:歹=3x

由雙曲線方程可得。=1,6=3,則Z5:歹=3x為雙曲線的漸近線，

所以直線48與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯誤；

997

對于選項D:k=4,k=-,則48:歹二二1一二，

AB444

（97

y=—x——

44

聯(lián)立方程<2，消去V得63Y+126X—193=0,

丫2y-1

[9

此時A=1262+4X63X193>0,故直線48與雙曲線有交兩個交點(diǎn)，故D正確

2022?新高考II卷T16——弦中點(diǎn)

22

3.已知直線/與橢圓-+2=1在第一象限交于48兩點(diǎn),/與x軸，y軸分別交于M,N兩點(diǎn),

\MA^NB\,\MN^273,則/的方程為.

【答案】x+Cy-2亞=0

【分析】令的中點(diǎn)為￡,設(shè)/（國,乂），8（%,%）,利用點(diǎn)差法得到七￡?￡?=-]設(shè)直線N8：=kx+m,

k<0,m>0,求出M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)求出左、m,即可得解；

【詳解】[方法一]:弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法

令48的中點(diǎn)為E,設(shè)/（國,%），8卜2，%）,利用點(diǎn)差法得到左OE?&B=-g,

設(shè)直線=H+加，k<0,m>0,求出M、N的坐標(biāo)，

再根據(jù)求出左、m,即可得解；

解：令45的中點(diǎn)為因?yàn)閨M4|=|AW|,所以|"E|=|NE|,

2222

設(shè)4（芯,必），3（入2/2）,貝+^—=1,-^―+-^―=1,

6363

2222（占一9）（再+%）?

所以工-2+里_江=0,即=0

663363

折以5+%）5一％）11一

-,即koE，kB=_、，設(shè)直線=+加，k<0,m>0,

（一一《）（國+》2）A

mI

令無=0得了=加，令y=o得了=一不，即M[一?,0,N（O，M,

所以￡

m

gp^x-2-=-l解得左=_也或左=1（舍去）,

__rn_222

~2k

5L\MN\=2A/3,即|ACV|=J機(jī)2+(也"，=26，解得加=2或機(jī)=-2(舍去),

5

所以直線/3:y=-券x+2,即尤+貶了一2亞=0:

故答案為：x+岳-2后=0

［方法二］:直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法

解：由題意知，點(diǎn)E既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn),

設(shè)/(xQi),B(x2,y2),設(shè)直線/8：>=b+"jk<0,m>0,

則"—十,(),N(0，M，E,因?yàn)閨AW|=2括，所以|。同=石

y=kx+m

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得■x2y2消掉y得(1+2左2)，+4mH+2加之一6=。

—+—=1

[63

其中A=(4加左￥-4(1+2左2)(2加2一6)>0,玉+x2二一］彳；：2,

**?AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)％E=-，黑2,又"I，*e*XE2mk_m

l+2kI2左2J\+2k2~~2Jc

,：k<0,m>0,：.k=-—,^\OE\=J(-—)2+(—)2=V3,解得m=2

211V2^2

所以直線=—當(dāng)x+2,即尤+貶了一2亞=0

重點(diǎn)題型?歸類精

題因O中點(diǎn)弦

人教A版(2019)選擇性必修第一冊習(xí)題3.1P14

Y2v2

I,已知橢圓二+2=1,一組平行直線的斜率是3一.

492

(1)這組直線何時與橢圓相交？

(2)當(dāng)它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上.

答案(1)直線與橢圓相交.(2)這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)均在直線3x+2y=0上.

3322

解析設(shè)這組平行線的方程為V=+〃7d巴V=5X+加代人橢圓方程上+匕=1,

2249

得9x2+6加x+2加2_18=0，其根的判別式A=36"，一36(2m2-18).

(1)由A>0,得-3也〈加<3a.所以當(dāng)這組直線在了軸上的截距的取值范圍是卜3四,3垃)時，直

線與橢圓相交.

⑵設(shè)直線V=TX+加被橢圓截得的線段的中點(diǎn)為M("),則X=,其中X],X2是方程

9x2+6mx+2m2-18=0的兩個實(shí)數(shù)根.聯(lián)立V=}+加和x=-g?，消去川，得3x+2〉=。.因此當(dāng)這組

直線與橢圓相交時，這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)均在直線3x+2y=0上.

2.給定雙曲線X?-匕=1,過點(diǎn)尸。，1)能否作直線沉,使加與所給的雙曲線相交于/、B兩點(diǎn),且尸是線

4

段的中點(diǎn).這樣的直線如果存在，求出它的方程，如果不存在.說明理由。

分析：點(diǎn)差法解出y=2x-l.但是將代人雙曲線方程得一元二次方程2——4X+3=0,此方程無實(shí)根，故

滿足題設(shè)的直線不存在。

這種題型只要給出曲線方程，和一個定點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法肯定能計算出以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的直線方程。但

是如果忽視對判別式的考察.將得出錯誤的結(jié)果.所以解題時一定要注意點(diǎn)差法的不等價性，即考慮判別

式大于零。

同時由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)尸的位置非常重要。

(1)若中點(diǎn)P在圓錐曲線內(nèi)。則被點(diǎn)P平分的弦一般存在；

(2)若中點(diǎn)肘在圓錐曲線外.則被點(diǎn)尸平分的弦可能不存在.

3.已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為4的橢圓被直線/：y=x+3截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一2,則此橢

圓的方程為（）

%2/

——+—=1B.——+^—=1C.—+=1D+=1

426284-HT

【答案】C

22

【詳解】解:由題設(shè),若橢圓方程為5+%=1（a>6>0）,

令直線/與橢圓交點(diǎn)分別為4口,%）,3（9%）,

22222_22_2

則有烏+與=1①,q+與=1②，兩式作差可得：五書=江聲，

ababab

即%H.%+必=一勺,易知，弦的中點(diǎn)（―2,1）,所以必+歹2=2,再+工2=-4,

x2-X]%+再a

因?yàn)橹本€/：y=x+3,所以舄8=1,故左_1=一口,所以與=_1,

-2a1a22

又。=2,1-62=4,解得62=4,/=8,故石的方程為《+/_=1.

84

22

4,已知斜率為左的直線/與橢圓C:土+匕=1交于A,3兩點(diǎn)，線段43的中點(diǎn)為河（1,加）（加>0）,那么左

43

的取值范圍是（）

7117171

A.k<——B.——<k<—C.k>—D.k<——,或左〉一

222222

【答案】A

3

【解析】先設(shè)，（國,必），5（%2，歹2）,再由點(diǎn)差法求出左=--，再由點(diǎn)加〉0在橢圓內(nèi)，求出冽的

4m

范圍即可得解.

【詳解】解：設(shè)/（再,%），B（x2,y2）,

22

又點(diǎn)A,3在橢圓C：土+幺=1上，

43

2222

則工+匕_=1,遼+紅=1

4343

兩式相減可得：,r）①+9+（必-%）5+%）=0

43

又上二――,玉+%=2,y+%=2nl

,3x.+x3

貝k=-----------?=---,

4yx+y24m

又點(diǎn)M（l,加）,加〉0在橢圓內(nèi)，

1m2i

則nl一+——<1,

43

31

則0<冽<—,所以左<——

22

2023屆?安徽省“江南十校”3月一模

22

5.已知直線/與橢圓￡：5+5=1（。>6>0）交于兩點(diǎn)，線段跖V中點(diǎn)尸在直線產(chǎn)-1上，且線段ACV

ab

的垂直平分線交工軸于點(diǎn)《,o],則橢圓E的離心率是.

【答案】q

2

【分析】利用點(diǎn)差法證明二級結(jié)論&W?左o尸=-勺，再結(jié)合既W?左PQ=-1,則兩式相比可得管■=[■,即

a^PQa

%

/_b

%—示,代入/=T即可求出離心率.

3

xo+4

【詳解】設(shè)M（X],必）,N（X2，%）,尸（%,%）,其中/=-1,顯然點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，

記坐標(biāo)原點(diǎn)為。，直線/，?！?，尸。的斜率分別為Kw，自/>，原°,易知三條直線斜率均存在，

’一+左=1

又f’,兩式相減整理可得之母小

名只a（項+%2）（再一%）2%

T+7T=1

〔ab

即左腦V,左0尸=一勺，又如N,女尸0=-1,所以兩式相比可得=4,

a%a

A

/b22______

即1^=/，代入x°=T,整理可得土=L所以離心率e=￡=3

------ja4a\a2

%+彳

2023?重慶巴蜀中學(xué)適應(yīng)性月考（六）

22

6.已知雙曲線彳-方=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為4，F(xiàn)2,過耳作直線/與雙曲線的左、右兩支分

別交于a2兩點(diǎn)，設(shè)尸為線段的中點(diǎn)，若|OP|=|尸用=乎閨閶，則雙曲線的離心率

為.

【答案】28/2立

33

【分析】由|0尸|=|%=。耳周可得點(diǎn),求得岫,心，由點(diǎn)差法得以。=0=e?一1,可求得離心

率.

【詳解】

如圖:耳（-c,O）,&（c,O）,由|0尸閆明=乎閨用=圣,|四=c,可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

則直線0P斜率為七?=1,直線45斜率為k=kpF、=—^-

AB3

-+c

2

另一方面，設(shè)，（再/J,*%，%），則，

兩式相減得亡反

a

b62*5痂b21

即F故Fb=—

k^kpo=2

/a3

22

7.已知橢圓3+斗=1（。＞6＞0）的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)尸（。,0）僅＞。）和點(diǎn)A,直線/:6x-5y-28=0

ab

交橢圓于尸，。兩點(diǎn)，若尸恰好為△4P0的重心，則橢圓的離心率為（）

A.—B.—

23

c由n2石

55

【答案】C

【分析】由題設(shè)P（c,0）,/（0,b）,利用尸為△/尸。的重心，求出線段尸0的中點(diǎn)為將3代入直

線方程得％-28=0,再利用點(diǎn)差法可得2/=5bc,結(jié)合力=從+02,可求出“，仇c,進(jìn)而求出離心率.

【詳解】由題設(shè)尸（c,O）,/（O,6）,尸（玉，必）,。（馬,了2）,則線段尸0的中點(diǎn)為,

3c

由三角形重心的性質(zhì)知N=2屈，即?-6）=2（%-c,%）,解得：/=萬,%=-/b

即代入直線/:6x-5y-28=0,得9c+日一28=0①.

又8為線段尸。的中點(diǎn)，則Xj+x2=3c,必+y2=-b,

又尸，。為橢圓上兩點(diǎn)，4+小信+專一

以上兩式相減得（為+%）瓜一龍2）+（乂+%）"一%）=0,

ab

b1x+xb23c6

_*x____9—___x__—_

所以kPQ=-"一%化簡得2/=56c②

2

xx-x2%+%?-b5

2023?福建廈門二模

22

8.不與x軸重合的直線/過點(diǎn)N（/,0）（WO）,雙曲線C：三-4=1（。＞0,6＞0）上存在兩點(diǎn)4B

ab

關(guān)于/對稱，中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為功.若為=4均，則C的離心率為.

【答案】2

【分析】由點(diǎn)差法得左0M,結(jié)合k1kAB=_\得k0M=Q_。2）匕,代入斜率公式化簡并利用=4x”可

求得離心率.

【詳解】設(shè)/（石,必）,3（工2，%）也（如,加）,

22

再必

=1222

/b2,兩式相減得父-%一%

則＜y2

22222

%2歹2aabb'

（X「X2）（X|+X2）（乂+%）（乂一%）

即

a2b2

（%一%）5+為）：："

即

（X1_%2）（玉+12）q2，

b2

所以kOMkAB=

a

2

因?yàn)?是ZB垂直平分線，有桃二-1,所以k°M=（l~e）klf

a=2y[5

即名￡=（1一e?）.9化間得=故e=2①②及/=廿+^,解得：＜6=4,即離心率

XX

M，N

c=2

湖北省八市2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考

9.已知拋物線/=2pxS>0)的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線與該拋物線交于42兩點(diǎn)，以4=5及，”的中點(diǎn)

縱坐標(biāo)為血，則夕=.

【答案】20或立

2

【分析】由題可設(shè)直線48的方程為x=+,/(國,%),8仁,為)，與拋物線聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，根

據(jù)相交弦長公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得P的值.

【詳解】拋物線/=2.(〃>0)的焦點(diǎn)尸。,0)設(shè)直線ZB的方程為苫=叼+日，/(不,必),8(和%),

所以七匹=收，則%+%=2&,

_p_

聯(lián)立<x叼+2,消去X得：y2_2pmy_p2=0,A=(—2p加J—4x(—p2)=4p?加2+彳夕？〉0,恒成立，

y2=2px

所以必+%=2p九%%二一)?，所以2pm=2也，則加=——

P

又\AB\=J1+加之?_%|=J1+加2

整理得：222+：-17=0,所以12夕一，［］夕一%［=0,解得夕=2a或

題園昌第三定義

課本習(xí)題

10.設(shè)4,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線/M,8W相交于點(diǎn)〃.

4

(1)若直線與5M的斜率之積是-可，求點(diǎn)〃的軌跡方程.

(2)若直線與5M的斜率之積是求點(diǎn)〃的軌跡方程

9

【答案】(D點(diǎn)M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點(diǎn)的橢圓石十畫=l(x*±5)

~9~

【分析】

分析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),那么直線/血f,5M的斜率就可用含x,V的關(guān)系式分別表示.由直線

4

AM,9的斜率之積是可得出工,)之間的關(guān)系式，進(jìn)而得到點(diǎn)M的軌跡方程.

【解析】

設(shè)點(diǎn)V的坐標(biāo)為(xJ),因?yàn)辄c(diǎn)力的坐標(biāo)是(-5,0),所以直線4〃的斜率3放二-J(xw-5)同理，直線BM

x+5

的斜率演〃=-J(%w5)

X-J

由已知，有歹x一一=—(xw±5)

x+5x-59

22

二+2_=1行工+5)

化簡，得點(diǎn)M的軌跡方程為25世1

.?.點(diǎn)M的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點(diǎn)的橢圓.

(2)同理可得」LX=_=3(XW±5)

x+5x-59

22

二—―=

l(xw+5)；

化簡，得點(diǎn)〃的軌跡方程為25100~1

~9~

???點(diǎn)〃的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點(diǎn)的雙曲線.

22

11.已知雙曲線G：二-匕=1的左、右頂點(diǎn)分別為48,拋物線C2：「=4x與雙曲線q交于C,D兩點(diǎn)，記

直線NC,8。的斜率分別為左,內(nèi)，則左人為.

【答案】二

2

【分析】利用對稱性可得的C?心0=-3c&c,再設(shè)C(x0,九)結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程計算.

【詳解】由題意4-2道,0）,3（2退,0）,由于雙曲線與G：/=4無都關(guān)于X軸對稱，因此它們的交點(diǎn)C,。

關(guān)于X軸對稱，所以左一心C,

丫2v21

設(shè)C（%o，y（））,K'J—=1,yl=~XQ—10,

ZXJ1u/

kAC.kBD=-kAckBC=-=-1.

故答案為：-L.

2

22

12.已知橢圓C:云+方=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E（-2,0）,F2（2,0）,A為橢圓C的左頂點(diǎn)，以電

為直徑的圓與橢圓C在第一、二象限的交點(diǎn)分別為M,N,若直線/M,/N的斜率之積為g,則橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

X22122

AB.二+匕=1cK

6295<4-

【答案】B

【分析】設(shè)出",N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組，求得。'2,b2,從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】設(shè)例（x0,%）,則N（-x。,外）,

22

迎+迎=1

a2b2

依題意,

%%就_1

XQ+a—XQ+aa~—xj3

a2-b2+c2-b2+4

解得/=6萬=2,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=1.

62

2024屆?湖北省騰云聯(lián)盟高三聯(lián)考（10月）

2222

13.已知A,B是橢圓1+[=1（.>6>0）的左右頂點(diǎn)，P是雙曲線「-5=1在第一象限上的一點(diǎn)，直線

ab"ab

PA,尸8分別交橢圓于另外的點(diǎn)M,N.若直線MN過橢圓的右焦點(diǎn)尸，且tan//MN=3,則橢圓的

離心率為.

2

【答案】f

【分析】由直線斜率公式結(jié)合點(diǎn)在曲線上可得與《=-算8=-左斯，從而求得|吹|,進(jìn)而結(jié)合正切的定義即可

求解.

【詳解】由題意可知8(。,o),

設(shè)尸(%,%),可得直線的斜率分別為怎4=」^,即B=」^,

XQ+tZXQ—Q

因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線上，則雪磐=1,整理得』———=:，所以kpA-kpB=l，

221PAps2

abx0-ax0+aaa

設(shè)點(diǎn)XU，M),可得直線M4,MB的斜率心=3^,kMB=^^t

/+Qxx-a

2272

因?yàn)辄c(diǎn)"(XQj在橢圓上，則與+咚=1,整理得工———=一二，

abxx-ax{+aa

k，k=

所以MAMB~~T,即kpA'kMB=-<,

aa

貝U既《=IPB=-kBN,所以直線A/S與NS關(guān)于x軸對稱，

又因?yàn)闄E圓也關(guān)于x軸對稱，且M,N過焦點(diǎn)尸，則MV_Lx軸，

又尸(c,0),^\\MF\=\NF\=—,

/八…/八，廠a+ca2+aca7+ac

..tanZAMN=tanZ.AMF=-z—==-----=3

所以Qb2a2-c2,

a

整理得3c2+4c-2q2=o,即3/+e—2=(3e-2/e+l)=0,解得e=g,或e=-l(舍去)，

7

所以橢圓的離心率為

2

故答案為：j.

y?

2023屆寧波二模T7——2條焦點(diǎn)弦平行

14.設(shè)橢圓「：二+與=1伍〉6〉0）的右焦點(diǎn)為6（C,O）,點(diǎn)/（3c,0）在橢圓外，P,0在橢圓上，且P

ab

是線段N。的中點(diǎn).若直線P。，P尸的斜率之積為-；，則橢圓的離心率為（）

1V2

A.-B.D.

223

【答案】B

A21

【分析】利用中點(diǎn)弦問題結(jié)合點(diǎn)差法可得—=—即可求離心率.

a22

【詳解】

如圖，取尸，。的中點(diǎn)為連