《用空間向量研究距離問題》同步學(xué)案(學(xué)生版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《用空間向量研究距離問題》同步學(xué)案情境導(dǎo)入1.空間中的距離包括哪些?提示:點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行直線以及兩個(gè)平行平面的距離.2.求解空間距離常用的方法有哪些? 提示:定義法,轉(zhuǎn)化法,等體積法和向量法.自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.點(diǎn)到直線的距離如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn).設(shè)AP=a,則向量AP在直線l在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=2.點(diǎn)到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則n是直線l的方向向量,且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此PQ=_________=________=預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.已知點(diǎn)A111,B-3A.4B.2C.4D.32.已知平面α的一個(gè)法向量n=-2-21,點(diǎn)A(-1,3,0)在α內(nèi),則點(diǎn)PA.10B.3C.8D.103.已知平面α//平面β,直線l?α,α與β之間的距離為d,有下列四個(gè)命題:①β內(nèi)有且僅有一條直線與l的距離為d;②β內(nèi)所有的直線與l的距離都等于d;③β內(nèi)有無數(shù)條直線與l的距離為d;④β內(nèi)所有直線與α的距離都等于d.其中真命題是()A.①B.②C.①④D.③④4.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點(diǎn)P到平面ABC的距離是()A.6B.6C.3D.3新知探究探究點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線之間的距離知識(shí)詳解1.點(diǎn)到直線的距離如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn)設(shè)AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量在RtΔAPQ中,由勾股定理,得PQ=|2.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線之間的距離的關(guān)鍵是在其中的一條直線上取一定點(diǎn),則該點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩條平行直線之間的距離.典例探究例1如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,有長方體ABCDA'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3,則點(diǎn)B到直線A'C的距離為______.變式訓(xùn)練1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是C探究點(diǎn)2點(diǎn)到平面、直線到平面、兩個(gè)平行平面的距離知識(shí)詳解1.點(diǎn)到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則n是直線l的方向向量,且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.因此2.直線到平面的距離如圖,設(shè)直線a//平面α,A∈a,B∈α,n是平面α的法向量,過A作AC?α,垂足為C因?yàn)锳B?所以|AB所以直線a到平面α的距離d=|AC3.兩個(gè)平行平面的距離如圖(1)用公式d=|AB?n||n|(2)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離或直線到平面的距離來求解.典例探究例2已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,變式訓(xùn)練2如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是平面AA.1B.2C.2D.3變式訓(xùn)練3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)E,F分別在(1)求證:EF//平面ABC(2)求直線EF到平面ABC1D變式訓(xùn)練4如圖,在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1易錯(cuò)易混解讀例如圖所示,在三棱錐S-ABC中,ΔABC是邊長為4的正三角形,平面SAC?平面ABC,SA=SC=23,M,N分別為AB,SB的中點(diǎn),求點(diǎn)B到平面CMN課堂檢測(cè)1.已知直線l過定點(diǎn)A231,且方向向量為n=(0,1,1),則點(diǎn)PA.3B.2C.10D.22.兩平行平面α,β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A211,且兩平面的一個(gè)法向量為nA.3B.2C.3D.33.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直,且滿足PA=PB=PC=1,則點(diǎn)P