尺規(guī)作圖的教學(xué)分析

/[初中數(shù)學(xué)論文]尺規(guī)作圖的教學(xué)分析尺規(guī)作圖以嚴密的邏輯推理，成為數(shù)學(xué)教學(xué)中獨具一格的教學(xué)內(nèi)容，由于其獨特的知識結(jié)構(gòu)，多年來在初中教學(xué)中未有深入的涉與和研究，對學(xué)生的教學(xué)要求，只局限于五種基本尺規(guī)作圖法的理解和操作，隨著新課程對學(xué)生能力培養(yǎng)的要求，對尺規(guī)作圖的要求也提出了更高的要求：除了要熟練操作五種基本圖形作法外，還要結(jié)合幾何推理，對目標圖形進行作圖原理推究、作圖方法探索。這在一定程度上，對尺規(guī)作圖的課堂教學(xué)帶來了一定的挑戰(zhàn)，在近段時間關(guān)于尺規(guī)作圖的課堂教學(xué)教研活動中，筆者深有感觸：尺規(guī)作圖的教學(xué)在接軌于新課標的總思想和接軌于中考要求方面需要加大力度，筆者就課后交流和個人親身教學(xué)體會，談?wù)剬Τ咭?guī)作圖教學(xué)的一些想法。1.教材對尺規(guī)作圖的基本要求任何一個知識點的學(xué)習(xí)，都離不開基本概念的理解和基本技能的掌握，三基是知識的根本點，對學(xué)生所學(xué)的相關(guān)知識與新知識結(jié)構(gòu)起著固本作用，三基只有得到徹實有效的實施和應(yīng)用，三基才能得到充分的發(fā)展和延伸。我們對尺規(guī)作圖這塊內(nèi)容的教學(xué)，同樣需要熟練掌握五種基本圖形的基本畫法，正確理解它們的作圖原理，在實際問題中能簡單地應(yīng)用。教材（華師大版）對五種基本作圖的內(nèi)容編排，是淺顯易懂，對課堂例題與訓(xùn)練題也是從絕大數(shù)學(xué)生的實際認知能力出發(fā)而設(shè)，以照顧全體學(xué)生在學(xué)習(xí)中都能獲益為主要目標，在課后作業(yè)練習(xí)題中，也是對五種基本圖形作法中稍加組合應(yīng)用，注重的是基本作圖法的理解、技能的掌握以與有條件類型題的作圖，這類題學(xué)生能直接根椐條件，選擇相應(yīng)作圖方法作圖，主要目的都是鞏固理解五種基本圖形，雖然題目類型缺乏靈活性，但這些全是固本知識，是知識的根本點，能為學(xué)生作圖方法的深入研究提供有效的保證。新教材編寫雖然淺顯易懂，習(xí)題也簡單，卻需要教師補充一部分內(nèi)容，這是新教材的一個特色，是給教師提供的一個彈性空間，可以根據(jù)學(xué)生具體情況，適當補充一些需要的題型，提升學(xué)生的能力。2.尺規(guī)作圖應(yīng)落實的教學(xué)尺度2.1尺規(guī)作圖教練中的難度在學(xué)生的實際學(xué)習(xí)中，對五種基本作圖法的單一應(yīng)用是沒有問題的，但部分學(xué)生由于幾何意識薄弱，對稍加組合的基本圖形作法的應(yīng)用，思維發(fā)揮尚有一定差異，主要原因在于雙基落實過程中，深度不夠，也就是說幾何推理+操作的綜合能力不夠到位，需要在教學(xué)過程中把握好難度分寸，給學(xué)生補充一些能激化思維、提升思維的內(nèi)容，以達到對基本作圖法的靈活應(yīng)用。筆者給學(xué)生做過這樣一個試驗，如例1，學(xué)生在解答時，因作圖意向方法非常清楚，因此學(xué)生能很快畫出角平分線和過點P的垂線，得二線交點Q。但當筆者把題目作了適當變形時，學(xué)生選擇作圖方法，顯得缺乏應(yīng)有的章法，暴露出學(xué)生在受教過程中，對目標圖形的幾何分析和基本圖形作法插入應(yīng)用，缺乏應(yīng)有理性認識。若在平時能經(jīng)常給學(xué)生訓(xùn)練例1類的變形題，學(xué)生對尺規(guī)作圖的理性認識將上升一個臺階。例1如圖1-1，已知∠AOB，點P在OA上，找出點Q，使點Q到∠AOB兩邊距離相等，并且PQ⊥OA；圖1-3圖1-2圖1-1圖1-3圖1-2圖1-1變形1有二條直線型公路AB和CD，如圖1-2，因在點C的左邊有障礙物，因此公路要在點C處開始轉(zhuǎn)彎與公路AB相接，要求畫出連接二公路的圓弧，且圓弧與二公路是相切。變形2有二條直線型公路AB和CD，如圖1-3，因在點C的左邊是障礙物，因此公路要修建一個圓弧連接公路AB、CD，要求畫出圓弧的半徑為r，且圓弧與二公路是相切。變形1只是對圖1-1中的∠O部分擦去，直線說成是公路，很多學(xué)生只能畫出過點C的垂線，卻不會去畫二條公路延長線的夾角平分線。變形2是對變形1改進，有了變形1的經(jīng)驗，學(xué)生只能畫角平分線確定圓心所在的一條直線，畫第二條確定圓心所在的直線有點困難，本題和變形1相比，難度稍有提高。要求學(xué)生畫一條與一公路平行且相距為r的直線，直線與角平分線的交點即是圓心，也可以通過畫二條直線分別與二條公路平行且相距為r，二平行線交點即為圓心。但事實上學(xué)生畫平行線的想法更本沒有或者是方法不當，原因是平時訓(xùn)練題中畫平行線不多見，暴露出一個問題：學(xué)生注重的是基本作圖法的具體操作，忽視了作圖方法與幾何推理的密切掛鉤，不會通過目標圖形的特征，用幾何推理方法去探究作圖方法，學(xué)會的只是基本作圖方法，應(yīng)用意識沒有挖掘，思維沒有打開，需要在課堂教學(xué)中提高教學(xué)要求，注重幾何推理分析，在課后訓(xùn)練中適當補充思維型題目。2.2基本作圖操練中的強度五種基本尺規(guī)作圖法比較簡單、易操作，教材的編寫要求不高，中考中比分也不多，因此教師和學(xué)生在平時都不夠重視，導(dǎo)致熟練程度不夠，對尺規(guī)作圖的深入研究存在缺陷。圖2在初三年考前，給學(xué)生測試例2，這是一個易理解、又有多種作法、注重雙基思想的作圖題，學(xué)生在選擇方法時，思維顯得比較單一，答案不能全部羅列出來，五種基本作圖法應(yīng)用的熟練程度不夠到位。圖2例2如圖2，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種以上方法把它分成兩個三角形，且要求其中一個三角形的等腰三角形。（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）本題可以采用五種尺規(guī)作圖中的畫線段、畫線段的垂直平分線、畫角平分線、畫角中任何一個基本作法都可以完成目標圖形，是學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固和靈活體驗五種基本作圖方法的一個好題，但學(xué)生大都采用的方法是畫線段的垂直平分線和角平分線這二種方法，對其它基本作圖方法熟視無睹，沒有作圖意向，詢問學(xué)生能不能用別的方法作圖時，學(xué)生還要疑惑一下，可見對五種作圖法的熟練和功能理解不夠深入，基本作圖法還停留在一種記憶意識，沒深入到理性的應(yīng)用意識，存在著知識的應(yīng)用盲點，一旦出現(xiàn)象例2一類作法開放的作圖題時，就會暴露出基本作圖法應(yīng)用不夠熟練的弱點，需要增加訓(xùn)練量，熟練每種作圖方法和作圖原理。建議在尺規(guī)作圖教學(xué)過程或課后作業(yè)中，補充條件開放和結(jié)論開放類型的作圖題，加強訓(xùn)練強度，活化基本作圖方法，激化學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生對每種基本圖形作法有一個思維發(fā)散的空間。3.尺規(guī)作圖應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想在尺規(guī)作圖中，有很多題目是不能一下子想到作圖方法的，需要運用數(shù)學(xué)思想展開分析，其中類比思想結(jié)合熟悉題型展開分析比較廣泛。而尺規(guī)作圖應(yīng)用的幾何知識中，應(yīng)用比較多的是軸對稱、二點間線段最短，三角形二邊之和大于第三邊、二平行線間距離恒值等知識，這些知識是學(xué)生平時接觸中最簡單、最熟悉的幾何知識，在作圖題中由于題型發(fā)生了變化，接觸的形式不一樣，讓學(xué)生有時感到有點不適應(yīng)，需要學(xué)生懂得應(yīng)用類比思想結(jié)合幾何推理，探究作圖方法。如例3，學(xué)生在沒有提示的條件下，學(xué)生一下子很難想到作圖方法，找不到作圖的突破口，其實是學(xué)生找不到學(xué)過知識中的對應(yīng)模型，一旦提示學(xué)生：小球的運動路線類似于學(xué)過知識的什么圖形和現(xiàn)象時，學(xué)生就很快地能想到作圖方法，顯示用類比思想在作圖中的作用。圖3-1例3臺球是一項高雅的體育運動，其中包含了許多物理學(xué)、幾何學(xué)知識，圖3-1是一個臺球桌，目標球F與本球E之間有一個G球阻擋．擊球者想通過擊打E球，讓E球先撞擊球臺的AB邊，經(jīng)過一次反彈后再撞擊F球，他應(yīng)將E球打到AB邊上的哪一點？請在圖3-1中用尺規(guī)作出這一點H，并作出E球的運行路線；(不寫畫法，保留作圖痕跡)圖3-1本題從幾何圖形角度看，可用軸對稱知識解決；從物理現(xiàn)象看，可類比于光的反射，從入射角等于反射角入手，應(yīng)用軸對稱知識找到AB邊上的擊點。例4我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”。利用下面的作圖4-1，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點O，連結(jié)OA、OC。顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”。（1）試說明直線AE是“好線”的理由；（2）如下圖4-2，AE為一條“好線”，F(xiàn)為AD邊上的一點，請作出經(jīng)過F點的“好線”，并對畫圖作適當說明(不需要說明理由)。圖4-1圖4-2圖4-1圖4-2本題以圖4-1的作法引導(dǎo)學(xué)生理解“好線”的作法，讓學(xué)生探求隱含的理論依據(jù)是等底等高的二個三角形面積相等，然后讓學(xué)生去探索圖4-2的作法。顯然本題若沒有⑴的引導(dǎo)學(xué)生是很難想到作圖方法的，有了⑴，學(xué)生就可以運用類比思想，根據(jù)平行線特征，得到作圖方法：連接EF,作AM∥EF,交CD于M,連接FM，則FM就是所求的“好線”。在作圖中要讓學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)思想探求作圖方法，需要在平時教學(xué)中，多接觸典型作圖題，主要是思想方法運用的典型、幾何知識運用的典型，以培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想結(jié)合幾何推理探究作圖原理的能力。4.尺規(guī)作圖對思維的促進功能尺規(guī)作圖是建立在幾何推理上的一種作圖方法，每一種基本作圖法都可以用幾何論證明其正確性，尺規(guī)作圖有其嚴密的邏輯性，在應(yīng)用中，除了培養(yǎng)學(xué)生合作探究、動手操作能力外，對學(xué)生幾何思維的訓(xùn)練有著非常大的促進，因為尺規(guī)作圖比純粹的幾何明題在幾何思維訓(xùn)練上，具有更高的推理要求。如例5充分說明軸對稱知識應(yīng)用對學(xué)生幾何思維的促進作用，在沒有告訴學(xué)生應(yīng)用軸對稱知識作圖時，學(xué)生在解決例5時，在探求作圖方法時是何等得絞盡腦汁，能探得作圖原理只有少數(shù)幾個學(xué)生，當提示學(xué)生應(yīng)根據(jù)圖形特點，構(gòu)造學(xué)過的圖形如三角形、四邊形等圖形，結(jié)合幾何知識去推理、探求圖形特征，然后結(jié)合對應(yīng)的作圖方法作圖時，學(xué)生才算探到了作圖的門道，領(lǐng)略了幾何推理和尺規(guī)作圖密切結(jié)合的意境，這種意境對學(xué)生幾何思維的促進，應(yīng)該超過單純的幾何證明題。例4如圖5-1，凸四邊形ABCD，如果點P滿足∠APD＝∠APB=α。且∠BPC＝∠CPD＝β，則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點．(l)在圖5-3正方形ABCD內(nèi)畫一個半等角點P，且滿足α≠β。(2)在圖5-4四邊形ABCD中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）。(3)若四邊形ABCD有兩個半等角點P1、P2（如圖5-2），證明線段P1P2上任一點也是它的半等角點。圖5-2圖5-1圖5-3圖5-4圖5-2圖5-1圖5-3圖5-4本題是軸對稱知識的應(yīng)用，與例3相比更具有幾何推理的特征，讓學(xué)生感受到同一知識不同思維角度，對學(xué)生的幾何思維有著提升作用。作法：如⑵，連接AC，過B點作AC的軸對稱點B1,連接DB1其延長線交AC于點P,則點P就是所求的點。尺規(guī)作